JP2006052790A - ころ軸受 - Google Patents

Abstract

【課題】 フルクラウニングおよびカットクラウニングの設計に適したクラウニングの設計方法を提供すること。
【解決手段】 内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面のいずれかに形成されるクラウニングの輪郭線を式（Ｉ）のように表わし、式（Ｉ）における設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの初期値探索範囲と分割数を定め、初期値探索範囲と分割数によって得られる設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの組合せについて目的関数を求め、目的関数が最適となる設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの組合せを初期値として採用してクラウニングを設計する。

【選択図】図２

Description

本発明は、内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面の少なくともひとつに形成されるクラウニングの設計方法に関するものである。

円筒ころ軸受や円すいころ軸受のように、内輪及び外輪からなる一対の軸受軌道輪の軌道面相互間に複数のころを介在させたころ軸受においては、軸受軌道輪の軌道面に対してころの転動面が線接触する。軸受軌道輪の軌道面ところの転動面が単純な円筒面や円すい面であると、エッジロードが発生してころ軸受の疲労寿命が低下する。したがって、ころ軸受は、疲労寿命延長のために、接触圧力の分布が略均一になるように、軸受軌道輪ところの接触状態を設定することが要求される。

従来は、内輪軌道面、外輪軌道面、ころ転動面の少なくともいずれかひとつにクラウニングを形成して、接触圧力の分布が略均一になるように設定している（例えば特許文献１参照）。クラウニングとは、内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面に僅かな曲率をもたせることをいう。クラウニングには、内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面の母線方向全域に亘って形成されるフルクラウニングや、母線方向片端部又は両端部に部分的に形成されるカットクラウニングがある。

ころ軸受の軸方向断面におけるクラウニングの輪郭線形状としては、Johns, P.M. and Gohar, R.が"Roller bearings under radial and eccentric loads" (TRIBOLOGY international June 1981 pp.131〜136)において、下記の式（１）で表される最適転動体曲線（以下、Johns-Gohar曲線という。）を提唱している。

式（１）のJohns-Gohar曲線は、図９に示すように、ころの母線をｙ軸とし、軸受軌道輪ところの有効接触部の中央部に原点Ｏをとったｙ−ｚ座標系において、原点Ｏを通り、ｙ＝±Ｌ／２（１−０．３０３３ｂ／ａ）^-1/2を漸近線とするｚ軸対称の曲線を表すものである。有効接触部とは、軸受軌道輪ところの二次元接触を仮定したときの接触領域で、ころの周方向にほぼ均一な幅をもつ。式（１）において、ｚ（ｙ）はころの母線方向位置ｙにおけるクラウニングのドロップ量（ころの母線からころの転動面までの母線直交方向の変位）である。また、Ｑは荷重、Ｅ’は等価弾性係数、Ｌは軸受軌道輪ところの有効接触部の長さ、ｂはヘルツの接触半幅（有効接触部の周方向の半幅）、ａは原点Ｏから有効接触部の端部までの母線方向長さ（通常は、ａ＝Ｌ／２である。）である。なお、ヘルツの接触半幅ｂは、下記の式（２）で求められる。

式（２）において、Ｒは等価半径で、有効接触部における軸受軌道輪の半径（内輪の外径又は外輪の内径）をＲ₁とし、有効接触部におけるころの半径をＲ₂とすると、下記の式（３）で求められる。

また、軸受軌道輪及びころの弾性係数をＥ₁，Ｅ₂とし、軸受軌道輪及びころのポアソン比をν₁，ν₂とすると、等価弾性係数Ｅ’は下記の式（４）で求められる。

ところで、本発明者らが、式（１）のJohns-Gohar曲線で表されるクラウニングについて接触圧力の解析を行なった結果、クラウニングの端部で接触圧力がやや高くなることが確認された。このことは、特許文献２においても指摘されている。特許文献２では、有効接触部の母線方向に相当応力の最大値が分布しないように式（１）のJohns-Gohar曲線を改良したクラウニング曲線が提案されている（下記の式（５）参照）。

式（５）において、Ｋは安全係数で０．８〜５の範囲で定められる。また、係数ｋ₁，ｋ₂は有効接触部長さＬ及びヘルツの接触半幅ｂによって下記の式（６）及び式（７）のように定められる。

式（５）のクラウニング曲線は、式（１）のJohns-Gohar曲線と同様に、有効接触部の中央部に原点Ｏをとったｙ−ｚ座標系において、原点Ｏを頂点として、ｚ軸に関して正負線対称のフルクラウニングの輪郭線を表すものである。式（５）における係数ｋ₁，ｋ₂は、設計条件として、有効接触部の長さＬ及びヘルツの接触半幅ｂを与えると定められる。したがって、式（５）では、安全係数Ｋが設計パラメータとなる。詳しくは、安全係数Ｋを大きくするとクラウニングの曲率半径は大きくなり、安全係数Ｋを小さくするとクラウニングの曲率半径は小さくなる。

式（５）では、軸受軌道輪ところの接触圧力の分布が略均一になるように安全係数Ｋを設定すれば、最適なフルクラウニングを設計することができる。詳しくは、安全係数Ｋの値を変えて、軸受軌道輪ところの最大接触圧力を求め、当該最大接触圧力が最小となるときの安全係数Ｋを選択すれば、軸受軌道輪ところの接触圧力の分布が略均一になる最適なフルクラウニングを設計することができる。

実用新案登録第２５５４８８２号公報 特開２０００−３４６０７８号公報（式（１６）及び式（１９）参照）

前述の如く、ころ軸受に形成されるクラウニングには、フルクラウニングとカットクラウニングがある。フルクラウニングは、ころと軸受軌道輪の有効接触部の全域に亘って形成されるので、フルクラウニングの母線方向長さが、有効接触部の母線方向長さＬと等しくなる。これに対し、カットクラウニングの場合は、有効接触部の中間部に形成されたストレート部の片端部又は両端部から外側へ向かって形成されるので、ストレート部の形成領域によってカットクラウニングの母線方向長さが変化する。さらに、カットクラウニングは、母線方向長さが変化すると、有効接触部の端部におけるドロップ量（最大ドロップ量）も変化する。したがって、フルクラウニング及びカットクラウニングの両方を想定して、最適なクラウニングを設計するには、クラウニングの曲率のみならず、クラウニングの母線方向長さや最大ドロップ量を設計パラメータとして式（１）に導入する必要がある。

このように、式（５）のクラウニング曲線は、安全係数Ｋ及び係数ｋ₁，ｋ₂を式（１）に導入してJohns-Gohar曲線を改良してあるが、係数ｋ₁，ｋ₂を上記の式（６）及び式（７）のように定義し、パラメータが安全係数Ｋのみになっているため、設計上の自由度が低く、カットクラウニングの設計には適していないという問題がある。

本発明は斯かる事情に鑑み創案されたものであって、その目的は、フルクラウニングは勿論のことカットクラウニングの設計にも適したクラウニングの設計方法を提供することにある。

本発明に係るころ軸受のクラウニング設計方法は、上記問題を解決するため、内輪軌道面と外輪軌道面の間に複数のころを介在させたころ軸受において、内輪軌道面、外輪軌道面、ころ転動面のうち少なくともいずれかひとつに形成されるクラウニングの設計方法であって、ころ軸受の軸線方向断面におけるクラウニングの輪郭線を、内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面のいずれかの母線をｙ軸とし、母線直交方向にｚ軸をとったｙ−ｚ座標系を用いて式（８）で表わし、式（８）における設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの初期値探索範囲と分割数を定め、初期値探索範囲と分割数によって得られる設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの組合せについて目的関数を求め、目的関数が最適となる設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの組合せを初期値として採用してクラウニングを設計することを特徴としている。

但し、式（８）において、Ａ＝２Ｋ₁Ｑ／πＬＥ’とし、Ｑは荷重、Ｌは内輪又は外輪に対するころの有効接触部の母線方向長さ、Ｅ’は等価弾性係数で、また、ａは内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面のいずれかの母線上にとった原点から有効接触部の端部までの長さである。荷重Ｑ、有効接触部の母線方向長さＬ、および、等価弾性係数Ｅ’は、設計条件として与えられ、原点から有効接触部の端部までの長さａは、原点の位置によって定められる値である。

従来例の式（１）で表されるJohns-Gohar曲線をクラウニングに適用すると、有効接触部の端部で接触圧力が大きくなることから、本発明者らは、式（１）に係数Ｋ₁，Ｋ₂’を導入して定数項をパラメータ化し、下記の式（９）とした。

式（９）は、Ｋ₁＝Ｋｋ₂，（１−０．３０３３Ｋ₂’ｂ／ａ）＝ｋ₁ ²とすれば、従来例の式（５）と同じ形になる。なお、式（９）における係数Ｋ₁，Ｋ₂’は、ヘルツの接触半幅ｂや有効接触部の長さＬに関係なく設定できる点で、式（５）におけるＫｋ₂，ｋ₁と意味を異にする。

式（９）は、有効接触部の中央部に原点をとり、原点を頂点とする正負線対称のフルクラウニングを表すものである。フルクラウニングは、母線方向負側又は正側に向かって形成される各クラウニングの始点が一致している。これに対し、カットクラウニングは、母線方向負側又は正側に向かって形成される各クラウニングの始点が一致しておらず、各クラウニングの始点間にストレート部が形成されている。そこで、本発明者らは、式（９）で表される曲線を母線方向に平行移動してカットクラウニングを表せるようにするため、各クラウニングの始点座標（±ｓ，０）を式（９）に導入することとした。なお、フルクラウニングもカットクラウニングも、通常は、母線方向の正負で線対称に形成されるので、母線方向負側又は正側のいずれか一方側に向かって形成されるクラウニングを表す関係式を作れば、当該式を他方側に向かって形成されるクラウニングにも適用することができる。ここでは、便宜上、母線方向正側に向かって形成されるクラウニングを表す関係式を作ることとし、式（９）に始点座標（ｓ，０）を導入して式（１０）のように変換した。

クラウニングの始点座標（ｓ，０）は、原点から有効接触部の端部までの母線方向長さａと、クラウニングの母線方向長さｙ_mを用いて、（ｓ，０）＝（ａ−ｙ_m，０）と表すことができる（図２参照）。これにより式（１０）は、式（１１）のように変形することができる。

なお、式（１１）で表されるクラウニング曲線は、式（９）で表されるクラウニング曲線を平行移動したものであるから、式（９）及び式（１１）で表されるクラウニングは、母線方向長さｙ_mと、有効接触部の端部におけるドロップ量、即ち最大ドロップ量ｚ_mが同じである。したがって、式（１１）におけるクラウニングの母線方向長さｙ_mは、式（９）に基づき、式（１２）のように表すことができる。

式（１２）のように、クラウニングの母線方向長さｙ_mは、Ｋ₁，Ｋ₂’，ｚ_mを与えなければ求めることができない。したがって、式（１１）に基づいてクラウニングの設計を行なうことは困難である。また、式（１１）における係数Ｋ₁は、荷重Ｑに掛けられているので、物理的な意味合いとして荷重Ｑの倍率と解釈することができ、Ｋ₂’，ｙ_mを定めて係数Ｋ₁を変化させると、クラウニング曲線の曲率が変化することから、幾何学的には、クラウニング曲線の曲率を定めるパラメータと解釈することができる。他方、係数Ｋ₂’の物理的な意味合いは不明確である。したがって、式（１１）から係数Ｋ₂’を消去して物理的意味合いのある設計パラメータを導入する必要がある。

そこで、式（１２）から得られる係数Ｋ₂’を式（１１）に代入して整理すると、下記の式（１３）が得られる。

ここで、原点から有効接触部の端部までの母線方向長さａに対する各クラウニングの母線方向長さｙ_mの割合をＫ₂と定義し（Ｋ₂＝ｙ_m／ａ）、ｙ_m＝Ｋ₂ａを式（１３）に代入すると共に、２Ｋ₁Ｑ／πＬＥ’＝Ａとすると、上記の式（８）が得られる。

上記の式（８）は、クラウニングが形成される内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面のいずれかの母線をｙ軸とし、母線直交方向にｚ軸をとったｙ−ｚ座標系を用いて、母線方向正側に向かって形成されるクラウニングの軸線方向断面における輪郭線を表したものである。式（８）では、クラウニング曲線の曲率Ｋ₁、原点から有効接触部の端部までの母線方向長さａに対する各クラウニングの母線方向長さｙ_mの割合Ｋ₂、および、クラウニングの最大ドロップ量ｚ_mを除く他の値（Ｑ，Ｌ，Ｅ’，ａ）は、設計条件として与えられる。また、フルクラウニングの場合や、カットクラウニングであってストレート部の長さが予め設定されている場合は、Ｋ₂の値も設計条件として与えられる。したがって、式（８）に基づいてクラウニング曲線を設計するには、三つの設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_m、或いは二つの設計パラメータＫ₁，ｚ_mを決定することが必要になる。

式（８）における二つ又は三つの設計パラメータを決定する手法としては、勾配法、焼きなまし法、遺伝的アルゴリズム、直接的探索法などの数値的な最適化手法を用いることができる。

勾配法は、山登り法又は傾斜法としても知られている手法で、最も大きい導関数（勾配）の方向に解を探っていく方法である（例えば、G.N.Vanderphan, "Numerical Optimization Techniques for Engineering Design: with Applications",McGraw-Hill,Inc.,New York(1984)参照）。

焼きなまし法（SA,Simulated Annealing）は、焼きなましとアナロジーから考案されたもので、エネルギーを最小化する手法である（例えば、W.H.Press,et al,Numerical Recipes in FORTRAN:the art of scientific computing,2^nd ed.,Cambridge University Press,Cambridge(1992)参照）。

遺伝的アルゴリズム（GA,Genetic Algorithm）は、生物進化の過程をモデル化した手法で、進化的アルゴリズム（Eas,Evolutionary Algorithm）又は進化的計算（Evolutionary Computation）とも呼ばれ、多点同時探索法であることから多峰性関数にも適用できるメリットがある（例えば、D.E.Goldberg,Genetic Algorithms in Search,Optimization & Machine Learning,Addison-Wesley Publishing Company,Inc.,Reading(1989)参照）。

直接的探索法は、導関数の計算が困難である場合に、導関数を計算しないで目的関数の値だけを利用する最適化手法である。直接的探索法の代表的なものとしては、Rosenbrock法がある。Rosenbrock法は、探索方向のベクトルをより良い方向に回転させて最適値を見出す手法である（例えば、杉江日出澄ら，”FORTRAN77による数値計算法”，培風館，1986 参照）。

また、上記の数値的な最適化手法に含まれるものもあるが、線形計画法、非線形計画法、実験計画法、モンテカルロ法なども最適化手法として挙げられる。

このように最適化手法として種々のものが提案されているが、目的関数の勾配を求める必要がないというメリットがあることから、式（８）の設計パラメータの最適化には、直接探索法のひとつであるRosenbrock法を採用することが好ましい。Rosenbrock法は、一般的に初期値依存性があり、適当な初期値を与える必要がある。そこで、最適値が含まれると推定される設計パラメータの範囲、即ち初期値探索範囲を与え、この初期値探索範囲を複数に分割して得られる設計パラメータのすべての組合せについて目的関数を求める。そして、目的関数が最適となる設計パラメータの組合せを初期値として採用する。初期値を探索する際に得られた設計パラメータと目的関数の関係は、設計パラメータに公差を与える際に利用することができる。

なお、目的関数としては、内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面に負荷される最大接触圧力、ミーゼスの相当応力、トレスカの相当応力、転動疲労寿命のうち少なくともいずれかひとつを使用することができる。最大接触圧力、ミーゼスの相当応力又はトレスカの相当応力を目的関数とする場合は、これらの値が最小になるように設計パラメータを決定する。転動疲労寿命を目的関数とする場合は、転動疲労寿命が最長になるように設計パラメータを決定する。

本発明は前述の如く、内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面の母線をｙ軸とし、母線直交方向にｚ軸をとったｙ−ｚ座標系において、ころ軸受の軸線方向断面におけるクラウニングの輪郭線を上記の式（８）で表し、式（８）における設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの初期値探索範囲と分割数を定め、初期値探索範囲と分割数によって得られる設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの組合せについて目的関数を求め、目的関数が最適となる設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの組合せを初期値として採用してクラウニングを設計するようにしたので、フルクラウニングは勿論のことカットクラウニングについても、内輪又は外輪ところの接触圧力が略一様で、かつ、エッジロードが発生しなくなるような最適なクラウニング形状を設計することができる。

以下、添付図面を参照しつつ本発明を実施するための最良の形態について説明する。

図１は本発明に係るころ軸受を円筒ころ軸受に適用した場合の一例を示すものである。この円筒ころ軸受は、図１に示すように、内輪１１と、外輪１２と、内輪軌道面１１ａ及び外輪軌道面１２ａの相互間に転動自在に介在させる複数の円筒ころ１３，１３，…と、軸受周方向に所定の間隔を隔てて円筒ころ１３，１３，…を保持する保持器１４とを主要な構成要素としている。この実施形態では、各円筒ころ１３，１３，…の転動面１３ａ，１３ａ，…に、カットクラウニング１３ｂ，１３ｃを設け、内輪１１の軌道面１１ａ及び外輪１２の軌道面１２ａはそれぞれ円筒面状に形成してある。

図２は、円筒ころ１３の母線をｙ軸とし、円筒ころ１３の母線上であって内輪１１又は外輪１２と円筒ころ１３の有効接触部の中央部に原点Ｏをとると共に、母線直交方向（半径方向）にｚ軸をとったｙ−ｚ座標系を用いて、下記の式（１４）で表されるクラウニング１３ｂの一例を示したものである。有効接触部は、円筒ころ１３にカットクラウニング１３ｂ，１３ｃを形成していない場合の内輪１１又は外輪１２と円筒ころ１３との接触部位である。また、円筒ころ１３，１３，…の各クラウニング１３ｂ，１３ｃは、通常、有効接触部の中央部を通るｚ軸に関して線対称に形成されるので、図２では、一方のクラウニング１３ｂのみを示している。

但し、式（１４）において、Ａ＝２Ｋ₁Ｑ／πＬＥ’とする。また、クラウニング１３ｂの始点Ｏ₁の座標は（ａ−Ｋ₂ａ，０）であるから、式（１４）におけるｙの範囲は、ｙ＞（ａ−Ｋ₂ａ）である。

式（１４）におけるｚ（ｙ）は、円筒ころ１３の母線方向位置ｙにおけるクラウニング１３ｂのドロップ量である。また、式（１４）において、Ｑは荷重、Ｌは有効接触部の母線方向長さ、Ｅ’は等価弾性係数、ａは原点Ｏから有効接触部の端部までの母線方向長さである。これらの値は設計条件として与えられる。なお、図２では、原点Ｏを有効接触部の中央部にとっているので、ａ＝Ｌ／２となる。また、原点Ｏからクラウニング１３ｂの始点Ｏ₁までの領域は、円筒面状に形成されるストレート部であるから、０≦ｙ≦（ａ−Ｋ₂ａ）のとき、ｚ（ｙ）＝０となる。但し、Ｋ₂＝１のとき、始点Ｏ₁が原点Ｏと一致するので、式（１４）はストレート部のないフルクラウニングを表すことになる。

式（１４）において、Ｋ₁，Ｋ₂，ｚ_mは設計パラメータである。設計パラメータＫ₁は荷重Ｑの倍率、幾何学的にはクラウニング１３ｂの曲率を意味している。設計パラメータＫ₂は、原点Ｏから有効接触部の端部までの母線方向長さａに対するクラウニング１３ｂの母線方向長さｙ_mの割合を意味している（Ｋ₂＝ｙ_m／ａ）。設計パラメータｚ_mは、有効接触部の端部におけるドロップ量、即ちクラウニング１３ｂの最大ドロップ量を意味している。

式（１４）に、荷重Ｑ等の設計条件と、適当な設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mを与えるとひとつのクラウニング曲線が得られ、設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mのいずれかを変化させることで、クラウニング曲線を変形させることができる。したがって、最適な設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mを与えると、内輪１１又は外輪１２に対する円筒ころ１３の接触圧力が略一様で、かつ、エッジロードが発生しなくなるような最適なクラウニング曲線が得られる。

以下、表１に示すような設計条件を与えたときの設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの最適化について説明する。

設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの最適化手法としては、種々のものが提案されているが、ここでは、直接探索法のひとつであるRosenbrock法を採用し、その目的関数として、内輪１１と円筒ころ１３の最大接触圧力Ｐ_maxを使用する。

表１のような設計条件が与えられた場合、単に最大接触圧力Ｐ_maxを最小とするだけであれば、設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの全ての組合せについて最大接触圧力Ｐ_maxを求めるべきであるが、円筒ころ１３のチルト勾配を考慮して最適化を行なうと、Ｋ₂＝１となって、カットクラウニング１３ｂについて評価検討することができない。図２のカットクラウニング１３ｂは、始点Ｏ₁を原点Ｏよりも正側の領域にとっているので、Ｋ₂の範囲が０〜１になる。そこで、ここでは、カットクラウニングについて評価検討するために、Ｋ₂を０．５と仮定し、公差を０．０５として、Ｋ₂の許容範囲を０．４５〜０．５５とする。

図３乃至図５は、Ｋ₂＝０，４５，０．５０，０．５５のときに、設計パラメータＫ₁，ｚ_mを変化させて得られるクラウニング曲線の各々について最大接触圧力Ｐ_maxを求め、その結果を等圧線図として示したものである。図３乃至図５において最大接触圧力Ｐ_maxの最小値は、図４に示す最適点Ｍの３．４８６ＧＰａである。最適点Ｍにおける設計パラメータＫ₁，ｚ_mの値は、Ｋ₁＝２．７７９，ｚ_m＝１６．２５３μｍである。最適点Ｍにおける最大接触圧力Ｐ_maxの１．０５倍までを許容範囲とすると、図３乃至図５に示すように、Ｋ₁＝２〜３，Ｋ₂＝０．４５〜０．５５，ｚ_m＝１６〜３８μｍを設計パラメータの公差範囲Ｄとして選ぶことができる。このようにして得られた公差範囲Ｄを式（１４）の設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mに与えると、図６に示すハッチング領域に好適なクラウニング曲線が収まる。なお、図６において、太線で示すクラウニング曲線は、最適点Ｍにおける設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mによって得られる最適なクラウニング曲線である。

このように式（１４）の設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mに好適な公差範囲を与えて、円筒ころ１３のクラウニング１３ｂを設計すると、内輪１１と円筒ころ１３の接触圧力が略一様になり、内輪軌道面１１ａや円筒ころ１３の転動面１３ａにエッジロードが発生しなくなる。

なお、上記実施形態において、Ｋ₂＝１として設計パラメータＫ₁，ｚ_mの最適化を行なうと、各クラウニング１３ｂ，１３ｃの始点を原点Ｏとする最適なフルクラウニング及びその公差範囲に含まれる好適なフルクラウニングを設計することができる。

以上、本発明に係るころ軸受のクラウニング設計方法の一実施形態につき説明したが、本発明は上記実施形態に限定されることなく種々の変形が可能であって、例えば上記実施形態では、有効接触部の中央部に原点Ｏをとったｙ−ｚ座標系を用いてクラウニング１３ｂを表しているが、図７（Ａ）に示すように、原点Ｏを有効接触部の中央部Ｃからオフセットした位置にとっても、式（１４）によってクラウニング１３ｂの輪郭線を表すことができる。この場合、原点Ｏから有効接触部の端部までの母線方向長さａは、ａ≠Ｌ／２となる。また、Ｋ₂＞１とすると、クラウニング１３ｂの始点座標Ｏ₁（ａ−Ｋ₂ａ，０）は、図７（Ｂ）に示すように、原点Ｏよりも負側にとられる。

また、上記実施形態では、有効接触部の中央部にとったｚ軸に関して線対称性を有するクラウニング１３ｂ，１３ｃを挙げて説明したが、クラウニング１３ｂ，１３ｃはｚ軸に関して非線対象であっても構わない。この場合、式（１４）の設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mを各クラウニング１３ｂ，１３ｃごとに独立して最適化してもよいし、母線方向正側に向かって形成される一方のクラウニング１３ｂを下記の式（１５）で表すと共に、母線方向負側に向かって形成される他方のクラウニング１３ｃを下記の式（１６）で表し、式（１５）における設計パラメータＫ_1p，Ｋ_2p，ｚ_mpと、式（１６）における設計パラメータＫ_1n，Ｋ_2n，ｚ_mnとを同時に求めても構わない。

なお、式（１５）におけるａ_pは、原点Ｏから有効接触部の正側端部までの母線方向長さで、式（１６）におけるａ_nは、原点Ｏから有効接触部の負側端部までの母線方向長さである。また、式（１５）及び式（１６）は、設計パラメータの記号としてＫ_1p，Ｋ_2p，ｚ_mp及びＫ_1n，Ｋ_2n，ｚ_mnを用いているが、実質的に式（１４）と同じ式である。

式（１５）及び式（１６）によれば、上記実施形態で説明したｚ軸に関して線対称のカットクラウニングやフルクラウニングのほか、例えば図８（ａ）のように、頂点Ｏを有効接触部の中央部Ｃからオフセットした非線対象のフルクラウニングや、図８（ｂ）のように、有効接触部の中央部Ｃからの始点Ｏ₁，Ｏ₂のオフセット距離が相違する非線対象のカットクラウニングなど、種々のクラウニング形状を表すことができる。なお、図８（ａ）（ｂ）に示すクラウニング曲線は、式（１５）の設計パラメータＫ_1p，Ｋ_2p，ｚ_mpと、式（１６）の設計パラメータＫ_1n，Ｋ_2n，ｚ_mnが、Ｋ_1p≠Ｋ_1n，Ｋ_2pａ_p≠Ｋ_2nａ_n，ｚ_mp≠ｚ_mnのうち少なくともいずれかひとつを満たすものである。このように、式（１５）及び式（１６）を用いると、線対称であるか非線対象であるかを問わず最適なクラウニング及びその公差範囲に含まれる好適なクラウニングを設計することができる。

また、上記実施形態では、円筒ころ１３にクラウニングを形成する場合を挙げて説明しているが、本発明は、内輪軌道面１１ａや外輪軌道面１２ａにクラウニングを形成する場合にも適用可能である。また、上記実施形態では、円筒ころ軸受を挙げて説明しているが、本発明は、円すいころ軸受などの他のころ軸受にも適用可能である。

本発明に係るころ軸受を円筒ころ軸受に適用した場合の一例を示す断面図である。 クラウニング形状の一例を示すｙ−ｚ座標図である。 設計パラメータＫ_1pを変化させたときの正側クラウニングの曲率変化の一例を示すｙ−ｚ座標図である。 クラウニング形状の他の例を示すｙ−ｚ座標図である。 クラウニング形状の他の例を示すｙ−ｚ座標図である。 クラウニング形状の他の例を示すｙ−ｚ座標図である。 クラウニング形状の他の例を示すｙ−ｚ座標図である。 （ａ）図及び（ｂ）図は、クラウニング形状の他の例を示すｙ−ｚ座標図である。 従来のクラウニング形状の一例を示すｙ−ｚ座標図である。

符号の説明

１１ 内輪
１１ａ 内輪軌道面
１２ 外輪
１２ａ 外輪軌道面
１３ ころ
１３ａ ころ転動面
１３ｂ 負側クラウニング
１３ｃ 正側クラウニング
１４ 保持器

Claims (2)

1. 内輪軌道面と外輪軌道面の間に複数のころを介在させたころ軸受において、内輪軌道面、外輪軌道面、ころ転動面のうち少なくともいずれかひとつに形成されるクラウニングの設計方法であって、
   ころ軸受の軸線方向断面におけるクラウニングの輪郭線を、内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面のいずれかの母線をｙ軸とし、母線直交方向にｚ軸をとったｙ−ｚ座標系を用いて式（Ｉ）で表わし、
   式（Ｉ）における設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの初期値探索範囲と分割数を定め、
   初期値探索範囲と分割数によって得られる設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの組合せについて目的関数を求め、
   目的関数が最適となる設計パラメータＫ₁，Ｋ₂，ｚ_mの組合せを初期値として採用してクラウニングを設計することを特徴とするころ軸受のクラウニング設計方法。
   

   

   
   
   但し、（Ｉ）式において、Ａ＝２Ｋ₁Ｑ／πＬＥ’とし、Ｑは荷重、Ｌは内輪又は外輪に対するころの有効接触部の母線方向長さ、Ｅ’は等価弾性係数で、また、ａは内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面のいずれかの母線上にとった原点から有効接触部の端部までの長さである。
2. 目的関数として、内輪軌道面、外輪軌道面又はころ転動面に負荷される最大接触圧力、ミーゼスの相当応力、トレスカの相当応力、転動疲労寿命のいずれかを使用することを特徴とする請求項１に記載のころ軸受のクラウニング設計方法。
   
   

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