WO2015181509A1 - Procédé et dispositif de détermination itérative d'un filtre prototype pour un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage - Google Patents

Abstract

L'invention concerne un procédé de détermination d'un filtre prototype, de longueur L, permettant de déterminer les filtres d'un banc de filtres suréchantillonné à modulation exponentielle d'un système de transmission ou de codage, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en œuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en œuvre une matrice polyphase de taille N × M, avec N = ∆N⁰ et M = ∆M₀, où ∆ est un entier strictement positif. N₀ = M₀ + 1, L = ∆L₀ et L₀ est un multiple de N₀ mais non nécessairement de N₀M₀, et le procédé met en œuvre une détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant les étapes suivantes : - détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur L₀ = N₀; - au moins deux itérations de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur L₀ = (k+1)N₀ à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur L₀ = kN₀ déterminés à l'étape précédente, k, 0 ≤ k < K_max, chaque itération minimisant un critère représentatif de l'énergie hors bande E dudit filtre prototype intermédiaire.

Description

Procédé et dispositif de détermination itérative d'un filtre prototype pour un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage.

1. Domaine de l'invention

Le domaine technique est celui de la modulation multiporteuse. Plus précisément, l'invention concerne la modulation OFDM/QAM suréchantillonné.

On rappelle que, par rapport à P OFDM/QAM conventionnel, un avantage de l'OFDM/QAM suréchantillonné est la possibilité d'introduire une forme d'onde optimisée avec des critères appropriés pour un canal de transmission donné. Cette forme d'onde spécifique est assurée par la modulation exponentielle d'un filtre dit prototype.

2. Art antérieur

Les inventeurs ont précédemment mis en évidence le fait que, pour une longueur de filtre prototype et un rapport de suréchantillonnage donnés, il pouvait exister plusieurs familles de solutions, autrement dit d'ensembles de Givens à Reconstruction Parfaite (RP).

Dans le document de brevet FR 08 58910, pour des systèmes dits de dimension ininimale

(c'est à-dire que la RP est réalisée avec le nombre minimum de matrices de rotations), l'existence d'une factorisation explicite des matrices polyphasés de ces systèmes est mise en évidence. Toutefois cette factorisation ne s'applique que dans des cas de longueurs particulières et ne donne pas de méthodes spécifiques de calcul pour obtenir les coefficients de la structure.

Une méthode analytique a été proposée récemment dans le document de brevet

FR 1260950, mais elle ne s'applique que pour les longueurs dites les plus courtes. Une méthode dite de représentation compacte est décrite dans le document « Design techniques for orthogonal modulated filterbanks based on a compact représentation » par D. Pinchon, P. Siohan, et C. Siclet (IEEE Trans. on Signal Processing, 52(6) :1682 - 1692, June 2004). Cependant, elle atteint assez vite ses limites quand la longueur du filtre prototype devient trop élevée et/ou quand le rapport de suréchantillonnage se rapproche trop près de 1.

L'état de Part actuel en matière de design de filtres prototypes pour des systèmes OFDM suréchantillonnés à RP peut être illustré par les références qui suivent :

- R. FUeiss, P. Duhamel, et M. Charbit : « Oversampled OFDM Systems. In Proc. International Conférence on Digital Signal Processing » (Santorini, Greece, July 1997) ;

- Z. Cvetkovic : « Modulating waveforms for OFDM » (In ICASSP (Phoenix, USA), volume Π, pages 2463-2466, 1999) ;

- C. Siclet, P. Siohan, et D. Pinchon : « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » (Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 2006. Article ID 15756, 14 pages) ; - D. Pinchon et P. Siohan : « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions » (IEEE Trans. on signal processing, 59(7) :3058 - 3070, July 2011) ;

- S. Rahinii et B. Champagne : « Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi-carrier transceiver Systems. Signal Processing » (93(11) :2942- 2955, November 2013).

Il existe plusieurs critères d'optimisation des filtres d'un banc de filtres, selon les types de canaux de transmission. Aucune de ces méthodes de l'état de l'art antérieur ne permet d'obtenir des solutions satisfaisantes vis-à-vis d'un critère d'énergie hors bande (visant donc à minimiser l'énergie hors bande) pour :

- des rapports de suréchantillonnage équivalents en terme d'efficacité spectrale des systèmes OFDM dont le préfixe cyclique (CP) correspond à 1/16 au plus de la durée symbole ;

- des valeurs élevées du nombre de sous-porteuses ; et/ou

- un large ensemble de longueurs admissibles pour la condition RP.

De plus, malgré l'usage de la technique de représentation compacte, les temps de calcul sont relativement élevés.

3. Exposé de l'invention

L'objet de l'invention est notamment de proposer une méthode d'optimisation du filtre prototype, pour des solutions dites de dimension minimale et ceci pour un large ensemble de longueurs admissibles de ce filtre prototype.

Ainsi, l'invention concerne un procédé de détermination d'un filtre prototype, de longueur L, permettant de déterminer les filtres d'un banc de filtres suréchantillonné à modulation exponentielle d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous-bandes, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en œuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en œuvre une matrice polyphasé de taille N x M, avec N = ΔΝ₀ et M = ΔΜο, où Δ est un entier strictement positif.

Selon l'invention, N₀ = Mo + 1, L = ALQ et LQ est un multiple de N₀ mais non nécessairement de N₀Mo, et le procédé met en œuvre une détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant les étapes suivantes :

détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur LQ au moins deux itérations de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = (k+l)N₀ à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur LQ = kN₀ déterminés à l'étape précédente, k, 0 < k < Κ chaque itération minimisant un critère représentatif de l'énergie hors bande E dudit filtre prototype intermédiaire.

Le filtre prototype est représenté par la suite par p en temps et P en transformée en z ou fréquence. Classiquement, ce filtre prototype p permet de déterminer l'ensemble des filtres f_m des bancs de filtres, notamment de la façon suivante :

- banc de filtres 'expansion :

- banc de filtres d'expansion :

m et k étant dans ces deux équations des variables muettes strictement positives, et k en particulier étant ici distinct de l'indice k utilisé dans la définition de la longueur LQ_. D'une façon générale, par la suite, dans la description et les revendications, les lettres a, m, et k peuvent être utilisées comme variables muettes strictement positives, dans certaines équations.

L'approche de l'invention s'applique à des systèmes de dimension minimale tels que N₀ = MQ + 1 , dont les coefficients du filtre prototype sont aisés à calculer. On souligne ici que les cas où N₀ = Mo relève de problématiques et d'approches différentes, tant dans l'objet que dans les traitements nécessaires. En particulier les structures de réalisation sont différentes de celles du cas N₀ = MQ, et une connaissance de celles-ci ne permet pas d'en déduire celles du cas N₀ = Mo +1. De fait, les solutions développées sont par nature différentes.

On note par ailleurs que, selon l'invention, LQ est un multiple de N₀, mais qu'il ne doit pas être (obligatoirement) un multiple de Mo, contrairement aux techniques de l'art antérieur. Il est ainsi possible de traiter un nombre de cas beaucoup plus important.

L'invention repose sur une approche itérative, nouvelle dans le domaine de l'invention, permettant de simplifier les calculs, comme démontré par les exemples présentés par la suite.

On rappelle que pour un système OFDM suréchantillonné comprenant M porteuses (M pouvant être de l'ordre de quelques milliers) et un facteur d'expansion/décimation égal à N, la matrice polyphasé du banc de filtre de synthèse associé a une taille N x M. Une décomposition matricielle de cette matrice polyphasé permet de se ramener à l'étude de matrices de taille N₀xMo, avec Ν=ΔΝ₀ et Μ=ΔΜο, où Δ est un entier positif. L'invention établit, pour les systèmes de dimension minimale tels que N₀ = Mo + 1, un lien formel entre les solutions des systèmes de paramètres (Mo, N₀, kN₀) et (Mo, N₀, (k + 1)N₀). Ainsi, l'application de proche en proche de ce principe permet de limiter le nombre de variables à optimiser à chaque étape (en pratique, selon un mode de réalisation particulier, une nouvelle variable angulaire seulement intervient pour passer d'une longueur LQ = kN₀ à LQ = (k + 1)N₀). Ceci permet de couvrir un large éventail de solutions pour tous les triplets (MQ, N₀, Lo) où N₀ = Mo + 1 avec LQ une longueur multiple de N₀.

Ainsi, selon un mode de réalisation particulier, chacune desdites itérations met en œuvre une unique matrice de rotation supplémentaire, par rapport à l'itération précédente.

Les calculs effectués sont alors très simples, même pour de grandes longueurs.

Selon une mise en œuvre particulière de l'invention, le procédé met en œuvre une méthode de représentation compacte, dans laquelle les paramètres de rotation dudit filtre prototype P sont repré par une fonction de lissage :

^ΘΤ = , i = 0, ... A - l, p = 0, ... d - l

où : a est une variable entière muette, 0≤ a < A (dans la suite de la description, a peut être remplacée dans certaines équations par la variable muette k, distincte de l'indice de la revendication 1) ;

Xp_>a désigne les coefficients de ladite fonction de lissage ;

d est le nombre de rotations mises en œuvre pour chaque valeur de i.

La représentation compacte, développée par les inventeurs et détaillée dans l'art antérieur, permet encore de simplifier fortement les calculs.

A peut notamment être inférieur ou égal à 6. En particulier, A peut être égal à 2 quelle que soit la valeur de M, avec MQ > 4.

En effet, on constate que de très faibles valeurs de Asont suffisantes pour obtenir des filtres prototypes beaucoup plus efficaces que ceux de l'art antérieur.

Selon un mode de réalisation particulier, le procédé comprend les étapes suivantes : détermination des angles 6*_p ^(l) ;

détermination de matrices :

^SM₀,(k+i)N₀ (^ο^' ^θι ^> - ' 0_fc^l)) ' i = 0, ... , Δ - 1

détermination des composantes polyphasés Pj(z) du filtre prototype ; détermination du filtre prototype P(z). Cette étape de détermination du filtre prototype P(z) peut notamment mettre en œuvre une minimisation d'un critère représentatif de l'énergie hors-bande E du filtre prototype P(z), à l'aide d'une algorithme d'optimisation desdits paramètres Xp_>a.

Selon une approche particulière, lorsque Mo est supérieur ou égal à 8 et pour une valeur souhaitée de Δ strictement supérieur à 4, on détermine un filtre prototype pour une valeur Δ = 4 et on remplace directement la valeur 4 de Δ par la valeur souhaitée.

On constate en effet que les variations de l'énergie hors-bande pour les valeurs de Δ supérieures à 4 sont en pratique non distinguables des variations obtenues pour Δ = 4

L'invention concerne également un dispositif de détermination d'un filtre prototype, de longueur L, permettant de déterminer les filtres d'un banc de filtres suréchantillonné à modulation exponentielle d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous -bandes, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en œuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en œuvre une matrice polyphasé de taille N x M, avec N = ΔΝ₀ et M = ΔΜο, où Δ est un entier strictement positif.

Selon l'invention, N₀ = Mo + 1, L = ALo et Lo est un multiple de N₀, et le dispositif comprend des moyens de détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant :

des moyens de détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur Lo = N₀ ;

des moyens de réalisation d'au moins deux itérations de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = (k+l)N₀ à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = kN₀ déterminés à l'étape précédente, k, 0 < k < K_max,

L'invention concerne également un programme d'ordinateur comportant des instructions pour la mise en œuvre d'un procédé de détermination d'au moins un filtre prototype tel que décrit ci-dessus, et par exemple selon le mode de réalisation préférentiel présenté ci-après, lorsque ce programme est exécuté par un processeur.

4. liste des figures

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront plus clairement à la lecture de la description suivante d'un mode de réalisation de l'invention, donné à titre de simple exemple illustratif et non limitatif, et des dessins annexés, parmi lesquels :

la figure 1 illustre une représentation d'un système OFDM sous la forme d'un transmultiplexeur suréchantillonné ;

la figure 2 présente les variations en décibels de la meilleure énergie hors bande pour un filtre prototype RP de paramètres Mo =32, N₀ =33, Lo =m ₀ avec 1 < m< 128 et Δ=4 ;

la figure 3 présente les variations en décibels de la meilleure énergie hors bande pour un filtre prototype RP de paramètres Mo =8, N₀ =9, Lo =mN₀ avecl<m<32 et Δ=8 ;

la figure 4 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 32, N₀ = 33, = 128N₀, Δ = 210 d'énergie hors bande -45.97 dB ;

la figure 5 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres M₀ = 8, N₀ = 9, L₀ = 24N₀, Δ = 8, L = 1728 d'énergie hors bande -39.69 dB ; la figure 6 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres M₀ = 8, N₀ = 9, L₀ = 32N₀, Δ = 8, L = 2304 d'énergie hors bande -50 dB ; - la figure 7 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 8, N₀ = 9, Lo = 32N₀, Δ = 212, L - 1 179648 d'énergie hors bande -50 dB.

5. description d'un mode de réalisation particulier

5.1 exemples d'applications

Historiquement les systèmes OFDM suréchantillonnés ont déjà été proposés pour des applications de type diffusion, dans le cas de la voie de retour du système DVB-RCT, ainsi que pour de la transmission VDSL.

En relation avec le projet FP7 METIS, des applications sont envisagées dans les systèmes de communication mobile 5G. Un des intérêts des solutions OFDM suréchantillonné de dimension minimale est en effet de fournir une excellente sélectivité en fréquence, ce qui assure la meilleure robustesse pour une transmission dans des canaux dispersif s en temps.

5.2 rappels sur la modulation OFDM au sens large

L'OFDM, au sens large, définit un système de modulation dans lequel on transmet en parallèle sur M porteuses des symboles complexes de données c_mn (m ε I = {0,..., M - 1 } et n £ Z). Les représentations usuelles pour ces symboles correspondent aux alphabets utilisés pour les modulations d'amplitude comme la QAM ou encore la PSK (Phase Shift Keying) et sa variante en codage différentiel la DPSK. En bande de base, le signal OFDM générique s'écrit :

M-l M-1 +∞

^S(*) = Σ Σ C_mi„/_min(i), (1) m=0 m=0 n=— oo

avec

et

- f(t) une fonction de carré intégrable appelée en général fonction prototype ;

- o durée symbole ;

- FQ espacement entre deux porteuses successives ;

- f = _l Ainsi définie, (f^)^) e _IxZ constitue une famille de Gabor. Le but est de retrouver les symboles c_{m n} à partir du signal s(t). Ceci est possible si et seulement si (fm,_n)(m,n₎eixz constitue une famille libre. Ainsi, la densité d = 1/F₀T₀ doit être inférieure ou égale à 1 pour pouvoir démoduler le signal. Or l'efficacité spectrale η, qui mesure le débit binaire par unité de temps et de fréquence, est liée à la densité par la relation η ~ bd, avec b le nombre de bits utilisés pour l'alphabet de la constellation (par exemple QAM ou PSK).

On en déduit que l'efficacité spectrale est maximale lorsque d = 1, i.e. F₀ = 1/T₀.

Dans ce cas, le théorème de Balian-Low indique que f(t) est une fonction nécessairement mal localisée dans le plan temps-fréquence, c'est pourquoi on peut être amené à réduire l'efficacité spectrale en prenant d < 1. On dit alors que le système est à densité sous-critique.

Pour reprendre la convention d'écriture du document de brevet WO 2006/004980, on peut représenter un système OFDM par le triplet (f,T₀,F₀) et on dira qu'un système OFDM est orthogonal si

(3)

Par le théorème de Balian-Low on sait qu'il est impossible de trouver un triplet (f,T₀,F₀) qui vérifie simultanément les 3 conditions suivantes :

1. Les fonctions f_nin sont orthogonales dans le corps des complexes ;

2. La fonction f est bien localisée en temps et en fréquence ;

3. T₀Fo = 1.

L'OFDM à densité sous-critique introduit une perte d'efficacité spectrale proportionnelle à 1/d. Deux cas sont alors envisagés et mis en œuvre dans des schémas de réalisation efficaces à base de transformée de Fourier discrète (DFT).

Dans le premier cas, les symboles utiles de durée T₀ sont prolongés à l'émission d'une durée T_A qui, le plus souvent, va correspondre à la recopie d'une partie des échantillons de la sortie de la DFT inverse sous la forme dite de préfixe cyclique (CP). L'efficacité spectrale résultante du CP-OFDM est alors proportionnelle à la densité :

d = To/(T₀ +Τ_Δ).

Dans un deuxième cas, celui de l'OFDM suréchantillonné, on procède à un suréchantillonnage au niveau du modulateur. Ainsi pour un système à M sous- porteuses, on introduit un facteur de suréchantillonnage rationnel tel que p = M N avec N > M. La densité d = 1/p devient inférieure à 1, mais on a introduit la possibilité d'avoir une forme d'onde f bien localisée en temps et en fréquence, ce qui n'est pas le cas de la forme d'onde rectangulaire du CP- OFDM. L'invention concerne ce dernier cas, et propose des systèmes OFDM (f, T₀, F₀), ou encore (f, N, M) dans leur version à temps discret, ayant des efficacités spectrales comparables à celles des systèmes OFDM à préfixe cyclique (CP) de valeur réduite, c'est-à- dire inférieure à 25%, ce qui correspond à des valeurs de d supérieures à 4/5. Ainsi, nous allons considérer des rapports de suréchantillonnage rationnels notés N₀ / Mo avec N₀ = Mo +

1, avec des valeurs élevées de Mo, c'est-à-dire des rapports présentant le plus grand intérêt du point de vue de l'efficacité spectrale.

5.3 OFDM suréchantillonné sous forme de transmultiplexeur

L'OFDM suréchantillonné peut se représenter sous la forme dite de transmultiplexeur (TMUX) telle que décrite dans le document « Oversampled OFDM

Systems » par R. Hleiss, P. Duhamel, et M. Charbit (In Proc. International Conférence on Digital Signal Processing, Santorini, Greece, July 1997) et comme illustré par la figure 1. Dans ce schéma M et N désignent deux entiers vérifiant M < N, avec M le nombre d'entrées et de sortie et N le facteur d'expansion/décimation. Fm(z) et Hm(z), 0 < m < M - 1 désignent des filtres à coefficients complexes, qui ne sont pas supposés causaux, ni même à support fini :

F_m{z) = h_m [k]z-^k, 0≤ m < M - 1. (4)

où f_m[k] et h_m[k] désignent leurs réponses temporelles respectives.

Le facteur de suréchantillonnage de ce système est noté p— ^ et de manière équivalente, sa densité est alors telle que d = ^

La partie gauche de la figure 1 représente le banc d'émission et son schéma est désigné par S(M, N, (F_m)₀<_m<M-i) tandis que la partie droite est le banc de réception qui est désigné par TZ(M, N, (H_m)_0≤m<M-i)-

Le TMUX est dit à reconstruction parfaite (RP) si x_m[n] = :r_m[n] , n G Z, 0 < m < M— 1 pour tout signal d'entrée, c'est-à-dire si f_m, [l - kN]h_m[nN - l] = ô_m,_m,S_n;k, 0 < m, m' < M - 1, n, k e Z, (5) lez

où ôi_j— 1 si i = j et 0 sinon.

Dans toute la suite on supposera que les coefficients des F_m(z) et H_m(z) sont liés par la relation

h_m[n] = f_m[-n], 0 < m < M - 1, n E Z, (6) où / indique l'opération de conjugaison de /. La relation (6) indique que le TMUX est orthogonal. Dans le cas de l'OFDM suréchantillonné, le TMUX est dit à modulation exponentielle et par conséquent les filtres F_m(z) sont donnés par

où U>M désigne la racine ième primitive de l'unité % = e M et P(z) =∑_n£z Plⁿ]^z~n est un filtre de coefficients réels p[n], n G Z.

Après quelques calculs, on aboutit ainsi à un résultat qui eon-espond à la condition RP également donnée dans les documents « Modulating waveforms for OFDM » par Z. Cvetkovic. (In ICASSP (Phoenix, USA), volume II, pages 2463-2466, 1999) et « Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi -carrier transceiver Systems » par S. Rahimi et B. Champagne (Signal Processing, 93(11) :2942- 2955, November 2013) : 0 < s < M - 1, n G Z. (8)

fcez

Des équations (8), on déduit immédiatement que si le filtre prototype P(z) est RP alors il en est de même du filtre translaté z^kP(z) où k G Z et du filtre symétrique P(l/z). Si ensuite nous notons Δ = gcd(M,N) et définissons M₀ et N₀ tels que M =ΔΜ₀, N = ΔΝ₀, nous obtenons la décomposition Δ-polyphase de type 1 de P(z) sous la forme :

Δ-1

Nous pouvons alors reformuler le théorème de décomposition initialement démontré dans le document « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » par C. Siclet, P. Siohan, et D. Pinchon (Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 2006. Article ID 15756, 14 pages) :

Théorème 2.1, P(z) est RP pour les paramètres M et N si et seulement si les Pj(z) sont RP pour les paramètres M₀ et N₀ pour tout i, 0 <i < Δ-1.

Ce théorème permet, au lieu de systèmes de taille (m, N, M), de considérer des systèmes (m, N₀, Mo) de taille réduite. La prise en compte de la taille réelle du système est ensuite facilitée, comme dans nos travaux antérieurs, par l'utilisation d'une représentation compacte de degré K tel que K « Δ.

5.4 Notations et définitions

Dans notre convention de notation les matrices apparaissent en caractères gras. Les ensembles qui leur sont associés utilisent la même lettre en caractères standard.

Définition 6.1. Soit N₀ > 2, M₀ > 0 avec Mo < N₀, et A(X) une matrice à N₀ lignes et

Mo colonnes dont les éléments sont des polynômes en X à coefficients réels, c 'est-à-dire dans R[X| . On dit que la matrice A(z) est paraunitaire si

A(1/X)^T A(X) = I_Mo, (10) où I_MG désigne la matrice unité de dimension MQ et (.)T l'opération de transposition.

On désigne par l'ensemble des matrices para unitaires de dimensions N₀ xMo.

Si les éléments d'une matrice paraunitaire A(X) sont constants alors la matrice A = A(X) est constante : c'est une matrice orthogonale No x MQ, telle que A^T A = I_Mo-

Lorsque M₀ = No, l'ensemble des matrices paraunitaires constantes est le groupe orthogonal 0(N_o, R) classique et l'ensemble 0(N_O, No, R, X) des matrices paraunitaires de dimension N₀ est également un groupe, noté O(N₀, R, X) . Si A(X) E O(N₀, R, X) et B(X) e O(N₀, M₀, R, X), alors A(X)B(X) e O(N₀, ₀, R, X).

Dans toute la suite les indices de lignes et de colonne d'une matrice seront désignés en commençant par l'indice 0.

Définition 6.2. . Soit r : [0, 1 ,..., MQ -1 ]→ [0, 1,..., Ν₀ -1 ] une application injective. On désigne par E = E[r(0), r(l),..., r(Mo -1)] la matrice orthogonale, constante de dimensions

N₀ xMo, telle que E_{r(c) c} = 1, 0 < c≤M₀ - 1 et E_{R C} = 0 sinon. Une telle matrice est dite matrice para unitaire élémentaire.

Par exemple, la matrice :

est notée par E [3 2 1 4], le nombre de lignes de cette matrice se déduisant directement du contexte.

On note alors E[r(0), r(l), . . . , r(M - 1)] l'ensemble constitué par la seule matrice para unitaire élémentaire E[r(0), r(l), . . . , r(M - 1)].

Définition 6.3. Soit N₀ > 2 et i, j, 0 < i,

La matrice RiJ (Θ) carrée de dimension N₀ définie par

[¾_j (¾i = [¾_j(¾ = COS 0,

[RiM r = 1 , r i, r≠j,

[R_iij(9)]_rtC— 0 sinon,

est appelée matrice de rotation élémentaire d'indices i,j ou matrice de Givens d'indices i, j.

Les matrices Ri_j(é>) sont des matrices orthogonales.

Définition 6.4. Soit n > 2, i et j deux indices avec 0 < i < n—1; i≠], on note Ry, ou I¾_j s 'il n 'y a pas de confusion possible (n < 10 , l 'ensemble des rotations d'indices i et j :

Définition 6.5. Soit N₀ > 2 et r, 0 < r < N₀ - 1. La matrice paraunitaire ¾. carrée de dimension N₀, diagonale, telle que [Z,.] _R>R = X et [ZJ ^ = 1 si k≠ r est appelée matrice de décalage ou matrice de shift de ligne r.

On note ¾. l'ensemble constitué par l 'unique matrice ¾..

Si A et B désignent deux ensembles de matrices de dimensions N₀ x MQ et MQ X P respectivement, on note AB l'ensemble des matrices produits AB lorsque A £ A et B £ B.

Cette définition s'étend à un produit quelconque d'ensembles de matrices pourvu que les dimensions des matrices de chaque ensemble soient compatibles.

On donne maintenant la définition fondamentale suivante :

Définition 6.6. Soient MQ et N₀ deux entiers avec N₀ > 2 et 1 < MQ≤ N₀. Un ensemble de Givens de paramètres Mo,N₀ est un produit de la forme TiT₂ . . . T_KE où E est l 'ensemble constitué d'une matrice paraunitaire élémentaire et où, pour chaque k, 1< k < K, r_k est un ensemble de rotations I¾,_j ou bien un ensemble

Les matrices d'un ensemble de Givens sont de façon évidente des matrices paraunitaires de dimensions N₀Mo.

S'il y a L ensembles de rotations dans la suite { T_i5 1 < i < K} d'un ensemble de Givens G, soit ii < i₂ < . . . < ÏL leurs indices dans cette suite. Si 6j, 1 < 1 < L sont L nombres réels donnés, on peut alors choisir la rotation d'angle 6j dans l'ensemble de rotations T_it pour 1 < 1 < L.

On obtient ainsi une application de ο de ^L dans G C O{N₀, M₀, , X) , appelée représentation paramétrique de G.

D'autre part l'en

des polynômes en X

comme suit : les matrices Ek,_r,_c avec 0 < k < d, 0 < r < N₀— 1, 0 < c < M₀— 1 , définies par [Ek,_r,_c]r,_c = X et 0 sinon, forment une base de cet ensemble de matrices et l'application

G. Théorème et définition 6.7. Pour un ensemble de Givens G comporiant L rotations, le rang de la matrice jacobienne de sa représentation paramétrique φο atteint sa valeur maximum sauf sur un ensemble de mesure nulle dans ^L. Cette valeur maximum est appelée la dimension de G.

Si la dimension de G est égale à L alors, pour tout point P de ^L où le rang de la matrice jacobienne est exactement égal à L, il existe un voisinage V de P où le rang est encore égal à L et la restriction de φα à V est injective et c 'est même un difféomorphisme de V sur α Υ)- Nous dirons qu'il s 'agit d'un ensemble de Givens localement injectif, mais il faudrait en toute rigueur dire localement injectif sauf sur un ensemble de mesure nulle.

Définition 6.8. L 'utilisation d'une représentation compacte suppose que pour chacune des Δ composantes polyphasés le comportement des d paramètres angulaires est très régulier. Ce comportement, observé initialement pour les systèmes de bancs de filtres modulés du document « Design techniques for orthogonal modulated filterbanks based on a compact représentation » déjà mentionné et des solutions optimisées suivant les critères F S et TFL, se vérifie également pour les systèmes suréchantillonnés du document « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » Autrement dit pour la composante polyphasé d'indice p et un nombre d de rotations, correspondant à la dimension de la solution, le comportement des angles peut se représenter, par exemple, de manière très précise par la fonction de lissage suivante de ce dernier document :

où les Xp _k désigne les coefficients de ce développement en série de Taylor. Ainsi au lieu d'avoir dA paramètres à optimiser la représentation compacte implique dK variables. Ceci présente de l'intérêt dès que K < A. Comme le plus souvent une valeur de K égale à 5 ou 6 peut suffire, et que le nombre de sous-porteuses est assez souvent de plusieurs milliers nous avons, en général, K « A.

5.4 Théorème de base

Lorsque la longueur LQ de la solution est un multiple de N₀, LQ = mN₀ (ou LQ = kN₀ dans les revendications, m ou k étant des variables entières muettes strictement positives ayant alors bien sûr la même signification) et que l'ensemble S_MO,MO+I,L₀ des solutions a pu être explicitement calculé, la solution de dimension minimale est de dimension m et prend une forme relativement simple. Le théorème suivant établit que cette forme donne effectivement une solution, c'est-à-dire que l'on obtient bien, pour chaque valeur de Lo = niN₀, un ensemble de matrices paraunitaires de dimension N₀ x Mo donnant des filtres prototypes à reconstruction parfaite pour les paramètres Mo et No = Mo + 1 et de longueur Lo.

Théorème 6.9. Soit M₀>2etNo= M₀ + 1. Pour tout & > 0, on définit les ensembles de matrices T_k par

T_k = sik>0 etk mod ₀ = 0, ^ Rk mod M₀, M₀ Sinon,

où Zi et Ri_j désignent respectivement une matrice de décalage et une matrice de rotation de dimension N₀.

On définit la solution SM₀,L₀ pour L₀ = mN_Q avec m > 1 par

m— 1

S_Mo>Lo = l[T_kE[0,l,...,M₀-l]. (18) fc=0

On a alors S_MO,L₀ C <SM₀,M₀+I,L₀ ^ET SM₀,L₀ est de dimension m.

Conjecture 6.10. Pour Mo > 2, N₀ = Mo + 1 et Lo = mN₀ avec m≥l, S_MO,LO est la solution de dimension minimale de S_MO,MO+I_,LO dans sa décomposition comme union de solutions localement injectives maximales pour l'inclusion, autrement dit aucune solution n'est incluse dans l 'autre.

Chaque ensemble T_k dépend d'un angle et l'on note T_k{e_k) la matrice obtenue en donnant la valeur 9_k à cet angle. On note alors, pour Lo = mNo,

m— 1

SM_O,L_o(0O, 0I, ... , 0m-i) =

fcΠ ^T*(^) ^E 1.■■■ . ₀ - 1]. (19) =0

Puisqu'une matrice de rotation d'angle nul est la matrice identité de dimension N₀ et que

Z_MQE[0, 1, ... , ₀ - 1] = E[0, 1, ... , ₀ - 1], (20) on a donc :

(0o,0i,.-.,0m-i,O), (21) de sorte que S_MO,L_Q C S_MO,L₀+N₀-

Un intérêt de ce théorème repose sur le fait que l'optimisation pour un critère donné d'un filtre prototype RP de longueur ALQ, avec Lo = mN₀, construit à partir de Δ composantes Δ- polyphases de U-matrices :

peut se faire pour m > 1, avec comme point initial l'optimum obtenu pour m - 1 et des angles initiaux :

i =0,...,Δ-1 nuls.

Avec la méthode de la représentation compacte, ce ne sont pas Δ paramètres qui sont ajoutés à chaque étape mais seulement K où K est le degré de la représentation compacte. De plus comme l'optimisation se fait de proche en proche, il apparaît que pour des valeurs élevées de Mo, K = 2 est suffisante.

5.5 Procédé de calcul des coefficients d'un filtre prototype optimal

Dans ce paragraphe nous faisons le bilan des résultats des paragraphes précédents en détaillant les étapes du calcul qui conduisent à la détermination des coefficients transversaux d'un filtre prototype à reconstruction parfaite, pour des paramètres donnés, optimal pour le critère de meilleure énergie hors-bande. Nous choisissons ici un exemple plus simple que ceux qui sont présentés dans le paragraphe 8 où les filtres obtenus ont un très grand nombre de coefficients.

Les paramètres en entrée du calcul sont

Des entiers ) >1 , N₀ = M) +1 ,Δ> 2 et m > 1 ,

Un entier K > 1 qui est le nombre de coefficients dans la représentation compacte choisie.

Le résultat du calcul est un filtre prototype P(z) de longueur ηιΔΝ₀, optimal pour le critère de meilleure énergie hors-bande. Nous faisons ici le choix suivant : Mo = 2, N₀ = 3, m = 3, Δ = 8 et donc le filtre prototype optimal P(z) est de longueur 72 et ses 8 composantes Δ- polyphases Pj(z), 0 < i <7,sont de longueur Ν=ΔΝ₀=9. On a alors

7

i=0

Pour 0 < i < 7 la ième composante 8 -polyphasé Pj(z) s'obtient à partir d'une U-matrice à 3 lignes et 2 colonnes :

β^ , θ^ , θ^) de S_Mo,_Lo = <S₂,₉ avec L₀ = mN₀ = 9,

de la forme (cf. équation 19)

StfP , θ? , 6 ) = Τ₀(θ$>)

Τ₂(θ?)Ε[0, 1] , (23) où les matrices T_k sont définies en (17), et , , θ₂ ^ sont trois angles.

D'après la définition (17), on obtient donc t>i{V₀ , o₁ , v₂ (24)

La U-matrice

Pj(z) par la formule (équation (12) du document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions » pour ) = 2, N₀ = 3) :

où Vi_j(z), 0 < j < 5 sont les composantes 6-polyphases de P{z) :

5

Pi(z) =∑V_id(Z^e)z-i. (26)

3=0

Le filtre prototype peut donc être construit à partir de 24 paramètres angulaires indépendants θ ,θ , avec 0 < i < 7.

On choisit alors une méthode de représentation compacte de degré K = 2 pour obtenir les angles 0_Q 0 < i < 7, c'est-à-dire que l'obtient ces angles à partir de 2 coefficients ₀,o et ο,ι par la formule

Θ = x₀,o + ¾i > ⁰≤ ⁱ≤ ⁷> (²⁷)

qui est la formule (16) pour le choix de nos paramètres.

De même les angles

calculés par les formules

2z + l

= Χι,ο + Χι,Λ -), 0<i<7, (28) q« 2¾ + 1

θ = X2,o + X2,i - ^-) , °≤ⁱ≤⁷, (²⁹) où Xifi, xi_ti, x_2jo, X2,i sont 4 autres coefficients indépendants.

 partir des 6 coefficients indépendants ^ο,ο,^ο,ι^ι,θι^ι,ΐι^,ο,^,ι \_e calcul du filtre prototype P(z) suit donc les étapes suivantes :

1. Calcul des 24 angles θ^,θ^,θ^ avec 0 < i < 7 à l'aide des formules (27), (28) et (29),

2. Calcul des matrice ,θ^ , θ ^]), 0 < i < 7, à l'aide de la formule (24),

3. Calcul des composantes 6-polyphases Vi_j(z), 0 < i < 7, 0 < j < 5, à l'aide de légalité (25),

4. Calcul des Pi(z), 0 < i < 7, à l'aide de la formule (26),

5. Calcul de P(z) à l'aide de la formule (22).

La fonction coût considérée, dépendant donc de XQ_>0, ΧΟ,Ι, XI,O> ^XU> ¾,O> ¾,I_> est alors l'énergie hors-bande E de P(z) calculée par la formule (cf. formule (63) du document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions » our M = ΔΜο = 16) : . (30)

On minimise alors la valeur de E en prenant comme variables indépendantes Χο,ο^ Xo,i _> Xi,o_> ΧΙ,Ι , X2,o, Χ24 · Cette optimisation peut être effectuée en trois étapes (la valeur de m) :

1. On fixe à 0 les valeurs de Χι_>0, Χι,ι , X2,o, X2,i, et on optimise E en Χο,ο, Χο,ι avec des valeurs initiales nulles,

2. On fixe à 0 les valeurs de x_2>0, X24 , et on optimise E en Xo_>0, Χο,ι, Xi,o_> ^xi,i avec pour valeurs initiales pour Xo_>0, Χο,ι les valeurs optimales obtenues dans la première étape et pour x_{1 0}, x des valeurs nulles,

3. On optimise E en Xo_>0, Χο,ι, Χι,ο, Xi,i , x₂,o, 2, 1 avec comme valeurs initiales pour Xo ₀, Χο,ι, X1 0, Χι,ι les valeurs optimales obtenues à l'étape 2 et pour x_2>0, X24 des valeurs nulles.

Cette technique d'optimisation par palier est justifiée par la formule (21) et donne de meilleurs résultats qu'une optimisation directe sur les 6 variables.

Pour le choix de paramètres de cet exemple, les valeurs optimales pour les variables Xo_>0, Χο,ι, Χι,ο, Χι,ι, 2,o_> X24 sont données dans la Table 1, les valeurs correspondantes des 24 angles dans la Table 2 et les 72 coefficients p[n] du filtre optimal

dans la Table 3 (un entier entre parenthèses indique le produit par la puissance de 10 correspondante). Ce filtre a pour énergie hors-bande E = 3.9953710 ³.

TAB. 1 - Valeurs optimales des 6 coefficients de la représentation compacte du filtre P(z) i 6>?>

0 4.9933879748421478 10^" -1 - 1.0927974026400731 1.4970599561115943

1 4.3917412541314338 10^" -1 - 1.0198915550879954 1.4491747685063949

2 3.7900945334207192 10^" -1 -9.4698570753591782 10^" -1 1.4012895809011956

3 3.1884478127100052 10^" -1 -8.7407985998384019 10^" -1 1.3534043932959963

4 2.5868010919992912 10^" -1 -8.0117401243176256 10^" -1 1.3055192056907969

5 1.9851543712885766 10^" -1 -7.2826816487968493 10^" -1 1.2576340180855976

6 1.3835076505778626 10^" -1 -6.5536231732760730 10^" -1 1.2097488304803983

7 7.8186092986714861 10^" -2 -5.8245646977552978 10^" -1 1.1618636428751989

TAB. 2 - Valeurs des 24 angles dans la construction du filtre P(z) n p[n] n p[n] n p[n] n p[n]

0 6.4674469567982923( -2) 18 9.1571680317008597( -i) 36 1.8371223777399870(- 1) 54 - 1.0228929931049167(- 1)

1 1.0980887296533369 - i) 19 9.27247758039289721 -i) 37 1.3126141712546199(- 1) 55 -5.9849481449001395(-2)

2 1.5672408543281832( - i) 20 9.32912180296796791 -i) 38 8.4048666538813557(- 2) 56 0.0000000000000000(00)

3 2.0481282791265634 - i) 21 9.32679742531970391 -i) 39 4.2964568102871005(- 2) 57 0.0000000000000000(00)

4 2.5345368140275126 - i) 22 9.26588143359413641 -i) 40 -6.5412479099699730( -2) 58 0.0000000000000000(00)

5 3.0201834395484950( - i) 23 9.14742662448697061 -i) 41 -1.0337251725099968( -i) 59 0.0000000000000000(00)

6 3.4987896801824175( - i) 24 8.85504468736589061 -i) 42 -1.3692368371223868( -i) 60 0.0000000000000000(00)

7 3.9641549254911562( - i) 25 8.45757337128453251 -i) 43 -1.6541932405760446( -i) 61 0.0000000000000000(00)

8 4.6000330805936873( - i) 26 8.00025838919253161 -i) 44 -1.8828837241260785( -i) 62 0.0000000000000000(00) g 5.2345835495345705( - i) 27 7.48901809188437631 -i) 45 -2.0504377098492813( -i) 63 0.0000000000000000(00)

10 5.8413231540483701( - i) 28 6.93051744444199811 -i) 46 -2.1528966410682840( -i) 64 1.6227223175390194(-2)

11 6.4170283420179020( - i) 29 6.33207139095487201 -i) 47 -2.1872726189194680( -i) 65 2.7002669456344185(-2)

12 6.9586404443473193 - i) 30 5.70153877151076131 -i) 48 -2.1967182462375012( -i) 66 3.6460170021796391 ( - 2)

13 7.4632819253917293( - i) 31 5.04720833705466721 -i) 49 -2.2092628120204374( -i) 67 4.3385730385990785(-2)

14 7.9282716710413281 - i) 32 4.25174866854251651 -i) 50 -2.1303164885724613( -i) 68 4.6668859407336789(-2)

15 8.3511392332358481 - i) 33 3.62285472016571801 -i) 51 -1.9641992955862647( -i) 69 4.5343542621315638(-2)

16 8.7551385613024868( - i) 34 3.00313952430368011 -i) 52 -1.7177871373065259( -i) 70 3.8624360497759740(-2)

17 8.9841732079267023( - i) 35 2.40416701592443271 -i) 53 - 1 ,4002793043543879( -i) 71 2.5936542200736885(-2)

TAB. 3 - Les 72 coefficients du filtre P(z)

5.6 Exemples de résultats

Dans ce paragraphe, le procédé est mis en œuvre pour obtenir des filtres prototypes d'énergie hors-bande minimale avec un rapport de suréchantillonnage atteignant 33/32 et un nombre de sous-bandes M = V A = 2¹⁵ égal à celui du système OFDM de la norme DVB-NGH .

Supposons tout d'abord que nous voulons déterminer un filtre prototype satisfaisant un critère de type TFL ou FS pour un transmultiplexeur suréchantillonné dans un rapport 5/4 et comprenant 2048 porteuses. Autrement dit, nous avons ici Δ = 512.

La méthode de représentation compacte nous permet de calculer des solutions de longueur L = ALo avec Lo = mNoMo. Ainsi, dans le document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions », il est déterminé de manière exhaustive toutes les solutions de dimension minimale pour m allant de 1 à 3, autrement dit telles que {LQ} = { 20, 40, 60} . Le nombre de variables à optimiser simultanément est alors égal à ¾ =K_mM₀ =4mK avec K de l'ordre de 5 à 6.

Notre nouveau procédé nous permet de traiter toutes les longueurs LQ multiples de N₀ donc l'ensemble de longueurs {Lo } = {5, 10, 15, 20, .. . } . A chaque étape de l'algorithme l'optimisation de K paramètres est suffisante. Un premier avantage est donc de pouvoir traiter un ensemble de longueurs bien plus important et une réduction significative du temps de calcul pour l'optimisation d'un filtre prototype de longueur donnée.

On notera également que si la méthode de calcul décrite dans le document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions », Théorème VI.4] , permet aussi une approche pas à pas, elle impose, à chaque pas, l'optimisation de MQK variables au lieu de K dans le procédé proposé à présent.

Ainsi ce nouveau procédé permet d'atteindre un facteur de suréchantillonnage encore plus proche de 1 et ceci pour des nombres de porteuses bien plus élevés que dans l'art antérieur. A titre d'exemple pour Mo = 32, N₀ = 33, LQ = 128N₀ et Δ = 210, on obtient des filtres de longueur L = 4325376 = 33 x 2 . La représentation angulaire correspond à Δ composantes polyphasés décrites chacune par un élément de S_32>LO avec Lo = 128N₀ dépendant de 128 angles, soit un total de 128Δ = 216 angles.

On notera tout d'abord que la méthode du document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions » qui impose ici des longueurs multiples de 276 ne permet pas de traiter ce cas. Supposons toutefois que cela soit possible, de plus avec une représentation compacte de faible degré K = 2. L'optimisation porte alors sur 2 x 128 = 256 paramètres indépendants. C'est un nombre encore trop important de paramètres pour qu'un logiciel d'optimisation globale donne un résultat satisfaisant.

Par contre, en utilisant la relation (21), l'optimisation peut être conduite en augmentant m de 1 à 128 et en prenant comme point initial pour une valeur de m > 1 le filtre optimal obtenu pour m - 1. A chaque étape, ce sont seulement K paramètres qui sont ajoutés, avec K = 2 si la valeur de Mo est un peu élevée.

La figure 2 montre la variation, pour m allant de 1 à 128, de l'énergie hors bande minimale (critère FS), exprimée en décibels, d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 32, N₀ = 33, Lo = mNo avec Δ = 4.

Des courbes analogues à celles de la figure 2 sont obtenues pour 1 < ) < 16, N₀ = Mo +1 et LQ = mNo, 1≤ k < 4Mo. On remarque alors que :

1. Pour ) > 8, les courbes de meilleures énergies hors-bande sont indistinguables lorsque l'on fait croître le degré de la représentation compacte de 2 à 4.

2. Pour Δ > 4, les courbes sont indistinguables des courbes obtenues pour Δ = 4.

Pour obtenir un filtre prototype optimisé pour Δ = 210, il suffit donc de considérer le filtre prototype optimisé pour Δ = 4 et un degré égal à 2 pour la représentation compacte, et de remplacer la valeur 4 de Δ par celle qui est souhaitée.

C'est de cette manière qu'a été obtenu le filtre prototype de la figure 4 dont l'énergie hors bande est égale à 2.521410 ⁵, c'et-à-dire -45.97 dB. Seuls les premiers 106 coefficients du filtre sont représentés dans la partie gauche de la figure.

La même méthode peut être utilisée avec des valeurs différentes des paramètres MQ. Par exemple pour Mo = 8, N₀ = 9, Lo = mN₀ avec 1 < m < 32 et Δ = 8, on obtient la courbe de meilleure énergie hors bande représentée dans la figure 3.

Avec m = 24, on obtient un filtre de longueur L = ηιΝ₀Δ = 24 x 9 x 8 = 1728 dont l'énergie hors-bande est égale à 1.0736 x 10 ⁴, c'est-à-dire -39.69 dB, et qui est représenté dans la Figure 5. Il correspond au carré 31 dans la figure 3. Le nombre d'angles d'une représentation angulaire de ce filtre est égal à Àm = 192 tandis que l'optimisation a été conduite avec les 2m = 48 paramètres d'une représentation compacte de degré 2. Ces éléments sont à comparer avec les résultats de l'exemple traité par S. Rahimi et B. Champagne dans « Perfect reconstruction DFT modulated oversampled filter bank transceivers » (In Proc. 19th European Processing Conférence (EUSIP- CO'201 1), Barcelona, pages 1588- 1592, 2011) et « Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi -carrier transceiver Systems » (Signal Processing, 93(11) :2942- 2955, November 2013) pour un filtre prototype RP avec des paramètres identiques. Suivant la représentation paramétrique qu'ils ont choisie, le nombre de paramètres permettant de décrire une matrice paraunitaire d'où l'on déduit le filtre est de 576 ou 448. Ce filtre est signalé par un carré 32 dans la figure 3.

Toujours avec Mo = 8, N₀ = 9, Lo = mN₀ et Δ = 8, on peut choisir la valeur plus élevée m = 32 pour obtenir un filtre prototype de longueur L = 2304 correspondant au carré 31 dans la Figure 3 et dont les caractéristiques sont représentées dans la figure 6. Son énergie hors-bande est égale à 9.996 x 1QT⁶, soit -50 dB.

En gardant la même représentation compacte du filtre de la figure 6, mais en augmentant la valeur de Δ à Δ = 212, on obtient un filtre prototype à 2¹⁵ sous-bandes, de longueur L = 9.2¹⁷ = 1 179648, d'énergie hors bande 1.0017 x 10 ⁵, c'est-à-dire -50 dB. Les caractéristiques de ce filtre sont représentées dans la figure 7.

5.6 synthèse

L'invention propose un nouveau procédé de construction de systèmes de modulation

OFDM suréchantilllonné. Nous avons considéré la famille de systèmes à reconstruction parfaite (RP) de dimension minimale, c'est-à-dire réalisable avec un minimum de circuits de rotation.

Cette famille de modulateurs permet d'atteindre de très bonnes performances, voire les meilleures, en termes de sélectivité fréquentielle du filtre prototype.

Cette nouvelle approche permet de traiter un plus large ensemble de longueurs possibles

(telles que LQ = mN₀, au lieu de LQ = mN₀Mo auparavant) et notre méthode de synthèse, pas-à-pas, permet en plus d'optimiser un plus grand nombre de paramètres angulaires.

Par rapport à des antériorités récentes, nous avons montré que, pour un système OFDM suréchantillonné donné, nous pouvions réduire à son minimum le nombre de paramètres est optimiser pour le design du filtre prototype et, en plus, améliorer significativement, avec plus de

10 dB de gain, sa sélectivité fréquentielle.

Au final, nous pouvons ainsi générer à présent des solutions d'OFDM suréchantillonné satisfaisant dans le cas de DVB-NGH, les contraintes les plus sévères à l'heure actuelle en termes de nombre de porteuses (2¹⁵) et d'efficacité spectrale (32/33, c'est-à-dire l'équivalent d'un préfixe cyclique de CP-OFDM égal à 1/32).

Claims

REVENDICATIONS

1. Procédé de détermination d'un filtre prototype, de longueur L, permettant de déterminer les filtres d'un banc de filtres suréchantillonné à modulation exponentielle d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous-bandes, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en œuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en œuvre une matrice polyphasé de taille N x M, avec N = ΔΝ₀ et M = AMQ, OÙ Δ est un entier strictement positif,

caractérisé en ce que N₀ = Mo + 1 , L = ALo et Lo est un multiple de N₀ mais non nécessairement et en ce qu'il met en œuvre une détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant les étapes suivantes :

détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur Lo

= N₀ ;

au moins deux itérations de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur LQ = (k+l)N₀ à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = kN₀ déterminés à l'étape précédente, k, 0 < k < K_max, chaque itération minimisant un critère représentatif de l'énergie hors bande E dudit filtre prototype intermédiaire.

2. Procédé selon la revendication 1 , caractérisé en ce que chacune desdites itérations met en œuvre une unique matrice de rotation supplémentaire, par rapport à l'itération précédente.

3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce qu'il met en œuvre une méthode de représentation compacte, dans laquelle les paramètres de rotation dudit filtre prototype P sont représentés par une fonction de lissage :

où : a est une variable entière muette, 0≤ a < A ;

Xp a désigne les coefficients de ladite fonction de lissage ;

d est le nombre de rotations mises en œuvre pour chaque valeur de i.

4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que A est inférieur ou égal à 6, quelle que soit la valeur de M.

5. Procédé selon la revendication 4, caractérisé en ce que A est égal à 2, quelle que soit la valeur de M, avec MQ > 4.

6. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce qu'il comprend, à une itération k, les étapes suivantes :

- détermination des angles 6*_p ^(l) ;

détermination de matrices :

^SM₀,(k+l)N₀ ... , , ί = 0, ... , Δ - 1 détermination des composantes polyphasés Pj(z) du filtre prototype ;

détermination du filtre prototype P(z).

7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé en ce que l'étape de détermination du filtre prototype P(z) met en œuvre une minimisation d'un critère représentatif de l'énergie hors-bande

E du filtre prototype P(z), à l'aide d'une algorithme d'optimisation desdits paramètres x_{p a}.

8 Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que, Mo étant supérieur ou égal à 8 et pour une valeur souhaitée de Δ strictement supérieur à 4, on détermine un filtre prototype pour une valeur Δ = 4 et on remplace directement la valeur 4 de Δ par la valeur souhaitée.

9. Dispositif de détermination d'un filtre prototype, de longueur L, permettant de déterminer les filtres d'un banc de filtres suréchantillonné à modulation exponentielle d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous-bandes, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en œuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en œuvre une matrice polyphasé de taille N x M, avec N = ΔΝ₀ et M = ΔΜο, où Δ est un entier strictement positif,

caractérisé en ce que N₀ = Mo + 1, L = ALQ et LQ est un multiple de N₀, mais non nécessairement et en ce qu'il comprend des moyens de détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant :

- des moyens de détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur Lo = N₀ ;

des moyens de réalisation d'au moins deux itérations de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur LQ = (k+l)N₀ à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur LQ = kN₀ déterminés à l'étape précédente, k, 0 < k < K_max, chaque itération minimisant un critère représentatif de l'énergie hors bande E dudit filtre prototype intermédiaire.

10. Programme d'ordinateur comportant des instructions pour la mise en œuvre d'un procédé de détermination d'au moins un filtre prototype selon la revendication 1 lorsque ce programme est exécuté par un processeur.