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Die
Erfindung betrifft eine Anordnung und ein Verfahren zur optimalen
Bestimmung der linearen und nichtlinearen Parameter eines Modells
für einen Wandler, der Eingangssignale (z. B. elektrische,
mechanische oder akustische Signale) in Ausgangssignale (z. B. elektrische,
mechanische oder akustische Signale) umformt. Wandler dieser Art
sind vorrangig Aktuatoren (Lautsprecher) und Sensoren (Mikrofone),
aber auch andere elektrische Speicher- und Übertragungssysteme.
Das Modell ist nichtlinear und beschreibt das Übertragungsverhalten
des Wandlers sowohl im Klein- als auch im Großsignalbereich,
das heißt für beliebige Eingangssignale können
die Ausgangssignale und die internen Zustände des Wandlers
mit Hilfe des Modells vorhergesagt werden. Das Modell besitzt veränderliche
Parameter, mit denen die besonderen Eigenschaften des konkreten
Wandlers erfasst werden können. Die Modellierung von Wandlern
und die automatische Bestimmung der freien Parameter des Modells
sind für messtechnische Anwendungen (z. B. Bewertung des
Wandlers, Fehlerdiagnose) und aktive Steuerung des Wandlers (z.
B. Linearisierung des Wandlers) notwendig. Die optimale Schätzung
dieser Parameter und die Vermeidung systematischer Fehlschätzungen
der nichtlinearen Parameter ist das Ziel der Erfindung.
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STAND DER TECHNIK
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Die
Modellierung eines unbekannten Systems, die Auffindung einer adäquaten
Struktur des Modells, die Schätzung der freien Modellparameter
und inneren Zustandsvariablen und des Ausgangssignals wird unter dem
Begriff Systemidentifikation zusammengefasst. Für die Anpassung
und Parameterbestimmung von linearen Modellen sind eine Vielzahl
von Methoden entwickelt wurden, die jedoch auf die Identifikation
nichtlinearer Systeme nur bedingt anwendbar sind. Für nichtlineare
Modelle mit einer sehr allgemeinen Struktur (z. B. Polynomfilter
basierend auf dem Volterra-Wiener-Ansatz. siehe
V. J. Mathews,
Adaptive Polynomial Filters, IEEE SP MAGAZINE, July 1991, S. 10–26)
wurden Methoden entwickelt, die eine optimale Schätzung
der Parameter gewährleisten, wenn die Ordnung des Polynomfilters
und die Anzahl der freien Parameter ausreichend groß sind.
Diese Methoden sind jedoch für einige praktische Aufgaben
(z. B. elektroakustische Wandler) nicht anwendbar, da der anfallende
Rechenaufwand mit derzeit verfügbaren Signalprozessoren
nicht bewältigt werden kann. Unter Ausnutzung von zusätzlichem
Vorwissen über die physikalischen Zusammenhänge
(z. B. elektrodynamischen Wechselwirkungen) wurden jedoch bedeutend
einfachere nichtlineare Modelle für Wandler entwickelt,
die die Grundlage für die Entwicklung von nichtlinearen
Steuerungssystemen und Messsystemen sind. Ausgehend von dem elektroakustischen
Modell des Lautsprechers wurden in diesem Sinne spezielle nichtlineare
Modellstrukturen entwickelt (
U.S.
Patent 5,438,625 und
J. Suykens, et al., "Feedback
Linearization of Nonlinear Distortion in Electrodynamic Loudspeakers,"
J. Audio Eng. Soc., Band 43, Seite 690–694). Diese
Modelle besitzen eine überschaubare Komplexität
und enthalten eine minimale Anzahl von Zustandsvariablen (Auslenkung,
Schnelle, Strom, Spannung, magnetischer Fluss, ...) und freien Parameter
(Masse, Steifigkeit, Widerstand, Induktivität, Kraftfaktor),
die direkt physikalisch interpretierbar sind. Für den elektroakustischen
Wandler wurden eine Vielzahl von Messmethoden entwickelt, mit denen
die linearen und nichtlinearen Parameter geschätzt werden
können. Neben statischen Methoden wurden dynamische Methoden
entwickelt, die ein Wechselsignal zur Anregung des Wandlers benutzen.
Ausgehend von einer traditionellen Messung der harmonischen Klirr-
und Intermodulationsverzerrungen mit einem einzelnen Ton oder einem
Zweitonsignal als Stimulus wurden die einzelnen Verzerrungskomponenten
zweiter, dritter und höherer Ordnung im Ausgangssignal
gemessen und die Parameter geschätzt (
W. Klippel,
"The Mirror Filter – a New Basis for Reducing Nonlinear
Distortion Reduction and Equalizing Response in Woofer Systems",
J. Audio Eng. Society 32, Heft 9, S. 675–691, (1992)).
Dieses Verfahren ist jedoch sehr zeitaufwendig, da verschiedene
Teilmessungen mit veränderten Anregungsfrequenzen durchgeführt
werden müssen. Die Verwendung eines Multitonsignals als
Stimulus ist bei diesen Methoden nicht möglich, da bei
Erhöhung der Anzahl der Signalkomponenten im Anregungssignal
die Anzahl der Verzerrungskomponenten überproportional
ansteigt und eine eindeutige Zuordnung der Verzerrungskomponenten
als Harmonische, Differenztöne oder Summentöne
unmöglich wird. Um die linearen und nichtlinearen Parameter
des Wandlermodells auch bei der Übertragung von normalen
Audiosignalen und komplexen Testsignalen (Rauschen, Multitonsignal)
schätzen zu können, wurden adaptive Strukturen
entwickelt, die zur Messung der Modellparameter verwendet werden.
Hierbei kann das adaptive Modell in verschiedener Weise mit dem
Wandler verknüpft sein (Parallelschaltung, seriell als
Prefilter oder seriell als Postfilter) siehe
DE 4332804A1 oder
W.
Klippel, "Adaptive Nonlinear Control of Loudspeaker Systems," J.
Audio Eng. Society 46, pp. 939–954 (1998).
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Die
Patente
DE 4334040 ,
WO 97/25833 ,
US 2003/0118193 ,
US 6269318 ,
US 5,523715 legen Steuerungssysteme
offen, die keinen zusätzlichen akustischen oder mechanischen
Sensor benötigen. Eine adaptives Modell schätzt
die Parameter des Wandlers aus der elektrischen Klemmenspannung
und dem Eingangsstrom.
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Die
bekannten Methoden der nichtlinearen Systemidentifikation
US 4,196,418 ,
US 4,862,160 ,
US 5539482 ,
EP1466289 ,
US 5268834 ,
US 5266875 ,
US 4291277 ,
EP1423664 ,
US 6,611,823 ,
WO 02/02974 ,
WO 02/095650 liefern optimale Schätzwerte
für die Modellparameter nur dann, wenn das Modell das Verhalten des
Wandlers vollständig beschreibt. In Praxis gibt es natürlich
immer Unterschiede zwischen dem theoretischen Modell und dem realen
Wandler, was zu erheblichen Fehlschätzungen der nichtlinearen
Parameter führt. Das soll im Folgenden näher erläutert
werden:
Das Ausgangssignal y(t) des Wandlers
y(t) = ynlin(t) + ylin(t) (1)besteht
aus einem nichtlinearen Signalbestandteil
ynlin(t) = PsnGn(t) (2)und
einem linearen Signalbestandteil
ylin(t) = PslGl(t) + PresGres(t) + n(t). (3) -
Der
lineare Signalbestandteil ylin(t) enthält
einen modellierbaren linearen Signalanteil PslGl(t), einen nichtmodellierbaren linearen
Anteils PresGres(t)
und ein Störsignal n(t). Hierbei seien die Signale im linearen Gradientenvektor
Gl(t) nicht korreliert (statistisch unabhängig)
mit den Signalen im linearen Gradientenvektor Gres(t).
Das Störsignal n(t) beschreibt stochastische Signale (z.
B. Rauschen) oder deterministische Signale (z. B. Netzbrummen).
Der nichtlineare Signalanteil ynlin(t) kann
als nichtlineare Verzerrung interpretiert werden, die im nichtlinearen
Gradientenvektor GTn (t) = [g1(t) g2(t)...gN(t)] (4)wie
zum Beispiel GTn (t) = [i(t)x(t)2 i(t)x(t)4 i(t)x6] (5)durch
Multiplikationen des Eingangssignals x(t) mit dem Eingangsstrom i(t) = hi(t)·x(t). (6)entstehen
und anschließend mit dem nichtlinearen Parametervektor Psn = [ps,1 ps,2...ps,N], (7)gewichtet
werden.
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Das
Modell erzeugt ein Ausgangsignal y'(t)
= PnGn(t) + PlGl(t), (8)das ebenfalls
durch Überlagerung eines nichtlinearen Signalanteils PnGn(t) und eines
linearen Anteils PlGl(t) entsteht.
Es ist das Ziel der optimalen Parametermeterschätzung,
die linearen Parameter Pl =
[pl,1 pl,2...pl,L] (9)als
auch die nichtlinearen Parameter Pn = [pn,1 pn,2...pn,N] (10)des Modells
in Übereinstimmung mit den wahren Parameter des realen
Wandlers zu bringen (d. h. Pn → Ps,n, Pl → Ps,l).
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Ein
geeignetes Kriterium für die Beschreibung der Übereinstimmung
zwischen Modell und realem Wandlersystem ist das Fehlerzeitsignal
e(t) = y(t) – y'(t), (11)das sich
auch als Summe
e(t) = en(t)
+ el(t) + er(t) (12)des nichtlinearen
Fehleranteils
en(t)
= ΔPnGn =
(Psn – Pn)Gn, (13)des
linearen Fehlers
el(t)
= ΔPlGl =
(Psl – Pl)Gl (14)und
des Restfehlers
er(t)
= PresGres(t) +
n(t) (15)beschreiben
lässt. Die derzeit bekannten Methoden der nichtlinearen
Systemidentifikation bestimmen optimale Schätzwerte für
die linearen und nichtlinearen Modellparameter in der Weise, dass
das Gesamtfehlersignal e(t) in einer Kostenfunktion
C = E{e(t)2} → Minimum (16)minimiert
wird. Die linearen Parameter P
l können
durch Einsetzen von Gln. (1) und (8) in (11) und Multiplikation mit
dem transponierten Gradientenvektor G
l T(t) und Bestimmung des Erwartungswertes
bestimmt werden. Hierbei
erhält man die Wiener-Hopf-Gleichung für die linearen
Parameter
PlE{Gl(t)GTl (t)} = E{ylin(t)GTl (t)} – E{en(t)GTl (t)},
PlSGGl = SyGl + SrGl (18)wobei
berücksichtigt wurde, dass der residuale Restfehler e
r(t) nicht korreliert ist mit dem Gradientensignal G
l(t). Die linearen Parameter des Modells
Pl = (SyGl +
SrGl)SGGl –1
Pl =
Psl + ΔPl (19)können
durch Matrixinversion von S
GGl und Umstellung
der Wiener-Hopf-Gleichung direkt berechnet werden oder mit Hilfe
eines adaptiven Algorithmus zum Beispiel mit dem LMS-Algorithmus
PTl (t) = PTl (t – 1) + μGl(t)e(t)
= PTl (t – 1) + μGl(t)el(t) + μGl(t)en(t)
→ pTsl + ΔPTl (20)iterativ
bestimmt werden, wobei die Konstante μ die Lerngeschwindigkeit
bestimmt. Die linearen Parameter P
l werden
ohne systematischen Fehler ΔP
l geschätzt,
sobald der nichtlineare Fehler e
n(t) verschwindet,
d. h. die nichtlinearen Parameter ebenfalls optimal geschätzt
werden.
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Die
Minimierung des Gesamtfehlersignals in Gleichung (16) führt
jedoch zu einer systematischen Fehlschätzung der nichtlinearen
Parameter Pn, sobald ein Restfehler er auftritt. Durch Einsetzen von Gln. (1) und
(8) in (11) und Multiplikation mit dem transponierten Gradientenvektor
Gn T(t) erhält
man die Wiener-Hopf-Gleichung für die nichtlinearen Parameter PnE{Gn(t)GTn (t)}
= E{ynlin(t)GTn (t)} – E{[el(t) + er(t)]GTn (t)},
PnSGGn = SyGn + SrGn (21) wobei SGGn die Autokorrelation der Gradientensignale,
SyGn die Kreuzkorrelation der Gradientensignale
mit dem Signal ylin(t) und Srgn die
Kreuzkorrelation des Restfehlers mit dem Gradientensignal beschreibt.
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Die
nichtlinearen Parameter des Modells Pn = (SyGn + SrGn)SGGn –1
Pn = Psn + ΔPn (22)können
durch Matrixinversion von SGGn und Umstellung
der Wiener-Hopf-Gleichung direkt berechnet werden oder mit Hilfe
eines adaptiven Algorithmus zum Beispiel mit dem LMS-Algorithmus PTn (t) = PTn (t – 1) + μGn(t)e(t)
= PTn (t – 1) + μGn(t)en(t) + μGn(t)[el(t) + er(t)]
→ PTsn + ΔPTn (23)iterativ
bestimmt werden. Die Lösung dieses Schätzproblems
führt bei Anwendung von bekannten Methoden zum gegenwärtigen
Stand der Technik zu einer systematischen Fehlschätzung
(bias) der nichtlinearen Parameter Pn um
den Fehler ΔPn, solange E{Gn(t)[el(t)
+ er(t)]} ≠ 0 (24)gilt.
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Dieser
Fehleranteil ΔPn in Pn kann
durchaus 50% übersteigen, da in vielen praktischen Anwendungen die
Kreuzleistungsdichte SrGn des Restfehlers
die Kreuzleistungsdichte SyGn dominiert.
Einfacher ausgedrückt: Die nichtlinearen Verzerrungen im
Messsignal y(t) sind relativ klein im Vergleich zum Restfehler er(t) und el(t), der
vorrangig durch die Unvollkommenheiten des linearen Modells verursacht
wird.
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Entsprechend
dem gegenwärtigen Stand der Technik würde man
fordern, dass die Ordnung L des linearen Modells erhöht
werden müsste, um das reale Wandlersystem mit der Impulsantwort
hm(t) vollständig zu beschreiben,
so dass der Restfehler er(t) vollständig
verschwindet. Diese Forderung lässt sich in der Praxis jedoch
kaum erfüllen. Ein Lautsprecher besitzt zum Beispiel bei
Berücksichtigung des viskoelastischen Verhaltens der mechanischen
Aufhängung und der Wirbelströme im magnetischen
Eisenkreis (Polplatte, Polkern) eine sehr komplizierte Übertragungsfunktion,
die mit einem rekursiven digitalen IIR-Filter niedriger Ordnung oder
einer endlichen Impulsantwort eines nichtrekursiven FIR-Filter nur
unzureichend beschrieben werden kann. Elektroakustische Systeme
(Lautsprecher) sind darüber hinaus zeitvariant und ihre
Parameter verändern sich durch Alterung und mit den Umweltbedingungen
(Temperatur, Luftfeuchte).
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ZIELE DER ERFINDUNG
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Es
ist das Ziel der Erfindung, die nichtlinearen Parameter Pn und die linearen Parameter Pl des
Modells ohne einen systematischen Schätzfehler zu bestimmen,
obwohl Störsignale das Messsignal verfälschen
und das Modell die linearen Eigenschaften des Wandlers nicht vollständig
erfasst. Die Parameterschätzung sollte durch Anregung des
Wandlersystems mit Hilfe eines normalen Audiosignals (z. B. Musik)
oder eines breitbandigen Testsignals (z. B. Rauschen) oder eines
Steuersignals (z. B. bei der aktiven Lärmbekämpfung)
ausreichender Amplitude realisiert werden. Das zu übertragene
Signal soll durch die Messeinrichtung nicht oder höchstens
minimal verändert werden und die subjektiv empfundene Übertragungsqualität
nicht verschlechtern. Die Erfindung soll in digitalen Signalprozessoren
einfach realisiert werden können.
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ZUSAMMENFASSUNG
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Entsprechend
der Erfindung werden die nichtlinearen Parameter Pn so
geschätzt, dass der nichtlineare Fehleranteil en(t) in der nichtlinearen Kostenfunktion Cn = E{en(t)2} → Minimum (25)minimal
wird und die Korrelation zwischen nichtlinearem Gradientensignal
und nichtlinearem Fehler E{Gn(t)en(t)} = 0 (26)verschwindet.
Dadurch kann eine systematische Fehlschätzung der nichtlinearen
Parameter Pn vermieden werden.
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Diese
fehlerfreie Schätzung der nichtlinearen Parameter führt
jedoch nicht notwendigerweise dazu, dass auch das Gesamtfehlersignal
e(t) und die Kostenfunktion C in Gleichung (16) minimal werden.
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Da
die nichtlineare Kostenfunktion Cn sich
nicht für eine fehlerfreie Schätzung der linearen
Modellparameter eignet, müssen die linearen und nichtlinearen
Parameter mit getrennten Methoden und unterschiedlichen Kostenfunktionen
identifiziert werden. Das ist der entscheidende Ansatzpunkt der
vorliegenden Erfindung und der entscheidende Unterschied zum Stand
der Technik. Theoretisch lässt sich diese Aufgabe dadurch
lösen, dass der Gesamtfehlersignal e(t) in Teilsignale
entsprechend Gleichung (12) zerlegt wird und die nichtlinearen Parameter
ausschließlich mit dem nichtlinearen Fehler en(t)
geschätzt werden. Praktisch lässt sich diese Lösung
jedoch nur schwer realisieren und es ist günstiger, das
Gradientensignal Gn(t) durch eine geeignete Transformation
Tg in ein modifiziertes Gradientensignal G'T(t) = [g'1(t)
g'2(t)...g'N(t)]
=
Tg{GTn (t)} (27)und/oder
das Fehlersignal e(t) durch eine geeignete Transformation Te in ein modifiziertes Fehlersignal e'j(t) = Te,j{e(t)}
= e'n,j(t) + e'res,j(t),
j = 1, ..., N (28)umzuwandeln,
so dass die Kreuzkorrelation E{g'j(t)e'res,j(t)} =
0, j = 1, ..., N (29)zwischen
dem transformierten Restfehler e'res,j(t)
und den transformierten Gradientensignalen g'j(t)
für alle j = 1, ..., N verschwindet. Die angewendeten Transformationen
müssen jedoch gewährleisten, dass eine positive Korrelation
zwischen den ursprünglichen und transformierten Gradientensignalen E{gj(t)g'j(t)T} > 0,
j = 1, ..., N (30)und
zwischen dem ursprünglichen und transformierten nichtlinearen
Fehler E{en(t)e'n,j(t)} > 0,
j = 1, ..., N (31)erhalten
bleibt.
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Das
Wesen der Erfindung wird zweckmäßigerweise mit
Hilfe von Gradientensignalen, Fehlersignalen und Kostenfunktionen
beschrieben, da diese Begriffe traditionell in Untersuchungen zur
optimalen Anpassung von Modellen und der Schätzung von
Modellparametern verwendet werden. Es soll an dieser Stelle jedoch
darauf hingewiesen werden, dass andere Beschreibungsformen möglich
sind, die zum Beispiel lediglich auf das Eingangssignal x(t) und
Ausgangssignal y(t) beziehen.
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Somit
werden bei den Transformationen Tg und Tc vorrangig lineare Signalanteile unterdrückt,
jedoch bleiben die Informationen (ein Teil der nichtlinearen Signalanteile),
die für die Schätzung der nichtlinearen Parameter
benötigt werden, erhalten.
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Durch
die angewendeten Transformationen kann eine fehlerfreie Schätzung
der nichtlinearen Parameter (Pn = Psn) gewährleistet werden. Das kann
mit Hilfe des LMS Algorithmus zum Beispiel einfach realisiert werden: pn,j(t) = pn,j(t – 1)
+ μg'j(t)e'j(t),
j = 1, ..., N
Pn → Psn (32)
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Geeignete
Transformationen, die diese Bedingung erfüllen, können
mit einer additiven Dekorrelationsmethode oder mit Hilfe von Filtern
realisiert werden. Die beiden Realisierungsmöglichkeiten
sollen im folgenden näher beschrieben werden.
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Die
Dekorrelationstechnik hat den Vorteil, dass sie keine Eingriffe
in das übertragene Signal erfordert. Obwohl die Dekorrelationstechnik
auch auf das gemessene Signal y(t) angewendet werden kann, ist es
zweckmäßiger, die Dekorrelation unmittelbar im
Fehlersignal mit Hilfe der folgenden Funktion e'j(t) = Te,j{e(t)}
= e(t) + CjBj, j
= 1, ..., N (33)durchzuführen.
Das transformierte Fehlersignal e'j(t) ist
die Summe aus dem ursprünglichen Fehlersignal e(t) und
dem j-ten Kompensationsvektor BTj =
[bj,1 bj,2...bj,N], (34)gewichtet
mit dem j-ten Dekorrelationsparametern Cj = [cj,1 cj,2...cj,N]. (35)die ebenfalls
als Vektor zusammengefasst sind. Alle Kompensationsvektoren Bj enthalten ausschließlich Kompensationssignale ηk (Basissignale), die eine lineare Beziehung
zum Eingangssignal x(t) besitzen. Diese Basissignale müssen
für jedes Gradientensignal g'j hergeleitet
werden. Hierfür wird der Erwartungswert E{e'jgj}
= ΣΠE{ηkηl} (36)aus
dem Produkt von Fehlersignal e'j und Gradientensignal
gj in eine Summe von Produkten zerlegt,
wobei die Produkte ausschließlich Korrelationen zweier
Basissignale enthalten (siehe Anhang 2: „Average
of the Product of Gaussian Variables," in M. Schertzen, The Volterra
and Wiener Theories of Nonlinear Systems, Robert E. Krieger Publishing
Company, Malabar, Florida, 1989.)
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Für
die Gradientensignale in Gl. (4) in dem hier benutzten einfachen
Beispiel, besitzt der erste Kompensationsvektor für j =
1 BTl = [x i] (37)nur die
Basissignale Eingangsignal x(t) und das Stromsignal i(t). Die zwei
Kompensationssignale ergeben sich aus der Korrelation des Gradientensignals
gl(t) = ix2 mit
dem transformierten Fehlersignal e'l(t) E{ix2e'l(t)}
= 2E{ix}E{xe'l(t)} + E{ie'l(t)}E{x2} (38)und
lassen sich entsprechend Gl. (36) als Summe von Produkten darstellen,
in denen nur Korrelationen zwischen zwei Basissignalen in allen
Kombinationen auftreten. Die Korrelation zwischen dem nichtlinearen
Gradientensignal ix2 und einem beliebigen
(linearen) Fehleranteil e'res,l(t) in e'l(t) verschwindet, wenn E{xe'l(t)} = 0,
E{ie'l(t)} = 0 (39)gilt.
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Das
heißt, die Transformation Te,j des
Fehlersignals e(t) in e'l muss so ausgeführt
werden, dass sowohl e'l(t) unkorreliert
ist mit x als auch mit i. Hierbei können die beiden Basissignale
x und i direkt als Kompensationsignale verwendet werden und dem
ursprünglichen Signal e(t) additiv zugesetzt werden. Die
optimalen Dekorrelationsparameter können zum Beispiel durch
folgende iterative Beziehung CTj (t)
= CTj (t – 1) + μBje'j(t), j = 1, ..., N (40)adaptiv
bestimmt werden. Bei der additiven Dekorrelationsmethode braucht
das Gradientensignal nicht verändert zu werden, so dass
G'(t) = Tg{Gn} =
Gn ist.
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Bei
der Addition von linearen Signalen bleiben die wichtigen Informationen
im nichtlinearen Fehlersignal en, die für
die Schätzung der nichtlinearen Parameter benötigt
werden, erhalten. Nur wenn das Fehlersignal e'l(t)
selber das nichtlineare Gradientensignal e'n,l(t)
= ix2 enthält, ergibt sich eine
Korrelation E{ix2ix2} = 2E{ii}E{xx}2 +
4E{ix}2E{xx} ≠ 0, (41)die ungleich
Null ist.
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Eine
alternative Transformation, die die Anforderungen in Gln. (29)–(31)
erfüllt, kann durch Vorfilterung des Anregungssignals
x(t) = hg(t)·u(t) (42)mit der
Filterfunktion
realisiert
werden, wobei FT{} die Fouriertransformation beschreibt und die
Funktion δ(f) als
definiert ist. Dieses Filter
sperrt das Signal an wenigen ausgewählten Spektrallinien
f
i mit i = 1, ... I, lässt das Signal
jedoch an allen anderen Frequenzen ungehindert durch.
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Ein
zweites Filter mit der Filterfunktion
wird
zur Transformation T
e des Fehlersignals
e'j(t) = ha(t)·ej(t), j = 1, ..., N (46)verwendet.
Da das Filter H
a(f) nur die Spektralanteile
passieren lässt, die nicht im Anregungssignal x(t) enthalten
sind, ist das transformierte Fehlersignal e'
j(t)
nicht mehr korreliert mit dem linearen Fehlersignal e'
res(t)
entsprechend Gl. (29), das durch die Unvollkommenheiten des linearen
Models bestimmt ist. Das Fehlersignal e'
j(t)
enthält jedoch noch einen Teil der nichtlinearen Spektralanteile
aus e
n,j so dass entsprechend Gl. (31) beide
Signale noch ausreichend korreliert sind.
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Unter
Benutzung des gefilterten Eingangssignals x(t) und des entsprechend
gefilterten Fehlersignals e'j(t) führt
der LMS-Algorithmus pn,j(t)
= pn,j(t – 1) + μgj(t)e'j(t), j = 1,
..., N
Pn → Psn (47)zu einer
fehlerfreien Schätzung der nichtlinearen Parameter, solange
die Störsignale n(t) nicht das Filter Ha(f) passieren
und mit dem Gradientensignal Gn(t) korrelieren.
Bei Filterung des Fehlersignals braucht das Gradientensignal nicht
verändert zu werden, so dass G'(t) = Tg{Gn} = Gn gilt.
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Eine
dritte Alternative besteht in der Filterung der Gradientensignale G'(t) = ha(t)·Gn(t) (48)mit
der in Gl. (45) definierten Filterfunktion Ha(f)
bei gleichzeitiger Filterung des Eingangsignals mit der Filterfunktion
Hg(f) entsprechend Gl. (43).
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Durch
diese Transformation gilt sowohl Gl. (30) als auch
so dass
das gefilterte Gradientensignal weder korreliert ist mit dem linearen
Fehler e
l(t) noch mit dem Restfehler e
r(t). Unter der Bedingung, dass das Störsignal
n(t) nicht mit den gefilterten Gradientensignalen korreliert ist,
ergibt sich eine fehlerfreie Schätzung der nichtlinearen
Parameter
pn,j(t)
= pn,j(t – 1) + μg'j(t)ej(t), j = 1,
..., N.
Pn → Psn (50) -
Die
Anzahl I und die Werte fi dieser Frequenzen
müssen jedoch so gewählt werden, dass sowohl die linearen
als auch die nichtlinearen Parameter bestimmbar sind. Ist die Anzahl
I sehr klein, können bei festen Frequenzen fi die
nichtlinearen Parameter nicht mehr fehlerfrei geschätzt
werden. Ist die Anzahl I der Frequenzen sehr groß, wird
die richtige Schätzung der linearen Parameter problematisch.
Gleichzeitig wird das dem Wandler zugeführte Eingangsignal
entscheidend verändert und bei Verwendung eines Audiosignals
(Musik, Sprache) die Übertragungsqualität beeinträchtigt.
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Die
Anzahl I der Frequenzen fi kann erheblich
vermindert werden, wenn die Werte nicht konstant, sondern sich als
eine Funktion fi = f(t) mit i = 1, ... I
der Zeit verändern. Dadurch können auch bei einer
sehr geringen Anzahl der gesperrten Spektrallinien (zum Beispiel
I = 1) die nichtlinearen Parameter vollständig bestimmt werden,
falls die Messzeit so lang gewählt wird, dass sich die
Frequenz fi ausreichend verändert
kann. Diese Modifikation der Filtertechnik führt nur zu
minimalen Veränderungen im übertragenen Signal,
die aufgrund der Maskierung und anderer psychoakustischer Effekte
unhörbar sind und die subjektive empfundene Übertragungsqualität
nicht verschlechtern.
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Bei
einer zweckmäßigen Anzahl I und Lage der Frequenzen
fi überlagern sich im Fehlersignal
e'(t) nichtlineare Signalkomponenten verschiedener Ordnung, so dass
eine Zuordnung der Verzerrungen zu den erzeugenden Grundfrequenzen
und Interpretation als harmonische Signalkomponente oder Summen-
oder Differenztonintermodulationen unmöglich ist. Hierin
unterscheidet sich die benutzte Filtertechnik von bekannten Verfahren
der nichtlinearen Verzerrungsmesstechnik.
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Vergleicht
man die drei alternativen Transformationsmethoden, so zeigt sich
eine klare Überlegenheit der additiven Dekorrelationsmethode,
die keinerlei Veränderungen im übertragenen Signal
erfordert und auch für ein beliebiges Störsignal
n(t), solange es nicht mit dem nichtlinearen Fehler en(t)
korreliert ist, zu einer optimalen Schätzung der nichtlinearen
Parameter führt. Die auf Filterung beruhenden Transformationen
können nur den Einfluss des linearen Fehlers, der durch
Unvollkommenheiten der linearen Modellierung verursacht wird, vollständig
kompensieren. Auch wird durch die Filterung der Gradienten- oder
Fehlersignale die nutzbare Eingangsinformation erheblich reduziert
und der adaptive Lernvorgang benötigt eine längere
Zeit, bis die Parameterschätzwerte konvergieren.
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Werden
die nichtlinearen Parameter optimal geschätzt und verschwindet
der nichtlineare Fehler en(t), so werden
auch die linearen Parameter Pl mit Hilfe
der Kostenfunktion C in Gleichung (16) optimal bestimmt.
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Die
mit der Erfindung erzielten Vorteile bestehen insbesondere darin,
dass die nichtlinearen Parameter des Modells ohne systematischen
Fehler geschätzt werden, auch wenn das verwendete Modell
die linearen Übertragungseigenschaften des Wandlersystems
nicht vollständig beschreibt. Damit kann der Aufwand, den die
Modellierung der linearen Eigenschaften des Wandlersystems erfordert,
begrenzt und die Kosten für die technische Implementierung
des Modells reduziert werden. Gleichzeitig vermindert sich die Anzahl
der freien linearen Parameter des Modells und der Rechenaufwand
für die adaptive Schätzung dieser Parameter und
die Geschwindigkeit des Lernvorgangs steigt. Die Schätzung
der nichtlinearen Parameter erfordert kein spezielles Testsignal
sonder kann bei der Übertragung eines beliebigen breitbandigen
Signals (Musik, Testsignale) ausreichender Amplitude erfolgen.
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KURZBESCHREIBUNG DER ABBILDUNGEN
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Durch
die folgenden Abbildungen sollen die oben genannten Ziele, Merkmale
und Vorteile dieser Erfindung genauer dargestellt werden:
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1:
Schätzung der Parameter eines Wandlermodells für
Steuerung- und Diagnosezwecke entsprechend dem Stand der Technik.
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2:
Schätzung der linearen und nichtlinearen Parameter entsprechend
der Erfindung.
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3:
Ausführung des Transformationssystems entsprechend der
Erfindung durch Dekorrelation des Fehlersignals.
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4 Alternative
Ausführung der Erfindung mit Hilfe einer Vorfilterung des
Eingangssignals x(t)
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5:
Ausführung des Transformationssystems entsprechend der
Erfindung durch Filterung des Fehlersignals.
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6:
Ausführung des Transformationssystems entsprechend der
Erfindung durch Filterung der Gradientensignale.
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DETAILLIERTE BESCHREIBUNG
DER AUSFÜHRUNG
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Stand der Technik
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1 zeigt
als Signalflussplan die Schätzung der Parameter eines Wandlermodells
für Steuerung-, Mess- und Diagnosezwecke entsprechend dem
Stand der Technik. Das reale Wandlersystem 1 besteht aus einem
Lautsprecher 3 (Aktuator), der das elektrische Eingangssignal
x(t) (Klemmenspannung) am Eingang 7 in ein akustisches
Signal wandelt und einem Mikrofon 5 (Sensor), das dieses
akustische Signal in ein elektrisches Signal y(t) am Ausgang 9 umwandelt
und dem nichtinvertierenden Eingang eines Differenzverstärkers 51 zuführt.
Das Übertragungsverhalten des Wandlersystems 1 ist
durch die nichtlineare Gl. (3) vollständig beschrieben.
Das Eingangssignal x(t) wird ebenfalls über den Eingang 13 einem Modell 11 zugeführt.
Das Modell 11 beschreibt das lineare und nichtlineare Übertragungsverhalten
des Wandlersystems 1 und erzeugt am Ausgang 15 ein
Ausgangssignal y'(t), das dem invertierenden Eingang des Differenzverstärkers 51 zugeführt
wird. Das Übertragungsverhalten des Modells 11 sei
durch die nichtlineare Gl. (8) beschrieben, wobei das Produkt aus
linearem Parameter Pl und linearem Gradientenvektor
Gl(t) mit Hilfe eines FIR-Filters realisiert
wird, wobei der Gradientenvektor Gl das
zeitverzögerte Eingangssignal x(t) enthält. Der
nichtlineare Term PnGn(t)
wird entsprechend Gln. (5), (6) und (10) mit Hilfe eines linearen
FIR Filters mit der Impulsantwort hi(t),
Multiplizierer, Addierer und Wichtungselementen realisiert. Am Ausgang 49 des
Differenzverstärkers 51 entsteht das Fehlersignal
e(t) entsprechend Gl. (11). Das Fehlersignal e(t) wird sowohl dem
Eingang 35 eines nichtlinearen Parameterschätzers 23 als
auch dem Eingang 31 eines linearen Parameterschätzers 21 zugeführt.
Entsprechend dem Stand der Technik minimieren beide Schätzer 21 und 23 das
Fehlersignal e(t) entsprechend der Kostenfunktion in Gl. (16). Hierbei
benötigt der lineare Parameterschätzer den Gradientenvektor
Gl, der im Linearen Gradientensystem 47 mit
Hilfe von Verzögerungsgliedern erzeugt wird und über
den Ausgang 37 dem Eingang 29 des Linearen Parameterschätzers 21 zugeführt
wird. In gleicher Weise erzeugt das nichtlineare Gradientensystem 41 den
nichtlinearen Gradientenvektor Gn entsprechend
Gl. (5), der über den Ausgang 45 dem Eingang 33 des
nichtlinearen Parameterschätzers 23 zugeführt
wird. Beide Parameterschätzer benutzen den bekannten LMS
Algorithmus, der in den Gln. (20) und (23) beschrieben ist. Sowohl
das lineare als auch das nichtlineare Gradientensystem 47 und 41 werden
mit dem Eingangsignal x(t) über den Eingang 39 bzw. 43 versorgt. Am
Ausgang 25 des linearen Parameterschätzers 21 wird
der lineare Parametervektor Pl ausgegeben
und dem Eingang 19 des Modells 11 zugeführt.
Am Ausgang 27 des nichtlinearen Parameterschätzers 23 wird
der nichtlineare Parametervektor Pn ausgegeben
und dem Eingang 17 des Modells 11 zugeführt.
Die linearen und nichtlinearen Parametervektoren Pl und
Pn werden ebenfalls dem Diagnosesystem 53 und
der Steuerung 58 zugeführt, die das Steuereingangssignal
z(t) in das Eingangssignal x(t) überführt und
dem Wandlereingang 7 zuführt. Das Steuerungssystem 58 kann
zum Beispiel zum Schutz und zur Linearisierung des Wandlersystems verwendet
werden. Beschreibt das Modell 11 die linearen Eigenschaften
des Wandlermodells 1 nicht vollständig, so führt
die gemeinsame Minimierung des Gesamtfehlersignals e(t) primär
zu einer systematischen Fehlschätzung der nichtlinearen
Parameter Pn wie in den Gln. (22) und (23)
gezeigt und indirekt ebenfalls zu einer fehlerhaften Schätzung
der linearen Parameter Pl.
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Erfindung
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Diese
Fehlschätzung der Parameter kann durch die in 2 dargestellte
Erfindung vermieden werden. Das Wandlersystem 1, bestehend
aus dem Lautsprecher 3 und Mikrofon 5, das Modell 11,
die linearen und nichtlinearen Parameterschätzer 21 bzw. 23,
das Steuerungssystem 58 und das Diagnosesystem 53 sind identisch
mit denen in 1 dargestellten Elementen. Der
entscheidende Unterschied zum gegenwärtigen Stand der Technik
ist, dass ein verändertes Fehlersignal e'(t) und/oder ein
verändertes nichtlineares Gradientensignal im Transformationssystem 55 erzeugt
wird, und über den Ausgang 67 bzw. 69 den
Eingängen 33 bzw. 35 des nichtlinearen
Parameterschätzers 23 zugeführt werden.
Das modifizierte Fehlersignal e'(t) wird entsprechend der Transformation
Te in Gl. (28) aus dem Gesamtfehlersignal
e(t) erzeugt. Der Gradientenvektor G' wird mit Hilfe der Transformation
Tg entsprechend Gl. (27) aus dem ursprünglichen
nichtlinearen Gradientenvektor Gn erzeugt.
Mit Hilfe dieser transformierten Signale wird für die Schätzung
der nichtlinearen Parameter die spezielle Kostenfunktion Cn in Gl. (25) benutzt. Da aufgrund der fehlerfreien
Schätzung von Pn der nichtlineare
Fehler en(t) verschwindet, kann und sollte
für die Schätzung der linearen Parameter der Gesamtfehler
e(t) in der Kostenfunktion C in Gl. (16) verwendet werden. Hier
wird ein charakteristisches Kennzeichen der Erfindung deutlich:
Für die optimale Bestimmung der linearen und nichtlinearen
Parameter werden unterschiedliche Kostenfunktionen benutzt. Dem
Transformationssystem 55 wird über den Eingang 57 das
Ausgangssignal y(t) vom Ausgang 9 des Wandlersystems 1 und über
den Eingang 59 das Ausgangssignal y'(t) am Ausgang 15 des
Modells 11 zugeführt. Gleichzeitig erhält
das Transformationssystem 55 über Eingang 61 das Eingangssignal
x(t) vom Eingang 7 des Wandlersystems 1.
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3 zeigt
die erste Ausführung des Transformationssystems 55,
die mit Hilfe einer neuen Dekorrelationstechnik realisiert wurde.
Das Transformationssystem 55 enthält ein lineares
Gradientensystem 71 und ein nichtlineares Gradientensystem 87,
die den Gradientensystemen 47 bzw. 41 in 1 entsprechen.
Das Eingangssignal x(t) am Eingang 61 versorgt sowohl den
Eingang des linearen Gradientensystems 71 als auch den
Eingang des nichtlinearen Gradientensystems 87. Der Ausgang
des linearen Gradientensystems 71 ist mit dem Ausgang 63 des
Transformationssystems 55 verbunden, an dem der Gradientenvektor
Gl(t) erzeugt wird. Der Ausgang des nichtlinearen
Gradientensystem 87 ist mit dem Ausgang 69 des
Transformationssystems 55 verbunden und stellt den Gradientenvektor
G'(t) = Gn(t) bereit. Das lineare Gradientensystem 71 kann als
FIR-Filter und das nichtlineare Gradientensystem 87 kann
mit Hilfe von linearen Filtern, Multiplizierern, Addierern und Wichtungselementen
entsprechend Gl. (5) in einem digitalen Signalprozessor realisiert
werden.
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Das
Tranformationssystem 55 enthält einen Differenzverstärker 85,
der dem Differenzverstärker 51 in 1 gleicht.
Dem invertierenden Eingang und dem nichtinvertierenden Eingang des
Differenzverstärkers 85 wird das Signal y'(t)
bzw. y(t) vom Eingang 59 bzw. 57 des Transformationssystems 55 zugeführt.
Am Ausgang 101 des Differenzverstärkers 85 entsteht
das Fehlersignal e(t) entsprechend Gl. (11), das dem Ausgang 65 des Tranformationssystems 55 zugeführt
wird. Gleichzeitig wird das Fehlersignal e(t) von Ausgang 101 dem
Skalareingang eines Addiergliedes 83 zugeführt.
Das Addierglied besitzt einen weiteren Vektoreingang 84 für
das Eingangssignal CjBj und
einen Vektorausgang 86 für die Ausgangssignale
ej'(t) mit j = 1, ..., N entsprechend Gl.
(33), das dem Ausgang 67 des Transformationssystems 55 zugeführt
wird. Die Kompensationssignale in dem j-ten Kompensationsvektor
Bj mit j = 1, ..., N werden mit Hilfe eines
Synthesesystems 81 erzeugt. Der Eingang 89 des
Synthesesystems 81 ist mit dem Eingang 61 des
Transformationssystems 55 verbunden. Das Synthesesystem 81 enthält
im wesentlichen lineare Filter (FIR oder IIR-Filter), die in einem
digitalen Signalprozessor einfach realisiert werden können.
Für jedes nichtlineare Gradientensignal gj(t)
muss ein Kompensationsvektor Bj mit Hilfe
der faktoriellen Paarzerlegung des Korrelationssignals E{gj(t)ej(t)} entsprechend
Gl. (38) bestimmt werden. Der Ausgang 91 des Synthesesystems 81 ist
mit dem Eingang 95 des Wichtungselementes 79 verbunden.
Das Wichtungselement 79 enthält ebenfalls einen
Vektoreingang 93, an dem die Dekorrelationsparameter Cj mit j = 1, ..., N zugeführt werden,
und einen Ausgang 97, an dem die gewichteten Kompensationssigale
CjBj erzeugt werden
und dem Eingang 84 des Addierers 83 zugeführt
werden. Die optimalen Dekorrelationsparameter Cj werden
entsprechend Gl. (39) adaptiv mit Hilfe eines Multiplizierers 77,
eines Wichtungselements 99, eines Addieres 75 und
eines Speichers 73 bestimmt. Hierbei führen diese
Elemente eine Vektoroperationen aus, die jedoch in einem digitalen
Signalprozessor einfach ausgeführt werden können.
Hierbei wird zunächst das transformierte (besser dekorrelierte)
Fehlersignal e'j(t) dem ersten Eingang des
Multiplizierers 77 und der Kompensationsvektor Bj dem zweiten (Vektor)-Eingang des Multiplizierers 77 zugeführt. Das
Ausgangssignal des Multiplizierers 77 wird dem Eingang
des Wichtungselements 99 zugeführt und mit der Lernkonstante μ gewichtet.
Das Ausgangssignal wird zu dem im Speicher 73 gespeicherten
Wert des Dekorrelationsparametervektors Cj im
Addierer 75 addiert und dem Steuereingang 93 des
Wichtungselements 79 zugeführt.
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4 zeigt
eine Ausführung der Erfindung, die jedoch eine Veränderung
des Eingangssignals x(t) durch einen Filter 121 erfordert.
Das Filter 121 besitzt einen Eingang 119, dem
ein Eingangssignal u(t) mit beliebigen zeitlichen und spektralen
Eigenschaften zugeführt wird. Das Signal am Ausgang 123 des
Filters 121 wird über die Steuerung 58 dem
Eingang 7 des Wandlersystems 1 zugeführt.
Das Filter 121 besitzt eine Übertragungsfunktion
entsprechend Gl. (43), die im wesentlichen das Signal ungehindert überträgt,
jedoch einzelne Spektrallinien an den Frequenzen fi i
= 1, ... I sperrt. Die Filterung kann in einem digitalen Signalprozessor zweckmäßigerweise
im Frequenzbereich realisiert werden, wobei eine blockweise FFT
und komplexe Multiplikation der Filterfunktion Hg(f)
mit den im Frequenzbereich transformierten Zeitabschnitten durchgeführt
wird. Das Filter 121 kann einen zusätzlichen Steuerungeingang 117 besitzen,
die mit dem Ausgang einer Frequenzsteuerung 115 verbunden
ist. Hiermit kann die Lage der Frequenzen fi während
der Identifikation der Parameter verändert werden. Für
I = 1 kann das Filter 121 als ein Bandsperrfilter realisiert
werden, das eine einzelne Spektrallinie nicht überträgt,
jedoch alle anderen Spektralanteile ohne Dämpfung und Phasenverschiebung überträgt.
Die Frequenzsteuerung kann als ein einfacher Oszillator realisiert
werden, der eine tieffrequente Sinusschwingung erzeugt, die die
Frequenz fl des Bandsperrfilters verändert.
Das Steuersignal wird ebenfalls dem Steuereingang 56 des
Tranformationssystems 55 zugeführt.
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5 zeigt
eine Ausführung des Transformationssystems 55 entsprechend
der Erfindung. Das Transformationssystem 55 enthält
ein lineares Gradientensystem 71 und ein nichtlineares
Gradientensystem 87, deren Eingänge mit dem Eingang 61 und
deren Ausgänge mit dem Ausgang 63 bzw. 69 wie
in 3 verbunden sind und in gleicher Weise wie bei
der Dekorrelationsmethode in 3 den linearen
und nichtlinearen Gradientenvektor Gl bzw.
G' = Gn erzeugen. Das Transformationssystem 55 in 5 enthält
ebenfalls einen Differenzverstärker 85, dessen
nichtinvertierender und invertierender Eingang mit dem Eingang 57 bzw. 59 verbunden
ist. Das Gesamtfehlersignal e(t) am Ausgang 101 wird in
gleicher Weise wie in 3 dem Ausgang 65 zugeführt.
Die entscheidende Besonderheit bei dieser Ausführung ist
jedoch die Verwendung eines Filters 105 zur Transformation
des Gesamtfehlers e(t) in das modifizierte Fehlersignal e'(t). Hierzu
besitzt das Filter 105 einen Signaleingang 104,
der mit dem Ausgang 101 des Differenzverstärkers 85 verbunden
ist. Der Ausgang 103 des Filters 105 wird allen
Komponenten des Fehlervektors e'(t) zugeordnet. Das Filter 105 besitzt eine
lineare Übertragungsfunktion entsprechend Gl. (45), die
jedoch über ein Steuersignal am Steuereingang 106 verändert
werden kann. Der Steuereingang 106 ist mit dem Steuereingang 56 des
Transformationssystems 55 verbunden. Das Filter 105 wird
in einem digitalen Signalprozessor zweckmäßigerweise
im Frequenzbereich realisiert, wobei eine blockweise FFT und komplexe
Multiplikation der Filterfunktion Ha(f)
mit den im Frequenzbereich transformierten Zeitabschnitte ausgeführt
wird.
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6 zeigt
eine weitere alternative Ausführung des Transformationssystems 55.
Das Transformationssystem 55 enthält auch hier
ein lineares Gradientensystem 71 und ein nichtlineares
Gradientensystem 87, deren Eingänge mit dem Eingang 61 wie
in 3 verbunden sind. Der Gradientenvektor Gl am Ausgang des linearen Gradientensystems 71 wird
dem Ausgang 63 des Transformationssystems 55 zugeführt.
Das Transformationssystem 55 in 6 enthält
ebenfalls einen Differenzverstärker 85, dessen
invertierender und nichtinvertierender Eingang mit dem Eingang 59 und 57 verbunden
ist. Das Gesamtfehlersignal e(t) am Ausgang 101 wird sowohl
dem Ausgang 65 als auch allen Komponenten des Fehlervektors
e'(t) am Ausgang 67 zugeführt. Der entscheidende
Unterschied zu den bisherigen Ausführungen der Erfindung
in 3 und 4 ist jedoch das Filter 109,
das einen Vektoreingang 107 besitzt, dem der nichtlineare
Gradientenvektor Gn vom Ausgang des nichtlinearen
Gradientensystems 87 zugeführt wird. Das Filter
besitzt eine Übertragungsfunktion entsprechend Gl. (45).
Auch hier ist es zweckmäßig, die Filterung mit
Hilfe einer blockweisen FFT im Frequenzbereich durchzuführen.
Allerdings ist bei dieser Implementierung ein erheblich höherer
Rechenaufwand erforderlich, da die Filterung auf jede Komponente
des Gradientenvektors angewendet werden muss. Der Vektorausgang
des Filters 109 stellt den transformierten Gradientenvektor
G' bereit und ist mit dem Ausgang 69 des Transformationssystems 55 verbunden.
Die Übertragungseigenschaften des Filters 109 können über
ein Steuersignal am Eingang 113 verändert werden,
das vom Eingang 56 des Tranformationssystems 55 zugeführt
werden kann.
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ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
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