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Die
Erfindung betrifft ein Glättungsverfahren
für digitalisierte
Signale mittels linearer Regression mit reduzierter Messpunkteanzahl.
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Gewöhnlich werden
zur Glättung
von digitalisierten Signalen Filter aller Art eingesetzt um störendes Signalrauschen
und Signalspitzen weitgehend zu unterdrücken. Wenn der Bauteile- und
Speicheraufwand gering gehalten werden soll, lohnen sich keine aufwendigen
Digitalfilter. In solchen Fällen
bieten sich Mittelwertbildungen wie gleitender Mittelwert oder das
arithmetische Mittel an. Die gleitende Mittelwertbildung benötigt zwar
weniger Variablen, der Signalverzug ist aber bedeutend größer als
der bei Verwendung der arithmetischen Mittelbildung.
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Die
Signalglättung
betreffend, weisen beide Methoden ein entscheidendes Manko auf:
die Verbindungen der Abtastpunkte bleiben bei entsprechendem Signalrauschen
mit akzeptablem Signalverzug zackig. Die Erfindung erlaubt es nun über die
lineare Regression, die im Nutzsignal enthaltenen und durch die
Abtastung veränderten
Signalstörungen,
im Vergleich zu Mittelwertbildungen bei annähernd gleichem Signalverzug,
mit wenig Aufwand stärker
zu schmälern.
Unterschiedliche Abtastzeiten haben wie üblich, Auswirkungen auf den Frequenzverlauf
des Nutzsignals.
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Der
gleitende Mittelwert m ergibt sich aus der gleichteiligen Rückrechnung
des aktuellen Mittelwerts m[i] beim Schrittindex i, dem anteiligen
aktuellen Signalwert z[i] und der Anzahl n der angenommenen Glieder. Bei
allen Darstellungen wird ein gleichbleibender Messabstand Δt (Abtastung)
vorausgesetzt. Der gleitende Mittelwert m beträgt
und (1)
umgestellt ergibt den Altwert m[i] plus Zuwachs, als Bruchteil des
Abstands vom Signalwert z[i] zum Altwert m[i]
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Im
Gegensatz dazu beträgt
bekanntlich das arithmetische Mittel ma über n Werte z
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Die
Summe der Differenz z[i] – m[i – 1] des
gleitenden Mittelwerts in (2) entspricht bei n = 1 dem Ursprungswert
z[i] und der Glättungseffekt
steigt mit n an. Mit n steigt auch der Signalverzug. Die Signalnachführung geschieht
kontinuierlich mit dem aktuellen Mittelwert m[i]. Auch das arithmetische
Mittel lässt
sich nachführen,
indem die jeweils letzten n Werte der Messwertefolge in (3) herangezogen
und zwischengespeichert werden.
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Z.
B. sei das arithmetische Mittel mit n = 2 nachgeführte gemittelte
Werte sowie der gleitende Mittelwert, ebenfalls mit n = 2 gegeben.
Die Folgewerte seien gleich groß mit
z[i] = z[i – 1].
Jeder gleitende Mittelwert m[i] der Folgewerte wird dividiert durch
jedes arithmetische Mittel ma[i]. Das ergibt mit n = 2 für jeden
Folgewert i und i ≥ n
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Die
Näherung
des Quotienten gegen 1 erfolgt bei konstantem z allmählich. Da
das arithmetische Mittel dabei wie z konstant ist, eilt der gleitende
Mittelwert dem arithmetischen Mittel nach. Das ist auch verallgemeinernd
beim Signalverzug der Fall, da beim gleitenden Mittelwert mehr Zyklen
nötig sind,
die Differenz bis zu einer definierten Istwertnähe zu überbrücken.
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Nach
(2) verkleinert sich bei größerem n
der Zuwachs und der Pegel des Mittelwerts läuft dem Originalsignal stärker hinterher,
der Signalverzug vergrößert sich.
Der Zuwachs in (2) lässt
sich auch aus einer Punktefolge mit dem konstanten Abstand Δt mit
aus der
Steigung substituieren.
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Bringt
man in (4) das n als nt auf die andere Seite, so ist die Steigungsbasis
auf nt Punkte erweitert. Dann lassen sich Schwankungen der Punktewerte,
bezogen auf die erweiterte Steigungsbasis nt·Δt, mindern. Hierzu ist die lineare
Regression bei jedem Punkt über
die jeweils letzten nt Punkte herangezogen (Regressionsfensterbreite).
Der Regressionskoeffizient entspricht nun tanψ und für die Signalglättung ergibt
sich daraus der geglättete
Signalwert mr aus der Summe der Distanzen tanψ[i]·Δt des zugrunde gelegten Regressionskoeffizienten
mit mr[i] = mr[i – 1] + tanψ[i]·Δt. (5)
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Allerdings
ist nachteilig, dass nt Vergangenheitswerte (z. B. nt = 32) gehalten
werden müssen.
Nimmt man dagegen einen etwas erhöhten Signalverzug in Kauf (was
oft möglich
ist), so lässt
sich nt stark verkleinern. Dazu ist der jeweils aktuelle Signalwert
z[i] für
die Regression zum Rechenwert z_neu[i] angepasst, indem sein Abstand
zum vorherigen Wert zh[i – 1]
der Regressionsgeraden aus den vorangegangenen Signalwerten, mit
dem Divisor (nt + nx) verkleinert ist mit
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Der
Festwert nx dient der Wirkungserhöhung und er beträgt z. B.
nx = 8. Die Anzahl der Regressionspunkte nt beträgt z. B. auch nt = 8 oder kann
zum Wechsel der Regressionsfensterbreite verändert werden. Der Festwert
nx bleibt hiervon unberührt.
zh[i – 1]
ist ein äußerer Wert
auf der Regressionsgeraden, der für jede Abtastung neu berechnet
wird. Der Divisor (nt + nx) > 1
bestimmt den Glättungsgrad.
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Zur
Realisierung sind nur die Signalwerte selbst verwendet, die Zeitebene
ist generiert. Dazu werden jeweils die letzten nt Signalwerte des
Signaldatenstroms in den Datenfeldelementen y[0] bis y[nt – 1] gehalten, wobei
y[0] die Elementeseite mit dem aktuellen Rechenwert z_neu[i] ist.
Für die
Zeitachse sind zur Vereinfachung ganzzahlige Hilfsparameter genutzt,
die allesamt Produkte der konstanten Abtastzeit Δt mit gleichen Faktoren darstellen.
Als rechnerisch zugeordnete x-Größen zur
linearen Regression, entsprechen sie den Indexwerten 0 bis nt – 1.
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Bei
der linearen Regression gilt bekanntlich für die Regressionsgerade yr
mit dem Regressionskoeffizienten b und dem Koeffizienten a über nt Punkte
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Die
Lage von zh[i – 1]
auf der Regressionsgeraden yr ist für die Anwendung variierbar.
Der Wert zh[i – 1]
ist dem aktuellen Signalwert z[i] zugeordnet und bereits bei der
vorangegangenen Abtas tung berechnet worden, als bei der aktuellen
Abtastung das Datenelement y[0] mit z_neu[i] überschrieben wurde. Zum Berechnungszeitpunkt
von z_neu[i] gelten zh[i – 1]
und der Regressionskoeffizient b der vorangegangenen Abtastung mit Δt fortgeführt zh[i – 1]
= a[i – 1]
+ b[i – 1]·nt. (7)
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Der
vorausgreifende Wert ist zh[i] für
die nachfolgende Abtastung und es gilt zur aktuellen Regressionsfensterbreite zh[i] = a[i] + b[i]·(nt – 1). (8)
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Für die Anwendung
geeignet ist zur aktuellen Abtastung zh[i]
= a[i] + b[i]·(nt – k), mit
k ≥ 0. (9)
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Bei
k > 1 macht sich der
Signalverzug bereits stärker
bemerkbar, sodass sich bei (7) und (8), angewendet in (9) mit 0 ≤ k ≤ i, Glättung und
Signalverzug gut einstellen lassen.
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Bei
jeder Abtastung Δt
werden nun im ersten Rechenschritt die Rechenwerte der Regressionspunkte mit
den abwärts
laufenden Datenelementen y[nt – 1]
bis y[0] um 1 Stelle verschoben (Schieberegister) und schließlich wird
der aktuelle Rechenwert z_neu[i] aus dem Signalwert z[i] nach (6)
berechnet und im frei gewordenen Datenelement y[0] gehalten. Dazu
steht der aus dem vorherigen Durchgang des zweiten Rechenschritts
gemerkte äußere Wert
zh[i – 1]
auf der Regressionsgeraden yr, zur Verfügung.
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Der
zweite Rechenschritt ermittelt zuerst den Koeffizienten a und den
Regressionskoeffizienten b des abwärts durchlaufenen Zeitintervalls Δt·(nt – 1) bis Δt·0 zu den
Signalwerten y[nt – 1]
bis y[0]. Anschließend wird
nach (9) mit Hilfe der Koeffizienten a und b, der äußere Wert
zh[i] der aktuellen Regressionsgeraden yr zur nachfolgenden Abtastung
berechnet. Für
die Zeitwerte x[i] der Signalwerte z[i] ist wie bereits erwähnt, zur linearen
Regression der ganzzahlige Index der Datenelemente y[] verwendet.
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Im
dritten Rechenschritt wird nach (5) der geglättete Signalwert mr[i] ermittelt.
Für den
Regressionskoeffizienten b gilt tanψ[i] = b[i]und
da im Zeitintervall für
jeden Signalpunkt mit x[i] der rechnerische Zeitabstand Δt = 1 besteht,
ist damit in (5) als Regressionskoeffizient multipliziert mit dem
Zeitabstand Δt,
die Distanz verkürzt
gegeben mit tanψ[i]·Δt = tan ψ[i].
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Wird
anstatt (5) das arithmetische Mittel als mr → Σy[i]/nt herangezogen, so ist
die Signalglättung
im Detail weniger gut.
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Die
Indizierung 0 vom aktuellen Signalwert beginnend, bis nt – 1 geschieht
rückläufig, weshalb
der Regressionskoeffizient b ein negatives Vorzeichen erhält.
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Die
Glättung
ist über
die Änderung
der Pegeldifferenzen je Abtastung Δt mit
besonders grafisch vorteilhaft
zu vermitteln. Dagegen vergrößert sich
der Korrelationskoeffizient in Richtung Nulllinie stark und ist
daher als Veranschaulichung der Glättung weniger geeignet. Das
Frequenzspektrum gibt zwar die Größenrelationen der Signalveränderungen
wieder, der Darstellungsaufwand hierfür ist allerdings größer.
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Es
folgen zwei ablauffähige
kleine Musterprogramme. Im ersten Muster ist eine Regressionsfensterbreite
von nt = 8 Stellen fest eingerichtet und es gibt zur schnelleren
Abarbeitung keine Schleifen. Im zweiten Muster werden gleichzeitig
jeweils 4 Stellen abgearbeitet. Die freie Wahl von nt ist möglich, soweit
nt durch 4 teilbar ist. 1.
Muster:
2.
Muster: