JP2014055882A - 収差推定方法、プログラムおよび撮像装置 - Google Patents

Abstract

【課題】高速かつ高精度に被検光学系の収差を測定すること
【解決手段】結像光学系１０５が形成した標本ＳＰの光学像を光電変換することによって得られた第１の像と、結像光学系に収差を与えた場合に得られると推定される第２の像との差分の二乗和で表される評価関数Ｆが許容値以下になったときの前記収差を、結像光学系の収差として推定する最急降下法を利用した収差推定方法を提供する。評価関数が許容値以下でない場合に、前記収差を、今回の収差と評価関数の前記収差の一次微分の和によって更新するステップ（Ｓ２０９）を有する。前記収差は、結像光学系の瞳面全体の収差である。前記ステップは、結像光学系の像面上の各点の座標で積分する代わりに、前記差分をフーリエ変換することによって前記一次微分を算出する。
【選択図】図５

Description

本発明は、被検光学系の収差を測定する収差推定方法、プログラムおよび撮像装置に関する。

干渉計やシャックハルトマンセンサーなどの測定装置を使用せずに被検光学系の収差を推定する方法は従来から幾つか提案されている。例えば、非特許文献１は、光源が（星などの）点光源のときにフォーカスを変えて取得した複数の像から被検光学系の収差を推定する最適化方法を提案している。非特許文献２は、光源が広がりを有する部分コヒーレント照明によって物体を照明し、フォーカスを変えて取得した複数の像から遺伝的焼きなまし法（Ｇｅｎｅｔｉｃ Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ）を用いて収差を推定する方法を提案している。しかし、遺伝的焼きなまし法は計算時間がかかる。比較的高速に動作する最適化手法として関数の傾き（一次微分）から関数の最小値を探索する最急降下法（Ｓｔｅｅｐｅｓｔ ｄｅｓｃｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ）が知られている。特許文献１は、部分コヒーレント照明によって物体を照明し、フォーカスを変えて取得した複数の像の位置ずれをもとに最急降下法を用いて被検光学系の収差を推定する方法を提案している。しかし、位置ずれだけから収差を推定すると推定精度が低くなる。

特開２００７−１６３４６１号公報

ディー・ラッセル・ルーク（Ｄ． Ｒｕｓｓｅｌｌ Ｌｕｋｅ）、ジェームズ・ヴィー・バーク（Ｊａｍｅｓ Ｖ． Ｂｕｒｋｅ）、リチャード・ジー・リオン（Ｒｉｃｈａｒｄ Ｇ． Ｌｙｏｎ）著、「オプティカル・ウエイブフロント・リコンストラクション：セオリー・アンド・ニューメリカル・メソッズ（Ｏｐｔｉｃａｌ Ｗａｖｅｆｒｏｎｔ Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ： Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ）、エスアイエーエム・レビュー（ＳＩＡＭ Ｒｅｖｉｅｗ）（米国）ソサイエティ・オブ・インダストリアル・アンド・アプライド・マスマティックス（Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ）、２００２年、第４４号、ｐ．１６９−２２４ アール・ミヤガワ（Ｒ． Ｍｉｙａｋａｗａ）、ピー・ノーロウ（Ｐ． Ｎａｕｌｌｅａｕ）、エー・ザッコー（Ａ． Ｚａｋｈｏｒ）、ケイ・ゴールドバーグ（Ｋ． Ｇｏｌｄｂｅｒｇ）著、「イタレイティブ・プロシージャ・フォー・インサイチュー・オプティカル・テスティング・ウィズ・アン・インコヒーレント・ソース（Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ｉｎ−ｓｉｔｕ ｏｐｔｉｃａｌ ｔｅｓｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｎｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｏｕｒｃｅ）」、プロシーディングズ・オブ・エスピーアイイー（Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＳＰＩＥ）、（米国）エスピーアイイープレス（ＳＰＩＥ Ｐｒｅｓｓ）、２０１０年、第７６３６号、ｐ．７６３６１Ｋ−１−７６３６１Ｋ−７

上記従来技術は、いずれも計算時間がかかり、高速かつ高精度に被検光学系の収差を測定することは困難であった。

そこで、本発明は、高速かつ高精度に被検光学系の収差を測定する収差推定方法、プログラムおよび撮像装置を提供することを例示的な目的とする。

本発明の収差推定方法は、被検光学系が形成した物体の光学像を光電変換することによって得られた第１の像と、前記被検光学系に収差を与えた場合に得られると推定される第２の像との差分の二乗和で表される評価関数が許容値以下になったときの前記収差を、前記被検光学系の収差として推定する最急降下法を利用した収差推定方法であって、前記評価関数が前記許容値以下でない場合に、前記収差を、今回の収差と前記評価関数の前記収差の一次微分の和によって更新するステップを有し、前記収差は、前記被検光学系の瞳面全体の収差であり、前記ステップは、前記被検光学系の像面上の各点の座標で積分する代わりに、前記差分をフーリエ変換することによって前記一次微分を算出することを特徴とする。

本発明によれば、高速かつ高精度に被検光学系の収差を測定する収差推定方法、プログラムおよび撮像装置を提供することができる。

本実施形態の撮像装置のブロック図である。 図１に示すコンピュータのブロック図である。 図３（ａ）は有効光源の一例を示す平面図であり、図３（ｂ）は物体の一例としてのピンホールマスクの平面図である。 図４（ａ）はベストフォーカス位置から撮像素子を−４００ｎｍデフォーカスしたときに得られた像であり、図４（ｂ）はベストフォーカス位置から＋４００ｎｍデフォーカスしたときに得られた像である。 本実施形態の収差推定方法のフローチャートである。 本発明の収差推定方法の効果を示す図である。（実施例１） 図７（ａ）は入力した収差であり、図７（ｂ）は図４のＳ２１０に従ってアンラップ処理を加えて収差を推定した結果であり、図７（ｃ）はアンラップ処理を加えずに収差を推定した結果である。（実施例２） 重み関数ｗ_ｊと評価関数Ｆの関係を示す図である。（実施例３） 画像を取得するデフォーカス位置とピンホールサイズに対応した収差推定精度との関係を示す図である。（実施例４） 位相アンラップの例を示す図である。

本実施形態は、被検光学系の収差を、最急降下法を使用して推定する方法に適用することができ、点光源に限定されず、部分コヒーレント照明など光源の種類によらず広く適用することができる。部分コヒーレント照明で像を形成する光学装置としては、例えば、顕微鏡や半導体露光装置がある。最急降下法を使用しているので遺伝的焼きなまし法よりも高速であるが、本実施形態は通常の最急降下法よりもはるかに高速である。また、本実施形態は像全体を使用するので、像の位置ずれだけを使用するより収差推定精度も高い。

本実施形態は、数学的にモデル化することができ、コンピュータ・システムのソフトウェア機能として実装可能である。ここで、コンピュータ・システムのソフトウェア機能は、実行可能なコードを含んだプログラミング（プログラム）を含む。ソフトウェア・コードは、汎用コンピュータで実行可能である。ソフトウェア・コード動作中に、コード、もしくは、関連データ記録は、汎用コンピュータ・プラットフォーム内に格納される。しかし、その他の場合、ソフトウェアは他の場所に格納されるか、もしくは、適切な汎用コンピュータ・システムにロードされることもある。したがって、ソフトウェア・コードは、１つまたは複数のモジュールとして、少なくとも１つの機械可読媒体で保持可能である。

以下に述べる本実施形態は、上述のコードという形式で記述され、１つまたは複数のソフトウェア製品として機能させることができる。ソフトウェア・コードは、コンピュータ・システムのプロセッサ（マイクロコンピュータ）により実行される。コンピュータ・プラットフォームは、本実施形態の方法、カタログ、または、ソフトウェア・ダウンロード機能を実施することができる。

まず、収差を推定する対象としての被検光学系について説明する。被検光学系は、物体の光学像を形成する結像光学系であり、撮像装置の撮像光学系や露光装置の投影光学系などを含む。まず、本実施形態は二種類の座標系を設定する。

第一の座標系は、物体面と像面の座標であり、（ｘ，ｙ）と記述する。物体面上の大きさと像面上の大きさは被検光学系の倍率分だけ異なるが、以下では話を簡単にするため、物体面上の大きさに倍率をかけて、像面上の大きさと１：１で対応させる。そのため、物体面の座標系と像面の座標系も１：１で対応する。

第二の座標系は、光源面と被検光学系の瞳面座標で、（ｆ，ｇ）と記述する。（ｆ，ｇ）は瞳の半径が１になるように規格化した座標系である。物体は光源からの光で照明されるが、本実施形態では一例として部分コヒーレント照明を使用する。部分コヒーレント照明は広がりをもった光源を使用した照明である。物体面に物体がないときに、被検光学系の瞳に形成される光強度分布を有効光源と呼び、Ｓ（ｆ，ｇ）とする。被検光学系の瞳関数はＰ（ｆ，ｇ）とする。瞳関数には、収差や偏光の影響を組み込むことができるため、一般に瞳関数といえば、収差や偏光の影響が含まれる。ここでは、透過率と位相情報を含む物体をｏ（ｘ，ｙ）、像面に形成される光強度分布（空中像）をＩ（ｘ，ｙ）とする。照明光は物体により回折する。回折光は瞳面で定義され、ａ（ｆ，ｇ）とする。

被検光学系が形成した光学像は、撮像素子（例えば、ＣＣＤやＣＭＯＳセンサー）によって光電変換される。実際に撮像素子で取得した像（第１の像）をＩ_ｔ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ）とする。ｚ_ｊはｊ番目のフォーカス位置である。デフォーカス量を変えて取得した像の枚数をＪとする。ある収差φ（ｆ，ｇ）を仮定して計算によって得られる像（第２の像）をＩ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ，φ）とする。まず、数式１のように評価関数Ｆを定義する。

評価関数Ｆは、Ｉ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ，φ）とＩ_ｔ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ）の差分の二乗を重み関数ｗ_ｊで定数倍し、各ｊで加算したもの（二乗和、Ｌ２ノルム）である。もしＦ＝０ならばφ（ｆ，ｇ）は被検光学系の収差であるとみなしてよい。しかし、Ｆ＝０を満たすφ（ｆ，ｇ）を見つけるのは容易ではない。以下では最急降下法によりＦ≒０になるφ（ｆ，ｇ）を見つける方法を説明する。

コヒーレント照明の場合は、非特許文献１、及び、非特許文献１で参照されている参考文献を参照して、数式２の反復計算を行えばよい。瞳内のある一点を（ｆ_ｎ，ｇ_ｍ）として、評価関数Ｆを収差で以下のように偏微分すればよい。

ｋは反復計算のカウントを表し、ｋ＝１から計算を開始するとする。通常、φ^１（ｆ，ｇ）＝０として差し支えない。さらに詳しく数式２を書く。Ｗ（ｆ，ｇ）をデフォーカスによる収差、ｃ（ｒ）はｒが１以下の時に１で、それ以外では０となる関数とすると次式が成立する。

ここで、ＦＴをフーリエ変換とすると、次式が成立する。

通常、反復計算は１００回から２００回繰り返す。数式２は瞳内のある一点における収差を求める式であるので、瞳全体の収差を求めるには瞳内の各点で数式２の計算を繰り返さなくてはならない。数式２は数式３を含んでいる。数式３では、像面上の各点（ｘ，ｙ）での積分をＪ回だけ繰り返さなくてはならない。よって、数式２の計算は膨大なものとなる。

次に、部分コヒーレント照明で形成された像から収差を推定する方法を説明する。部分コヒーレント照明はＬ点の点光源の集まりとみなすと、ｌ番目の点光源の位置を（ｆ_ｌ，ｇ_ｌ）をすれば、像は数式５で表すことができる。

但し、Ｐ（ｆ，ｇ，ｚ_ｊ，φ）は瞳関数で次式が成立する。

数式５と数式６を数式２に代入すれば、部分コヒーレント照明で形成された像から収差を推定することが可能となる。しかし、非常に計算時間がかかる。なぜなら、数式５では点光源の数Ｌだけ計算を繰り返すからである。

試しに瞳面を３１×３１ピクセルに分割し、Ｌ＝３７３として数式２の計算を行った。反復計算を１０回おこなったとき（つまり、ｋの最大値を１０としたとき）、計算時間は１００４７秒であった。反復計算を１００回繰り返すと、約１００００００秒（１１．５日に相当する）かかる。この計算速度は実用的ではない。

そこで、本発明者は数式２の計算を高速に行うように改良した。

数式７乃至９において、まず、瞳内の１点（ｆ_ｎ，ｇ_ｍ）での収差を推定するのではなく、瞳全体の収差φ（ｆ，ｇ）を推定するようにした。さらに、像面上の各点（ｘ，ｙ）で積分する代わりに、フーリエ変換を使うことにした。フーリエ変換の計算には高速フーリエ変換を使うことができ、計算時間の劇的な低減を実現する。実際に得られた光学像Ｉ_ｔ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ）と推定した収差を元に計算した光学像Ｉ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ，φ）の差分をフーリエ変換することが本実施形態の一側面である。また、重み関数をｋ回目とｋ＋１回目で変更する。

数式７乃至９の効果を調べる。瞳面を３１×３１ピクセルに分割し、Ｌ＝３７３とした。反復計算を１０回おこなったとき、計算時間は７３秒であった。約１３７倍高速化されていることがわかる。

本発明者はさらなる高速化を実現した。以下に方法を説明する。有効光源Ｓ（ｆ，ｇ）と物体の回折光ａ（ｆ，ｇ）（物体の複素振幅透過率のフーリエ変換）を用いて固有値Φ_ｌ（ｆ，ｇ）と固有関数λ_ｌを算出する。算出方法は非特許文献２で説明されているが、以下に簡単に説明する。まず、Ｒ（ｆ_１，ｇ_１，ｆ_２，ｇ_２）という関数を数式１０のように定義する。

ただし、＊は複素共役を表す。Ｒ（ｆ_１，ｇ_１，ｆ_２，ｇ_２）＝Ｒ^＊（ｆ_２，ｇ_２，ｆ_１，ｇ_１）のような性質がある関数は、Ｍｅｒｃｅｒ級数展開可能で、

ただし、Ｌ’はＬ以下の自然数である。数式１１の固有値と固有関数を数式５に代入すれば光学像は以下の数式１２のように書くことができる。

物体がピンホールのように微小開口を持つのであれば、Ｌ／Ｌ’≒１０となる。具体的には、円形ピンホールであれば、半径が０．５λ／ＮＡ以下の円形透光領域を持つことが好ましい。矩形ピンホールであれば、一辺の長さがλ／ＮＡ以下の矩形透光領域を持つことが好ましい。数式５の代わりに数式１２を用いれば、Ｌ／Ｌ’倍だけ計算が速くなる。

なお、物体を照明する光が偏光光である場合、数式１２は、瞳面での光線の折れ曲がりに応じて、ｘ偏光成分に対応した瞳関数、ｙ偏光成分に対応した瞳関数、ｚ偏光成分に対応した３種類の瞳関数をｃ（ｒ）の換わりに用いればよく、後に詳細に説明する。

さらに、本発明者は、数式７が安定して収束する方法も見出した。収差は、ｅｘｐ［−ｉφ（ｆ，ｇ）］の形で使用される（例えば、数式６参照）。指数関数の特徴として、ｅｘｐ［−ｉφ（ｆ，ｇ）］とｅｘｐ［−ｉφ（ｆ，ｇ）＋ｉ２ｓπ］（ｓは整数）は同じ値を持つため、φ（ｆ，ｇ）の収束しにくくなることがある。位相アンラップを反復計算中、もしくは、反復計算後に行うと、φ（ｆ，ｇ）の収束性を向上させることができる。

位相アンラップの例を示す。図１０（ａ）はある収差φ（ｆ，ｇ）のｇ＝０の断面φ（ｆ，０）である。収差は、ｅｘｐ［−ｉφ（ｆ，ｇ）］として得られるので、ｅｘｐ［−ｉφ（ｆ，ｇ）］の実数部と虚数部の比として位相を取り出すと、結果は図１０（ｂ）のようになってしまう。図１０（ｂ）のデータにはとびがあり、このデータのとびが最急降下法の収束に悪影響することがある。そこで、位相アンラップが必要となる。位相アンラップには様々な方法がある。一番簡単な方法は、フラッドフィル法で、隣り合うデータ点で位相とびを検出したら２πの整数倍を足せばよい。そうすれば、図１０（ｂ）から図１０（ａ）のデータを得ることができる。

さらに安定してφ（ｆ，ｇ）を求めるために、重み関数ｗ_ｊを決定する方法を説明する。数式１の評価関数Ｆは小さければ小さいほうがよいので、数式７において、重み関数ｗ_ｊを変えて評価関数Ｆを計算し、最適なｗ_ｊを設定する。最適なｗ_ｊの近傍では、評価関数Ｆはｗ_ｊの２次関数に近似できる。そこで、少なくとも３種類のｗ_ｊで評価関数Ｆを計算し、それを２次関数でフィットして評価関数Ｆが最小となるようなｗ_ｊを算出する。

さらに高精度な収差推定を行うには、より高度な結像モデルを考える必要がある。特に、部分コヒーレント照明の偏光状態を考慮すれば飛躍的に結像モデルを高精度化できる。照明光が偏光している場合、光学像は以下のように記述できる。

ここで、瞳面での光線の折れ曲がりに応じて、ｘ偏光成分に対応した瞳関数Ｐ_ｘ、ｙ偏光成分に対応した瞳関数Ｐ_ｙ、そして、ｚ偏光成分に対応した瞳関数Ｐ_ｚを用いた。以下で、Ｐ_ｘ、Ｐ_ｙ、Ｐ_ｚを詳しく説明する。まず、ｌ番目の点光源の偏光状態を以下のようにジョーンズベクトル（Ｊｏｎｅｓ ｖｅｃｔｏｒ）で表す。

このとき、Ｐ_ｘ、Ｐ_ｙ、Ｐ_ｚは結像光学系の倍率をＤとしたとき、以下のように書ける。

数式５の代わりに数式１３を用いて最急降下法を用いれば、より高精度な収差推定が可能となる。偏光が無偏光のときは、直交する偏光で光学像を計算し、平均を取ればよい。例えば、照明がｘ偏光であるとして光学像を計算し、次に照明がｙ偏光であるとして光学像を計算し、それらの平均をとれば無偏光照明の光学像となる。また、照明が偏光しているときにでも数式１０と数式１１にしたがって固有値と固有関数を算出し、光学像を計算することができる。

部分コヒーレントの極限がコヒーレントとインコヒーレントである。コヒーレント照明は、Ｓ（ｆ，ｇ）＝δ（ｆ，ｇ）とすればよい（δ（ｆ，ｇ）はデイラックのデルタ関数）。インコヒーレント照明は、Ｓ（ｆ，ｇ）＝１とすればよい。すなわち、特に数式を変更することなく、本発明の方法をコヒーレント照明にもインコヒーレント照明にも適用可能することができる。

図１は、本実施形態のデジタル顕微鏡（撮像装置）１００の構成例を示すブロック図である。デジタル顕微鏡１００は、デジタル顕微鏡本体１０１、Ａ／Ｄ変換部１０８およびコンピュータ１を有する。

デジタル顕微鏡本体１０１は、光源１０２、照明光学系１０３、標本ステージ１０４、結像光学系１０５、撮像素子１０７を有する。

光源１０２は光を発し、光源１０２は複数の点光源の集合となっている。照明光学系１００３は光源１０２からの光でプレパラートなどの標本（試料）ＳＰを照明する（部分コヒーレント照明）。標本ＳＰは物体である。標本ステージ１０４は標本ＳＰを搭載して標本ＳＰを３軸方向に移動させる。結像光学系１０５は、標本ＳＰの像を撮像素子１０７の像面に結像する。

撮像素子１００７は、結像光学系１０５が形成した物体の光学像をアナログ電気信号に光電変換する撮像素子（光電変換素子）である。なお、撮像素子１０７は、ＣＣＤ（Ｃｈａｒｇｅ Ｃｏｕｐｌｅｄ Ｄｅｖｉｃｅ）やＣＭＯＳ（Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｍｅｔａｌ Ｏｘｉｄｅ Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ）等を用いることができる。

Ａ／Ｄ変換部１０８は撮像素子１０７からのアナログ電気信号をデジタル信号に変換する。

光源１０２から発せられた照明光は照明光学系１０３を通り、標本ステージ１０４上の標本ＳＰを照明し、標本ＳＰを透過した光は結像光学系１０５を通り、撮像素子１０７の撮像面に結像する。なお、照明方式として標本ＳＰを上方から照明し、その反射光を結像する落射型照明方式を使用してもよい。撮像素子１０７から出力されたアナログ電気信号はＡ／Ｄ変換部１０８によりデジタル電気信号に変換され、コンピュータ１に入力される。

コンピュータ１はＡ／Ｄ変換部１０８からのデジタル信号に各種の画像処理を施すと共に、情報の記憶、表示、通信なども行うが、本実施形態では、特に、収差推定方法（収差測定方法）を実行する。

本実施例の収差推定方法は最急降下法を利用する。ここで、被検光学系（結像光学系１０５）が形成した物体の光学像を、撮像素子１０７を介して光電変換し、Ａ／Ｄ変換部１０８を介してデジタル信号に変換することによって得られた像を第１の像とすると、第１の像は数式１のＩ_ｔ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ）に相当する。また、被検光学系に収差φ（ｆ，ｇ）を与えた場合に同様に得られると推定される像を第２の像とすると、第２の像はＩ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ，φ）に相当する。上述したように、（ｆ，ｇ）は瞳面１０６の座標であり、収差は被検光学系の瞳面全体の収差である。そして、第１の像と第２の像の差分のＬ２ノルムで表される評価関数が許容値以下になったときの収差φ（ｆ，ｇ）を、被検光学系の収差として推定する。許容値としては後述するＦ_ｍｉｎが設定される。

このように、コンピュータ１は入力されたデジタル電気信号に画像処理を施して収差を推定する収差推定装置（収差測定装置）として機能する。但し、収差推定装置は撮像装置の一部ではなく、独立した装置（ＰＣなど）として構成されてもよい。

コンピュータ１は、評価関数Ｆが許容値以下でない場合に、数式７に従って、次回の収差φ^ｋ＋１を、今回の収差φ^ｋと評価関数Ｆの収差φの一次微分∂Ｆ／∂φの和によって更新する手順を実行する。この時、コンピュータ１は、被検光学系の像面上の各点の座標で積分する代わりに、前記差分をフーリエ変換することによって一次微分を算出する。フーリエ変換を使用することによって推定時間を短くし、像全体を使用する数式１を使用することによって位置ずれのみを使用する特許文献１よりも高精度に収差推定精度を高めることができる。

図２は、コンピュータ１のブロック図である。コンピュータ１は、バス配線１０、制御部２０、表示部３０、記憶部４０、入力部６０及び媒体インターフェース７０を備える。制御部２０、表示部３０、記憶部４０、入力部６０及び媒体インターフェース７０は、バス配線１０を介して相互に接続されている。媒体インターフェース７０は、記録媒体８０を接続可能に構成されている。

制御部２０は、例えば、ＣＰＵ，ＧＰＵ，ＤＳＰ（プロセッサ）又はマイクロコンピュータなどであり、一時記憶のための不図示のキャッシュメモリをさらに含む。制御部２２内にはカウンター２２も設けられている。

表示部３０は、例えば、ＣＲＴディスプレイや液晶ディスプレイなどの表示デバイスである。記憶部４０は、例えば、メモリやハードディスクなどであり、様々な情報を格納している。

これらは、物体情報４０ａ、有効光源情報４０ｂ、ＮＡ情報４０ｃ、λ情報４０ｄ、偏光情報４０ｅ、像情報４０ｆ、固有値／固有関数４０ｇ、収差推定プログラム４０ｈ、推定した収差４０ｉ、カウンター値４０ｊ、上限４０ｋ、許容値４０ｌを含む。

物体情報４０ａは、物体面に配置する物体情報ｏ（ｘ，ｙ）である。有効光源情報４０ｂは、物体がないときに、被検光学系の瞳面（結像光学系１０５の瞳面１０６）に形成される光の強度分布に関する情報で部分コヒーレント照明Ｓ（ｆ，ｇ）を意味する。ＮＡ情報４０ｃは、被検光学系の像側開口数ＮＡに関する情報である。λ情報４０ｄは、光源１０２の平均波長λに関する情報である。偏光情報４０ｅは、照明光学系１０３で形成される部分コヒーレント照明の偏光に関する情報である。像情報ｆは、撮像素子１０７で取得された像に関する情報である。固有値／固有関数４０ｇは、物体情報４０ａと有効光源情報４０ｂから得られる固有値と固有関数に関する情報である。収差推定プログラム４０ｈは、コンピュータ１の制御部２０に後述する収差推定方法の各手順を実行させるためのプログラムである。推定した収差４０ｉは収差推定プログラム４０ｈが出力する結果で、結像光学系１０５の収差に関する情報である。カウンター値ｋはカウンター２２の値であり、後述するＳ２０６のｋである。上限４０ｋは後述するＳ２０６で使用される繰り返し回数の上限ｋ_ｍａｘである。許容値４０ｌは後述するＳ２１２で使用される、最急降下法が十分に収束したかどうかを判断するための値Ｆ_ｍｉｎである。

入力部６０は、例えば、キーボードやポインティングデバイス（マウスなど）である。媒体インターフェース７０は、例えば、ＣＤ−ＲＯＭドライブやＵＳＢインターフェースなどであり、記録媒体８０をバス配線１０に接続するように構成されている。記録媒体８０は、ＣＤ−ＲＯＭやＵＳＢメモリなどである。

次に、本実施形態の収差推定方法について説明する。部分コヒーレント照明の波長をλ、被検光学系の像側開口数をＮＡ、照明光学系より物体面に入射する光束がなす開口数と被検光学系の物体側開口数の比をσとする。被検光学系のＮＡが０．８６、波長λが２４８ｎｍの場合を考える。照明光は無偏光とする。

有効光源は、図３（ａ）に示すように、σ＝０．７の部分コヒーレント光源であり、有効光源情報４０ｂを決定する。白い点線は瞳を表し、白抜き部は光照射部、黒色部は遮光部である。物体は、図３（ｂ）に示すように、一辺が１２０ｎｍの矩形ピンホールマスクとし、物体情報４０ａを決定する。白抜き部は光透過部、黒色部は遮光部である。ＮＡ情報４０ｃは０．８６、λ情報４０ｄは２４８ｎｍ、偏光情報４０ｅは無偏光に設定される。

像情報ｆは撮像素子１０７を被検光学系の光軸方向にずらして取得する。最急降下法を用いる場合、原理的に最低１枚の像があればよいが、撮像素子１０７のノイズの影響を減らすためには像数が多いほうがよい。また、デフォーカス量の絶対値が等しく符号が異なる複数の位置で取得した光学像を用いるとよいため、ここでは、±４００ｎｍだけ光軸方向にベストフォーカス位置からデフォーカスした位置で２枚の像を取得する。

図４（ａ）は−４００ｎｍだけデフォーカスしたときに取得した像で、図４（ｂ）は＋４００ｎｍだけデフォーカスしたときに取得した像である。それぞれ横軸はｘ方向の座標（ｎｍ）、縦軸はｙ方向の座標（ｎｍ）である。

図５は、制御部２０によって実行される収差推定方法のフローチャートであり、「Ｓ」はステップ（工程）の略である。利用者が入力部６０を介して、収差の推定命令が入力されると、制御部２０は収差推定プログラム４０ｈを実行する。

まず、収差推定プログラム４０ｈが記録された記録媒体８０が、媒体インターフェース７０に接続され、制御部２０を介して収差推定プログラム４０ｈが記憶部４０にインストールされる。入力部６０には、ユーザにより、収差推定プログラム４０ｎの起動命令が入力され、制御部２０は、これに応答して記憶部４０を参照し、収差推定プログラム４０ｈを起動する。

次に、制御部２０は、計算用のパラメータを取得し、記憶部４０に記憶する（Ｓ２０１）。計算用のパラメータは、通常ユーザによって入力部６０から入力される、物体データ４０ａ、有効光源情報４０ｂ、ＮＡ情報４０ｃ、λ情報４０ｄ、偏光情報４０ｅ、繰り返し回数の上限４０ｋ、許容値４０ｌを含む。

制御部２０は、収差推定プログラム４０ｈに従い、像計算用のパラメータを表示部３０に表示させる。制御部２０は、命令に基づいて、像計算用のパラメータを決定し、決定した像計算用のパラメータを保持する。

次に、制御部２０は、記憶部４０を参照し、物体情報４０ａと有効光源情報４０ｂから固有値と固有関数が算出されているかを判断する（Ｓ２０２）。固有値と固有関数が未生成であれば（Ｓ２０２のＮｏ）、制御部２０は、記憶部４０を参照し、物体情報４０ａと有効光源情報４０ｂから固有値と固有関数を算出し、記憶部４０にそれらを記憶する（Ｓ２０３）。

固有値と固有関数が生成済みの場合（Ｓ２０２のＹｅｓ）またはＳ２０３の後で、制御部２０は、撮像素子で取得した部分コヒーレント照明による像を取得して、像情報４０ｆとして記憶部４０へ記憶する（Ｓ２０４）。入力部６０には、利用者により、像情報４０ｆの取得命令が入力され、これに応答して、制御部２０は、像（例えば、図３（ａ）と（ｂ））を取得し、必要があれば、像情報４０ｆを表示部３０に表示させる。

また、制御部２０は、最急降下法の繰り返しを示すカウンター２２のカウンター値ｋを１に設定し（Ｓ２０５）、記憶部４０のカウンター値４０ｊにカウンター値を記憶する。次に、制御部２０は、最急降下法の繰り返しループが所定の回数ｋ_ｍａｘに到達したかどうか判断する（Ｓ２０６）。制御部２０は、最急降下法の繰り返し回数ｋとその上限ｋ_ｍａｘを記憶部４０のカウンター値４０ｊと繰り返し回数の上限４０ｋから読み出し、ｋがｋ_ｍａｘ以上かどうかを判断する（Ｓ２０６）。ｋがｋ_ｍａｘ以上であれば（Ｓ２０６のＹｅｓ）、制御部２０は処理を終了する。

ｋがｋ_ｍａｘ未満であれば（Ｓ２０６のＮｏ）、制御部２０は、数式８を用いて各デフォーカス時の評価関数Ｆ_ｊを収差で微分し、記憶部４０に一次微分∂Ｆ_ｊ／∂φを保存する（Ｓ２０７）。

次に、制御部２０は、重み関数ｗ_ｊを最適化する（Ｓ２０８）。即ち、制御部２０は、最低３種類のｗ_ｊで数式７を実行し、それぞれのｗ_ｊで得られた収差から数式１の評価関数Ｆを計算する。評価関数Ｆが最小となるようなｗ_ｊを算出し、記憶部４０に記憶する。

次に、制御部２０は、数式７を実行して推定する収差を更新する（Ｓ２０９）。即ち、制御部２０は、Ｓ２０７で求めた∂Ｆ_ｊ／∂φとＳ２０８で求めた重み関数ｗ_ｊを記憶部４０から読み出し、数式７を実行する。こうして得られた収差を記憶部４０の推定した収差４０ｉへ保存する。なお、本実施形態では、物体は複数の点光源からなる部分コヒーレント照明で照明されるから、Ｓ２０９は前記一次微分を各光源についての和として算出する。

次に、制御部２０は、Ｓ２０９で得られた収差に対して位相アンラップを行う（Ｓ２１０）。即ち、制御部２０は、Ｓ２０９で得られた収差を記憶部４０から読み出し、位相アンラップを実行する。位相アンラップには公知のいかなる手段も適用可能であるが、スピードの観点からはフラッドフィル法が良く使われる。フラッドフィル法とは、隣り合うデータ点間で位相とびを確認したら、２πの整数倍を足すという方式である。例えば、図１０（ｂ）のデータをアンラップすると、図１０（ａ）になる。

Ｓ２１１では、制御部２０は、最急降下法の繰り返しを示すカウンターを１だけ増加させ、記憶部４０にカウンターの値を記憶させる。

Ｓ２１２では、制御部２０は、評価関数が十分に小さいかどうかを判断する。即ち、制御部２０は、推定した収差から数式１を用いて評価関数Ｆを計算し、評価関数ＦとＳ２０１で利用者が入力したＦ_ｍｉｎを比較し、ＦがＦ_ｍｉｎ以下であるならば処理を終了し、そうでなければＳ２０６へ戻る。

処理が終了した場合、制御部２０は、その時に第２の像を得るために被検光学系に与えた収差φ（ｆ，ｇ）を記憶部４０の推定した収差４０ｉから取得し、必要があれば表示部３０に表示する。

以上のように、本実施形態の収差推定プログラム４０ｈによる処理では、部分コヒーレント照明による像から高速で被検光学系の推定した収差４０ｉを算出することができる。

以下、本発明の実施例について説明する。

被検光学系のＮＡが０．８６、波長λが２４８ｎｍ、照明光は無偏光、有効光源は、図３（ａ）に示すように、σ＝０．７の部分コヒーレント光源であるとし、±４００ｎｍのデフォーカス像から収差を推定する。

収差の推定精度を見積もるために、乱数で収差の分布を決めたのち、収差の大きさを５０ｍλ ＲＭＳに規格化し、収差推定プログラム４０ｈで収差を推定し、与えた収差と推定した収差の差分を算出する手順を１００回繰り返した。結果は図６のようになった。横軸はシミュレーション番号であり、縦軸は残渣である。

図６を算出するにあたって、最急降下法の反復計算回数は上限を１００回とした。１００通りのシミュレーションによる残渣の平均を見積もったところ１．６２６２ｍλ ＲＭＳであった。非常に高精度で収差が推定できていることがわかる。なお、１００通りのシミュレーションによる残渣の標準偏差は０．７８１２ｍλ ＲＭＳであった。安定して解が得られていることがわかる。さらに、１回のシミュレーションに要した時間は約４０秒であった。実用的な時間で収差が推定できていることがわかる。

被検光学系のＮＡが０．８６、波長λが２４８ｎｍ、照明光は無偏光、有効光源は、図３（ａ）に示すように、σ＝０．７の部分コヒーレント光源であるとし、±４００ｎｍのデフォーカス像から収差を推定する。

被検光学系が図７（ａ）に示す収差を持っていたとする。最急降下法による反復計算中、及び、反復計算後に位相アンラップの処理を加えて収差を推定した結果は図７（ｂ）のようになった。図７（ａ）と図７（ｂ）の差分は１．５７７ｍλ ＲＭＳであった。一方、アンラップ処理を加えずに最急降下法を用いて収差を推定した結果は図７（ｃ）のようになった。図７（ａ）と図７（ｂ）の差分は４９．６０６ｍλ ＲＭＳであった。アンラップ処理が効果的であることがわかる。

被検光学系のＮＡが０．８６、波長λが２４８ｎｍ、照明光は無偏光、有効光源は、図３（ａ）に示すように、σ＝０．７の部分コヒーレント光源であるとし、±４００ｎｍのデフォーカス像から収差を推定する。

最急降下法によるｋ回目の反復計算中に５種類のｗ_ｊから数式１の評価関数Ｆをグラフにすると図８が得られた。横軸は重み関数の値であり、縦軸は評価関数の値である。５種類のｗ_ｊから得られた評価関数Ｆを２次関数で近似したところ、極値は約２５０となった。よって、ｋ回目の反復計算において最適な重み関数ｗ_ｊは２５０と決定することができる。以上の手続きを全ての反復計算で繰り返せば、各反復計算で最適な重み関数ｗ_ｊを決定することができ、最急降下法の収束を速めることができる。つまり、重み関数はｊのみならず、ｋの関数でもある。

本実施形態を実施するにあたり、変更可能なパラメータは複数ある。例えば、ＮＡや照明形状もパラメータであるが、それらの変更は容易ではない。一方、画像を取得するデフォーカス位置と取得する画像の枚数は容易に変更可能である。本実施例では、画像を取得するデフォーカス位置と取得する画像の枚数によって、どのように収差推定精度が変わるのかを調べる。

被検光学系のＮＡが０．８６、波長λが２４８ｎｍ、照明光は無偏光、有効光源はσ＝０．２の部分コヒーレント光源であるとする。

図９は画像を取得するデフォーカス位置（横軸）と、ピンホールサイズ（縦軸）に対応してどのように収差推定精度が変化するかを調べた結果である。ピンホールの大きさｄ（円形開口の場合は直径ｄ、矩形開口の場合は一辺の長さｄ）は、０．２５λ／ＮＡから１．５０λ／ＮＡまで変化させた。また、以下ではデフォーカスの単位量として次式を用いる。

無収差で計算した光学像と測定した光学像の差分ノルムを１００とし、最急降下法のループを５０回実行したとき得られる光学像と測定した光学像の差分ノルムを調べる。

まず、１枚の光学像から収差を推定する場合を考える。画像を取得する際のデフォーカス量δを０．１Ｒ．Ｕ．から６．５Ｒ．Ｕ．まで変えると図９（ａ）の結果が得られた。

次に、２枚の光学像から収差を推定する場合を考える。画像を取得するデフォーカス位置は−０．５δと０．５δとし、δを０．１Ｒ．Ｕ．から６．５Ｒ．Ｕ．まで変えた。収差の推定精度は図９（ｂ）のようになった。

３枚の光学像から収差を推定する場合、−１．０δ、０、１．０δの位置で３枚の画像を取得し、δを０．１Ｒ．Ｕ．から６．５Ｒ．Ｕ．まで変えた。この場合、収差の推定精度は図９（ｃ）のようになった。

最後に、４枚の光学像から収差を推定する場合、−１．５δ、−０．５δ、０．５δ、１．５δの位置で４枚の画像を取得し、δを０．１Ｒ．Ｕ．から６．５Ｒ．Ｕ．まで変えた。この場合、収差の推定精度は図９（ｄ）のようになった。

図９のいずれの結果においても、黒に近い領域では、解が収束しにくいことを示している。共通して言える傾向は、ピンホールサイズが小さく、かつ、デフォーカス量δが小さいときは収差の推定精度が低いということである。ベストフォーカス近傍では収差が像に影響しにくいからである。

実用的な処理時間を考えたとき、画像は４枚以下であることが望ましい。取得する画像が４枚以下の場合で精度良く収差を推定するには以下の条件を図９（ｄ）から導出する。ピンホールサイズｄをλ／ＮＡで規格化したものをｄ’（＝ｄＮＡ／λ）、４枚の画像を取得するデフォーカス位置δ_ｉ（１≦ｉ≦４）を数式２７のＲ．Ｕ．で規格化したものをδ^’ _ｉ（＝δ_ｉ／Ｒ．Ｕ．）とすると、次式が最小のδ^’ _ｉで成り立てばよい。即ち、この場合は、第１の像は、デフォーカス量δｉを有するｉ種類の位置で撮像されたｉ個の像から構成される。数式２８の条件を満たせば、精度良く収差を推定することができる。

なお、顕微鏡などでは像高（つまり、撮像領域内の位置でフィールドポジションとも言う）によって収差が異なるため、各像高にピンホールを配置して本収差推定方法を実行すれば、各像高における収差を求めることができる。そのためにはスライドガラスにクロムなどの遮光物体を蒸着させ、収差を測定したい像高にエッチング処理などによりピンホールを形成すればよい。収差を測定したい像高がＭ箇所あれば、それらの位置にＭ個のピンホールを形成し、それらＭ箇所での光学像を用いて本収差推定方法を実行すれば、所定の像高での収差を求めることができる。

以上、本発明の好ましい実施例について説明したが、本発明はこれらの実施例に限定されないことはいうまでもなく、その要旨の範囲内で種々の変形及び変更が可能である。

本発明は、被検光学系の収差を測定する用途に適用することができる。

１…コンピュータ、２０…制御部、１００…デジタル顕微鏡（撮像装置）、１０１…デジタル顕微鏡本体、１０７…撮像素子

Claims (16)

1. 被検光学系が形成した物体の光学像を光電変換することによって得られた第１の像と、前記被検光学系に収差を与えた場合に得られると推定される第２の像との差分の二乗和で表される評価関数が許容値以下になったときの前記収差を、前記被検光学系の収差として推定する最急降下法を利用した収差推定方法であって、
   前記評価関数が前記許容値以下でない場合に、前記収差を、今回の収差と前記評価関数の前記収差の一次微分の和によって更新するステップを有し、
   前記収差は、前記被検光学系の瞳面全体の収差であり、
   前記ステップは、前記被検光学系の像面上の各点の座標で積分する代わりに、前記差分をフーリエ変換することによって前記一次微分を算出することを特徴とする収差推定方法。
2. 前記第２の像を次式で表すことを特徴とする請求項１に記載の収差推定方法。
   
   ただし、Ｉ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ，φ）は前記被検光学系に収差φ（ｆ、ｇ）を与えた場合に得られると推定される前記第２の像、（ｘ、ｙ、ｚ）は前記被検光学系の物体面と像面の座標、ｚ＝ｚ_ｊはｊ番目のフォーカス位置、（ｆ，ｇ）は前記物体を照明する光源面と前記被検光学系の瞳面の座標で瞳の半径が１になるように規格化されたもの、ＦＴはフーリエ変換、Ｌ’はＬ以下の自然数であり、Ｌは前記物体を照明する点光源の数、ａ（ｆ，ｇ）は物体の複素振幅透過率のフーリエ変換、Ｓ（ｆ，ｇ）は有効光源、Φ_ｌ（ｆ，ｇ）は以下で与えられる固有関数、＊は複素共役、λ_ｌは以下で与えられる固有値、ｃ（ｒ）はｒ＞１で０、それ以外では１となる関数である。
   
   
3. 前記ステップによって更新された前記収差に位相アンラップを行うステップを更に有することを特徴とする請求項１または２に記載の収差推定方法。
4. 前記物体は、複数の点光源からなる部分コヒーレント照明で照明され、
   前記更新するステップは前記一次微分を各光源についての和として算出することを特徴とする請求項１乃至３のうちいずれか１項に記載の収差推定方法。
5. 前記評価関数は次式で表され、
   
   ただし、Ｆは前記評価関数、Ｉ_ｔ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ）は前記第１の像、（ｘ、ｙ、ｚ）は前記被検光学系の物体面と像面の座標、ｚ＝ｚ_ｊはｊ番目のフォーカス位置、Ｊはデフォーカス量を変えて取得した前記第１の像と前記第２の像のそれぞれの枚数、Ｉ（ｘ，ｙ，ｚ_ｊ，φ）は前記被検光学系に収差φ（ｆ、ｇ）を与えた場合に得られると推定される前記第２の像、（ｆ，ｇ）は前記物体を照明する光源面と前記被検光学系の瞳面の座標で瞳の半径が１になるように規格化されたもの、ｗ_ｊは重み関数であり、
   前記更新するステップは、前記収差を以下のように更新し、
   
   ただし、φ^ｋ＋１（ｆ、ｇ）はｋ＋１回目の収差、φ^ｋ（ｆ、ｇ）はｋ回目の収差、∂Ｆ_ｊ／∂φは前記評価関数の前記一次微分であり、
   前記重み関数をｋ回目とｋ＋１回目で変更することを特徴とする請求項１乃至４のうちいずれか１項に記載の収差推定方法。
6. ｋ回目の反復計算中に、少なくとも３種類の重み関数を用いて前記差分を計算し、前記差分を前記重み関数の２次関数としてフィットし、前記２次関数の極値をｋ回目の重み関数とすることを特徴とする請求項５に記載の収差推定方法。
7. 前記第１の像は、デフォーカス量の絶対値が等しい複数の位置で撮像された複数の像から構成されることを特徴とする請求項１乃至６のうちいずれか１項に記載の収差推定方法。
8. 前記物体は、遮光部に半径が０．５λ／ＮＡ以下の円形透光領域を有するマスクであることを特徴とする請求項１乃至７のうちいずれか１項に記載の収差推定方法。
   ただし、λは照明光の平均波長、ＮＡは前記被検光学系の像側開口数である。
9. 前記物体は、遮光部に一辺の長さがλ／ＮＡ以下の矩形透光領域を有するマスクであることを特徴とする請求項１乃至７のうちいずれか１項に記載の収差推定方法。
   ただし、λは照明光の平均波長、ＮＡは前記被検光学系の像側開口数である。
10. 前記物体は、遮光部に直径ｄの円形透光領域を有するマスクであり、
    前記第１の像は、デフォーカス量δ_ｉを有するｉ種類の位置で撮像されたｉ個の像から構成され、
    ｄをλ／ＮＡで規格化したものをｄ’、δ_ｉをＲ．Ｕ．で規格化したものをδ’_ｉとすると、最小のδ^’ _ｉについて次式が満たされることを特徴とする請求項１乃至９のうちいずれか１項に記載の収差推定方法。
    
    ただし、λは照明光の平均波長、ＮＡは前記被検光学系の像側開口数、Ｒ．Ｕ．は次式で与えられる。
    
11. 前記物体は、遮光部に一辺の長さｄの矩形透光領域を有するマスクであり、
    前記第１の像は、デフォーカス量δ_ｉを有するｉ種類の位置で撮像されたｉ個の像から構成され、
    ｄをλ／ＮＡで規格化したものをｄ’、δ_ｉをＲ．Ｕ．で規格化したものをδ’_ｉとすると、最小のδ^’ _ｉについて次式が満たされることを特徴とする請求項１乃至９のうちいずれか１項に記載の収差推定方法。
    
    ただし、λは照明光の平均波長、ＮＡは前記被検光学系の像側開口数、Ｒ．Ｕ．は次式で与えられる。
    
12. 前記被検光学系の複数の像高の各々に前記物体を配置することによって得られた前記第１の像と前記第２の像を利用して、各像高における前記被検光学系の収差を推定することを特徴とする請求項１乃至１１のうちいずれか一項に記載の収差推定方法。
13. 前記物体を照明する光は偏光光であり、前記第２の像は、前記被検光学系の瞳面での光線の折れ曲がりに応じて、ｘ偏光成分に対応した瞳関数、ｙ偏光成分に対応した瞳関数、ｚ偏光成分に対応した３種類の瞳関数を用いて表されることを特徴とする請求項１に記載の収差推定方法、ただし、（ｘ、ｙ、ｚ）は前記被検光学系の物体面と像面の座標である。
14. 被検光学系が形成した物体の光学像を光電変換することによって得られた第１の像と、前記被検光学系に収差を与えた場合に得られると推定される第２の像との差分の二乗和で表される評価関数が許容値以下になったときの前記収差を、前記被検光学系の収差として推定する最急降下法を利用した収差推定方法をコンピュータに実行させるためのプログラムであって、
    前記評価関数が前記許容値以下でない場合に、前記収差を、今回の収差と前記評価関数の前記収差の一次微分の和によって更新することを前記コンピュータに実行させ、
    前記収差は、前記被検光学系の瞳面全体の収差であり、
    前記コンピュータは、前記被検光学系の像面上の各点の座標で積分する代わりに、前記差分をフーリエ変換することによって前記一次微分を算出することを特徴とするプログラム。
15. 物体の光学像を形成する被検光学系と、
    前記被検光学系が形成した前記光学像を光電変換する撮像素子と、
    被検光学系が形成した物体の光学像を光電変換することによって得られた第１の像と、前記被検光学系に収差を与えた場合に得られると推定される第２の像との差分の二乗和で表される評価関数が許容値以下になったときの前記収差を、前記被検光学系の収差として推定する、最急降下法を利用した収差推定を行うコンピュータと、
    を有する撮像装置であって、
    前記コンピュータは、前記評価関数が前記許容値以下でない場合に、前記収差を、今回の収差と前記評価関数の前記収差の一次微分の和によって更新し、
    前記収差は、前記被検光学系の瞳面全体の収差であり、
    前記コンピュータは、前記被検光学系の像面上の各点の座標で積分する代わりに、前記差分をフーリエ変換することによって前記一次微分を算出することを特徴とする撮像装置。
16. 前記撮像装置はデジタル顕微鏡であることを特徴とする請求項１５に記載の撮像装置。