CN105700352A - 一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法，针对电液负载模拟器的系统特点，通过摩擦辨识分析该系统的摩擦特性，建立了连续可微摩擦模型，将参数误差、建模误差、未建模动态及外干扰归入到系统不确定性非线性中，所设计的误差符号积分鲁棒控制器在不使用高增益反馈的条件下也实现了系统的渐进稳定性能，具有良好的鲁棒作用，并能保证电液负载模拟器的输出转矩准确跟踪任意指定的转矩指令；本发明简化了控制器设计，并且控制器的控制电压连续，有利于在工程实际中应用。

Description

一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法

技术领域

本发明属于电液伺服控制领域，特别是一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法，基于连续可微摩擦模型。

背景技术

精确打击武器的性能是决定现代战争胜负的最重要因素，武器的姿态、轨迹和方向的控制是关键，这个过程是靠武器上的惯性器件或导引收索系统感受目标位置，再由中央控制计算机计算控制指令，然后控制输出。所有的这些控制输出都要落实到最终的伺服执行机构(舵机)上。因此，执行机构的性能关系到航空、宇航、舰船、火炮等国防工业的全方位发展，同时在民用工业的应用也得到广泛的重视。它决定了现代精确制导武器整个大控制系统的结构、布局，更是武器控制动态特性的关键因素。

负载模拟器的典型应用是对飞行器的舵机位置伺服机构进行加载，在地面模拟舵面在飞行过程中所受到的气动力载荷，从而构成飞控系统的半实物仿真。仿真计算机内嵌根据风洞数据和飞行方程建立的飞行器六自由度模型，根据飞行高度、速度、舵面转角以及大气数据等有关的物理量，实时地计算整个飞行过程中的气动铰链力矩载荷，形成力矩载荷谱。负载模拟器的主要作用就是实时接收仿真计算机的载荷指令，并将其准确地施加在舵机伺服机构上。负载模拟器作为一种测试和仿真设备，能够对舵机研制的产品全寿命周期都起到重要作用，它贯穿了舵机的优化设计、性能测试与标定以及故障诊断。所以负载模拟器的设计需求通常很高，尤其是精度和动态特性。

目前针对电液伺服系统的先进控制策略，有反馈线性化、滑模以及自适应鲁棒等控制方法。反馈线性化控制方法不仅设计简单，而且可以保证系统的高性能，但是其要求所建立的系统数学模型必须非常准确，这在实际应用中难以得到保证。滑模控制方法简单实用且对系统的外干扰等有一定的鲁棒性，但是基于一般滑模控制的方法会引起滑模面的抖动，使所设计的控制器不连续，从而使系统的性能恶化，不利于在工程实际中应用。自适应鲁棒控制却容易被系统状态中的噪声所干扰，并且其参数估计的精度在某些场合也达不到要求，虽然这可以通过采用间接自适应的方法来解决，但间接自适应的输出跟踪性能却不理想。总结来说：传统控制方式难以满足不确定非线性的跟踪精度要求；而近年来先进的控制策略控制器设计均比较复杂，不易于工程实现。

发明内容

本发明的目的在于提供一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法，解决了现有电液负载模拟器中存在被忽略的模型不确定性、基于传统的滑模的控制方法所设计的控制器不连续、基于一般的自适应鲁棒控制方法存在高增益反馈现象的问题。

本发明为解决上述问题采取的技术方案是：一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1、基于连续可微摩擦模型，建立电液负载模拟器的数学模型；

步骤1-1、建立基于双曲正切近似的连续可微摩擦模型

公式(1)中，a₁,a₂分别表示不同摩擦特性的幅值水平，c₁,c₂,c₃为表征摩擦特性的形状系数，w表征运动速度；tanh表示双曲正切函数。

步骤1-2、建立电液负载模拟器的输出力矩动态方程：

公式(2)中，T为输出力矩，A为负载液压马达的排量，液压马达负载压力P_L＝P₁-P₂，P₁为马达进油腔的压力，P₂为马达出油腔的压力，B为总粘性阻尼系数，y电液负载模拟器的位置，为电液负载模拟器的速度，等效于连续可微摩擦模型中的w；为外部干扰项；为静态摩擦；为未建模动态。

因此公式(1)写成：

令则有：

步骤1-3、建立马达进油腔和出油腔的压力动态方程：

公式(5)中，β_e为液压油的有效体积模量，进油腔的控制容积V₁＝V₀₁+Ay，V₀₁为进油腔的初始容积，出油腔的控制容积V₂＝V₀₂-Ay，V₀₂为出油腔的初始容积，C_t为马达的内泄露系数，Q₁为进油腔的流量，Q₂为回油腔的流量。Q₁、Q₂与伺服阀阀芯位移x_v有如下关系：

公式(6)中，阀系数C_d为伺服阀节流孔流量系数，w₀为伺服阀节流孔面积梯度，P_s为电液负载模拟器供油压力，P_r为电液负载模拟器回油压力，ρ为液压油的密度，x_v为阀芯位移，s(x_v)为符号函数，且所述符号函数定义为：

忽略伺服阀阀芯的动态，假设作用于阀芯的控制输入u和阀芯位移x_v成比例关系，即满足x_v＝k_lu，其中k_l为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压。

因此，公式(6)写为

其中总伺服阀增益系数g＝k_qk_l。

基于式(4)、(5)、(8)，输出力矩控制电液负载模拟器的动态方程，即电液负载模拟器的数学模型为：

(9)式中，电液负载模拟器的模型不确定性R₁和R₂的定义如下：

由公式(10)可知R₁>0,R₂>0，R₁和R₂均为中间变量。

步骤2、对于任意的转矩轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器，步骤如下：

步骤2-1、为便于电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器设计，对于任意的转矩轨迹跟踪，有如下三点合理假设：

假设1：实际的液压电液负载模拟器工作在正常工况下，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂满足条件：0≤P_r<P₁<P_s，0≤P_r<P₂<P_s，即P₁和P₂都是有界的。

假设2：期望的转矩指令T_d(t)是一阶连续可微的，并且指令T_d(t)及其一阶导数都是有界的，运动干扰也都是有界的。

假设3：不确定性非线性存在2阶导数，且1阶、2阶导数均有界，即有下式成立：

公式(11)中，σ₁，σ₂都是已知常数。

步骤2-2、为简化电液负载模拟器方程，便于控制器的设计，定义未知常值参数矢量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆]^T，其中θ₁＝β_eg，θ₂＝β_e，θ₃＝β_eC_t，θ₄＝B，θ₅＝a₁，θ₆＝a₂，因此动态方程(9)写成

公式(12)中U＝θ₁f₁u，参数函数f₁,f₂,f₃的定义如下：

根据公式(13)，实际的控制输入u＝U/θ₁f₁，因此，只需设计误差符号积分鲁棒控制器U来处理参数不确定性和不确定性非线性即可。

步骤2-3、设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器：

定义如下误差变量：

式中：T_d为转矩跟踪指令；z₁为电液负载模拟器跟踪误差；r为辅助误差量；k₁为正的反馈增益。

由(14)式可知：

设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器如下：

U_a表示模型补偿控制器；k_r为正的反馈增益；U_s1是线性反馈项；U_s2是非线性鲁棒项，用于克服模型不确定性对跟踪性能的影响。

将(16)式代入(15)式可得：

(18)式中，鲁棒增益β>0，sign(z₁)是关于z₁的标准符号函数。

转入步骤3。

步骤3、运用李雅普诺夫稳定性理论对所设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器进行稳定性证明，证明过程如下：

对上述(17)式求导，得：

在呈现所设计控制器的性能之前，给出如下引理：

引理1：定义变量L(t)和辅助函数P(t)如下：

如果鲁棒增益β满足如下不等式：

则辅助函数P(t)恒为正值；

由引理1可知，辅助函数P(t)的微分为：

定理1：对于电液负载模拟器的数学模型，如果如公式(16)所示的误差符号积分鲁棒控制器的鲁棒增益β满足不等式(22)，且其反馈增益k₁,k_r足够大，使得如下定义的矩阵Λ为正定矩阵：

则闭环电液负载模拟器中所有信号均有界，并且控制器获得渐进稳定性，即当t→∞时，z→0，其中误差向量z定义为z＝[z₁,r]；

证明：定义如下非负的函数V

其时间微分为：

把式(14)、(19)、(23)带入到(26)中可得：

式中z＝[z₁,r]^T，Λ如式(24)是一个正定的矩阵；

因此，有下式成立：

式中λ_min(Λ)是矩阵Λ的最小特征值，由此可知V有界，因此z有界，故闭环控制器所有信号均有界；又由式(28)可知W∈L₂，由误差动态方程可知因此变量W是一致连续的，由Barbalat引理，当t→∞时W→0，由此证明了定理1，该控制器可保证跟踪误差渐进收敛于零。

本发明的有益效果是：

(1)针对电液负载模拟器的系统特点，通过摩擦辨识分析该系统的摩擦特性，建立了更加精确的新型连续可微摩擦模型，为提升该系统的稳定性奠定基础。

(2)将参数误差、建模误差、未建模动态及外干扰归入到系统不确定性非线性中，所设计的误差符号积分鲁棒控制器在不使用高增益反馈(Signfunction)的条件下也实现了系统的渐进稳定性能，具有良好的鲁棒作用，并能保证电液负载模拟器的输出转矩准确跟踪任意指定的转矩指令。

(3)简化了控制器设计，并且控制器的控制电压连续，有利于在工程实际中应用，对比仿真结果验证了控制器的有效性。

附图说明

图1为本发明的一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法的电液负载模拟器原理图。

图2为本发明的一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法的控制策略图。

图3为实施例中控制器u随时间变化的曲线图，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。

图4为实施例中跟踪转矩(即指令转矩与输出转矩)的曲线图。

图5为实施例中跟踪误差(即指令转矩与输出转矩误差)曲线图。

具体实施方式:

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

结合图2，一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法，其电液负载模拟器结构原理如图1所示，包括以下步骤：

步骤1、基于连续可微摩擦模型，建立电液负载模拟器的数学模型：

步骤1-1、建立基于双曲正切近似的连续可微摩擦模型

公式(1)中，a₁,a₂分别表示不同摩擦特性的幅值水平，c₁,c₂,c₃为表征摩擦特性的形状系数，w表征运动速度；tanh表示双曲正切函数；

步骤1-2、建立电液负载模拟器的输出力矩动态方程：

公式(2)中，T为输出力矩，A为负载液压马达的排量，液压马达负载压力P_L＝P₁-P₂，P₁为马达进油腔的压力，P₂为马达出油腔的压力，B为总粘性阻尼系数，y电液负载模拟器的位置，为电液负载模拟器的速度，等效于连续可微摩擦模型中的w；为外部干扰项；为静态摩擦；为未建模动态。

因此公式(1)可写成：

令则有：

步骤1-3、建立马达进油腔和出油腔的压力动态方程：

公式(5)中，β_e为液压油的有效体积模量，进油腔的控制容积V₁＝V₀₁+Ay，V₀₁为进油腔的初始容积，出油腔的控制容积V₂＝V₀₂-Ay，V₀₂为出油腔的初始容积，C_t为马达的内泄露系数，Q₁为进油腔的流量，Q₂为回油腔的流量，Q₁、Q₂与伺服阀阀芯位移x_v有如下关系：

公式(6)中，阀系数C_d为伺服阀节流孔流量系数，w₀为伺服阀节流孔面积梯度，P_s为电液负载模拟器供油压力，P_r为电液负载模拟器回油压力，ρ为液压油的密度，x_v为阀芯位移，s(x_v)为符号函数，且所述符号函数定义为：

由于采用的是高性能的伺服阀，因此忽略伺服阀阀芯的动态，假设作用于阀芯的控制输入u和阀芯位移x_v成比例关系，即满足x_v＝k_lu，其中k_l为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压。

因此，公式(6)可写为

其中总伺服阀增益系数g＝k_qk_l；

基于式(4)、(5)、(8)，输出力矩控制电液负载模拟器的动态方程，即电液负载模拟器的数学模型为：

(9)式中，电液负载模拟器的模型不确定性R₁和R₂的定义如下：

由公式(10)可知R₁>0,R₂>0，R₁和R₂均为中间变量。

步骤2、对于任意的转矩轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器，步骤如下：

步骤2-1、为便于电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器设计，对于任意的转矩轨迹跟踪，有如下三点合理假设：

假设1：实际的液压电液负载模拟器工作在正常工况下，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂满足条件：0≤P_r<P₁<P_s，0≤P_r<P₂<P_s，即P₁和P₂都是有界的。

假设2：期望的转矩指令T_d(t)是一阶连续可微的，并且指令T_d(t)及其一阶导数都是有界的，运动干扰也都是有界的。

假设3：不确定性非线性存在2阶导数，且1阶、2阶导数均有界，即有下式成立：

公式(11)中，σ₁，σ₂都是已知常数。

对于给定期望的转矩指令T_d(t)，控制器的设计目标是设计有界的控制输入u使得输出转矩T在尽管存在各种建模不确定性的情况下尽可能地跟踪T_d(t)。

步骤2-2、为简化电液负载模拟器方程，便于控制器的设计，定义未知常值参数矢量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆]^T，其中θ₁＝β_eg，θ₂＝β_e，θ₃＝β_eC_t，θ₄＝B，θ₅＝a₁，θ₆＝a₂，因此动态方程(9)可写成

公式(12)中U＝θ₁f₁u，参数函数f₁,f₂,f₃的定义如下：

在此引入了一个新的变量U来代替系统的控制输入u，因为θ₁f₁是可以实时计算的，如果得到了新的控制输入U的表达式，实际的控制输入u＝U/θ₁f₁。因此，只需设计误差符号积分鲁棒控制器U来处理参数不确定性和不确定性非线性即可。

步骤2-3、设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器：

定义如下误差变量：

式中：T_d为转矩跟踪指令；z₁为电液负载模拟器跟踪误差；r为辅助误差量；k₁为正的反馈增益。

由(14)式可知：

设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器如下：

U_a表示模型补偿控制器；k_r为正的反馈增益；U_s1是线性反馈项；U_s2是非线性鲁棒项，用于克服模型不确定性对跟踪性能的影响；

将(16)式代入(15)式可得：

由(17)式可以看出，如果系统中不存在模型不确定性，即非线性鲁棒项U_s2是没必要使用的，线性反馈项U_s1就能确保名义系统实现渐进稳定的性能。显然，工程实际中并不存在这样的系统因此，必须引入非线性鲁棒项U_s2来处理模型不确定性的影响。本控制方法设计误差符号积分鲁棒项u_s2如下：

(18)式中β>0为鲁棒增益。sign(z₁)是关于z₁的标准符号函数，本控制方法设计U_s2的目的是希望通过选择合适的控制增益k₁,k_r,β来补偿系统中的模型不确定性，通过合理的稳定性分析使系统实现渐进稳定的性能。

由式(16)和(18)可知：控制器中并不含有辅助的误差符号r，包含的均是可测的信号，因此控制器是可以执行的。另外，鉴于U_a中使用的是连续的摩擦模型，符号函数在U_s2中以积分的形式起作用，由此可知最终的控制输入是连续的，相比一些不连续的控制器(基于不连续的摩擦模型控制算法和传统的滑膜控制算法)来讲，此方法更有利于在工程实际中应用。

步骤3、运用李雅普诺夫稳定性理论对所设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器进行稳定性证明；

对上述(17)式求导，得：

在呈现所设计控制器的性能之前，给出如下引理：

引理1：定义变量L(t)和辅助函数P(t)如下：

如果鲁棒增益β满足如下不等式：

则辅助函数P(t)恒为正值；

由引理1可知，辅助函数P(t)的微分为：

定理1：对于非线性系统(9)，如果误差符号积分鲁棒控制器(16)的鲁棒增益β满足不等式(22)且其反馈增益k₁,k_r足够大使得如下定义的矩阵Λ为正定矩阵：

则闭环系统中所有信号均有界，并且控制器可获得渐进稳定性，即当t→∞时，z→0，其中z定义为z＝[z₁,r]；

证明：定义如下非负的函数

其时间微分为：

把式(14)、(19)、(23)带入到(26)中可得：

式中z＝[z₁,r]^T，Λ如式(24)是一个正定的矩阵。

因此，有下式成立：

式中λ_min(Λ)是矩阵Λ的最小特征值，由此可知V有界，因此z有界，故闭环控制器所有信号均有界。又由式(28)可知W∈L₂，由误差动态方程可知因此W是一致连续的，由Barbalat引理，当t→∞时W→0，由此证明了定理1，该控制器可保证跟踪误差渐进收敛于零。

实施例：

双叶片液压马达力控制负载模拟器参数为：

A＝2×10^-4m³/rad，B＝80N·m·s/rad,β_e＝2×10⁸Pa,C_t＝9×10^-12m⁵/(N·s)，P_s＝21×10⁶Pa，P_r＝0Pa，V₀₁＝V₀₂＝1.7×10^-4m³，J＝0.32kg·m²,a₁＝3.5×10^-4,a₂＝5×10^-4,c₁＝700,c₂＝15,c₃＝1.5

设计的控制器参数选取为：k₁＝200，k_r＝0.01，β＝0.1。系统时变外干扰选取为d＝200sint，运动轨迹为系统期望跟踪的力矩指令为曲线

控制律作用效果：

图3是干扰控制器输入电压u曲线，控制输入信号连续，且输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。

结合图4和图5，可以看出指令信号和跟踪误差曲线可以看出跟踪误差是有界收敛的，并且这个界相对于指令的振幅来说是很小的。由图4和图5可知，本发明提出的算法在仿真环境下能够处理模型不确定性，相比于传统PID控制，本发明设计的控制器能够极大的提高存在参数不确定性及不确定性非线性系统的控制精度。研究结果表明在不确定非线性和参数不确定性影响下，本文提出的方法能够满足性能指标。

Claims (4)

1.一种电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、基于连续可微摩擦模型，建立电液负载模拟器的数学模型；

步骤2、对于任意的转矩轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器；

步骤3、运用李雅普诺夫稳定性理论，对所设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器进行稳定性证明。

2.根据权利要求1所述的电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，步骤1中，建立电液负载模拟器的数学模型的具体方法为：

步骤1-1、建立基于双曲正切近似的连续可微摩擦模型

公式(1)中，a₁,a₂分别表示不同摩擦特性的幅值水平，c₁,c₂,c₃均为表征摩擦特性的形状系数，w表征运动速度；tanh表示双曲正切函数；

步骤1-2、建立电液负载模拟器的输出力矩动态方程：

公式(2)中，T为输出力矩，A为负载液压马达的排量，液压马达负载压力P_L＝P₁-P₂，P₁为马达进油腔的压力，P₂为马达出油腔的压力，B为总粘性阻尼系数，y电液负载模拟器的位置，为电液负载模拟器的速度，等效于连续可微摩擦模型中的w；为外部干扰项；为静态摩擦；为未建模动态；

因此公式(1)写成：

令则有：

步骤1-3、建立马达进油腔和出油腔的压力动态方程：

公式(5)中，β_e为液压油的有效体积模量，进油腔的控制容积V₁＝V₀₁+Ay，V₀₁为进油腔的初始容积，出油腔的控制容积V₂＝V₀₂-Ay，V₀₂为出油腔的初始容积，C_t为马达的内泄露系数，Q₁为进油腔的流量，Q₂为回油腔的流量；

Q₁、Q₂与伺服阀阀芯位移x_v有如下关系：

公式(6)中，阀系数C_d为伺服阀节流孔流量系数，w₀为伺服阀节流孔面积梯度，P_s为电液负载模拟器供油压力，P_r为电液负载模拟器回油压力，ρ为液压油的密度，x_v为阀芯位移，s(x_v)为符号函数，且所述符号函数定义为：

忽略伺服阀阀芯的动态，假设作用于阀芯的控制输入u和阀芯位移x_v成比例关系，即满足x_v＝k_lu，其中k_l为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压；

因此，公式(6)写为

其中总伺服阀增益系数g＝k_qk_l；

基于式(4)、(5)、(8)，输出力矩控制电液负载模拟器的动态方程，即电液负载模拟器的数学模型为：

(9)式中，电液负载模拟器的模型不确定性R₁和R₂的定义如下：

由公式(10)可知R₁>0,R₂>0，R₁和R₂均为中间变量。

3.根据权利要求1所述的电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，步骤2中对于任意的转矩轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器，具体步骤如下：

步骤2-1、为便于电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器设计，对于任意的转矩轨迹跟踪，有如下三点合理假设：

假设1：实际的液压电液负载模拟器工作在正常工况下，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂满足条件：0≤P_r<P₁<P_s，0≤P_r<P₂<P_s，即P₁和P₂都是有界的；

假设2：期望的转矩指令T_d(t)是一阶连续可微的，并且指令T_d(t)及其一阶导数都是有界的，运动干扰y,也都是有界的；

假设3：不确定性非线性存在2阶导数，且1阶、2阶导数均有界，即有下式成立：

公式(11)中，σ₁，σ₂都是已知的常数；

步骤2-2、为简化电液负载模拟器方程，便于控制器的设计，定义未知常值参数矢量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆]^T，其中θ₁＝β_eg，θ₂＝β_e，θ₃＝β_eC_t，θ₄＝B，θ₅＝a₁，θ₆＝a₂，因此动态方程(9)写成

公式(12)中U＝θ₁f₁u，参数函数f₁,f₂,f₃的定义如下：

根据公式(13)，实际的控制输入u＝U/θ₁f₁，因此，只需设计误差符号积分鲁棒控制器U来处理参数不确定性和不确定性非线性即可；

步骤2-3、设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器：

定义如下误差变量：

式中：T_d为转矩跟踪指令；z₁为电液负载模拟器跟踪误差；r为辅助误差量；k₁为正的反馈增益；

由(14)式可知：

设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器如下：

U_a表示模型补偿控制器；k_r为正的反馈增益；U_s1是线性反馈项；U_s2是非线性鲁棒项，用于克服模型不确定性对跟踪性能的影响；

将(16)式代入(15)式可得：

(18)式中，鲁棒增益β>0，sign(z₁)是关于z₁的标准符号函数；

转入步骤3。

4.根据权利要求3所述的所述的电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，所述运用李雅普诺夫稳定性理论对设计电液负载模拟器误差符号积分鲁棒控制器进行理论性证明，证明过程如下：

对上述(17)式求导，得：

在呈现所设计控制器的性能之前，给出如下引理：

引理1：定义变量L(t)和辅助函数P(t)如下：

如果鲁棒增益β满足如下不等式：

则辅助函数P(t)恒为正值；

由引理1可知，辅助函数P(t)的微分为：

定理1：对于电液负载模拟器的数学模型，如果如公式(16)所示的误差符号积分鲁棒控制器的鲁棒增益β满足不等式(22)，且其反馈增益k₁,k_r足够大，使得如下定义的矩阵Λ为正定矩阵：

则闭环电液负载模拟器中所有信号均有界，并且控制器获得渐进稳定性，即当t→∞时，z→0，其中误差向量z定义为z＝[z₁,r]；

证明：定义如下非负的函数V

其时间微分为：

把式(14)、(19)、(23)带入到(26)中可得：

式中z＝[z₁,r]^T，Λ如式(24)是一个正定的矩阵；

因此，有下式成立：

式中λ_min(Λ)是矩阵Λ的最小特征值，由此可知V有界，因此z有界，故闭环控制器所有信号均有界；又由式(28)可知W∈L₂，由误差动态方程可知因此变量W是一致连续的，由Barbalat引理，当t→∞时W→0，由此证明了定理1，该控制器可保证跟踪误差渐进收敛于零。