DE19716937A1

DE19716937A1 - Spektral-harmonisches Interpretationsverfahren

Info

Publication number: DE19716937A1
Application number: DE19716937A
Authority: DE
Inventors: Tobias Waehneldt
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1996-07-03
Filing date: 1997-04-23
Publication date: 1998-03-26

Description

Die Erfindung ist allgemein anwendbar im Bereich der Meß-, Steuer- und Prozeßtechnik (Kybernetik), überall dort, wo die Kontinua (z. B. Frequenzspektrum) bezüglich ihrer harmonischen Aspekte (z. B. Reso nanzgesetze) technisch erschlossen werden sollen.

Eine spezielle Visualisierungstechnik ermöglicht den Umgang mit den harmonisch interpretierten Ereignisstrukturen und -progressionen in einer (räumlichen) virtuellen Realität, die in dieser Patentanmeldung insbesondere im Hinblick auf die Musikproduktion (Komposition) her vorgehoben wird.

Mir sind keine vergleichbaren Verfahren der Interpretation, Visualisie rung, Analyse und Synthese spektraler Ereignisstrukturen und -pro gressionen bekannt.

Wichtige Aspekte der Harmonik blieben daher der visuellen Kognition weitestgehend verschlossen. Harmonische Zusammenhänge axiomi scher Qualität blieben der systematischen technischen Nutzung (insbesondere beim Umgang mit Spektren und Kontinua) auf weitem Feld vorenthalten.

Aufgabe der Erfindung ist die funktionale multidimensionale primfak torielle Interpretation, Operationalisierung, Visualisierung und Prozes sualisierung (Analyse/Synthese) von spektralen Ereignisstrukturen, die Etablierung entsprechender grafischer Oberflächen, "virtueller Reali tät" und weiterer Techniken insbesondere für Musikkompositionssoft ware.

Allein nur für den Bereich der Musik ergibt sich der Vorteil, daß zwei wichtige wahrnehmungsadäquate Reizmuster, a) bezüglich der Harmonik mehr oder minder komplexer Schwingungsereignisse und b) bezüglich der Frequenz bzw. der Tonhöhe (als Kontinuum) in der Interpretation und der Visualisierung in einen vollständigen (isomor phem) funktionalen Zusammenhang gebracht, sogar in Bezug zu ei nem weiteren Kontinuum (der Zeitdimension) gebracht werden kön nen. Nahezu alle relevanten Aspekte der Harmonik im Bereich der Musik sind damit kontrollierbar und erklärbar - eine Revolution in der Musikbranche und der Musikhard- und softwareentwicklung.

Das Adaptionsverfahren von wohltemperierter Stimmung an die prim faktorielle Interpretation und einerseits und die Adaption der prim faktoriellen multidimensionalen Interpretation an die traditionelle Musiknotation lassen das Verfahren als einen echten produktiv-kon struktiven Fortschritt auf diesem Sektor erscheinen.

Lösung des Problems: Theoretischer Teil

Es zeigen:

Grafik 1: Drei projektive Darstellungen verschiedener Interpretatio nen harmonischer Strukturen.

Grafik 2: Pfadregressionstechnik für harmonische Progressionen.

Grafik 3: Pfadregressionstechnik für harmonischen Strukturen.

Grafik 4: Flächenbildung bei kombinierter Pfadregressionstechnik für harmonische Strukturen und Progressionen.

Integration der temporären Aspekte
Spektrale Ereignisse p (Proportionen) mit ihren Intensitäten i_p und ih ren temporalen Aspekten t_p bezüglich werden sowohl eindimensional skaliert (1,16) als auch primvektoriell multidimensional (1,12) interpre tiert.

Eindimensional wird das Spektrum logarithmisch zur Basis 1n b (vor zugsweise b=2) (1,6) skaliert interpretiert, primfaktoriell multidimensi onal durch Primfaktorenvektoren n-ten Grades in der Form:

wobei f_i; iε|N, der mit der i-ten (räumlichen) Interpretationsdimension (1,8) (1,9) (1,10) korrelierten natürlichen Primzahl und n der dimensiona len Komplexität (die Graphiken zeigen Primfaktorenvektorinterpretatio nen dritten Grades) des Interpretationsmodells entspricht.

Jeder Primfaktor korreliert dabei mit einer (räumlichen) Interpretati onsdimension, die ganzzahligen Exponenten jedes Primfaktorenargu ments korrelieren dabei mit den (linearen) Quantisierungen jeder Dimension.

(Die 0-te Dimension (f₀=1) hat hier vorwiegend theoretischen Cha rakter, mögliche Werte des Exponenten eo haben keine praktische Bedeutung für die hier vorgestellten technischen Verfahren.)
Die primfaktoriell multidimensionale Interpretation des Spektrums wird bezüglich der Interpretationsdimension ihrer eindimensionalen (spek tralen) Interpretation (explizit oder implizit) koinzident interpretiert (1,14). Die temporären Aspekte können so (z. B.) orthogonal (1,19) zur Darstellungsdimension der eindimensionalen Darstellung interpretiert werden.

Die so multidimensional interpretierten Proportionen können so räum lich interpretiert und perspektivisch oder projektiv dargestellt wer den.

Verkürzte Harmonik

Zur Interpretation wird der Primfaktorenvektor mittels einer oder mehrerer Basen seiner primfaktoriellen Argumente f_j gekürzt:

1. Durch Nichtberücksichtigung der entsprechenden Argumente.
2. Durch funktionale Verkürzung (2):
3. Durch algorithmische Verkürzung (3), z. B.:

Dadurch werden die Dimensionen der entsprechenden Primfaktoren unterdrückt und determinieren dabei auch die Korrelation zwischen multidimensionaler und eindimensionaler Interpretation (2,10) (2,6) (2,4) (3,10) (3,6) (2,4).

Mittelwerte - harmonische Zentren

Der Mittelwert einer harmonischen Struktur kann spektral über das geometrische Mittel der Relationswerte (z. B. Frequenzwerte) oder über das geometrische Komplement des arithmetische Mittels der logarithmischen (zur Basis 1n 2) Komplemente m_{1n b} der Relations werte ermittelt werden.

Der Mittelwert der primfaktoriell multidimensionalen Interpretation ei ner Struktur oder einer Progression wird (vorteilhaft) auf exponen tieller Ebene multidimensional durch die arithmetischen Mittel der Exponenten e_i der Primfaktorenvektorargumente der an der Struktur bzw. Progressione beteiligten m spektralen Ereignisse ermit telt.

und es gilt:

(1nb stellt den Index, die Basis der Logarithmisierung dar)

Stufen- und Klassenskalierung

Spektren werden meistens in Klassen oder Stufen quantisiert in der Form s=b^(1/w) abgebildet (1,4). 1n b stellt dabei die Basis der Quantisierung, w die Anzahl der Stufen oder Klassen dar, die das Spektrum bezüglich der Basis seiner Logarithmisierung gleichmäßig unterteilt ist. Stufen- und Klassenskalierungen werden unterschiedlich interpretiert.

Interpretation der Stufenskala

Es werden Primärintervalle ordinaler Qualität gebildet, die die Prim zahlen durch Stufen der Stufenskala approximiert ausdrücken (1,4)(1,6). Sie determinieren die Adaption von multidimensionaler und eindimen sionaler Interpretation der Ereignisse.

Interpretation einer Skalenstufe (provisorisch)

Entsprechend der Logik der Primärintervalle, gibt es theoretisch un endlich viele Interpretationen für eine Stufe bzw. ein Stufenintervall der Stufenskala.

Abhängig vom Grad der Dimensionalität des primfaktoriellen Raumes und der Auflösung der Stufenskala, gibt es eine Struktur möglicher Interpretationen einer Skalenstufe im primfaktoriellen Raum (Stufenin terpretationsstruktur).

Um ein Interpretationselement (herum) gibt es in verschiedenen vek toriellenen Ausrichtungen verschiedene benachbarte Interpretationse lemente, die sich (nach bisheriger Erfahrung) im Grad der primfakto riellen Komplexität voneinander unterscheiden (entsprechend der sich so bildenden Stufeninterpretationsachsen).

So kann ein algorithmisches Suchverfahren aufgebaut werden, daß für eine Stufe diejenige primfaktorielle Interpretation auswählt, die sich am harmonischsten zu einem multidimensionalen Primfaktoraus druck verhält, z. B. zu einem multidimensional ausgedrückten Mittel wert einer harmonischen Struktur oder einer (komplexen) harmoni schen Progression, einem harmonischen Zentrum.

Rekursive Approximation (provisorisch)

Dabei wird z. B. rekursiv immer wieder dasjenige benachbarte Inter pretationselement oder das Interpretationsausgangselement (für die jeweilige rekursive Schleife) ausgewählt, welches sich am harmo nischsten zu einem gewählten harmonischen Zentrum verhält, bis zweimal dasselbe Element Ergebnis einer solchen Rekursionsschleife ist.

Funktionale Approximation (provisorisch)

Alternativ kann das Dissonanzpotential von der Ursprungsinterpretati on der jeweiligen Skalenstufe zu dem aktuellen harmonischen Zentrum ausgedrückt werden und die Zielinterpretation der Skalenstufe kann mittels der Zerlegung (Auflösung) dieses Dissonanzpotentials in die ganzrationalen (multidimensional ausgedrückten) harmonischen Poten tiale der Stufeninterpretationsachsenquantisierungen direkt ermittelt zumindest angenähert werden. Dies ist bei starken Dissonanzpotenti alen sinnvoll, da die funktionale Approximation der rekursiven bezüg lich des Rechenaufwandes und der Geschwindigkeit weit überlegen ist.

Interpretation der Klassenskalierung (provisorisch)

Jeder Meßvorgang stellt keine absolute Isomorphie zwischen Daten und Merkmal her.

Daher kann bei jeder weiteren Operationalisierung spektraler Ereig nisse nie von einem Punkt sondern immer nur von einem Intervall interpolativ eine primfaktoriell ausgedrückte Proportion ermittelt werden.

Daraus folgt, daß es für jeden Meßwert einen Aussagebereich gibt. Dementsprechend hat auch die multidimensionale Interpretation eines Meßwertes einen Aussagebereich, der sich je nach spektraler Trennschärfe als mehr oder weniger dichte multidimensionale Inter ferenzstruktur (theoretisch unendlicher Ausdehnung) zeigt.

Durch die Ermittlung eines relativen harmonischen Zentrums und die harmonisch vektoriell-polygonale Inhibition der Peripherie und Exhibiti on des Zentrums ist es (vorläufig theoretisch) möglich, eine "harmo nische Gestalt" aus einer komplexen spektralen Struktur näherungs weise iterativ zu extrahieren.

Multidimensionale Pfade

Ein Pfadpartial (20) ist die kleinste Pfadeinheit, aus der sich Pfade in der multidimensionalen Struktur zusammensetzen. Ein Pfadpartial korrespondiert mit jeweils einem Quant einer (primfaktoriellen, räum lichen) Interpretationsdimension.

Jede Einzelprogression h, mit der an ihr beteiligten Einzelproportionen e_u,i und e_z,1 (u: Ursprung; Z: Ziel) besitzt eine Pfadlänge 1_h in Pfadpartialen:

Pro Einzelprogression gibt es k Strukturelemente, die durch die Pfadfreiheitsgrade vom Pfad tangiert werden können (Progressions komplexitätsstruktur (11)):

Pro Einzelprogression gibt es c mögliche Pfade bzw. mögliche Per mutationen der an der Einzelprogression beteiligten Pfadpartialanord nungen.

Komplexe Pfadregression

Es wird für jede Einzelprogression diejenige der c möglichen Pfad permutationen ausgewählt, so daß die komplexe Progression durch eine (räumlich-strukturell) möglichst konzentrierte Pfadstruktur reprä sentiert interpretiert wird (21), in der Graphik sind die Einzelprogres sionen (Vocale) der Frequenz nach geordnet (Vocal 1)(21).

Für jede Einzelprogression werden multidimensional die Progresseions potentiale durch Differenzen der Exponenten e_i d_i=e_z,1-e_u,i, d_iε|R; der Primfaktorenargumente ermittelt.

Bei jedem der 1_h Partialpfadschritte wird immer, sofern für die Bil dung das Pfades (noch) notwendig, entsprechend der Dimension progressiert, bei der das Strukturelement erreicht wird, welches sich am harmonischsten zum Mittel der gesamten Progression verhält, dessen Primfaktorenvektor dem Primfaktorenvektorausdrucks des Mittelwerts (hier sind die e_i-Werte nicht nur ganzzahlig) am näch sten kommt.

Der Verfahrensschritt läßt sich für jede Einzelprogression algorith misch ausdrücken.

Die Schreibweise der Mathematik muß an dieser Stelle vorüberge hend erweitert werden.
Ausführungsschleife: Bsp.:

setzt Variablen e_i für i fortlaufend i=1 von 1 bis n auf auf den Wert 0.
Doppelpunkt:
schließt eine Schleife.
min_i: ist eine durch die Indexvariable i einer Ausfüh rungsschleife (oder Summenzeichen etc.) hierar chisch untergeordnete lokale Bedingung: ergibt den kleinsten Wert, der innerhalb des jeweiligen Schleifendurchlaufs durch die Argumente der Funktion min_i ermittelt wird.
sng(x): ergibt x/|x| wenn x<0 und 0 wenn x=0.

Ausführungsbeispiel 1: "Musikkompositionssystem"

Harmonik und Rhythmik der traditionellen Musik weisen immense Af finität zum Primfaktorenvektor dritten Grades auf.

Durch die primfaktorielle multidimensionale Interpretation der Spektren wird es nun möglich, Musik bezüglich der wahrnehmungs- und kogni tionsrelevanten Reizmuster Tonhöhenwahrnehmung und Harmonie der Musik simultan streng funktional zu visualisieren und zu operationali sieren. Die Musik kann anstatt in der Wohltemperierten Stimmung in reiner Stimmung erzeugt werden, der Komponist und Arrangeur wird in die Lage versetzt, visuell kybernetisch nahezu alle relevanten Aspekte der Musik wahrnehmungsadäquat zu kontrollieren und zu er klären.

Lösung zum Ausführungsbeispiel 1

Harmonische Strukturen (z. B. Akkorde) werden als mehrere spektrale Ereignisse (Noten, Tonhöhe)) mit ihren Intensitäten i_p (Lautstärke, Anschlagsdynamik) (logarithmisch zur Basis 1n 2 skaliert) und simul tan adaptiert primfaktoriell multidimensional interpretiert. Die Primfak torenargumente werden mit den multidimensionalen (räumlichen) Darstellungsachsen (8) (9) (10) und die Exponenten e_i der Primfak torenargumente mit den linearen Quantisierungen der jeweiligen Achsen so korreliert, daß die primfaktoriell multidimensionale Dar stellung der spektralen Ereignisse bezüglich der Darstellungsdimension der logarithmisch Darstellung (zur Basis 1n 2) des Spektrums koinzi diert.

Die in der abendländischen Musik bevorzugte Skalierung der Tonhö hen, die wohltemperierte Stimmung, läßt sich als Stufenskala (s: Stufe) beschreiben, die in proportionale Stufen p_s von p_s = 2^s(1/12) unterteilt ist (1,4) (1,5) (22).

Von dieser Skala werden für jeden Primfaktor Primärintervalle ordi naler Qualität hergeleitet, die ordinalen Stufen 0. 12. 19. 28 (usw.) die die Proportionen der Primzahlen 1, 2, 3, 5 (usw.) am stärksten approximiert ausdrücken (1,4) (1,5).

Die Darstellungen Stufenskalierung und die der multidimensionale In terpretation werden entsprechend der Logik der Primärintervalle ordinaler Qualität aneinander angepaßt.

Alternativ können auch andere Stufenskalierungen (s=b^(1/w); wε|R; vorzugsweise wε|N⁺ bε|R⁺ vorzugsweise bε|N⁺) gewählt werden. Durch sie lassen sich spezielle Effekte z. B. Kluster mit vielen Tönen in sehr dichten Abständen erzeugen oder das Spektrum kann quasi stufenlos angesteuert werden (provisorisch).

Harmonische Strukturen und Progressionen können einfach, multibel oder komplex sein. Sie werden durch den temporalen Aspekt t_p relativiert, der wiederum mit einer weiteren Interpretations-, bzw. Darstellungsachse (hier orthogonal zur spektralen Darstellungsdimen sion) dargestellt wird.

Format Harmonischer Progressionen der Musik

Harmonische proportionale Ereignisse (hier einzelne Noten bzw. Stim men (Vocale)) werden bezüglich ihrer Frequenz eindimensional als Proportionen bzw. deren logarithmische Komplemente (zur Basis 1n2) Primärintervalle (bzw. Stufen ordinaler Qualität) durch Primfaktoren vektoren mit ihrer Intensität i_p und ihrem temporalen Aspekt t_p ausgedrückt und können in diesem oder einem ähnlichen Format z. B. im Speicher eines Computers abgebildet werden. Die Ereignisse wer den zeithierarchisch geordnet (z. B. doppelt verkettete Liste). Dies ermöglicht schnelle zeitdeterminierte Zugriffe auf die Daten, für Eingabe, Ausgabe, Visualisierung etc.

Verkürzte Harmonik - Akkorde und Skalen (Tonarten)

Als besonders sinnvoll hat sich für den Bereich der Musik die drei dimensionale Version der algorithmischen Verkürzungsinterpretation mit j=1; f_j=2; und b=2 erwiesen (3) (23):

bzw.

Dadurch wird hier die Dimension des ersten Primfaktors unterdrückt und determiniert dabei auch die Korrelation zwischen multidimensio naler und eindimensionaler Darstellung. Dadurch werden traditionelle funktionale Stufenfunktionalität (mit Tonika, Dominate, Parallele etc.) und gleichzeitig konkrete Akkordsymbole (wie C-Dur, G-Dur, E-Moll) funktional visualisierbar (24) (23).

Auch die Bildung von Skalen (25) basiert auf der gleichen Verkür zung. Die Skalen repräsentieren die funktionale Stimmung der Stufen skala (hier Keyboardmanual), hier durch ein Quint-Terzfeld gesteu ert bzw. visualisiert. Die Zuordnung von einem Element der Quint- Terzstruktur zu einer der 12 Urtasten impliziert die oktavische Er gänzung für alle Tasten dergleichen Urtastenbeziehung. Durch Mar kierung der Elemente des Quint-Terz-Feldes können Noten und Ak korde funktional innerhalb der Skala (Quint Terz Feld - Urtasten - Zuordnung) sehr einfach und übersichtlich dargestellt werden (23) (24).

Harmonische Hilfsstrukturen

Harmonische Strukturen (16) können so dargestellt werden, daß alle harmonischen Teilproportionen bei der multidimensionalen Darstellung berücksichtigt werden, die (zusammen) denselben größten gemein samen Nenner und zugleich den kleinsten gemeinsamen Zähler wie die Teilproportionen der harmonischen Struktur aufweisen (14). Sie können so multidimensional räumlich interpretiert perspektivisch oder projektiv (12) dargestellt werden indem die einzelnen, die harmoni schen Teilproportionen repräsentierenden Punkte, durch Linien ver bunden, kenntlich gemacht und die Teilproportionen der harmonischen Struktur demgegenüber hervorgehoben werden (16).

Harmonische Progressionen können von Ursprungs- (12) zu Zielstruk turen (13) mittels sie umschließender Progressions-Komplexitätsstruk turen (11) oder/und mittels von Ursprungs- und Zielstrukturen einge schlossenen Strukturen (18) (z. B. nach dem Kriterium des minimalsten Hilfslinieneinsatzes zur Darstellung) von Progressionen bei der Dar stellung berücksichtigt werden.

Regression und Visualisierung

Zur Visualisierung der Proportionen und entsprechender Strukturen und Progressionen wird eine Pfadregressionstechnik angewendet, die die komplexen harmonischen Strukturen (Intervocale) und Progressio nen (Intravocale) mit möglichst wenigen Pfaden unter der Bedingung darstellt, daß alle an ihr beteiligten Einzelstrukturen und -progressio nen mit möglichst wenigen Pfaden dargestellt werden.

Die Dauer der harmonischen Ereignisse (der Noten) wird durch sen krechte (Interpretationsrichtung der Zeit) dicke Balken (Pfade) dar gestellt (26). Die Länge der dicken Pfade entspricht hier der Noten länge.

Das Zeitintervall vom Ende der Note bis zum Anfang der folgenden Note derselben Stimme (musikalischer Begriff) wird durch eine dünne Hilfslinie dargestellt (27).

Die Pfadprogression wird immer erst dann dargestellt, wenn ein neues harmonisches Folgeereignis auftritt, auch dann, wenn das Ursprungsereignis der Einzelprogression (die Note) schon vorher erloschen ist.

Progressionsregression

Dazu werden (für jede Einzelprogression) die Differenzen der Expo nenten e_z,i-e_u,i gebildet. So entsteht für jedes Primfaktorenargument ein Progressionspotential. Anschließend werden die Pfade gebildet, indem für jeden der 1_h Pfadpartialschritte,

immer das Pfadpartial ausgewählt wird, welches für die Vervoll ständigung des Pfades noch benötigt wird, das zugleich das Element der multidimensionalen Struktur erreicht, welches sich am harmo nischsten zu den anderen Progressionselementen der Ursprungs- und Zielstruktur verhält - sich also am harmonischen zum aktuellen harmonischen Zentrum verhält (28) (alle dickeren Linien bei Grafik 2 (außer den senkrechten Linien).

Der Algorithmus ist am Ende des theoretischen Teils "in eine Formel gegossen" (→ ab Zeile 251).

Strukturregression

Es wird von allen an einer Struktur beteiligten harmonischen Ereig nissen das harmonische Zentrum ermittelt und similar der Progressi onsregression jedes Ereigniselements (multidimensional) mit jedem anderen so durch Pfade verbunden, daß jeder intrastrukturelle Pfad durch möglichst wenige Pfadpartiale und zugleich die gesamte Struktur durch möglichst wenige Pfadpartiale, also möglichst konzen triert dargestellt wird (29) (alle dickeren Linien der Visualisierung bei Grafik 3 (außer den senkrechten Linien)).

Ferner wird durch senkrechte Linien kenntlich gemacht, wieviele Quanten einer Dimension ein Pfad (kontinuierlich) progressiert (30).

Flächen und Transparenzen

Es werden diejenigen Flächen (transparent) dargestellt, die von Pfa den vollstandig eingeschlossen sind und dieselbe (hier senkrechte) räumliche Ausrichtung aufweisen wie die Zeit (31).

Auf diese Weise ist die Harmonik der Musik multidimensional stetig visualisierbar und alle wichtigen Aspekte der Harmonik wie Struktur komplexität, Progressionskomplexität, Stimmführung usw.) werden visuell nachvollziehbar.

Farben

Die verschiedene Pfade (Stimmen) oder Pfadgruppen (z. B. mehrstim mige Instrumente) können unterschiedlich gefärbt werden. Auch die Flächen können nach unterschiedlichen räumlichen Ausrichtungen unterschiedlich gefärbt werden. Hier kann den Benutzern die die Möglichkeit eröffnet werden, die von ihnen erschaffenen "Klangwel ten" individuell beliebig zu colorieren.

Stimmführung (provisorisch)

Alle möglichen Stimmführungsvarianten sind in diesem Kompositions system primfaktoriell definierbar. Ferner können bei der Herstellung eines mehrstimmigen Satzes für jede Akkordprogression die struktu rellen und progressionealen Komplexitäten der beteiligten Akkorde rechnerisch ermittelt werden und z. B. diejenige Stimmführungsvariante (automatisch) gewählt werden, die insge samt den geringsten Komplexitätsfaktor aufweist.

Adaption der primfaktoriellen Interpretation an die tra ditionelle Notation musikalischer Ereignisse

Die traditionelle Notation läßt sich algorithmisch entwickeln. Die sechs Notenstammnamen b, f, c, g, d, a, e, (amerikanische Schreibweise) werden im Quintenzirkel (entsprechend dem Primfaktor f₂=3 ange ordnet und als sich wiederholende Sequenz betrachtet.

Jeder Oktavschritt (p₁=2) zeitigt keine Veränderung der Stammna men. Jeder Ur-Quintschritt zeitigt einen Schritt in der Stammnamen sequenz nach rechts. Jeder Ur-Terzschritt zeitigt vier Schritte nach rechts. Sobald die Stammnamensequenz nach rechts überschritten wird, wird sie links wieder aufgenommen und dem so ermittelten Stammnamen ein Kreuz "#" hinzugefügt. So entsteht der Notenname. Bei Überschreitungen der Stammnamensequenz nach links wird ent weder ein Kreuz weggenommen oder ein "b" hinzugefügt usw.

Je nachdem, welcher Stammname zur Urstimmung des gesamten Primfaktorenvektorsystems verwendet wird (z. B. der Kammerton A≈440Hz) wird dem Primfaktorenvektor (dritten Grades) die Stamm note A zugeordnet (1=p=1°_*2°_*3°_*5°≈440 Hz) und der Algorithmus beginnt bei dieser Stammnote.

Im traditionellen Notensystem zeitigt eine Ur-Oktave (p=f₁=2) 7 pri mitive Notationsschritte, eine Ur-Quinte (p=f₂=3) 11 Notationsschritte und eine Ur-Terz (p=f₃=5) 16 Notationsschritte. Entsprechend dieser Notationsschritte werden die relativen Notationsstufendifferenzen von einem, eine Note repräsentierenden Primfaktorenvektorausdruck er mittelt und die Notenköpfe werden so den Notationsstufen zugeordnet und ihnen die, wie oben beschrieben, evtl. ermittelten Erhöhungs- oder Erniedrigungszeichen vorangestellt ("#" und "b"). Die absolute Position ist abhängig davon, welche Note als Stammnote definiert ist.

Primfaktorielle Interpretation rhythmischer Ereignisse p=f₀^e0 _*f₁^e1 _* . . . entspricht dem Basistempo (z. B. einem wie derkehrenden Takt). Tempoänderungen können so auch proportional aufgefaßt werden. Der Takt wird mittels p2 eines weiteren Prom faktorenvektors (im Bsp. ist p2/p1 = 72=2³×3²) und aller in ihm ganzzahlig enthaltenen Teilproportionen quantisiert dargestellt (32). Bei Musiksequenzern ist es üblich, "frei eingespielte Passagen" nachträglich zu quantisieren und sie an "perfekte Taktzeiten anzu passen. Hier bietet sich die kreisförmige Darstellung der Metrik (p₂/p₁) an. Die Quantisierungen können dann z. B. als Sterne oder n- Ecke logisch verknüpft dargestellt werden - vielfältige Mischquanti sierungen sind so möglich. "Taktgefühl" und rhythmisches Formem pfinden werden so aussagekräftiger visualisiert.

Die Quantisierung der Zeit bzw. des Taktes wird hier durch waage rechte Linien realisiert. Sie sind exakt nur für ein Element des multi dimensionalen primfaktoriellen Raumes gültig. Bei der Realisierung mittels eines Computerprogramms sollte dieses Element explizit hervorgehoben werden - es könnte z. B. ein relatives tonales Zen trum darstellen (33).

Claims

1. Verfahren zur Interpretation, Operationalisierung, Visualisierung, Pro zessualisierung komplexer harmonischer Strukturen und Progressionen, dadurch gekennzeichnet, daß (komplexe harmonisch proportional in terpretierte Ereignisstrukturen und -progressionen primfaktoriell inter pretiert, multidimensional operationalisiert und visualisiert werden (1). Dabei werden die beteiligten Proportionen in ihre kleinsten primfak toriellen Bestandteile zerlegt und in die Form des Primfaktorenvektor ausdruck gebracht werden, wobei f_i, iε|N, der mit der i-ten (räumlichen) Interpretationsdimension (1,8) (1,9) (1,10) korellierten natürlichen Primzahl und n der dimensionalen Komplexität des Interpretationsmodells entspricht. Jeder (ganzahlige) Exponent e_i korreliert dabei mit der linearen Quantisierung der i-ten Dimension.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß traditionelle Musik funktional entspre chend dem Primfaktorenmodell dritten Grades interpretiert, operatio nalisiert und visualisiert wird, durch kombinierte Darstellung ent sprechend:

- der Skala und der Stimmung der Urtöne eines Manuals mittels ei ner Quint-Terz-Struktur (25).
- der verkürzten Strukturprogressionen, die die Akkord- und Stufen funktionssymbole der traditionellen Musik ersetzen bzw. ergänzen (24)
- der unverkürzten funktionalen Darstellung der Harmonik (Oktav- Quint-Terzraum), die das harmonische Ereignis isomorph darzustel len in der Lage ist und die traditionelle ausgeschriebene Notation der Musik ersetzt bzw. ergänzt (34).
- der funktionalen Darstellung der Metrik der Zeit, die die bisherigen Taktmaße und rhythmischen Notenwerte ersetzt bzw. ergänzt (32).

3. Verfahren nach Anspruch 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, daß die primfaktoriell interpretierten Ereig nisse argumentativ verkürzt interpretiert, operationalisiert und ent sprechend dargestellt werden (2) (3), indem jede Basis e_i jedes Primfaktorenarguments um einen (Prim-)Faktor oder einen algo rithmisch ermittelten Parameter a_i argumentativ verkürzt wird (z. B.: a_i =f_j ^{int(1n(fi)/1n(fj))}; z. B.: j=1 ⇔ f_j=2).

4. Verfahren nach Anspruch 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, daß die multidimensionale Interpretation bzw. Darstellung (1, 2, 3) bezüglich der Darstellungsdimension (minde stens) einer logarithmische, vorzugsweise zur Basis In(2) skalierten Achse (6) koinzidiert oder bei der Darstellung berücksichtigt wird.

5. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß von einer Ordinal- bzw. Stufenskala (4), die die logarithmische Skala (6) in eine bestimmte Anzahl von Klassen pro einem primfaktoriell definierten Intervall (hier I[p,2p]) unterteilt repräsentiert, für jeden, in der jeweiligen Interpretation berücksichtigten Primfaktor (16) ein Klassen bzw. Stufenintervall ent sprechend der Metrik der Ordinalskala (4) abgeleitet wird, das den Primfaktor (16) am stärksten approximiert darstellt und der Bezug zwischen multidimensionaler Darstellung (12) und eindimensionaler Ordinalskalierung (4) entsprechend der Logik der abgeleiteten Inter valle implizit oder explizit bei der Darstellung berücksichtigt wird.

6. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß harmonische Strukturen (16) so darge stellt werden, daß alle harmonischen Teilproportionen bei der multi dimensionalen Darstellung berücksichtigt werden, die (zusammen) denselben größten gemeinsamen Nenner und zugleich denselben kleinsten gemeinsamen Zähler wie die Teilproportionen der harmoni schen Struktur aufweisen (14), sie multidimensional (8, 9, 10) interpre tiert davon abgeleitet perspektivisch oder projektiv (12) dargestellt werden, indem z. B. die einzelnen, die harmonischen Teilproportionen repräsentierenden Punkte durch Linien verbunden kenntlich gemacht werden (16).

7. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß multidimensional interpretierte komplexe harmonische Progressionen von Ursprung- (12 zu Zielstrukturen (13) mit Hilfe von, sie umschließenden Progressionskomplexitätsstrukturen (11) oder/und mit Hilfe von, Ursprungs- und Zielstrukturen einge schlossenen Strukturen (18) bei der Darstellung berücksichtigt wer den.

8. Verfahren nach Anspruch 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Progressionsereignisse stufenweise und/oder in Bezug zu einem Kontinuum (z. B.) der Zeit) interpretiert und dargestellt werden, wobei die Zielstruktur die Ausgangsstruktur der nächsten Progressionsstufe darstellt.

9. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die multidimensionale Interpretation und Darstellung z. B. mittels einer entsprechenden prafischen Oberfläche eines Computerprogramms mir ordinalskalierten Eingabeinstrumenten, z. B. Keyboardmanual operativ verbunden bzw. korreliert werden und einem quasi-intervallskalierten (hochaufgelöste Ordinalskalierung) Ausgabeinstrument, z. B. mit einem Synthesizer (Tongenerator), korre liert bzw. operativ verbunden werden.

10. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die übliche traditionelle (klassische) Musiknotation bezüglich der Tobhöhe und dem harmonischen Bezug algorithmisch eindeutig vom Primfaktorenvektor dritten Grades her geleitet und umgekehrt Musiknotation primfaktoriell multidimensional analysiert, interpretiert, multidimensional primfaktoriell visualisiert und in reiner Stimmung (z. B. durch elektronische Synthesizer) akustisch reproduziert werden kann.

11. Verfahren nach Anspruch 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, daß ordinalskalierte Progressionen mittels der Interpretation durch ordinalskalierte Primärintervalle (4) algorhit misch primfaktoriell interpretiert, operationalisiert und dargestellt werden oder umgekehrt, daß entsprechende ordinalskalierte Pro gressionen von primfaktoriellen Daten hergeleitet werden.

12. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß spektrale Ereignisse (6, 14, 16) primfak toriell multidimensional interpretiert, operationalisiert und dargestellt werden können. Dabei werden komplexe spektrale Ereignissausprä gungen (Intensitätsausprägungen) (interpolativ) in einen primfaktoriell multidimensional angeordneten und somit operationalisierten Spei cherstellenraum geladen, dann wird ein relatives harmonisches Zen trum ermittelt und durch periphere Inhibition und zentrale Exhibition nach den Gesetzen der Resonanz eine harmonische Ausprägung, die harmonische Gestalt des Spektrums aus der sich so zwangsläufig ergebenden Interferenzstruktur regressiert.

13. Verfahren nach Anspruch 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, daß rhythmische Ereignisse mittels Primfak torenvektorausdrücken bezüglich des Tempos (der Taktzeit) und der Quantisierung von Zeitintervallen operationalisiert und dargestellt werden (32) und Quantisierungen auch kreisförmig durch Sterne und n-Ecke durch bool′sche Operatoren zu Mischquantisierungen zusam mengesetzt werden können.

14. Verfahren nach Anspruch 1, 2 und 3, dadurch gekennzeichnet, daß ordinale Skalenstufen in Abhängigkeit zu einem harmonischen Zentrum (multidimensional ausgedrückt) von einer primfaktoriellen Ausgangsinterpretation primfaktorioll interpro tiert werden, entweder durch eine rekursiv bedingte schrittweise Annäherung oder funktional durch die Auflösung des Dissonanzpoten tial in Stufeninterpretationsachsenquanten.

15. Verfahren nach Anspruch 1, 2, 3, dadurch gekennzeichnet, daß harmonische Strukturen und Progressi onen mittels einer Pfadregressionstechnik interpretiert und visualisiert werden, die die komplexen harmonischen Strukturen (Intervokale) und Progressionen (Intravocale) mit möglichst wenigen Pfaden unter der Bedingung darstellt, daß alle an ihr beteiligten Einzelstrukturen (29) bzw. Progressionen (28) mit möglichst wenigen Pfaden dargestellt werden.

16. Verfahren nach Anspruch 1, 2, 3 und 15, dadurch gekennzeichnet, daß diejenigen Flächen (transparent) her vorgehoben werden, die von Pfaden vollständig eingeschlossen sind und die Kanten besitzen, die die gleiche räumliche Ausrichtung wie die Dimension der Zeit aufweisen (31).

17. Verfahren nach Anspruch 1, 2, 3, 15, 16, dadurch gekennzeichnet, daß die intravocalen Pfade je nach "Stim me" bzw. nach Instrumentengruppe gefärbt werden kann und sich der Nutzer einer entsprechenden Musiksoftware die von ihm kreierte Musik nach eigenem Geschmack färben kann und daß die unter An spruch 15 angesprochenen Flächen entsprechend ihrer unterschiedli chen räumlichen Ausrichtung unterschiedlich gefärbt werden.

18. Verfahren nach Anspruch 2, 3, dadurch gekennzeichnet, daß Stimmführungsgesetze primfaktoriell definiert werden können und die "Umkehrung" einer Akkordstruktur sowie die entsprechende Wahl einer harmonischen Progression bezüglich ihrer Dissonanzen und ihrer gemeinsamen Dissonanz para metrisch beschrieben werden können und z. B. entsprechende Bedin gungen mit Stimmführungsalgorithmen rückgekoppelt werden können.