確率の質問です

←No.27

質問文には、「何回連続で当たるかという勝負をする」と書いてある。
両者がハズレを引けば、その時点で「何回連続で当たるか」の回数は
確定するから、勝負は決まる。
これは、解釈の問題じゃあない。
自分の答えに合わせて問題を改変しちゃあアカンよ。

No.27=25です。

　りもさんおはようございます。勝負の終わる条件を自分と相手のどちらかだけがあたりを引くか両方ともはずれを引く場合にあなたは設定しています。私はNo.25で自分と相手のどちらかだけがあたりを引く場合を勝負の終わる条件にしました。問題文からはそれ以外の終了条件も読み取れます。『厄介そうな定積分』のNo.10https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14074767.html#an113 …でβ関数だからベタなネタとダジャレを言って無視されていて楽しかったです。回答ありがとうございます。応答があって嬉しいです。必ず3回だけくじを引くことにします。連続する当たりの回数が同じだったら引き分けです。場合分けします。連続なので何回目か区別します。A戦略を選んだ場合です。
123　　　　　　　　　　　　　　　　連続回数
×××　　0.1*0.3^0*0.7^2　　0.049　0回
×◯×　　0.1*0.3^1*0.7^1　　0.021　1回
××◯　　0.1*0.7^1*0.7^1　　0.021　1回
×◯◯　　0.1*0.7^2*0.7^0　　0.09　2回
◯××　　0.9*0.3^0*0.7^2　　0.441　1回
◯×◯　0.9*0.3^1*0.7^1　　0.189　1回
◯◯×　0.9*0.3^1*0.7^1　　0.189　2回
◯◯◯　0.9*0.3^0*0.7^2　　0.081 3回
『歴史を学んで石破に勝つ！／池袋・つくば講演のお知らせ』

です。D戦略を選んだ場合です。
123
×××　　0.4*0.4^0*0.6^2　　0.064
×◯×　　0.4*0.4^1*0.6^1　　0.096
××◯　　0.4*0.4^1*0.6^1　　0.096
×◯◯　　0.4*0.4^0*0.6^2　　0.144
◯××　　0.6*0.4^2*0.6^0　　0.096
◯×◯　0.6*0.4^1*0.6^1　　0.144
◯◯×　0.6*0.4^1*0.6^1　　0.144
◯◯◯　0.6*0.4^0*0.6^2　　0.216
A戦略で1回と2回と3回連続の確率とD戦略で0回連続の確率を掛けて足していきます。A戦略で2回連続と3回連続の確率とD戦略でと1回連続の確率を足して掛けて足していきます。AがDに対して勝つ確率が0.208です。AがDに対して負ける確率が0.427です。No.25を回答した時は1文でDが良いと書いてありました。記憶違いなのでしょうか。No.1さんが貼った link 先を見ると長い説明があってGが良いと言っていました。Screen shot を添付します。

No.25 は、何か人生論的なことを添えて煙にまいてますが、

間違っています。
相手に先に戦略を選ばせる戦略では、相手が先に A を取れば
自分が何をとっても勝つ確率は相手より低くなります。
「相手を勝たせてやる『寛容』がいいんだ」というのは、
確率とも数学とも関係ない、題意の変更です。

長々続く計算例は、No.5 と同じ等比級数の和を求めていますが、
その計算結果によって何かを説明しているわけではありません。

接着剤さんおはようございます。

　一番いい戦略は相手に先に戦略を選ばせることです。自分も相手も両方ともあたりを引いた時に次が引けます。AからGの戦略を選びます。相手が選んだ戦略は選べません。自分と相手は同時にくじを引きます。自分も相手もハズレをひいたとき引き分けにするか続けるか決めてください。Soccer の penalty kick の sudden death に似ています。『【最終回】「不寛容な人しか寛容になれない」『不寛容論』著者の主張から寛容社会へのヒントが見えた【東京女子大学 学長・森本あんり】』

です。
　　　　　自分A　相手G
1回目　　あたり　あたり
2回目　　あたり　あたり
3回目　　はずれ　はずれ
例えば上記の場合のように3回目で自分も相手もはずれを引いた勝負を引き分けとするか続けるか決めてください。とりあえずそのまま次のくじを引くことにします。決着がつくまでジャンケンをする場合と似ています。4つの場合があります。場合に対応する確率を計算します。
　　　　　　　くじの出目
　　　　　　　自分　　　相手
自分が勝つ　　あたり　　はずれ　0.9*0.7=0.63
相手が勝つ　　はずれ　　あたり　0.1*0.3=0.03
あいこ　　　　はずれ　　はずれ　0.1*0.7=0.07
　　　　　　　あたり　　あたり　0.9*0.3=0.27
　　　　　　　　　　　　　　　　　合計=1.0
2回目を引きます。
　　　　　　　くじの出目
　　　　　　　自分　　　相手
自分が勝つ　　あたり　　はずれ　0.3*0.1=0.03
相手が勝つ　　はずれ　　あたり　0.7*0.9=0.63
あいこ　　　　はずれ　　はずれ　0.7*0.1=0.07
　　　　　　　あたり　　あたり　0.3*0.9=0.27
　　　　　　　　　　　　　　　　　合計=1.0
2回目で勝つ場合の確率は0.34*0.03です。3回目で勝つ確率は0.34*0.34*0.03です。以降です。n回目で勝つ確率は0.34*0.34*(n-2)*0.03です。これらを足し合わせていきます。公比0.34の等比級数です。(1-0.34^(n+1))/1-0.34です。nが無限大になります。1/0.66=1.515です。0.63+0.34*1.515*0.03=0.645453です。自分がAで相手がGの戦略を選んだ場合自分が勝つ確率が0.645です。裏返して足して1になるでしょうか。0.03+0.34*1.515*0.63=0.354513です。足したら大体1です。相手がB戦略を選んだばあいを調べます。
　　　　　　　くじの出目
　　　　　　　自分　　　相手
自分が勝つ　　あたり　　はずれ　0.9*0.2=0.18
相手が勝つ　　はずれ　　あたり　0.1*0.8=0.08
あいこ　　　　はずれ　　はずれ　0.1*0.2=0.02
　　　　　　　あたり　　あたり　0.9*0.8=0.72
　　　　　　　　　　　　　　　　　合計=1.0
2回目を引きます。
　　　　　　　くじの出目
　　　　　　　自分　　　相手
自分が勝つ　　あたり　　はずれ　0.3*0.6=0.18
相手が勝つ　　はずれ　　あたり　0.7*0.4=0.28
あいこ　　　　はずれ　　はずれ　0.7*0.6=0.42
　　　　　　　あたり　　あたり　0.3*0.4=0.12
　　　　　　　　　　　　　　　　　合計=1.0
2回目で勝つ場合の確率は0.74*0.18です。3回目で勝つ確率は0.74*0.54*0.18です。以降です。n回目で勝つ確率は0.74*0.54*(n-2)*0.18です。これらを足し合わせていきます。公比0.54の等比級数です。(1-0.54^(n+1))/1-0.54です。nが無限大になります。1/0.46=2.17391304348
です。0.18+0.74*2.173*0.18=0.4694436です。自分がAで相手がGの戦略を選んだ場合自分が勝つ確率が0.4694436です。裏返して足して1になるでしょうか。0.08+0.74*2.173*0.28=0.5302456です。足して大体1です。相手がD戦略を選んだばあいを調べます。
　　　　　　　くじの出目
　　　　　　　自分　　　相手
自分が勝つ　　あたり　　はずれ　0.9*0.4=0.36
相手が勝つ　　はずれ　　あたり　0.1*0.6=0.06
あいこ　　　　はずれ　　はずれ　0.1*0.4=0.04
　　　　　　　あたり　　あたり　0.9*0.6=0.54
　　　　　　　　　　　　　　　　　合計=1.0
2回目を引きます。
　　　　　　　くじの出目
　　　　　　　自分　　　相手
自分が勝つ　　あたり　　はずれ　0.3*0.4=0.12
相手が勝つ　　はずれ　　あたり　0.6*0.6=0.36
あいこ　　　　はずれ　　はずれ　0.6*0.4=0.24
　　　　　　　あたり　　あたり　0.3*0.6=0.18
　　　　　　　　　　　　　　　　　合計=1.0
2回目で勝つ場合の確率は0.58*0.12です。3回目で勝つ確率は0.58*0.42*0.12です。以降です。n回目で勝つ確率は0.58*0.42*(n-2)*0.12です。これらを足し合わせていきます。公比0.42の等比級数です。(1-0.42^(n+1))/1-0.42です。nが無限大になります。1/0.58=1.72413793103
です。0.36+0.58*1.724*0.12=0.4799904です。自分がAで相手がDの戦略を選んだ場合自分が勝つ確率が0.4799904です。次はG対Dです。Gが勝って欲しいです。
　　　　　　くじの出目
　　　　　　　自分　　　相手
自分が勝つ　　あたり　　はずれ　0.3*0.4=0.12
相手が勝つ　　はずれ　　あたり　0.7*0.6=0.42
あいこ　　　　はずれ　　はずれ　0.7*0.4=0.28
　　　　　　　あたり　　あたり　0.3*0.6=0.18
　　　　　　　　　　　　　　　　　合計=1.0
2回目を引きます。
　　　　　　　くじの出目
　　　　　　　自分　　　相手
自分が勝つ　　あたり　　はずれ　0.9*0.4=0.36
相手が勝つ　　はずれ　　あたり　0.1*0.6=0.06
あいこ　　　　はずれ　　はずれ　0.1*0.4=0.04
　　　　　　　あたり　　あたり　0.9*0.6=0.54
　　　　　　　　　　　　　　　　　合計=1.0
2回目で勝つ場合の確率は0.46*0.36です。3回目で勝つ確率は0.46*0.58*0.36です。以降です。n回目で勝つ確率は0.46*0.58*(n-2)*0.36です。これらを足し合わせていきます。公比0.58の等比級数です。(1-0.58^(n+1))/1-0.58です。nが無限大になります。1/0.42=2.38095238095です。0.12+0.46*2.380*0.36=0.514128です。嬉しいです。Gが勝ちました。AをとったらDを取ります。DをとったらGを取ります。GをとったらAを取ります。『じゃんけんと等比級数』https://cfkazu.hatenablog.com/entry/2019/12/18/2 …さんを参考にしました。


宮さんおはようございます。
　ご苦労様です。


泥さんおはようございます。
　貼られている link 先はDが一番良いと言ってます。それは誤りです。

No.22です。

A：a1 = 0.9，a2 = 0.3，
B：b1 = 0.8，b2 = 0.45

は、確かにAの方がクジ単体の当選期待値※は大きいのですが、対戦ではBが強いと計算され、当選期待値の大小で勝負の行方を予測することはできないと納得しました。

ご質問者様へ、当選期待値が大きいものが有利だとする考え方は、明らかな反例がありますので、私の回答を撤回します。

※1回目で外れるケースの排他

No.5 No.6 の計算は正しいのですが、

No.10 への式変形に間違いがありました。

A は第1回のクジを確率 a1 で当たる箱から引き、
　　第2回以降は確率 a2 で当たる箱から引く。引いたクジは見たら箱に戻す。
B は第1回のクジを確率 b1 で当たる箱から引き、
　　第2回以降は確率 b2 で当たる箱から引く。引いたクジは見たら箱に戻す。
という試行を繰り返して、
第１回からずっとアタリ続けた回数が回数が多いほうを勝ちとする。
A が勝つ確率を pA, B が勝つ確率を pB と置く
と、正しくは
pA = a1 - a1b1{ 1 - (a2 - a2b2)/(1 - a2b2) },
pB = b1 - a1b1{ 1 - (b2 - a2b2)/(1 - a2b2) }
になります。

ｐA < pB は、この式を使って
(a1 - b1)/(a1b1) < (b2 - a2)/(1 - a2b2)
と変形できます。

a1 > b1, a1 > a2, b1 > b2 を保って pA < pB にするには、
a1 = 0.9, a2 = 0.3, b1 = 0.8 に対して
例えば b2 = 0.45 なんかでもいいですね。

このように、勝つ確率の大小は a1, a2, b1, b2 の微妙なバランスで決まるので、
やはり総当りの計算は必要だと思います。

シミュレーション回数を増やし精度を上げてみました。

ほぼ、ありものがたりさんNo.5改めNo.6の回答を再現できました。

ここで疑問は、総当たり計算を行う必要があるのか、くじ単体の当選期待値の比較ではダメなのか、という点です。

後者が便法であるのは分かりますが、ダメだという理由も見つかりません。反例があれば良いのですが・・・。

> sum(!a == 0)
[1] 32769
> sum(!b == 0)
[1] 30648

No.16です。

もしかすると、Aより強い手があるかと思って、試しに色々やってみましたが、はやりAが一番強かったです。

下記↓は、AとBの対戦結果。

面白いのは、
①の勝ち数が拮抗し引き分けが多いのと、このA、Bの勝率はありものがたりさんが計算した値に近いです。たしかA、Bで計算していたと思います。

②では、G相手の時はAはほぼ１回目で決着させていましたが、Bとの対戦ではAは平均1.5回ともつれた勝負になっている点が興味深いです。

結果①勝ち数
> sum(!a == 0)
[1] 3333
> sum(!b == 0)
[1] 3033

結果②勝ったとき平均何回目で勝っているか
> mean(a[a > 0])
[1] 1.50465
> mean(b[b > 0])
[1] 1.838773

結果③勝ったときの連続数スコアの合計
> sum(a)
[1] 5015
> sum(b)
[1] 5577

No.16です。

何度もスクリプトを訂正してすみません。今度は、結果に影響のあるミスを見つけましたが、計算結果は大きく変わりません。


# 確変くじのシミュレーション

a <- 0
g <- 0

for(n in 1:10000){

a1 <- ifelse(runif(1) < 0.9, 1, 0)
g1 <- ifelse(runif(1) < 0.3, 1, 0)

if(a1 == 0 & g1 == 0){
a <- append(a, 0)
g <- append(g, 0)
next
} else if(a1 == 1 && g1 == 0){
a <- append(a, 1)
g <- append(g, 0)
next
} else if(a1 == 0 && g1 == 1){
a <- append(a, 0)
g <- append(g, 1)
next
} else if(a1 == 1 && g1 == 1){

i <- 2

repeat{

a1 <- ifelse(runif(1) < 0.3, 1, 0)
g1 <- ifelse(runif(1) < 0.9, 1, 0)

if(a1 == 0 & g1 == 0){
a <- append(a, 0)
g <- append(g, 0)
break
} else if(a1 == 1 && g1 == 0){
a <- append(a, i)
g <- append(g, 0)
break
} else if(a1 == 0 && g1 == 1){
a <- append(a, 0)
g <- append(g, i)
break
} else if(a1 == 1 && g1 == 1){
i <- i + 1
next
}
}

}
}

# data.frame(a, g)

sum(!a == 0)
sum(!g == 0)

mean(a[a > 0])
mean(g[g > 0])

sum(a)
sum(g)

No.16です。

ごめんなさい。スクリプト再掲載です。
No.16の結果は変わりません。

No.18様、コメントありがとうございます。
たしかに、最初に両者当たりのとき、それ以降ではGが勝ちやすいから、Gが勝ったケースは勝負が長引いたときが多くなるのは理解できます。

ただ、当たりを連続できる期待値は俄然Gが大きいのに、実際にそれをスコアに反映できません。
やっぱり、Aが１回目で勝ってしまうケースが多いです。


# 確変くじのシミュレーション

a <- 0
g <- 0

for(n in 1:10000){

a1 <- ifelse(runif(1) < 0.9, 1, 0)
g1 <- ifelse(runif(1) < 0.3, 1, 0)

if(a1 == 0 & g1 == 0){
a <- append(a, 0)
g <- append(g, 0)
next
} else if(a1 == 1 && g1 == 0){
a <- append(a, 1)
g <- append(g, 0)
next
} else if(a1 == 0 && g1 == 1){
a <- append(a, 0)
g <- append(g, 2)
next
} else if(a1 == 1 && g1 == 1){

i <- 2

repeat{

a1 <- ifelse(runif(1) < 0.3, 1, 0)
g1 <- ifelse(runif(1) < 0.9, 1, 0)

if(a1 == 0 & g1 == 0){
a <- append(a, 0)
g <- append(g, 0)
break
} else if(a1 == 1 && g1 == 0){
a <- append(a, i)
g <- append(g, 0)
break
} else if(a1 == 0 && g1 == 1){
a <- append(a, 0)
g <- append(g, i)
break
} else if(a1 == 1 && g1 == 1){
i <- i + 1
next
}
}

}
}

# data.frame(a, g)

sum(!a == 0)
sum(!g == 0)

mean(a[a > 0])
mean(g[g > 0])

sum(a)
sum(g)