-
Interpolator zur abschnittsweisen Erzeugung von ebenen Kurven, insbesondere
zur Stetigbahnsteuerung von Werkzeugmaschinen Die Erfindung bezieht sich auf einen
Interpolator zur abschnittsweisen Erzeugung von ebenen Kurven, die durch vorgegebene
Stützpunkte laufen, insbesondere zur Stetigbahnsteuerung von Werkzeugmaschinen.
-
Es sind verschiedene Interpolatoren bekanntgeworden, die insbesondere
zur Stetigbahnsteuerung von Werkzeugmaschinen entwickelt wurden. Einen Überblick
über die bekannten mathematischen Interpolationsmethoden gibt Z u r m ü h 1, »Praktische
Mathematik für Ingenieure und Physiker«, Springer-Verlag, 1961. Relativ einfach
lassen sich parabolische Interpolatoren aufbauen, da sich die Koeffizienten einer
Parabelansatzgleichung leicht aus den Stützpunktdaten ermitteln lassen (britische
Patentschrift 830 462). Mit der parabolischen Interpolation sind jedoch erhebliche
Nachteile verbunden, wie im folgenden noch erläutert wird. Eine zusammenfassende
Darstellung über vollautomatische Steuerungen von Werkzeugmaschinen gibt G e r e
c k e, Technische Rundschau, 49 (1957), Nr. 39, S. 1 bis 5, in der auch über Kreis-
und trigonometrische Interpolatoren berichtet wird, die bereits wesentlich vorteilhafter
sind, wie gleichfalls im folgenden noch gezeigt wird.
-
Bei der numerischen Stetigbahnsteuerung von Werkzeugmaschinen entsteht
die Aufgabe, die Kontur eines gegebenen Kurvenverlaufs durch Nachlauf der Maschine
auf das Werkstück zu übertragen. Die einfachste Form der Steuerung bestünde darin,
das Kurvenbild Punkt für Punkt numerisch zu übertragen. Bei der Forderung nach einer
hohen Genauigkeit würde jedoch die Punktdichte derart ansteigen, daß der zu übertragende
Informationsumfang unerträglich hoch wird. Außerdem liegt die gegebene Kurve in
den meisten Fällen weder in der tabellarischen Form einer Punktfolge mit kleiner
Schrittweite vor, noch ist deren zugehöriger Funktionsausdruck bekannt, so daß die
Punktfolge errechnet werden könnte, sondern es sind meist einzelne, mehr oder weniger
charakteristische Punkte numerisch gegeben, aus denen die zugehörigen Kurven durch
einfache anzugebende geometrische Konstruktionen, wie z. B. Geraden und Kreise,
zu ermitteln sind. Ist eine kompliziertere Kurve in ihrem Verlauf zu übertragen,
so ist es die Aufgabe der Interpolation, aus den Daten einzelner vorgegebener Stützpunkte
alle Zwischenpunkte lückenlos so zurückzugewinnen, daß die interpolierte Kurve in
ihrem Verlauf möglichst ohne größere Abweichungen mit der Sollkurve übereinstimmt.
-
Werden die Stützpunkte durch Geraden verbunden, d. h. wird linear
interpoliert, so entsteht ein Polygonzug, der eine grobe Annäherung an die Sollkurve
darstellt. Eine lineare Interpolation läßt sich technisch mit relativ kleinem Aufwand
verwirklichen, nachteilig ist nur, daß bei kleinen vorgeschriebenen Abweichungen
die Stützpunktdichte groß wird. Als Kriterium zur Beurteilung von Interpolationsverfahren
kann allgemein definiert werden, daß bei allen in der Ebene denkbaren stetig verlaufenden
Kurvenzügen die interpolierte Kurve möglichst wenig von der Sollkurve abweichen
und die Anzahl der zu- übertragenden Stützpunkte so klein wie möglich sein soll.
-
Es werden im folgenden die grundsätzlichen Forderungen an einen Interpolator
für die Stetigbahnsteuerung von Werkzeugmaschinen aufgestellt: 1. Da Geraden und
Kreisbögen bei der Werkzeugmaschinensteuerung am häufigsten auftreten, sollen diese
Kurven möglichst technisch einfach und exakt zu interpolieren sein.
-
2. An den Stützpunkten dürfen bei der fortlaufenden Interpolation
keine Sprünge in der Tangentenrichtung der erzeugten Kurve auftreten.
-
3. Die interpolierte Kurve soll invariant sein gegenüber Drehungen
des Koordinatensystems und nur von der inneren Konstellation der gegebenen Stützpunkte
abhängen.
-
4. Es soll eine konstante, richtungsunabhängige Bahngeschwindigkeit
erzeugt werden, die von außen zumindest stufenweise einstellbar sein muß.
-
5. Beim Fräsen muß die Mittelpunktbahn gegenüber der Interpolationskurve
um den Fräserradius als einen von außen einstellbaren Betrag verschoben werden können.
-
6. Die Anzahl der zu übertragenden Stützpunkte soll möglichst gering
sein, und die Wahl der Stützpunkte soll, abgesehen von den Anfangs- und Endpunkten
einer bestimmten Kurvenart, nicht daran gebunden sein, daß z. B. gleiche Abstände
auf einer Achse oder auf der Kurve gefordert werden.
7. Eine hohe
Genauigkeit mit einem exakten Erreichen der numerisch vorgegebenen Stützpunkte sind
zu garantieren.
-
g. Ein geringer Aufwand und eine hohe Betriebssicherheit des Interpolators
sind anzustreben.
-
Es gibt verschiedene Interpolationsverfahren mit relativ geringem
Rechenaufwand, bei denen aber äquidistante Stützpunkte vorausgesetzt werden, wodurch
das Programmieren erschwert wird. Eine konstante Bahngeschwindigkeit war bislang
nur über eine gesondert eingeführte Regelung möglich, und die Mittelpunktverschiebung
beim Fräsen erforderte eine Vorrichtung zur laufenden Bildung der ersten Ableitung
entsprechend der momentanen Steigung der Kurve.
-
Grundsätzlich läßt sich nun jede Funktion y= f (x),
deren Verlauf
in einem Intervall (a, b) stetig ist, durch ein Polynomy =p(x) derart darstellen,
daß der absolute Fehler zwischen der Funktion f (x) und dem Näherungspolynom p (x)
kleiner wird als irgendeine Größe a. Es ist eine unbegrenzte Annäherung einer analytischen
Funktion durch ein Polynom möglich. Darauf beruhen die herkömmlichen parabolischen
Interpolationsverfahren von N e w t o n, L a g r a n g e, Bessel, Stirling, Gauß,
Everett usw., die sich nur darin unterscheiden, wie die Daten der Stützpunkte in
der betreffenden Interpolationsformel eingeführt werden. Der Grad des Polynoms richtet
sich dabei nach der jeweils in Betracht gezogenen Anzahl von Stützpunkten, so daß
die Ansatzgleichung bestimmt sein muß.
-
Treten in der vorgegebenen Kontur Kreisbögen auf, was sehr häufig
der Fall ist, so genügen zur mathematischen Bestimmung bekanntlich bereits drei
Punkte. Mit der üblichen parabolischen Interpolation ist es aber nicht möglich,
einen größeren Kreisbogen mit der Angabe von nur drei Stützpunkten hinreichend genau
zu erzeugen.
-
Werden nur die xy-Daten der Stützpunkte und nicht die Steigung am
Endpunkt eines interpolierten Intervalls als Ausgangsrichtung für den folgenden
Interpolationsabschnitt berücksichtigt, so treten bei der Interpolation fehlerhafte
Richtungssprünge an den Stützpunkten auf.
-
Neben dem allgemeinen Polynomansatz y=p(x) sind grundsätzlich auch
andere Ansatzgleichungen denkbar, und es ist einleuchtend, daß die Form der Ansatzgleichung
hinsichtlich der zu erzielenden Interpolationsgenauigkeit bei möglichst wenig Stützpunkten
um so günstiger ist, je mehr die Darstellung der Ansatzgleichung schon dem Verlauf
der zu interpolierenden Kurve ähnelt. So ist es für die Interpolation von periodischen
Funktionen zweckmäßig, einen trigonometrischen Reihenansatz zu machen, was als Verfahren
der Fourieranalyse bekannt ist. Bei Funktionen mit Unendlichkeitsstellen ist es
vorteilhaft, die Ansatzgleichung in der Polynomform
zu wählen, wenn auch dieses Verfahren für die Werkzeugmaschinensteuerung keine praktische
Bedeutung erlangt.
-
Bei der parabolischen Interpolation mit dem allgemeinen Polynomansatz
y=p (x) tritt noch eine unzweckmäßige Erscheinung auf, die im folgenden erläutert
werden, soll. Liegen in der xy-Ebene mehrere Stützpunkte in einer vorgegebenen festen
Konstellation zueinander und sind diese Punkte in geeigneter Weise zu interpolieren,
so ist bei dem Polynomansatz y=p (x) der resultierende Kurvenverlauf stark von der
Lage des zugehörigen Koordinatensystems abhängig. In der F i g. 1 sind z. B. drei
Punkte in der xy-Ebene gegeben, wobei die Parabel K die aus dem Polynomansatz y=a+bx+cx$
sich ergebende Interpolationskurve darstellt. Sind die drei Stützpunkte bei gleicher
Konstellation in dem x'y'-Koordinatensystem gegeben, so resultiert daraus die Parabel
K', die in ihrem Verlauf im Vergleich zur Kurve K erheblich abweicht.
-
Die numerisch vorgegebenen Daten der Stützpunkte sind zwar meist auf
ein rechtwinkliges xy-Koordinaten System bezogen, jedoch geschieht dies allein zu
dem Zweck, die gegenseitige Lage der Punkte zueinander anzugeben. Somit ist die
allgemeine Forderung zu erheben, daß zu irgendeiner vorgegebenen Punktkonstellation
eine eindeutige Kurve gehören soll und bei Ker Interpolation auch gefunden werden
muß. Die auf diese Weise ermittelte Interpolationskurve mag zwar auch noch von der
ursprünglichen Sollkurve abweichen, was aber dann hauptsächlich noch von der Stützpunktdichte
abhängt. Zumindest darf die interpolierte Kurve nicht unnötig von der Lage des zugehörigen
Koordinatensystems abhängig sein.
-
Man erkennt auch rein formal, daß bei dem Polynomansatz
y = p (x) nur die Veränderliche x die unabhängige Veränderliche ist. Diese
unbegründete Bevorzugung der Größe x gegenüber y führt bei der Interpolation in
der xy-Ebene, in der alle Tangentenrichtungen der Interpolationskurve denkbar sind
und mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten können, zu Komplikationen. So sind
z. B. Punkte auf einer Geraden in Richtung der y-Achse mit dem Polynomansatz nicht
mehr zu interpolieren.
-
Es müssen demnach in der allgemeinen Ansatzgleichung zumindest- die
beiden Größen x und y unabhängige Veränderliche sein. Dies ist z. B. der Fall bei
der Gleichung zweiten Grades, die auch als Kegelschnittgleichung bezeichnet wird:
Axa+2Bxy+Cyz+2Dx+2Ey+F=0. Diese Gleichung ist im allgemeinen durch fünf Punkte bestimmt.
Nachteilig ist bei dieser Ansatzgleichung jedoch, daß entsprechend der Stellung
der Stützpunkte als Interpolationskurve auch zwei Geraden oder eine Hyperbel entstehen
können. In der F i g. 2 wird hierzu ein Beispiel gezeigt, bei dem aus fünf Punkten
einer Sollkurve mit einem Wendepunkt eine Hyperbel resultiert, die als Interpolationskurve
unbrauchbar ist.
-
Zu den natürlichen Größen einer ebenen Kurve, die sich beim Drehen
und Verschieben des Koordinatensystems nicht ändern, also invariant sind, gehören
Tangentenwinkel z, Bogenlänge s, Krümmung k oder Kxümmungsradius
oder bei Berücksichtigung des Vorzeichens besser das Quadrat der Krümmung sowie
alle Ableitungen der Krümmung nach der von der Kurve durchlaufenen Bogenlänge s.
-
Die Krümmung k entspricht nun der Änderung des Tangentenwinkels z
bezüglich der Bogenlänge s (s. F i g. 3), also gilt
so daß zur Beschreibung der Kurve z und s übrigbleiben. Bei räumlichen
Kurven durch vorgegebene Stützpunkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem
tritt die Torsion als weiteres Bestimmungsstück hinzu. Sie können in irgendeinen
funktionsmäßigen Zusammenhang gesetzt werden, wobei es für die Invarianzbedingung
gleichgültig ist, wie die Auswahl getroffen wird. Solche Funktionen erweisen sich
wegen ihrer Unabhängigkeit vom Koordinatensystem für die Interpolation ebener Kurven
allgemein als günstig. Die Form des funktionsmäßigen Zusammenhangs wird vom Anwendungsfall
her bestimmt.
-
Da bei der Werkzeugmaschinensteuerung Geraden und Kreise weitaus am
häufigsten auftreten, schlägt die Erfindung vor, einen Interpolator zu verwenden,
der die beiden Koeffizienten b, und c" des natürlichen Polynomansatzes z=zo+ bo.s+
Co .s2, d. h. Tangentenwinkel z als Polynom 2. Ordnung von der Bogenlänge
s der zu interpolierenden Kurve, iterativ aus den in einem rechtwinkligen xy-Koordinatensystem
vorgegebenen Daten zweier Stützpunkte P1 und P$ so ermittelt, daß die Interpolationskurve
von einem vorgegebenen Stützpunkt Po aus mit einem Ausgangswinkel zo, der vom vorhergehenden
Interpolationsabschnitt von P_1 bis Po übernommen wird, durch die beiden Stützpunkte
P1 und P2 verläuft, dann mit Hilfe dieser ermittelten Koeffizienten b, und c, unmittelbar
oder über Zwischenspeicherung die Bahn der zu steuernden Vorrichtung, insbesondere
einer Werkzeugmaschine, von Po bis P1 steuert und anschließend für den nächsten
Interpolationsbereich P1 bis P2 den Tangentenwinkel z1 übernimmt und die neuen Koeffizienten
b1 und cl wieder iterativ aus den Daten der Stützpunkte P2 und des hinzugenommenen
Punktes P3 ermittelt. Da die Funktion z(s) als die natürliche Gleichung einer Kurve
bezeichnet wird, wird für die Form z = p (s) der Ausdruck »natürliches Polynom«
verwendet. Bei dem Polynomansatz z = p(s) sind Geraden, die durch zwei Stützpunkte,
und Kreise, die durch drei Stützpunkte bestimmt sind, von denen einer der Koordinatenursprung
sein kann, gegeben durch die einfachen Formen z = a bzw. z = a + bs,
wobei der Koeffizient a gleich dem Steigungswinkel im Ursprung und der Koeffizient
b gleich der Krümmung
des Kreises ist. Beivier Stützpunkten lautetder allgemeine Ansatz z=a+bs+cs2.
(1)
Dies ist die natürliche Gleichung einer Spirale. Der Koeffizient c bedeutet
die Änderung ihrer Krümmung bezüglich der Bogenlänge. Für die Interpolation ebener
Kurven ist es notwendig, aber auch ausreichend, dieses Polynom 2. Ordnung als Ansatzgleichung
zu wählen.
-
Da im Verlauf technischer Kurven auch Wendepunkte auftreten können,
muß für Interpolationszwecke der Krümmungsradius der gewählten Kurve auch unendlich
werden können. Zweckmäßig wächst also die Krümmung k in Abhängigkeit von der Bogenlänge:
dk - ds. Dies ist der Fall bei der Cornuschen Spirale, die man erhält, wenn die
später noch erwähnten Fresnelschen Integrale in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
aufgetragen werden. Diese Spirale, auch als Klothoide bezeichnet, stellt lediglich
einen Spezialfall der allgemeinen Polynomform r = p
(s) mit z = cs2
dar und hat als Übergangskurve zwischen einer Geraden und einem Kreis bisher schon
im Bauwesen eine Bedeutung, weil die Zentrifugalbeschleunigung linear mit der Bogenlänge
ansteigt. In der praktischen Anwendung stellt sich nun die Aufgabe, die Koeffizienten
a, b und c des natürlichen Polynoms aus den Daten der Stützpunkte zu bestimmen.
-
F i g. 4 zeigt einen praktischen Fall, bei dem im xy-Koordinatensystem
vier Stützpunkte gegeben sind: P_1, Po, P1 und P2. Die Koeffizienten wären zunächst
so zu bestimmen, daß die Interpolationskurve durch die vier Stützpunkte läuft. Bei
einer fortlaufenden Interpolation ist es sinnvoll, die Interpolation jeweils nur
für den mittleren Abschnitt durchzuführen, in diesem Fall also nur von Po bis P,
Der Abschnitt von P1 bis P, wäre anschließend aus den Daten der Punkte Po, P1, P2
und P$ wieder neu zu bestimmen. Man erzielt damit ein besseres Anschmiegen der Interpolationskurve
und vermeidet größere Richtungssprünge.
-
Damit beim Übergang von einem Interpolationsabschnitt in den folgenden
auch kleinste Richtungssprünge vermieden werden, wird vorteilhaft an Stelle von
P_1 der Ausgangswinkel a, (s. F i g. 4) vom vorangegangenen, bereits interpolierten
Intervall zusammen mit den Punkten Po, P1 und P2 zur Bestimmung der für den Abschnitt
Po bis P1 notwendigen Koeffizienten herangezogen. Die Größe a = a" ist damit schon
gegeben. Die Koeffizienten b und c müssen aus den Daten der Stützpunkte P1 und P2,
bezogen auf Po, ermittelt werden. Es zeigt sich jedoch, daß dies in geschlossener
Form nicht mehr möglich ist.
-
Mit der allgemeinen Beziehung
lautet nämlich die Ansatzgleichung (1):
Wegen der geforderten konstanten Bahngeschwindigkeit ist es vorteilhaft, an Stelle
der Bogenlänge s die Zeit t als unabhängige Veränderliche einzuführen. Dann läßt
sich Gleichung (2) in zwei Zeitparametergleichungen x = fl(t) und
y = f2(t) aufspalten.
-
Denkt man sich beispielsweise zwei Funktionsbildner, die die Größen
y (t) und x (t) nach den folgenden Beziehungen erzeugen:
bzw. die folgenden Differentiale bilden:
die anschließend integriert werden, so ist ständig die erzeugte Bahngeschwindigkeit
Die dabei gebildete Kurve erfüllt die Differentialgleichung:
die mit s = t die Ansatzgleichung (2) darstellt.
-
Zur Bestimmung der Koeffizienten nach Gleichung (3) führen die Integrale
über die Additionstheoreme auf die Fresnelschen Integrale von der Form
f cos (t2) d t und f sin (t2) d t , die auch durch Besselfunktionen
ausgedrückt werden können, aber nicht mehr in geschlossener Form darzustellen sind.
-
Damit führt das erfindungsgemäße Interpolationsverfahren unter Verwendung
des natürlichen Polynoms -c = p (s) zu der Forderung nach einem einfachen
Iterationsverfahren. Eine Möglichkeit bietet sich mit Hilfe einer elektronischen
Rechenmaschine, mit der die Koeffizienten aus den Stützpunktwerten bis zu einer
beliebig hohen, aber begrenzten Genauigkeit errechnet werden, so daß die erzeugte
Interpolationskurve die Stützpunkte zwar nicht exakt erreicht, die auftretenden
Abweichungen theoretisch aber beliebig klein gehalten werden können. Dieses Verfahren
setzt allerdings voraus, daß eine elektronische Rechenmaschine vorhanden ist.
-
Es können in diesem Falle die Stützpunktdaten auf einem Lochstreifen
in die Rechenmaschine eingegeben werden, die über eine spezielle Programmfolge fortlaufend
die Interpolationskurve abschnittsweise errechnet und die interpolierten Zwischeninformationen
als Folgen diskreter Schrittbefehle von z. B. 1/1.o mm impulsförmig auf einem zweispurigen
Magnetband für beide Achsenrichtungen speichert, so daß mit diesem Band direkt und
unabhängig von dem Rechner die Werkzeugmaschine zu steuern ist.
-
Gegenüber diesem aufwendigen Verfahren bevorzugt die Erfindung die
Möglichkeit, einen Spezialrechner eigens für diese Aufgabe zu entwickeln. Dazu wird
im folgenden als Beispiel ein Iterationsverfahren auf der Basis der Analogrechnertechnik
angeführt.
-
Werden hierzu die Ansatzgleichungen (4) nach der Zeit differenziert,
so erhält man zwei gekoppelte Differentialgleichungen
Die F i g. 5 zeigt das Blockschaltbild zur Lösung dieses Gleichungssystems mit einem
Analogrechner.
-
Verwendet werden fünf Integratoren f 1 bis f 2, zwei Multiplizierglieder
jcl und % und eine Vorzeichenumkehrstufe -1. Es wird die mit der Zeit linear veränderte
Krümmung (b + 2ct) gebildet und mit den ersten zeitlichen Ableitungen
multipliziert, so daß entsprechend den Gleichungen (6) die zweiten Ableitungen von
x und y entstehen, die noch zweifach integriert werden. Die Multiplizier- und Integrierglieder
kehren dabei das Vorzeichen um. Bei fortlaufender Interpolation sei wieder gemäß
F i g. 4 der Abschnitt von Po bis P1 zu interpolieren. Die Ausgangswerte der Integratoren
f 4 und f 5 sind zum Zeitpunkt t = 0 gleich Null zu setzen. Die Ausgangswerte der
Integratoren f 2 und f 3 sind gleich -sin z, und - cos -c, und sind
noch vom vorangegangenen Abschnitt als Ausgangswerte bekannt.
-
Die Aufgabe besteht darin, mit Hilfe einer Nachlaufregelung die Ausgangskrümmung
als Ausgangswert des Integrators f 1 zur Zeit t = 0 und die Konstante
-2 c, mit der sich die Krümmung zeitlich linear verändern soll, so zu bestimmen,
daß die erzeugte Interpolationskurve von Po aus durch die vorliegenden Stützpunkte
P1 und P2 läuft. Die gesuchten Größen seien b, und co. Läuft die Kurve von Po aus
mit den zu dem vorangegangenen Interpolationsabschnitt von P_1 bis Po gehörenden
Größen b-, und c_, weiter, so läuft sie zwar durch P1, verfehlt aber allgemein den
Punkt P2.
-
Werden dabei fortlaufend die Abstände des Kurvenpunktes P(xy,) zu
den Stützpunkten P1 und P2 hin gemessen, so können z. B. die kürzesten Abstände
von der Kurve bis zu den Stützpunkten als Maß zur Korrektur der Größen b und c verwendet
werden, und zwar in der Form, daß der kleinste Abstand der Kurve von P1 die Größe
b und der von P2 die Größe c einstellt.
-
Dazu sind die Abstände als Funktionen der Zeit zu bestimmen und deren
Minimalwerte dann auszublenden, wenn das zeitliche Differential dieser Funktionen
gleich Null wird. Zur Ermittlung dieser Zeitpunkte wird zweckmäßigerweise jedoch
das Quadrat des Abstandes (v - Y1)2 + (x - x1)2 bzw. (y - Yj2 +
(x - x.)2 differenziert, damit die Wurzelfunktion nicht gebildet zu werden
braucht, so daß entsteht:
Da die Ableitungen von x und y bereits in der Rechenschaltung gebildet werden, sind
für die meßtechnische Erfassung dieser Ausdrücke nur noch die entsprechenden Additionen
und Multiplikationen auszuführen.
-
Ferner können an Stelle der Abstandsfunktionen, aus denen die Minimalwerte
dann auszublenden sind, wenn die eben genannten Beziehungen erfüllt sind, der Einfachheit
halber auch fortlaufend die Größen lY-Yll + Ix-x,1 bzw. ly-Y21 + Ix-x.1 bestimmt
und abgetastet werden. Es sind dabei die Absolutwerte zu bilden, da z. B.
-
(Y-Y# = -(x-x#
werden kann, ohne daß die Kurve
bereits durch P2 läuft. Außerdem könnte mit dem Vorzeichen von (y y2) + (x-x2) noch
nicht entschieden werden, ob die Größe c zu vergrößern oder zu verkleinern ist.
Das gleiche gilt für die Einstellung der Größe b, die zwar erst dann zu ändern ist,
wenn die Größe c den Wert c_1 verlassen hat und die Kurve demzufolge nicht mehr
durch P1 läuft.
-
Die F i g. 6 zeigt das vereinfachte Blockschaltbild zu einem Ausführungsbeispiel
des Analognachlaufrechners.
-
Zur Erläuterung dieses Bildes werde bei dieser Gelegenheit gleich
der Interpolationsbeginn beschrieben, bei dem der Winkel To noch unbekannt ist und
nur die Daten der ersten vier Stützpunkte gegeben sind. Wie bereits erwähnt, sind
im allgemeinen Fall die beiden Größen b und c durch iterativen Nachlauf zu bestimmen,
in diesem Ausnahmefall am Beginn wäre aber eine Dreifachregelung notwendig. Um den
Aufwand nicht weiter auszudehnen, erscheint es daher zweckmäßig, für den ersten
Interpolationsabschnitt nur die ersten drei Stützpunkte heranzuziehen und den Kreisansatz
zu machen, für den in Gleichung (1) bzw. (5) der Koeffizient c = 0 zu setzen ist.
-
In F i g. 6 ist mit 1 die Analogrechnereinheit von F i g. 5 bezeichnet
und in Verbindung mit einer Einrichtung zur Einstellung der Größen z und b im Falle
des Kreisansatzes bzw. zur Einstellung von b und c im allgemeinen Falle zur Erzeugung
der Spirale darstellt. Das nebenstehende Impulsschema zeigt die Programmfolge. Während
der kurzen Dauer TA werden die Ausgangswerte der Integratoren eingestellt, danach
beginnt der Rechenvorgang für die Dauer TR, die so groß sein soll, daß die durchlaufene
Bogenlänge von Po aus über P2 sicher hinausreicht. Nach der Rechenzeit TR beginnt
die Nachstellzeit TN zur Koeffizienteneinstellung. Danach beginnt der neue Rechenzyklus
wieder mit TA.
-
In der Schaltung werden während der Rechenzeit TR mit Additionsgliedern
2 die Differenzen (y-y,), (y-y3) sowie (x-x,), (x-x2) fortlaufend bestimmt. Dabei
mögen die xy-Daten der Stützpunkte in einem nicht dargestellten Speicher zunächst
vorhanden sein und als Spannungsgrößen den Addiergliedern zugeführt werden. Ferner
wird mit zwei weiteren Multipliziergliedern ir, und 7c4 und einer weiteren Additionseinheit
3 die Größe Y (Y -Y1) + x (x - -v,) gebildet und auf eine nichtlineare
Rechenschaltung gegeben, die im Blockschaltbild als Einheit 4 bezeichnet ist. Die
Übertragungseigenschaft dieses Systems wird durch die eingetragene Kennlinie gekennzeichnet,
bei der die Ausgangsspannung über der Eingangsspannung aufgetragen ist. Daraus ist
ersichtlich, daß beim Nulldurchgang der Eingangsgröße die Ausgangsspannung einen
Sprung macht. In der Einheit 5 wird diese Sprungfunktion differenziert, so daß ein
Impuls besteht. Bei einem Abstandsminimum wird auf diese Weise ein positiver Impuls
erzeugt, bei einem Abstandsmaximum würde ein negativer Impuls entstehen, der für
die Auswertung jedoch unbrauchbar wäre. Aus diesem Grunde werden in der Einheit
_5 über einen Gleichrichter nur die positiven Impulse weitergeleitet, die noch verstärkt,
geformt und auf die nachfolgenden Relais R1, R2, R6 und R, gegeben werden. Von den
Absolutwertbildnern _6 werden fortlaufend die Absolutwerte IY-Yll und Ix-xll gebildet,
dann addiert und an die Haltekreise Hl und HZ zur momentanen Ausblendung und Einspeicherung
durch die Impulse vom System 5 bereitgestellt. Der erste Impuls h schaltet den zugehörigen
momentanen Absolutwert tIY-Yll + I x-xlIImtn auf den Haltekreis Hl, der den
Wert so lange festhält, bis ein neuer Wert aufgeschaltet wird. Der Impuls Il bewirkt
ferner, daß das Kipprelais R1 die Kontakte r12 und r14 und das Kipprelais R2 seinen
Kontakt r2 schließt, so daß von diesem Zeitpunkt ab der Abstand der erzeugten Kurve
zum Stützpunkt P2 hin auf entsprechende Weise ausgewertet wird. Bei einem Abstandsminimum
der Kurve zum Punkt P2 entsteht am System 5 der Impuls I2, der den zugehörigen Wert
fIY-Y21 +1x x211mtn auf den Haltekreis H2 schaltet.
-
Den Haltekreisen schließt sich die Koeffizienten-Einstellstufe 7 an.
Die von den Haltekreisen gespeicherten minimalen Abstandswerte werden erforderlichenfalls
verstärkt und bei dem Kreisansatz zum Interpolationsbeginn auf die Motoren Ml und
M2 gegeben. Der Strom Ix bereitet über die Kontakte r31 und r35 des Relais R3 den
Weg vor und schließt auch den Arbeitskontakt vom Relais R4, so daß der Koeffizient
c zu Null wird. Erst mit dem Beginn der Nachstellzeit TN schaltet das Relais R5
durch einen Strom Ilv die gespeicherten Abstandswerte aus den Haltekreisen über
die Arbeitskontakte r51 und r" auf die Motoren Ml und M2, die über Getriebe G1 und
G$ einen Funktionsgeber 8 in der Form eines Sinus-Kosinus-Potentiometers sowie ein
lineares Potentiometer 9 integrierend fortschreitend während der Nachstellzeit TN
verstellen. Die Zeit TN muß die Ansprechzeit der Motoren wesentlich überschreiten,
darf aber aus Stabilitätsgründen auch nicht zu groß gewählt werden.
-
Die Entscheidung über die erforderliche Drehrichtung der Motoren wird
von dem Ergebnis des nächsten Rechenvorganges abhängig gemacht. Werden die in die
Haltekreise eingetasteten minimalen Abstandswerte der zweiten Rechnung kleiner,
so sind die Drehrichtungen zufällig richtig, im anderen Falle werden über die beiden
Kipprelais R$ und R9 die Motordrehrichtungen umgeschaltet. Hierzu werden die Sprungfunktionen
an den Haltekreisen Hl und H2 mit zwei weiteren Systemen der Art 5, wie sie bereits
beschrieben wurden, differenziert und gleichgerichtet, so daß wieder positive Impulse
entstehen, wenn die Abstandsminima von Rechnung zu Rechnung größer werden, die dann
über die Kontakte r33 und r3, die Kipprelais R3 und Re betätigen. Die Kipprelais
Rfl und Rlo werden auch dann betätigt, wenn die zugehörigen motorgetriebenen Potentiometer
an den Anschlag kommen.
-
Sollten die Größen T und b beim Kreisansatz oder b und c beim Spiralansatz
im Ausgang der Rechnung zufällig so ungünstig liegen, daß die Abstandsmessungen
zunächst noch kein Minimum ergeben, so können bei dem Ausbleiben der Impulse Il
und I2 mit den Kipprelais RB und R, auch konstante Spannungen auf die Motorkreise
geschaltet werden.
'Mach Ablauf der Nachstellzeit Ty beginnt wieder
der neue Rechenzyklus. Während der kurzen Dauer T4 werden die Ausgangswerte der
Integratoren neu eingestellt. Dabei schließt der Strom 1A beim Relais R, wieder
die Kontakte r" und r,3 und bei den Relais R6 und R; die Kontakte r6 und r7, dagegen
wird der Kontakt r2 beim Relais R2 wieder geöffnet.
-
Sind die gesuchten Größen z, und b, durch diesen iterativen Nachlaufvorgang
in der Weise ermittelt, daß die minimalen Absolutwerte @IY-Yii + I x-xil
min
und fJY-Y21 + (x-xli}min eine vorgeschriebene untere Grenze nicht mehr
überschreiten, so ist der Rechenvorgang als beendet zu betrachten und kann abgeschaltet
werden. Der in der F i g. 6 enthaltene Analogrechnerteil von F i g. 5 kann jetzt
als Führungsrechner die Stetigbahnsteuerung der Werkzeugmaschine übernehmen. Dabei
sind die Zeitkonstanten der Integratoren durch Änderung der Rückführkapazitäten
so zu vergrößern, daß die erzeugte Bahngeschwindigkeit die gewünschte Sollgröße
annimmt.
-
Damit jetzt in der relativ langen Zwischenzeit, in der die Werkzeugmaschine
von Po nach P, hin gesteuert wird, die neuen Koeffizienten b, und c, für den Interpolationsintervall
von P, bis P2 bereits ermittelt werden können, erscheint es zweckmäßig, sowohl einen
Analogrechner nach F i g. 5 als Führungsrechner zur Werkzeugmaschinensteuerung als
auch einen Analognachlaufrechner nach F i g. 6 vorzusehen. Dann braucht die Bewegung
der Werkzeugmaschine nicht an jedem Stützpunkt gestoppt zu werden, um auf das Ergebnis
der Koeffizientenbestimmung für den nächsten Interpolationsabschnitt zu warten.
-
Hierzu ist es erforderlich, daß zunächst die Größen bo, (-sin z,)
und (-cos z,) als Ausgangswerte in die Integratoren f 1, f 2 und
f 3 des Führungsrechners nach F i g. 5 eingetastet werden, so daß die Werkzeugmaschine
von Po nach P, von diesem gesteuert wird. Nach dieser Eintastung muß der Nachlaufrechner
noch einmal die Bahn bis zum Punkt P, durchlaufen, um den Winkel -s, bzw. die Größen
(-sin z,) und (-cos -c,) als Ausgangswinkel für den Bereich von P, bis P2 festzuhalten.
Dieses kann bei verminderter Rechengeschwindigkeit dadurch erreicht werden, daß
der Motor M, mit den Größen (-cos z) und (-sin z) den erzeugten Größen
bis zum Punkt P, nachläuft. In der F i g. 6 wurde dieses nicht mehr angedeutet,
um den Rahmen nicht zu sprengen.
-
Für den zweiten Interpolationsabschnitt ist also der Winkel a1 gegeben,
gesucht sind jetzt b, und cl. Die Relais R3 und R4 fallen wieder zurück. Die neuen
Stützpunkte P2 und P3 sind jetzt in ihren x- und y-Daten auf den Punkt P, bezogen.
Im übrigen erfolgt der Nachlauf auf entsprechende Weise wie beim Kreisansatz. Da
die Relais R3 und R4 jetzt stromlos bleiben, werden die in den Haltekreisen H, und
H2 festgehaltenen Abstandswerte den Motoren M2 und M3 zugeführt. Sind die Größen
b, und c, hinreichend genau ermittelt, wird der Rechenvorgang des Nachlaufrechners
unterbrochen. Erreicht der Führungsrechner daraufhin den Punkt P1, so wird vom Nachlaufrechner
die Größe b, übertragen und die Größe c, bzw. (-2c1) über eine Magnetkupplung zusammen
mit dem Potentiometer 10 vom Motor M3 des Nachlaufrechners abgetrennt, da die Größe
(-2c,) am Führungsrechner beim zweiten Abschnitt ständig vorhanden sein muß, im
Gegensatz zu den Ausgangswerten der Integratoren, die nur kurzzeitig eingetastet
werden. Der Motor M3 erhält über eine Magnetkupplung einen neuen Potentiometerkreis
zur Bestimmung der Größe (-2c2). Das Weitere folgt dann wie beschrieben.
-
Gemäß F i g. 7 sind jetzt die Möglichkeiten noch zu diskutieren, welche
Kurvenarten mit dem erläuterten Analognachlaufrechner im einzelnen erzeugt werden
können. Der Abschnitt von P_1 bis Po sei beispielsweise durch eine Gerade unter
dem Winkel z, zu verbinden. Dann gibt es vom Stützpunkt Po aus insgesamt vier Möglichkeiten,
zum Punkt P, zu gelangen: a) die geradlinige Verbindung, gekennzeichnet durch das
Kurvenzeichen G, b) die Kreisverbindung mit Winkelanschluß in Po, bestimmt durch
Po, -o, P, und gekennzeichnet durch Km,
c) die Kreisverbindung ohne Winkelanschluß,
bestimmt durch Po, P,, P2 und gekennzeichnet durch Ko, d) die allgemeine Spiralenverbindung
mit Winkelanschluß, bestimmt durch Po, za, P" P2 und bezeichnet als Sm.
-
Bei Eingabe der Stützpunktdaten auf einem Lochstreifen ist es zweckmäßig,
zwischen den d x- und dy-Werten der Stützpunkte, bezogen jeweils auf den
vorhergehenden Punkt, diese Kurvenzeichen mit einzuspeichern.
-
Für die allgemeine fortlaufende Interpolation, bei der im Anfang der
Kreisansatz K4 und dann fortlaufend der Spiralenansatz S gemacht wird, wäre das
zwar nicht notwendig, aber gerade bei der Werkzeugmaschinensteuerung kommt es häufig
vor, daß z. B. auf einen Geradenabschnitt ein exakter Kreisabschnitt auch ohne Winkelanschluß
folgen soll. Diese Informationen sind als Befehle mit einzugeben.
-
So kann zu Beginn auf dem Lochstreifen das Kurvenzeichen G oder KO
stehen, es folgen die Daten dxo und dyo, eines der vier Zeichen G, Km, K,
oder Sm und weiter 4x, und 4y, usf. Ist an einem Stützpunkt das Zeichen K,
oder Sm gegeben worden, so kann beim nächsten Punkt das Kurvenzeichen fehlen.
Dann wird wie in F i g. 7 z. B. bei dem Kreis KO oder bei der Spirale
Sm von Po bis zum Punkt P2 hin weiterinterpoliert. Beim Endpunkt der gesamten
Interpolationsbahn wird das Zeichen E noch gespeichert zur Abschaltung der Anlage.
-
In der F i g. 8 sind noch einmal die Einheiten des Interpolators in
einem Blockschaltbild zusammengefaßt. Das Steuerwerk bildet die zentrale Einheit.
Es gibt die Befehle an die Lesevorrichtung zur Übertragung der Ix- und dy-Daten
in den Speicher und zur Übermittlung des Kurvenzeichens Kz in das Steuerwerk. Der
Speicher enthält eine Additionsvorrichtung, dirigiert vom Steuerwerk, so daß dem
Kurvenzeichen entsprechend auch die Größen x2=dxl+dx, und y,=dy,+dys gebildet werden
können, bezogen auf den jeweiligen Ausgangspunkt P".
Ferner sind
in der Speichereinheit Digital-_Analog-Wandler enthalten, die die Digitalgrößen
x1, x2, y1, Y2 in analoge Spannungsgrößen umsetzen und in den Nachlaufrechner nach
F i g. 6 übertragen. Das Steuerwerk schaltet im Nachlaufrechner an Hand des gerade
vorliegenden Kurvenzeichens die erforderlichen Relaiskombinationen und gibt den
Befehl an den Programmgeber zur Programmsteuerung des Nachlaufrechners. Sind die
gesuchten Koeffizienten ermittelt, so wird dies dem Programmgeber gemeldet, der
die berechneten Koeffizienten in den Führungsrechner nach F i g. 5 übertragen läßt
und diesen einschaltet, so daß die Werkzeugmaschinensteuerung beginnt. Daraufhin
erteilt der Programmgeber erforderlichenfalls den Befehl, daß der Nachlaufrechner
noch den Winkel r1 bestimmt und speichert, worauf das Steuerwerk die Informationen
für den nächsten Interpolationsabschnitt anfordert. Die Bestimmung der neuen Koeffizienten
erfolgt dann wie beim ersten Abschnitt.
-
Hat der Führungsrechner alsdann den Punkt P1 erreicht, so wird dies
dem Programmgeber angezeigt, der die neuen Koeffizienten sofort wieder vom Nachlaufrechner
in den Führungsrechner übertragen läßt.
-
Hinsichtlich der mit dem Analogrechnerverfahren erzielbaren Genauigkeit,
deren Grenze etwa bei 0,10/0 liegt, bleibt zu erwähnen, daß, abgesehen von der Möglichkeit,
die Stützpunktdichte entsprechend den gestellten Forderungen anzupassen, noch eine
Möglichkeit der digitalen Korrektur darin besteht, daß die von dem Lochstreifen
zugeführten digitalen Informationen mit den von der Werkzeugmaschine tatsächlich
erreichten Positionen bei jedem Stützpunkt verglichen und bei Abweichungen Korrekturbefehle
erteilt werden.
-
Für die Werkzeugmaschine selbst sind in jedem Falle für die beiden
Achsenrichtungen zwei Nachlaufregelkreise erforderlich. Wie die F i g. 8 zeigt,
werden in den Vergleichs- und Korrektursystemen 11 die Führungsgrößen x und y mit
den Rückführungen aus den Wegmessystemen 13 verglichen und die Signaldifferenzen
an die Antriebssysteme _12 gegeben, die die Schlitten 14 bewegen. Beim Erreichen
des Stützpunktes P1 können die Größen x und y noch mit den Sollgrößen
x1 und y1 verglichen werden und von den Systemen 11 Korrekturbefehle erteilt werden.