確率の質問です

https://x.com/i/grok/share/tu8qImfnGeSTpdGAQ5CHL …

Aでしょう。

この文章だと「どのような勝負なのか」が正確には記述できていないと思うのだ. 設定によっては G がベストかもしれないよ.

実際に計算してみればよい。

論より証拠。

１回目に当たる確率
A　0.9
B　0.8
C　0.7
D　0.6
E　0.5
F　0.4
G　0.3

１、２回に連続で当たる確率
A　0.9 * 0.3 = 0.27
B　0.8 * 0.4 = 0.32
C　0.7 * 0.5 = 0.35
D　0.6 * 0.6 = 0.36　　←これが最高
E　0.5 * 0.7 = 0.35
F　0.4 * 0.8 = 0.32
G　0.3 * 0.9 = 0.27

１、２、３回に連続で当たる確率
A　0.9 * 0.3 * 0.3 = 0.081
B　0.8 * 0.4 * 0.4 = 0.128
C　0.7 * 0.5 * 0.5 = 0.175
D　0.6 * 0.6 * 0.6 = 0.216
E　0.5 * 0.7 * 0.7 = 0.245
F　0.4 * 0.8 * 0.8 = 0.256　　←これが最高
G　0.3 * 0.9 * 0.9 = 0.243

１、２、３、４回に連続で当たる確率
A　0.9 * 0.3 * 0.3 * 0.3 = 0.0243
B　0.8 * 0.4 * 0.4 * 0.4 = 0.0512
C　0.7 * 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.0875
D　0.6 * 0.6 * 0.6 * 0.6 = 0.1296
E　0.5 * 0.7 * 0.7 * 0.7 = 0.1715
F　0.4 * 0.8 * 0.8 * 0.8 = 0.2048
G　0.3 * 0.9 * 0.9 * 0.9 = 0.2187　　←これが最高

これ以上の回数であれば、「G」の確率が最も高くなるのは明らかです。

A 一択。

A vs B で考えてみよう。
1回目で勝ちが決まらない確率 p1E = 0.9 * 0.8,
A が １回当たりで勝つ確率 p1A = 0.9 * (1 - 0.8),
B が １回当たりで勝つ確率 p1B = 0.8 * (1 - 0.9),
1回目で引き分けが決まる確率 p1X = (1 - 0.9) * (1 - 0.8).
1回目に勝ちが決まらなかったという条件下に、
2回目で勝ちが決まらない確率 p2E = 0.3 * 0.4,
A が 2回当たりで勝つ確率 p2A = 0.3 * (1 - 0.4),
B が 2回当たりで勝つ確率 p2B = 0.4 * (1 - 0.3),
２回目で引き分けが決まる確率 p2X = (1 - 0.3) * (1 - 0.4).
同様に続きを考えて、結局
A が勝つ確率は
p1A + p1X * p2A + p1X * p2X * p2A + p1X * (p2X)^2 * p2A + ...
= p1A + p2A * p1X / (1 - p2X)　　；２項目以降、等比級数の和
≒ 0.3272
B が勝つ確率は
p1B + p1X * p2B + p1X * p2X * p2B + p1X * (p2X)^2 * p2B + ...
= p1B + p2B * p1X / (1 - p2X)　　；２項目以降、等比級数の和
≒ 0.3090
これは A が有利。

A〜G の各組み合わせで同様に計算すると、
A > B > C > D > E > F > G の順に有利なことが判る。

ミスプリ：

A が勝つ確率は
p1A + p1E * p2A + p1E * p2E * p2A + p1E * (p2E)^2 * p2A + ...
= p1A + p2A * p1E / (1 - p2E)　　；２項目以降、等比級数の和
≒ 0.3272
B が勝つ確率は
p1B + p1E * p2B + p1E * p2E * p2B + p1E * (p2E)^2 * p2B + ...
= p1B + p2B * p1E / (1 - p2E)　　；２項目以降、等比級数の和
≒ 0.3090
これは A が有利。

解答はAです。

何回連続で当たるか。

もし、１回当たりで終了するということは、
（1回目当たり）×（2回目外れ）の確率

もし、2回当たりで終了するということは、
（1回目当たり）×（2回目当たり）×（3回目外れ）の確率

一般項：n回目の当たりで終了する確率は、
（1回目当たり）×（2回目以降当たり)^(nー1）×｛1－(2回目以降当たり)｝

これらの事象は排他事象。
勝てば１点もらえるとして、点数の期待値を計算する。期待値は、

（期待値）＝Σ(スコア)×(生起確率)

スコア＝1なので、これより各ケースについて累積確率を計算すればよいと分かります。

最終的な値だけでなく、途中で逆転しないかも調べました。
なお、本来は0回で終了する場合も考慮する必要がありますが、得点は0なので省略しました。

添付のグラフは、上からA～Gで、30回目までの累積確率をグラフ化しています。ほぼ30回でグラフはサチっています。30回も連続して当たることは極めて稀有だからでしょう。

得点の期待値が一番大きいのはAで、最初から逆転されることはありませんでした。

例えば A と G を選んだ人が勝負すると

初回でAがGに勝つ確率は 0.9 × 0.7 = 0.63
で既にこれだけで勝率が5割を超えてます。

AはGより有利と言えるのでは？

No.7です。

Gだとの誤解に対する説明です。

たしかに、例えば5回目で決着が付くというケースだけ考えれば、その時はGの方が勝率は高いです。しかし、両者4回連続して当たりが出て、5回目で決着がついたとしても、そんな事象が生起する確率は極めて低いのです。

勝負は何回目で決着が付くかは分からないので、全体の期待値（平均値）で考えなければなりません。

そう考えると、Aが圧倒的に有利なのです。

その理由としてNo.8様がおっしゃっていることを、No.7の累積確率グラフで説明すれば、一番上の黒の線で描いたAの初回の勝利確率0.63は、一番下の黄色い線のGの全てのケースを足し合わせても敵わない値であるということです。

No.6 の結果を、No.5 で置いた中間変数を消去して

問題文中のデータだけからなる式で書いてみます。

A は第1回のクジを確率 a1 で当たる箱から引き、
　　第2回以降は確率 a2 で当たる箱から引く。引いたクジは見たら箱に戻す。
B は第1回のクジを確率 b1 で当たる箱から引き、
　　第2回以降は確率 b2 で当たる箱から引く。引いたクジは見たら箱に戻す。
という試行を繰り返して、
第１回からずっとアタリ続けた回数が回数が多いほうを勝ちとする。
A が勝つ確率を pA, B が勝つ確率を pB と置く。

No.5 で挙げた例では、a1 = 0.9, a2 = 0.3, b1 = 0.8, b2 = 0.4 です。
ｐ1A, p1B, p1B, p2A, p2B, p2E などを消去すると、
pA = a1・{ 1 - (1 - a1)・ｂ１/(1 - a2・b2) },
pB = b1・{ 1 - (1 - b1)・a１/(1 - a2・b2) }　と整理できます。
1 - pA - pB は、A,B のアタリ続きが同じ回数で終わって、引き分けとなる確率です。

ちょっと味わいある式じゃないですか？
ｐA は a1 が大きく、b1 が小さいとき大きい。
ｐA に対する b1 の影響は、a1 が 1 に近いと減弱される。
pA の大きさを大雑把に律するのは a1 である。
このことから、
勝ちやすさが A > B > C > D > E > F > G になったことがうなづけます。
a2・b2 が pA と pB に対して対称に働いていることも、興味深いですね？