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Die Erfindung betrifft eine aktive Fahrzeugaufhängung, insbesondere
Fahrerkabinen-Aufhängung eines Nutzfahrzeugs, zur Reduzierung senkrechter
Störungen beim Fahren des Fahrzeugs über Fahrbahnunebenheiten gemäß dem
Oberbegriff des Anspruchs 1.
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Die US-A-5 044 455 offenbart gemäß dem Oberbegriff des Anspruchs 1 eine
aktiv gesteuerte LKW-Fahrerkabinen-Aufhängung, bei der die Federweg durch
ein Betätigungselement gesteuert wird. Das dynamische Zeitverhalten des
unteren Haltepunkts des Betätigungselements wird berücksichtigt durch
wenigstens die erste Ableitung der senkrechten Bewegung des unteren
Haltepunkts.
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Es ist bekannt, daß konventionelle, d.h., passive Aufhängungssysteme einen
zeitlich unvariablen Kompromiß zwischen einander wenigstens zum Teil
widersprechenden Forderung darstellen. In bestimmten Fahrsituationen, in
denen wechselnde Forderungen im Vordergrund stehen, schöpfen derartige
Systeme nicht die physikalischen Leistungsparameter aus.
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Neue Entwicklungen der Mikroelektronik und Hydraulik ermöglichen die
Realisierung aktiver Systeme, bei denen aus einer zusätzlichen Quelle (im
allgemeinen eine motorgetriebene Hydraulikpumpe) situationsgerecht, d.h., in
Echtzeit, Leistung zur Reduktion der vertikalen Störungen aufgebracht wird.
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Allen aktiven bekannten Aufhängungssystemen ist gemeinsam, daß sie die
Information über den Bewegungszustand aus Beschleunigungssignalen bzw.
physikalisch dazu äquivalent aus Kraftsignalen beziehen. Der Grund hierfür liegt
in der Tatsache begründet, daß zum einen die Wirkung der
Fahrbahnunebenheiten auf das Fahrzeug, seine Insassen und ggfs. die Fracht sich als
Beschleunigung darstellt und zum anderen die Messung der Beschleunigung mittelbar
und berührungslos die relevante Information liefert. Die hier vorgeschlagene
Aufhängung berechnet hieraus durch zweifache Integration den senkrechten
Weg (die Höhe) im Inertialsystem der Erdoberfläche.
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Ein Steuersystem für eine Fahrzeugaufhängung, das sich nur auf die im
Fahrzeug gemessene Beschleunigung stützen würde, sähe sich der Schwierigkeit
gegenüber, daß der Bewegungszustand in bezug auf die absolute Höhe und die
Vertikalbeschleunigung nicht definiert ist, und das Steuersystem die zufällig
gegebenen Anfangswerte beizubehalten versuchte und auf entsprechende
Störungen nicht reagieren würde. Das Steuersystem wäre damit nicht stabil
gegenüber Nullpunktverschiebungen.
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Ähnliches gilt für Fahrzeugaufhängungs-Steuersysteme, die sich nur auf die
Vertikalgeschwindigkeit stützen. Bei ihnen führt zum Beispiel ein
Lenksprung (blitzartiges Drehen des Lenkrads), gefolgt von einem langsamen
Zurückdrehen, zu einer einseitigen Verschiebung des Nullpunkts.
Entsprechende Steuersysteme für Fahrzeugaufhängungen benötigen daher zusätzlich die
Erfassung der Giergeschwindigkeit (Drehgeschwindigkeit des Fahrzeugs um
die vertikale Achse).
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Soweit bekannt, hat bislang nur die Firma Lotus eine voll-aktive Aufhängung
entwickelt. Sie wird offenbart in der PCT-Anmeldung WO 90/12700 und
betrifft eine Fahrzeugaufhängung der eingangs genannten Art, wobei als
längenveränderliches Betätigungselement parallel zur Fahrzeugtragfeder ein
Hydraulikstellzylinder vorgesehen ist, der durch ein Steuersystem gesteuert
wird. Die Fahrzeugtragfeder und Hydraulikstellzylinder sind zwischen dem
Rahmen eines Personenkraftwagens und der Fahrzeugrad-Nabenanordnung
befestigt. Die bekannte aktive Fahrzeugaufhängung verfolgt das Ziel, die
Fahrzeugräder eines Personenkraftwagens bei unebener Fahrbahn in die
Fahrbahnmulden "zu drücken", zwecks Schaffung einer besseren Bodenhaftung.
Die gesamte aktive Fahrzeugaufhängung ist sehr aufwendig und
kostenintensiv herzustellen, insbesondere im Hinblick auf die verwendete Hydraulik.
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Andere Firmen haben sogenannte semi-aktive oder nur adaptive Systeme
entwickelt, die jeweils nur auf Stoßdämpfer einwirken. Der wesentliche
Steuerparameter ist daher die momentane (bei semi-aktiven) oder die
zeitgemittelte (bei adaptiven) Einfederung. Diese Systeme sind nicht Gegenstand dieser
Erfindung.
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Die Entwicklung der Firma Lotus stellt eine aktive Fahrzeugaufhängung eines
Personenkraftwagens dar, die primär auf eine optimalere Bodenhaftung des
Fahrzeugrades auch bei schneller Fahrt gerichtet ist. Aktive Fahrerkabinen-
Aufhängungen von Nutzfahrzeugen dagegen zielen auf eine Verbesserung des
Fahrkomforts in der Fahrerkabine ab, was eine Verminderung der vertikalen
Schwingungen in Echtzeit bedeutet. Dies kann dadurch erreicht werden, daß
der Vertikalbewegung des Rahmens eine gegenläufige Bewegung der
Fahrerkabinen-Aufhängung überlagert wird, so daß die Summe beider Bewegungen
konstant bleibt.
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Wenn sich diese Kompensation nur auf den Weg bezieht, dann wird
gleichzeitig auch die Fahrerkabinenposition bezüglich Nicken und Wanken stabilisiert.
Zur Bestimmung des Weges aus der gemessenen Beschleunigung ist eine
zweifache Integration notwendig. Dies führt zu verschiedenen Problemen,
besonders wenn die Berechnung in einem Computer mit endlicher Abtastzeit
erfolgt. Nach dem Stand der Technik werden gangbare Lösungsvorschläge
hierzu nicht aufgezeigt.
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Aufgabe der Erfindung ist es, eine aktive Fahrzeugaufhängung der eingangs
genannten Art zu schaffen, die einfach aufgebaut ist und eine Verbesserung
des Fahrkomforts mit Hilfe einer sehr einfachen Regelung einer aktiven
Fahrzeug- oder Fahrerkabinenaufhängung ermöglicht.
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Gelöst wird die der Erfindung zugrundeliegende Aufgabe durch die im
kennzeichnenden Teil des Anspruchs 1 angegebenen Merkmale.
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Der Gegenstand der Erfindung wird vorteilhaft weitergebildet durch die
Merkmale der Unteransprüche 2 bis 4.
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Wesen der Erfindung ist, als primäre Steuergröße den vertikalen Weg des
unteren Abstützpunktes des oder der Betätigungselemente zu verwenden, der
durch zweifache Integration aus dem Beschleunigungssignal ermittelt wird,
wobei die Berücksichtigung des dynamischen Zeitverhaltens durch einen
zeitsynchronen Zustandsvektor erfolgt, der neben dem Weg mindestens den
einfach differenzierten Anteil, d.h. die vertikale Geschwindigkeit, umfaßt. Die
aktive Fahrzeug- bzw. Fahrerkabinenaufhängung beruht auf einem Vergleich
des Rahmenweges (Vorgabegröße), berechnet aus Rahmenbeschleunigung,
mit einem Relativweg der Kolbenstange des längenveränderlichen
Betätigungselements als Rückkoppelungsgröße.
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Durch die Erfindung wird eine Stabilität gegenüber Nullpunktverschiebungen
in einem realen aktiven Aufhängungssystem erzielt.
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Zur Berücksichtigung von unvermeidlichen Verzögerungszeiten werden auch
Ableitungen in das Steuersignal einbezogen.
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Die Erfindung verwendet fortschrittliche Steuerprinzipien, die auf dem
Zustandsvektor basieren, d.h, einen Satz von physikalischen Größen und ihren
Ableitungen, die den dynamischen Zustand des Systems beschreiben.
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Der Erfolg eines Aufhängungs-Steuersystems hängt stark von einem
zeitgleichen Einsteuern des Ausgleichssignals mit der Störung ab. Bei einer
numerischen Integration und Filterung werden aber frequenzabhängige
Phasenverschiebungen erzeugt, die für Jede zeitabgeleitete Größe unterschiedlich sind.
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Im folgenden wird die Erfindung im einzelnen anhand der Zeichnung näher
beschrieben, in der
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Fig. 1 ein elektronisches Steuersystem für eine aktive
Fahrerkabinenaufhängung zeigt;
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Fig. 2 bis 7 den Einfluß der Anfangszeit auf die analytische und
numerische Integration für ein bezüglich Frequenz und
Abtastschrittweite realistisches Beispiel
veranschaulichen;
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Fig. 8 bis 10 den zusätzlichen Einfluß eines Sensor-Offsets
veranschaulichen;
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Fig. 11 bis 13 die Auswirkung der Hochpaßfilterung im Zeitbereich
zeigen; und
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Fig. 14 und 15 den Amplituden- bzw. Phasengang eines
Hochpaßfilters im Frequenzbereich zeigen.
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Das in Fig. 1 veranschaulichte elektronische Steuersystem für eine aktive
Fahrzeugaufhängung 1 ist als Fahrerkabinenaufhängung zwischen einer
Fahrerkabine
2 und einem Fahrzeugrahmen 3 konzipiert. Der Übersichtlichkeit
halber ist nur ein Aufhängungselement 10 dargestellt. Neben der
Fahrerkabinen-Tragfeder 4 ist parallel ein längenveränderbares Betätigungselement 5
in Form eines hydraulischen Stellzylinders vorgesehen, der zwischen der
Fahrerkabine 2 und dem Fahrzeugrahmen 3 angelenkt ist. Der hydraulische
Stellzylinder wird durch eine Steuersystem gesteuert, das ein Stellventil 7,
einen Ventilregler 8 und einen Zylinderregler 9 umfaßt. Das
Aufhängungselement 10 umfaßt hierbei die Fahrerkabinen-Tragfeder 4, das
Betätigungselement 5 zusammen mit dem unteren und oberen Abstützpunkt 6,13 und das
Stellventil 7.
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Zur Steuerung der aktiven Fahrzeugaufhängung 1 wird als Regelstrecke der
Federweg verwendet. Die Störgröße ist nicht die Vertikalbeschleunigung
oder die Vertikalgeschwindigkeit; stattdessen wird als primäre Steuergröße
der Vertikalweg (zR) des unteren Abstützpunktes 6 des hydraulischen
Stellzylinders am Fahrzeugrahmen 3 verwendet, d.h., der vertikale Weg des
Abstützpunktes der aktiv-gefederten Masse. Dieser vertikale Weg (zR) wird
durch zweifache Integration aus dem Beschleunigungssignal ( R) gewonnen
(Rahmenbeschleunigung). Ein dynamisches Zeitverhalten wird durch einen
zeitsynchronen Zustandsvektor berücksichtigt, wenn neben dem Weg (zR)
mindestens auch noch den einfach differenzierten Anteil der vertikalen
Geschwindigkeit ( R) umfaßt. Es wird also das Steuersignal im Computer (Σ)
gemäß Fig. 1 aus der Rahmenbeschleunigung, ihrem ersten Integral
(Geschwindigkeit) und ihrem zweiten Integral (Weg) sowie der Kabinenbeschleunigung
und ihrem ersten Integral (entsprechend sky-hook-Prinzip) berechnet. (Der
Ausdruck "sky-hook-Prinzip" bedeutet, daß eine Aufhängung des Chassies
oder der Fahrerkabine am Himmel (d.h. an einer Laufschiene) mit einem
Stoßdämpfer simuliert wird. Der Widerstand eines Stoßdämpfers ist
proportional zur Geschwindigkeit, mit der er zusammengedrückt oder gedehnt
wird). Die Rückführung der vertikalen Fahrerkabinen-Geschwindigkeit, die zu
Null gemacht werden soll, schließt bei der aktiven Fahrerkabinenaufhängung
1 den Regelkreis.
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Da wegen der endlichen Signallaufzeiten und der Massenträgheit, die bei
begrenzten Kräften auch die mögliche Beschleunigung begrenzt, die Bewegung
des längenveränderlichen Betätigungselements 5 (auch "Aktuatoren"
genannt, z.B. Hydraulikzylinder, Linearantriebe) dem Steuersignal nicht in
vollem
Umfang nur mit einer gewissen Verzögerung folgt (Amplituden- und
Phasengang), ist es notwendig, das Steuersignal gegenüber der Vorgabe zu
erhöhen und vorauszulegen. Sowohl der Amplituden- als auch der Phasengang
sind frequenzabhängig.
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Reale Steuersysteme lassen sich häufig durch eine lineares Verhalten
annähern. Dann kann es durch ein Polynom der Frequenzvariablen ω = 2πf
dargestellt werden. Macht man sich zunutze, daß bei der Differenziation der
Kreisfunktion zum einen eine Phasenvoreilung von 90º, zum anderen eine
Multiplikation mit ω eintrifft, dann kann durch einen Differentialoperator, der auf die
zeitabhängige Vorgabe wirkt, das notwendige Steuersignal ermittelt werden.
Bei einem PT&sub2;-Verhalten ist dies zum Beispiel ein Differentialoperator
zweiter Stufe.
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Geht man beispielsweise davon aus, daß das aktive Aufhängungssystem einem
PT&sub2;-Verhalten entspricht, dann muß neben dem Weg auch die
Vertikalgeschwindigkeit und die vertikale Beschleunigung berücksichtigt werden. Diese
Größen stellen dann den Zustandsvektor dar.
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Da im vorliegenden Fall die Beschleunigung als Signal gegeben ist, werden
die übrigen Größen durch ein- bzw. zweifache Integration daraus berechnet.
Bei der numerischen Integration in endlichen Zeitabständen wird der
augenblickliche Funktionswert mit dem Zeitintervall zwischen zwei Schritten
multipliziert und zum vorangegangenen Wert addiert. Das Zeitintervall ist
symmetrisch zum Zeitpunkt der Abtastung und damit zur Hälfte in der
Vergangenheit und zur Hälfte in Zukunft. Die numerische Integration stellt daher
eine Prognose des Integralwerts dar. Während bei der analytischen Integration
ein Grenzübergang zu unendlich feiner Schrittweite durchgeführt wird, ist
dies bei numerischen Verfahren in einem Computer nicht möglich. Ein
Vergleich eines numerisch ermittelten Integrals mit einem analytisch
berechneten ergibt daher eine Voreilung um eine halbe Schrittweise (umgekehrt
ergibt die numerische Differenzierung eine Nacheilung um den gleichen Betrag
im Vergleich zur analytischen Funktion).
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Dies ist gleichbedeutend mit einer Phasenverschiebung, die ihrerseits die
bestenfalls erreichbare Steuergüte umso mehr begrenzt, je näher die
gewünschte Steuerfrequenz an die Abtastrate der digitalen Steuerung
heranreicht.
Sie beträgt bei zweifacher Integration einen vollen Abtastschritt und
entspricht bei einer Abtastart von 100 Hz und einer Steuerfrequenz von 10
Hz z.B. 36º (vergleiche Fig. 2 bis 7). Die folgende Gleichung gilt allgemein für
eine Integration:
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δ = 360º f/2fa
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Darin sind: δ = die Phasenvoreilung
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f = die Abtastrate
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f = Steuerfrequenz
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Aufgrund dieser numerisch bedingten, zusätzlichen Phasenverschiebung ist
es nicht mehr möglich, für alle Frequenzen im Amplituden- und Phasengang
des linearen Regelsystems auszugleichen.
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Es wird daher vorgeschlagen, den Korrekturvektor, der dem integrierten
Zustandsvektor entspricht, dadurch zeitsynchron zu rechnen, daß die
Differentialverläufe in Zukunft extrapoliert, die Integralverläufe dagegen in die
Vergangenheit zurückgerechnet werden.
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Am einfachsten ist es dabei, alle Integralverläufe soweit in die Vergangenheit
zurückzurechnen, daß sie zeitgleich mit dem Differentialverlauf der höchsten
Stufe sind. Dies bringt Jedoch den Nachteil mit sich, daß eine zusätzliche
Totzeit im Steuerkreis auftritt, die sich nachteilig auf die Steuergüte
auswirkt.
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Umgekehrt ist es möglich, alle Differentialverläufe so weit in die Zukunft zu
extrapolieren, daß sie zeitgleich mit dem Integralverlauf der höchsten Stufe
sind. Bei linearer Extrapolation ist jedoch der Fehler für die Frequenz f, die
Schrittweite Δt und die n-fache Integration:
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= Δy = 2(1 - sinπ(1 - n Δt f) = 4 sin² (π Δt f n/2)
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Darin sind: Δy = der Extrapolationsfehler
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Δt = die Schrittweite
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f = die Frequenz, und
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n = die Integrationsstufe
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Geht man davon aus, daß die Schrittweite Δt der digitalen Steuerung etwa 10
mal kleiner ist als die Periodenlänge der betrachteten Frequenz f, dann kann
die obige Sinusfunktion noch als linear angesehen werden und es gilt:
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Δy = 4(π Δt f n/2)²
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Dies bedeutet, daß der Extrapolationsfehler Δy quadratisch mit der
Abtastschritte Δt, der Frequenz f oder Integrationsstufe n zunimmt.
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Es wird daher die Synchronisation auf den Zeitpunkt gewählt, bei dem zum
einen die Totzeit, zum anderen der Extrapolationsfehler nicht zu groß
werden. Dies ist bei einer zweistufigen Integration gegeben durch die Mittellage,
d.h., der einstufigen Integration, die der Vertikalgeschwindigkeit entspricht,
bei der einerseits die Werte der zweifachen Integration (zum Beispiel der
Weg) um eine Stufe, d.h. eine halbe Schrittweite, zurückgerechnet werden,
und zum anderen die Ausgangswerte (Beschleunigung) um eine Stufe bzw.
eine halbe Schrittweite extrapoliert werden.
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Der Extrapolationsfehler Δy kann auch weiter reduziert werden, indem statt
einer linearen Extrapolation eine quadratische verwendet wird. Dies beträgt
bei einer ganzen Schrittweite (entsprechend der Phasenverschiebung einer
zweifachen Integration):
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zn+1 = Zn-2 - 3 zn-1 + 3 zn
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Darin sind: zn+1 = der extrapolierte Wert
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zn = der letzte Meßwert
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zn-1 = der vorletzte Meßwert
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zn-2 = der drittletzte Meßwert
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Da im vorliegenden Fall nur auf die Mittellage extrapoliert wird
(entsprechend einer einfachen Integration), gilt:
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zn+1 = (3 zn-2 - 10 zn-1 + 7 zn)/8
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Damit ist die zeitsynchrone Berechnung von Integralgrößen (Weg,
Geschwindigkeit)
sichergestellt und folglich die rechentechnisch bedingte, zusätzliche
Phasenverschiebung ausgehoben. Die Verwendung des vertikalen Weges (z)
des Fahrzeugrahmens 3 ist jedoch mit einer weiteren Schwierigkeit
verbunden, nämlich der, daß bei einer zweifachen Integration zwei
Integrationskonstanten bestimmt werden müssen, die der Anfangsposition und der
Anfangsgeschwindigkeit entsprechen. Diese Werte sind aus grundsätzlichen,
physikalisch bedingten Gründen nicht aus dem Beschleunigungssignal abzuleiten und
führen zu einem zeitkonstanten und einem zeitproportionalen Fehler. Hinzu
kommen noch ein in der Regel unvermeidlicher Sensor-Offset, der bei einer
zweifachen Integration quadratisch mit der Zeit eingeht, und unvermeidliche
Rechenfehler, die bedingt sind durch die Integration mit endlicher
Schrittweite bzw. durch den oben erläuterten Extrapolationsfehler Δy.
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Die Aufgabe der aktiven Aufhängung ist es nicht, die Fahrerkabine 2 auf einer
absoluten Position, d.h. auf einer konstanten Höhe in bezug auf den
Wertmittelpunkt zu halten. Dies würde bereits beim Überfahren von relativ niedrigen
Fahrbahnwellen oder Hügeln zu Schwierigkeiten führen. Vielmehr muß - wie
eingangs beschrieben wurde - die aktive Aufhängung 1 der Fahrerkabine
steuertechnisch so ausgelegt sein, daß die Aktuatoren bzw. die
längenveränderlichen Betätigungselemente 5 nach einer Störung möglichst rasch wieder in
die Mittellage zurückkehren, d.h., es sollen nur kurzzeitige Störungen
ausgeglichen werden, während langfristige Trends, die z.B. einer Bergfahrt
entsprechen, dagegen unberücksichtigt bleiben. Dies wird dadurch erreicht, daß
der Konstantanteil des jeweiligen Signals durch einen Hochpaßfilter
ausgefiltert wird. Aus der entsprechenden Filter-Theorie folgt, daß im vorliegenden
Fall der zweifachen Integration eines mit einem konstanten Offsets
verfälschten Signals mindestens ein Hochpaß 3. Ordnung angewendet werden muß.
Die Eckfrequenz des Hochpasses gibt die Frequenz wieder, unterhalb der die
Störung ignoriert, bzw. oberhalb der sie berücksichtigt werden. Je höher sie
angesetzt wird, umso rascher kehrt das Störsignal und damit die Regelung
wieder zur Null-Lage (= Mittellage) zurück. (Die Zeit, die dazu benötigt wird,
wird als Einschwingdauer bezeichnet.) Diesem erwünschten Verhalten steht
jedoch die Schwierigkeit gegenüber, daß jedes Filter an der Eckfrequenz
eine Phasendrehung bewirkt, die im folgenden Male drei mal 45º Voreilung
entspricht. Dieser Effekt verhindert wiederum eine exakte Kompensation der
vertikalen Rahmenbewegung, weil die notwendige Information hierzu nicht
phasensynchron verfügbar ist.
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Ein Ausweg besteht darin, die Eckfrequenz viel niedriger anzusetzen, als es
dem Ziel der raschen Rückkehr in die Mittellage entspricht. Es gibt jedoch
Situationen, in denen ein rasches Einschwingen, und Situationen, in denen
eine hohe Präzision im Vordergrund stehen sollen. Als Ausweg wird daher
eine variable Eckfrequenz vorgeschlagen, deren Wert in Abhängigkeit
bestimmter Kriterien verändert wird. Hierbei ist zu beachten, daß die Änderung der
Eckfrequenz nicht sprunghaft, sondern in möglichst kleinen Schritten
erfolgen muß, da sich eine Eckfrequenz-Änderung rechentechnisch wie eine
zusätzliche, sprunghafte Störung auswirkt.
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Folgende Kriterien werden als wichtig angesehen:
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1. Einschaltzeitpunkt: Sensor-Offset und "falsche" Vorgabe der
Integrationskonstanten wirken wie eine sprungartige Störung (vergleichbar mit einer
Bordsteinkante) im Einschaltzeitpunkt. Diese muß möglichst effektiv mit
einer kurzen Einschwingdauer unterdrückt werden. Daher ist eine hohe
Anfangs-Eckfrequenz mit abnehmender Tendenz notwendig.
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2. Geringe Störungen auf guter Straße: hier ist einer möglichst genaue
Kompensatlon anzustreben, damit noch ein wirklicher Komfortgewinn erzielt
werden kann. Dies wird mit einer niedrigen Eckfrequenz erreicht. Das
Kriterium ist die mittlere quadratische Abweichung der vertikalen
Rahmenbeschleunigungen oder - wege (bei Heranziehung der vertikalen
Rahmenwege werden die niedrigen Frequenzanteile betont).
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3. Singuläre Ereignisse, d.h. Überfahren von Schwellen oder Schlaglöchern:
hier steht wiederum eine möglichst effektive Unterdrückung der
Störungen im Vordergrund, weil sonst die Hydraulikzylinder in Anschlag gehen.
Bei Annäherung an die Endposition ist daher eine Anhebung der
Eckfrequenz erforderlich. Das Kriterium ist hier der Abstand zur Mittellage.
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Die in Fig. 2 durchgezogene Linie zeigt den Verlauf der sinusförmig
angenommenen Beschleunigung, wie er im Computer bei einer Schwingfrequenz von
10 Hz und einer Abtastrate von 100 Hz gespeichert würde (Ordinate =
Beschleunigung; Abszisse = Zeit t).
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Die in Fig. 3 durchgezogene Linie veranschaulicht die erste analytische
Integration,
und die punktierte Linien veranschaulicht die erste numerische
Integration mit der gleichen Abtastrate wie in Fig. 2 (Ordinate =
Geschwindigkeit; Abszisse = Zeit t).
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Die in Fig. 4 durchgezogene Linie veranschaulicht die zweite analytische
Integration, und die punktierte Linie veranschaulicht die zweite numerische
Integration (Ordinate = Weg; Abszisse = Zeit t in Sekunden).
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Bei der analytischen Integration (unbestimmtes Integral) tritt die
Integrationskonstante C als freier Parameter aus:
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Y(t) = y(t) dτ + C
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Sie kann nicht durch Rechnung bestimmt, sondern muß durch die
Anfangsbedingungen festgelegt werden.
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Bei der numerischen (und damit notwendigerweise bestimmten) Integration
ist diese Integrationskonstante C gegeben durch den Integralwert bei
Integrationsbeginn, normalerweise t&sub0; = 0.
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(Y ist das Integral, y ist die zu integrierende Größe, τ ist die
Integrationsvariable, die nach Durchführung der Integration durch die Grenzen 0 und t ersetzt
wird).
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In Fig. 2 bis 7 ist die grundsätzliche Wirkung der Wahl des
Integrationsbeginns auf das Ergebnis der Integration über eine Sinusfunktion dargestellt.
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Fig. 5, 6 und 7 entsprechen den Fig. 2, 3 bzw. 4, wobei Fig. 7 die zweite
Integrationsstufe des Originals gemäß Fig. 5, und Fig. 6 die erste
Integrationsstufe des Originals in Fig. 5 betrifft.
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In Fig. 2 bis 4 ist der Integrationsbeginn gewählt zu t&sub0; = 0, mit der Folge,
daß Y(0) = cos (0) = 1.0 ist. In Fig. 5 bis 7 ist der Beginn zu t&sub0; = π gewählt,
mit der Folge, daß Y(0) = cos (π) = -1.0 ist, so daß das erste Integral gemäß
Fig. 3 eine Verschiebung nach oben um 1.0 aufweist, während das erste
Integral gemäß Fig. 6 eine Verschiebung um -1.0 nach unten aufweist.
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Beim nächsten Integrationsschritt wirkt sich die Verschiebung als stetig zu-
bzw. abnehmende Funktion aus, entsprechend der Gleichung:
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(Y(t) - Y(0) = Y(t) - t Y(0)
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Darüber hinaus ist die durch die numerische Integration verursachte
Phasenvoreilung deutlich zu sehen.
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In Fig. 8 bis 10 ist der zusätzliche Einfluß eines Offsets veranschaulicht,
wobei Fig. 8,9 und 10 den Fig. 2, 3 bzw. 4 entsprechen.
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Es ist deutlich zu sehen, daß der Offset bereits bei der ersten Integration
gemäß Fig. 9 einen unbegrenzten linearen Anstieg erzeugt, wobei die
Amplitudenwerte der Modulation sehr niedrig liegen. Noch offensichtlicher sind die
Verhältnisse nach der zweiten Integration gemäß Fig. 8 [sic]: hier überdeckt
der rechentechnische "Schmutzeffekt" das Nutzsignal (die sinusförmige
Modulation) bei weitem. Die starke Amplutidenreduktion liegt an dem
Tiefpaßeffekt, der mit der Integration verbunden ist:
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sin(ωt) dτ = -(cos(ωt)) / ω,
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d.h., die hohen Frequenzen (ω ist groß) werden viel stärker gedämpft als die
niedrigen.
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Fig. 11,12 und 13 zeigen den Einfluß der Hochpaßfilterung mit der
Eckfrequenz von 1 Hz auf eine Sinusschwingung von 10 Hz mit 10% Offset; die
ungefilterte Kurve ist als durchgezogene Linie gezeigt, und die gefilterte Kurve
ist als punktierte Linie gezeigt.
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Der Offset in der Ausgangskurve des Originals gemäß Fig. 11 wird bereits
durch die Filterung beseitigt: die gestrichelte Kurve liegt symmetrisch zur
Nullpunktachse.
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Das gleiche geschieht bei der ersten Integration gemäß Fig. 12, bei der durch
die Filterung der lineare Anstieg weitgehend unterdrückt wird, während bei
der zweiten Integration gemäß Fig. 13 der Stabilisierungseffekt noch nicht
vollständig ist. Das Filter benötigt eine längere Einschwingdauer als
dargestellt werden konnte.
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Deutlich zu erkennen ist aber auch das Zurückbleiben der gefilterten Kurve
gemäß der gestrichelten Linie hinter der ungefilterten gemäß der
durchgezogenen Linie. Dies ist die sogenannte Phasenverschiebung und für die
Frequenzfilterung frequenzabhängig (im Gegensatz zur Phasenvoreilung bei der
numerischen Integration, die für eine Integration genau die Hälfte der
Integrations-Schrittweite beträgt, unabhängig von der Frequenz, mit der das
untersuchte Signal gerade schwingt).
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Hierbei kommt es auf das Verhältnis der Frequenz an, mit der das
untersuchte Signal schwingt, zu der Eckfrequenz des Filters. Wie bereits erwähnt, ist
die Eckfrequenz fe des Filters diejenige, oberhalb der das Hochpaßfilter die
Signalanteile passieren läßt, und unterhalb der sie gedämpft und schließlich
vollständig geblockt werden.
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In Fig. 14 und 15 sind daher neben dem Amplitudengang auch die
Phasenverschiebung des numerischen Hochpaßfilters sT/(1 + sT) gezeigt. (Abszisse =
Frequenzverhältnis (f/fe); Ordinate = Amplitudenverhältnis (Fig. 14) bzw.
Phasenverschiebung (Fig 15).