TWI299090B - Optical components including lens having at least one aspherical refractive surface - Google Patents

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1299090 九、發明說明·· 【發明所屬之技術領域】 發明領域 本發明概括有關一透鏡及一光學組件，且更特別有關 5 一包括一具有至少一非球形折射表面的透鏡之光學組件。 c先前冬餘】 發明背景 一般而言，因為球形透鏡在製造及測量方面具有獨特 優砧成像光牟系統係由球形透鏡構成。一球形透鏡係包 10括_與一具有半徑R之球形纟面的-料重合之折射表 面。如第1圖所示，可在一其中使Z軸與旋轉對稱軸線重合 且具有位於透鏡頂點的座標原點之圓柱座標系中方便地插 述一具有一旋轉對稱輪廓之球形透鏡的折射表面105。折射 表面1〇5的輪射描述為折射表面U)5上之-系列的點S。一 15的長;Π座標係提供為(p，z，），其中p為垂直於z轴測量 ，、軸向一半;L ’而z’為沿著冗軸測量之一高度。更佳地，如 等式1所不’折射表面1〇5的輪靡可以一函數z，3，(p)代表， 其中軸向半fep為自變數，而高度z，為因變數。 [數學式1] /(P) 等式1中’ e為頂點曲率且提供為曲率半徑R的-倒數 (亦即一^-1/R)。等式丨所提供的球形表面係為如等式2所提 供之一圓錐表面的一特殊範例。 20 1299090 [數學式2] ζ，(β = —! 、2 等式2中，c再度為與等式1中相同之頂點曲率，而k為 一圓錐常數。依據圓錐常數的數值而定，等式2中的非球形 5 表面輪麼大幅地變動。譬如，球形表面對應於k=0，拋物形 表面對應於k=-l，雙曲線形表面對應於k<l，扁長橢圓形表 面對應於-l<k<0,而扁圓橢圓形表面對應於k>0。 一圓錐曲線係為當一圓錐以一任意角度被切片時可具 有的一橫剖面外形。例如，如果一圓錐具有頂點半角Θ，則 10 當圓錐垂直於圓錐的旋轉對稱軸線被切片時橫剖面外形係 為一圓。同理，如果圓錐相對於旋轉對稱軸線以一角Θ切 片，則橫剖面的外形為一拋物線。類似地，當切片角小於Θ 時其係為一雙曲線，而當切片角大於Θ時其為一橢圓。同 時，一圓錐曲線繞對稱軸線旋轉所獲得之線跡係形成一圓 15 錐表面。 亦如第1圖所示，概括使用於成像光學系統中之一旋 轉對稱非球形折射表面1 〇 7的輪廓係以與球形折射表面 105相同的方式被定義為非球形折射表面上之一系列的 點P。點P的圓柱座標係以（p，z)提供，其中p為垂直於z軸 20 101測量之一軸向半徑而z為沿著z軸101測量之一高度。 更佳地，如等式3所示，非球形折射表面107的輪廓可以 一函數ζ=ζ(ρ)代表，其中軸向半徑P為自變數而高度Z為因變 !299〇9〇 [數學式3]

Kp) P比非1式中A B 別為第4、第6、第8及第10 白非球形變形係數。等式3所提供的非球形折射表面之等式 -含地假設非球形折射表面大財於1錐表面，或至 ^與^錐表面並無顯著偏差。為了使料幻所提供的非 鏡公絲設計-最佳透鏡，首先需要建構—利益函 思後找出使利益函數值成為最小值之係數e、k、A、B、 ίο 15 =的最好組合。此多維最佳化問題中，結果顯著地依據 最佳化演算法而定。尚且，卽 結果仍會依據諸如A、咖等非==的最佳化演算法， 寺非球形鉍形係數的數量、且 有同= 顧階數而顯著地不同。並且，即便在對於所 相同條件下，結果仍會依據變數的初始 的佳數值组而大幅不同。為此，以經驗為基礎 卜見在设計透鏡時扮演了重要角色，且基於此理由，透 夕被視為-種居於科學與細之間的學科。除此之 卜翁等式3所提供的非球形透鏡等式並非可用來展開一任奇 =之正交基礎組。因此，相同的非球形折射表面可料 ^的係數跡此外，_塊㈣ 狀’因料式3所提供__折射表㈣有關。 有％，需要找出一具有特 表面的確城雜之非球形折射 Μ刀⑽。然而，Μ維最佳財法 的透鏡設財法並纽數料描述—财所需魏力^ 20 1299090 料鏡公彡狀，並提供㈣地依據非球 係數的初始值而定之_、: =、利益函數的結構、及展開 ㈣铲八n 解。並且，當採用一不當非球 鉍，甚至可能未獲得逼近解，即便獲得一逼近 解’仍可能難以數學正確解來計算誤差。 【号务日月内笔^】 技術問題 提t、本發月以解決習知技術的上述缺陷。揭露一能 10 15 滿足所需要的效能及特徵之包括具有至少—非球形折射表 面的透鏡之光學組件。 ^ 技術解決方案 根據本發明的-較佳實施例，提供一光學組件，其勺 括：至少-第一非球形折射表面，其中第一非球形折射: 面係構成—具有折射率ηι的第一媒體及-具有折射率n " 第二媒體間之-邊界的—部分’―第―曲線係、被定= 長方形座標㈣χ·ζ平面及第一非球形折射表面之間的— 系列交會部’其中長方形座標系的原點位居第二媒體内， 而長方形座標系的2軸穿過原點及第—非球形表面: 點’該第-曲線沿_稱，具有_天頂角0之從原點 -曲線上的-第-點之距離係為_，χ_ζ平面中之第—愛 的長方形座標(χ，ζ)及極座標㈣係滿足下料式 之關係 厅楗供 χ(^) = γ{Θ) sin θ ζ^β) = r{G) cos θ 20 1299090 距離r(e)如下列等式所提供 d& r{6) = r(^)exp ηλ cos(^ - θ')-n2 該0i為第一曲線上的一第二點之天頂角，該r(0i)為從原 點至該第二點之對應距離，該δ為第一點的天頂角之任意函 5 數(δ=δ(θ))，而天頂角Θ的範圍位於一不小於零的最小值 到一小於π/2的最大值θ2之間。 本發明亦提供一光學組件，其包括：至少一第一非球 形折射表面，其中第一非球形折射表面係構成一具有折射 率仏的第一媒體及一具有折射率η2的第二媒體間之一邊界 10 的一部分，一第一曲線係被定義為一長方形座標系的Χ-Ζ平 面及第一非球形折射表面之間的一系列交會部，其中長方 形座標系的原點位居第二媒體内，而長方形座標系的Ζ軸穿 過原點及第一非球形表面上的一點，該第一曲線沿ζ軸對 稱，具有一天頂角Θ之從原點至第一曲線上的一第一點之距 15 離係為r(0)，χ-ζ平面中之第一點的長方形座標(χ,ζ)及極座標 (θ，:τ)係滿足下列等式中所提供之關係 χ(β) = γ{Θ) sin θ ζ{θ) = r{6) cos θ 距離Γ(θ)如下列等式所提供 r{0) = r(^)exp n2 cos 其中01為第一曲線上的一第二點之天頂角， Γ(θ〇為從原點至第二點之對應距離，及 20 1299090 天頂角Θ介於一不小於零的最小值01到一小於π/2的最 大值θ2之間。 10 15 本發明亦提供一光學組件，其包括：一第一透鏡表面； 一第二透鏡表面；一第三透鏡表面；及一第四透鏡表面， 其中第四透鏡表面係構成一具有折射率ru的第四媒體及一 具有折射率h的第五媒體間之一邊界的一部分，第四媒體 的折射率m大於第五媒體的折射率仏⑴斤化），_第四曲線 係被定義為一長方形座標系的X - z平面及第四透鏡表面之 間的一系列交會部，其中長方形座標系的一原點係位居第 五媒體内，而長方形座標系的z軸穿過原點及第四透鏡表面 上的一點，該第四曲線沿z軸對稱，具有一天頂角㊀之從原 點至第四曲線上的一第一點之距離係為Γ(θ)，χ_ζ平面中之 第一點的長方形座標(X，Z)及極座標（Θ,Γ)係滿足下列等式中 所提供之關係 χ{θ) = r{6) sin θ ζ(θ) = r{6) cos θ 距離Γ(θ)如下列等式所提供 r{6) = r(^.)exp «4 ~ ns cos θ' 其中匕為第一曲線上的一第二點之天頂角，r(0i)為從原 點至該第二點之對應距離，天頂角0介於從一不小於零的最 小值Θ〗到一小於兀/2的最大值A之間，第一透鏡表面係構成 一具有折射率〜的第一媒體及一具有折射率叱的第二媒體 間之一邊界的一部分，第一媒體的折射率〜小於第二媒體 10 20 1299090 的折射率η: (110112)，被定義為X-Z平面及第一透鏡表面之間 的一系列交會部之一第一曲線係沿Z軸線對稱，具有一天頂 角0之從原點至第一曲線上的一第三點之距離係為，x_z 平面中之第三點的長方形座標(X，Z)及極座標队R)係滿足 下列等式中所提供之關係 Χ(θ) = R(e)sin0 Z(0) = R(0)cos0

10 15 距離R(0)如下列等式所提供 = i?(^.)exp 其中R(^i)為具有天頂角0i之從原點至第—曲線上@ _ 第四點之距離，一被定義為χ·Ζ平面及第二透鏡表面門的 系列交會部之第二曲線係為一沿原點具有半經之圓弧 一被定義為义_2平面及第三透鏡表面間的一系 π 父會部之 第三曲線係為一沿原點具有半徑rF之圓弧，第— 一珣線的半經

Rb不大於對於第一曲線上的第三點 工 又敬短距離 (RB<min(R⑺），第三曲線的半徑以不小於對於第 的第一點之最長距離(rF2max Γ0))，第二曲線的半々、、、复上 於對於第三曲線上的半徑(㈣，第一透鏡表面=Β:小 鏡表面之間的空間係充填有—具有折射率蚊 〜透 第二透鏡表©及第三透鏡表面之_空間〜媒體， 料率Π3之第三媒體，而第三透鏡表面及第四透^具有 間的空間係充填有-具有折射率η4之第四媒體。讀面之 本發明亦提供一光學組件，其包括：一笛 第—逯鏡表面. 20 1299090 及一第二透鏡表面，其中第一透鏡表面係構成一具有折射 率n〇的第一媒體及一具有折射率以的第一媒體間之一邊界 的一部分，第二透鏡表面係構成第二媒體及一具有折射率 ri2的第三媒體間之一邊界的一部分，一第一曲線係被定義 5 為一長方形座標系的x-z平面及第一透鏡表面之間的一系 列交會部，其中長方形座標系的一原點係位居第三媒體 内，而長方形座標系的z軸穿過原點及第一透鏡表面上的一 點，該第一曲線沿z軸對稱，一第二曲線係被定義為x-z平面 及第二透鏡表面之間的一系列交會部，而第二曲線係為一 10 垂直於z軸之直線分段，從原點至第二曲線之一距離為fB， 具有一天頂角Θ之x-z平面中的第二曲線上之一第一點的長 方形座標(x，z)及極座標(θ，ι〇係如下列等式所提供 χ{θ) = ίΒ^θ ζ(β) ~ /β 15 天頂角Θ介於一不小於零的最小值Θ!至一小於π/2的最 大值之間，對應於第二曲線上的第一點之第一曲線上的一第 二點之長方形座標(Χ，Ζ)係滿足下列等式中所提供之關係 Χ{θ) = fB tan θ + L(0) sin δ{θ) Ζ{θ) = fB^L{0) cos δ{θ) 20 該L(0)係為從第一點至第二點之距離，而該L(e)如下列 等式所提供 m Ρ{θ) L($)+ jF(0，卿，)cW， 該L(e〇為從0=0丨之第二曲線上的一第三點至第一曲線

12 1299090 上的對應第四點之距離，該F(e)如下列等式所提供 F{6) = exp 該Α(θ)如下列等式所提供 m n\ sin Θ cos θ -η22 sin2 θ nf - n0^nf -η22 sin2 θ 該Β(θ)如下列等式所提供，及 Β(θ) = — nxn2 sin θ cos2 θ - n0^Jnf -nl sin2 Θ 而該δ(θ)如下列等式所提供 δ{θ) = tan" n2 sin 0 - n\ sin2 Θ 本發明亦提供一光學組件，其包括：一第一透鏡表面； 10 及一第二透鏡表面，其中第一透鏡表面係構成一具有折射 率n〇的第一媒體及一具有折射率以的第一媒體間之一邊界 的一部分，第二透鏡表面係構成第二媒體及一具有折射率 n2的第三媒體間之一邊界的一部分，一第一曲線係被定義 為一長方形座標系的x-z平面及第一透鏡表面之間的一系 15 列交會部，其中長方形座標系的原點係位居第三媒體内， 而長方形座標系的z軸穿過原點及第一透鏡表面上的一 點，該第一曲線係為一垂直於z軸之直線分段，一第二曲線 係被定義為x-z平面及第二透鏡表面之間的一系列交會 部，而第二曲線沿z軸對稱，從原點至第一曲線之距離為z〇, 20 具有一天頂角Θ之x-z平面中的第一曲線上之一第一點的長方 13 1299090 形座標(χ,ζ)及極座標(0，r)係滿足下列等式中所提供之關係 χ(θ) = z0 tan θ ζ(θ) = ζ(0) ξ ζ〇 天頂角θ介於不小於零的最小值㊀!至小於π/2的最大值 5 之間，對應於第一曲線上的第一點之第二曲線上的一第二 點之長方形座標(Χ，Ζ)係滿足下列等式中所提供之關係 Χ{θ) = z0 tan θ - L(0) sin δ{θ) Ζ(θ) = zo-L(0) oosS(0) 該L(e)係為從第一點至第二點之距離，而該L(e)如下列 10 等式所提供 L{0) ρ{θ) υ 該L(0i)為從θ=θί之第一曲線上的一第三點至第二曲線 上的對應第四點之距離，該F(e)如下列等式所提供 F{6) = exp 15 該Α(θ)如下列等式所提供 m n2 nl sin Θ cos θ - n] sin2 Θ nf -n2 - nl sin2 Θ 該Β(θ)如下列等式所提供 nxn0 sin θ cos2 θ γξ - η2- η》sin2 θ 而該δ(θ)如下列等式所提供

14 1299090 ^{β) = tan~ η0 sin θ η\ - «〇 sin2 θ 本發明亦提供-光學组件，其包括：— 射表面；及一第二非球形折射表面，並中第—球形折 5 10 15 表面係構成—具有折射率_第—媒體及-具有射 的第二媒體間之-邊界的一部分 ”有折射率叫 構成第二媒想及-具有折射率—：射::: ^分一第二曲線係被定義為-長方 及第二非球形折射表面之間的―系列交會部， 座標系的原點係位居第二媒體内 ^形 轴對稱’具有—天頂角θ之從原點至第二曲線上的第 ::=，χ_ζ平面中的第一點之長方形及極 ‘(Θ，Γ)係滿足下列等式中所提供之關係 座 x(<9) = r(0)sm0 z(^) = K^)c〇s(9 距離r(e)如下列等式所提供 K<9) = r((9.)exp 該1為第 點至哕第 、水的一第-點之天頂角，蝴為從原 該弟-點之距離，該⑽第—點的天 之 _，))’天頂角e介於從一不小於' _ 的的最大值、 、料取小㈣到-小於 值02之間，一弟一曲線被定 球形折射表面之間的一系列交‘ ，、、：千面及第-非 系夕j又曰且第一曲線沿z軸對 15 20 1299090 稱，對應於第二曲線上的第一點之第一曲線上的一第三點 之長方形座標(X，Z)係滿足下列等式中所顯示之關係 Χ{θ) = r{0) sin θ + 1(θ) sin δ(θ) Ζ{θ) = r(0) cos θ -f 1{θ) cos δ(θ) cos(<5 -θι)-η2 5 10 15 該L(e)為從第一點至第三點之一距離，該以⑹為從第二 點至對應於第二點之第—曲線上的—第四點之距離。 本發明亦提供一光學組件，其包括：-第-非球形折 射表面；及—第二非球形折射表面，其中第-非球形折射 表面係構成-具有折射率n。的第—媒體及—具有折 的第二媒體間之—邊界的-部分，第二非球形折射表面# 一部分，:有料率n2的第三龍間之—邊界的 及第二非球形折射表面之二長方：座標糸的㈣面 座標系的原點係位居第= 糸列乂會部，其中長方形 係穿過原點及第二非【;:，’而長方形座標系的-嘸 一點之一距離為·χ，的第:::線上的-第 及極座標㈣係滿足下列形座標μ χ(θ)： 距離_如下列等式所提供 16 1299090 r{0) = r(6>/)exp -nx sin(J-^?) nx co^{5 -θ')-n2 d& 該0!為第一曲線上的一第二點之天頂角，該r(0〇為從原 點至第二點之距離，天頂角Θ介於從一不小於零的最小值θ! 到一小於π/2的最大值θ2之間，一第一曲線被定義為x-z平面 5 及第一非球形折射表面之間的一系列交會部，且第一曲線 沿ζ軸對稱，對應於第二曲線上的第一點之第一曲線上的一 第三點之長方形座標(Χ，Ζ)係滿足下列等式所顯示之關係 Χ{θ) = r{9) sin θ + L(0) sin δ{θ) Ζ(θ) = r(0) cos θ + L(0) cos δ(θ) 10 m m 該L(e)為從第一點至第三點之一距離，該L(e〇為從第 二點至對應於第二點之第一曲線上的一第四點之距離，該 F(e)如下列等式所提供 F{6) = exp 15 該Α(θ)如下列等式所提供

n0 sin(y5 - δ) άδ cos(/?-^) dO 該Β(θ)如下列等式所提供 % % sinQg - 5) + sin(5 - + "2n。sin(0 — Ρ),伯) cos(5 — θ) - }{n。cos(/? - 5) - %} 該β為天頂角的一任意函數θ(β=β(θ))，而該δ(θ)採行θ 17 299〇9q 與β(θ)之間的一任意值。 [有利效果] 可迅速地獲得—非球形折射表面之確切輪廓。可以星 有確切形狀之非麵折射表面來構形各御同光學組件Γ 圖式簡單說明 第1圖為顯示習知球形及非球形折射表面的輪廟之示 意圖； 10 15 、第2圖為顯示根據本發明—較佳實施例i之一具有一非 球形折射表面之透鏡的輪廓之示意圖； 第3圖顯示根據本發明的—較佳實施例^之一非球形 折射表面的輪廓及射線軌跡； 乂 第4圖顯示根據本發明的-較佳實施例lb之-旋轉對 稱非球形折射透鏡；士 第5圖顯示根據本發明的—較佳實施例化之—圓 球形透鏡； 球步^圖顯示根據本發明的—較佳實施例ld之—環面非 第7圖為根據本發明的-較佳實施例2之一具有兩非球 ^折射表面的透鏡之示意圖； 20 表面； 第8圖為根據本發明的一較佳實施例2a之非球形折射 ⑽圖顯示第8圖所示的透鏡之射線執跡； 第_為顯示根據本發明的—較佳實施例3之_ 形折射表面的示意圖； 18 1299090 第Π圖顯示根據本發明的一較佳實施例3a之一非球形 折射表面的輪蹲及射線執跡； 第12圖顯示根據本發明的一較佳實施例3b之一透鏡的 輪療； 5 弟13圖顯示根據本發明的一較佳實施例4之一非球形 折射表面的示意圖； 第14圖顯示根據本發明的一較佳實施例4a之一非球形 折射表面的輪廓及射線執跡； 第15圖顯示根據本發明的一較佳實施例4b之一透鏡的 10輪廓； 第16圖顯示使用第15圖所示的透鏡將一經準直束轉換 成一發散射線之一範例； 第17圖為顯示根據本發明的一較佳實施例4之一複合 透鏡的形狀之示意圖； 15 第18圖顯示根據本發明的一較佳實施例5 a之一用以改 變束尺寸之轉換器的一範例； 第19圖為顯示根據本發明的一較佳實施例6之一非球 形折射表面的輪摩之示意圖； 第20圖顯示根據本發明的一較佳實施例6a之一非球形 折射表面的輪廓及射線執跡； 第21圖顯示較佳實施例1及la至Id之一包括非球形折 射表面之平凸透鏡的形狀並示範此透鏡可用來將一經準直 束聚焦成單一小區； 第22圖示範隨著第21圖所示的透鏡之左及右側彼此交 19 1299090 換時之射線軌跡的一變異； 第23圖為顯示根據本發明的一較佳實施例7之一具有 一非球形折射表面之透鏡的輪廓之示意圖； 弟24圖顯示根據本發明的一較佳實施例7a之一透鏡的 5輪廓及射線執跡； 第25圖為顯示根據本發明的一較佳實施例8之一具有 一非球形折射表面之透鏡的示意圖； 第26圖顯示根據本發明的一較佳實施例8a之一透鏡的 輪廓及射線執跡； ° 第27圖為顯示根據本發明的一較佳實施例9之一用以 改變視域(FOV)之轉換器的一折射表面之輪廓的示意圖； 第28圖顯示根據本發明的一較佳實施例9a之一用以改 變FOV之轉換器； 第29圖為顯示根據本發明的一較佳實施例9a之一用以 15 改變FOV之轉換器的形狀及射線執跡； 第30圖為顯示根據本發明的一較佳實施例9b之一用以 改變FOV之轉換器的輪廓及射線執跡； 第31圖為顯示根據本發明的一較佳實施例9 c之一透鏡 的輪廓及射線軌跡； 20 第32圖為顯示一光源之輻照（irradiance)與通量之間的 關係之示意圖； 第33圖顯示一光源的輻照圖案之一範例； 第34圖顯示根據本發明的一較佳實施例9d之一透鏡的 輪廓及射線軌跡； 20 1299090 第35圖顯示另一示範性光源之輻照圖案； 第36圖顯示根據本發明的一較佳實施例8e之一透鏡的 輪廓及射線軌跡； 第37圖為顯示依據一諸如攝影機等光學成像系統的投 5 射方案而定之入射射線的天頂角δ與折射射線的天頂角Θ之 間關係的不意圖； 第38圖為比較適合光學成像系統之各種不同投射方案 之圖形；

第39圖為顯示當入射及折射射線的天頂角範圍對於四 10個代表性投射方案設定為相同時身為折射射線之天頂角的 函數之入射射線的天頂角之一示範性圖形； 第40圖顯示根據本發明的一較佳實施例之用以實行 直線投射方案之一透鏡的輪廓及射線軌跡； 第41圖顯示根據本發明的一較佳實施例9g之用以實行 15等距投射方案之一透鏡的輪廓及射線軌跡； 第42圖為顯示根據本發明的一較佳實施例10之一非球 形折射表面的示意圖； 第43圖為顯示根據本發明的一較佳實施例10之非球形 折射表面的另-示意圖；、 第4 4圖顯示顯示根據本發明的一較佳實施例10 a之一 非球形折射表面的輪廓； 10a之一非球 y ★圖顯示根據本發明的一較佳實施例 斤射表面的輪廓及射線執跡； 46圖為顯示根據本發明的一較佳實施例u之一透鏡 21 Ϊ299090 的輪廢之示意圖； 第47圖顯示根據本發明的一較佳實施例11&之一透鏡 的輪廓； 第48圖顯示根據本發明的一較佳實施例11&之一透鏡 5 的輪廓及射線執跡； 第49圖為顯示根據本發明的一較佳實施例12之一透鏡 的輪廓之示意圖； 第50圖顯示根據本發明的一較佳實施例i2a之一透鏡 的輪廓及射線軌跡； 10 第51圖顯示根據本發明的一較佳實施例i2b之一透鏡 的輪廓及射線執跡； 第52圖顯示根據本發明的一較佳實施例i2c之一透鏡 的輪廓及射線執跡。

Γ J 15 [最佳模式] 根據本發明的光學組件係不但包括一具有至少_非球 形折射表面之透鏡，亦包括一諸如發光二極體(LED)等光電 元件的一殼體，及諸如一用以擴張束尺寸之束擴張器等各 種不同其他裝置及其他。一根據司乃耳折射定律（Snell，s 2〇 law of refraction)使射線被折射之非球形透鏡表面係具有一 非球形的形狀。依嚴格用語，一非球形透鏡的折射表面係 可為一任意表面，所謂自由形式表面（free-f〇rm smface)。 -自由形式透鏡的表面輪廓可被定義為折射表面上之一系 列的點M。點M的長方形座標係以(x，y，Z)提供。如果光軸重 22 1299090 Γ長方形座標系的2軸，則為了描述非球形折射表面的幹 rr4%切讓鳴細㈣變_ [數學式4] 5

z = z(x,y) 並且’在非球形折射表面沿緣呈旋轉對稱性之案例 更么使用-圓柱座標系或一球形座標系來描述非球形 折射表面的輪廓。 下文中另字參知第2至52圖來描述本發明的較佳實施 較佳實施例1

第2圖示意地顯示根據本發明的一較佳實施例i之一無 球形像差旋轉對稱非球形透鏡細(下文中，旋轉對稱非球 形透鏡簡稱為“非球形透鏡，，)的一橫剖面219。此處，在一透 15鏡的兩表面之間，位於物侧上之表面稱為第一透鏡表面， 而位於像側上之表面稱為第二透鏡表面。譬如，第2圖所示 的非球形透鏡200中，其左及右表面係分別為第一及第二透 鏡表面。 如第2圖所不，非球形折射表面（第二透鏡表面口 〇 5沿一 2〇光軸201呈旋轉對稱性，其中光軸重合於z軸。位於非球形 折射表面205上之一點？1的座標較佳可在一圓柱座標系中 表示為（ρ，ζ)，其中p為沿ρ軸203测量且垂直於z轴之一軸向 半徑，而z為沿z軸201測量的一高度。更佳可藉由將高度z 表示為軸向半徑p的一函數(z=z(p))來完整地描述非球形折 23 1299090 射表面205。因此，軸向半鼾變成—自變數而高度z變成一 因變數。此處，軸向半徑崎為長方形座標系中兩自變數X 及y的一函數，如等式5所提供。 [數學式5] 5 10 15 20 非球形折射表㈣5係構成—具有折射率⑴的第一媒 =及一具有折射率112的第二媒體間之-邊界的-部分，其 中112小於nl。原齡位居第：媒體内。非球形折射表纖 及物側㈣卩正罐)的絲叙間㈣間麵填有具有折射 弟-舰。此處，“無窮遠，，用語係為—般使用的物理 指“夠遠而無任何效應，，。實際上，無窮遠可近 達數公厘。 並且’如第2圖獅，如果第-透鏡表面207為-平面 第二透鏡表面為非球形折射表㈣5,藉由第一媒體 來充填兩表面之間的空間係獲得一平凸透鏡。因為第一透 鏡表面2G7為-垂直於光⑽丨之平面表面，—平行於光轴 之入射射線209係進入第一透鏡表面2〇7而不改變傳播方 為此’非球形折射表纖的設計不受第—透鏡表面2〇7 疋否出現或缺乏所影響。並且，此論點不但適胁第2圖所 :的平凸透鏡，亦相於本發_各财同實施例，包括 具有至少—非球形折射表面及其他光學組件之透鏡。 電磁波係根據司乃耳折射定律在兩不同介電材料間之 邊界被折射。為此，請注意*應將本發明的光學組件绘 釋為代表1可使用在電磁頻譜的可見光㈣巾之裝置。 24 1299090 易έ之’本發明的光學組件係為可使用於包括可見光、紅 外線、.微波及軟X射線範圍等電磁頻譜的全部範圍上之裝 s。依循幾何光學領域之慣例，光學射線從左至右前進。 並且，穿過非球形折射表面2〇5前之-射線係稱為入射射 5線，而穿過非球形折射表面2()5時依據司乃耳折射定律被折 射之一射線係稱為折射射線。無球形像差透鏡中，一以零 _ 域角（fidd an§le)(亦即平行於光軸2〇1)入射在非球形折射 表面205上之入射射線係在非球形折射表面2〇5上的一點h _ 處被折射，而折射射線211係以天頂角θ穿過位居光軸201上 之原點0。此處，天頂角被定義為相對於正成順時針方向 測量之-角度，而天底角被定義為相對於負z軸逆時針方向 測量之一角度，故天頂角及天底角的總和等於叫亦即⑽ 度）。 第2圖中’點&的座標可在_球形座標系中以折射射線 15 211的天頂角0及從原點〇至點&之距離^表示。類似於圓柱 • 座標系之案例’可如等式6所提供以天頂角Θ的函數來指定 _ 距離Γ藉以描述非球形折射表面205的形狀，其中r為；數 . 而Θ為自變數。 [數學式6] 20 r = r{0) 另一方面’從原點〇至點？1之距離續以長方形座標 (x，y，z)的一函數表示，如等式7所提供。 [數學式7] 25 1299090 並且，圓柱座標系中的座標(p，z)可以球形座標系中之 自變數Θ的函數來表示，如等式8及9所提供。 [數學式8] ζ(θ) = r{6) cos θ 5 [數學式9] ρ{θ) = r{6) sin Θ 非球形折射表面205的輪廓可就位於一任意點ΡΚΘ,γ)處 之一切平面Τ的一仰角羚^θ)予以定義。仰角係被定義為自 一垂直於ζ軸的平面（亦即x-y平面）朝向天頂測量之角度。因 10 此，天頂角及仰角的總和變成π/2(亦即90度）。根據一較佳 實施例1，設計非球形折射表面205的輪廓以使一平行於光 軸201之入射射線209在非球形折射表面205處被折射，而所 產生的折射射線211係以一具有位於最小值01與最大值02之 間數值之天頂角Θ穿過原點0。最小值天頂角大於0，而最 15 大值天頂角θ2小於π/2。切平面T的仰角#如等式10所提供。 [數學式10] tan 沴: dz dp 利用等式8及9，座標z及p可表示為天頂角Θ的函數，且 因此等式10可轉換為下列等式11。 20 [數學式11]

26 1299090 為了計算等式11的分子（亦即(iz/de)，等式8相對於Θ微 分。 [數學式12] dz dv ——=——cos Θ — r sin θ =〆 cos θ - r sin θ άθ άθ 5 等式12中，上撇號（’)代表相對於Θ的微分。類似地， 為了計算等式11中的分母（亦即dp/de)，等式9相對於Θ微 分。 [數學式13] —=r?sin ^ + r cos θ άθ 10 利用等式12及13，等式11可表示為等式14。 [數學式14] ,r^os^-rsin^ tan 卢=-- rfsin^ + rcos^

對於等式14利用分離變數的技術獲得下列等式15。 [數學式15] rf _ sin^ +tan^cos^ r cos^-tan^sin^ 藉由正式積分等式15獲得下列等式。 [數學式16] r{0) = r(^.)exp Φ sin dyjr tan φ{θ') cos θ' ^ cos tan φ{βλ) sin θ' d& 等式16中，θ’為假變數(dummy variable)。不定積分的 27 l299〇9〇 下界為θί ’而Γ(θ〇為具有天頂角θ=$之從原點〇至非球形折 射表面2〇5上的-點之對應距離。下界味佳係為零且r(〇) 等於攸原點0至非球形折射表面2〇5與光軸2〇1之間交會部 之距離r。。㉟何光學的術語中，光軸观上的原點〇係為非 5球形折射表面施的次級焦點，而rQ為背焦長fB。上述的〜、 化、、Θ2、0i&r(0i)係為根據本發明用來設計非球形折射 表面205之設計參數。 ' 入射射線209根據司乃耳折射定律在非球形折射表面 205處被折射。因為一垂直於切平面τ之法向N與非球形折 10射表面205上的點Pl處之入射射線2〇9間之角度為入射角 為4。另一方面，折射射線211及光軸2〇1間之角度為㊀，因 此法向N及折射射線211間之角度為0+$。因此，折射角為 Θ+0。入射角及折射角係滿足司乃耳折射定律，如等式^ 所提供。 、二 15 [數學式17] nx sin^ = n2 sin(^ + ^) 利用三函數關係，等式17可轉換成下列等式18。 [數學式18] (ni-n2 cos (9) sin ^ =n2 sin 0 cos ^ 20 因此，如等式19獲得切平面T的斜率tan必。 [數學式19] tan卜」_ nx - n2 cos θ 利用等式19,如等式20提供等式16中被積函數之分子。 28 1299090 [數學式20] sin0 +tan彡0os0 = —Ηχ S^n㊀— COS0 類似地，如等式21提供等式16中被積函數之分母。 [數學式21] 5 cosΘ - tan^sin θ = — ~rh^ ηχ - η2 cos θ 結果，利用等式20及21，等式16化簡至如等式22提供 之一較簡單形式。 [數學式22] r(^) = r(^.)exp 一必， ^ nx cos<9~n2 10 在光學中，相互性原理(principle of reciprocity)係成 立。因此，如果一射線沿著一特定路徑被折射或反射，則 藉由將射線的傳播方向予以反轉，該射線將在反向方向中 遵循確切相同的路徑。為此，若示範平行於光軸201的射線 k在非球形折射表面2〇5處被折射之後收斂至點〇，係等同 I5於不範自點〇發散的射線La在非球形折射表面2〇5處被折射 後變成平行於光轴201之射線Ll。因此，如果射線Li為一入 射射線，則射線1^2為-折射射線，且反之亦然。因此，非 球形折射表面205可用來將—平行束(亦即—換 〇成-㈣束或將-發散束轉換成—平行束。因為射線U 射線兩者皆可為折射射線，第―媒體中的平行射扎可 %為第-射線，而第二媒體中的折射射線L將稱為第二射 29 1299090 線。 第3圖顯示根據本發明的一較佳實施例la之一非球形 折射表面205的輪廓及射線軌跡。非球形折射表面2〇5係為 具有折射率⑴的第一媒體及具有折射率化的第二媒體間之 5 一邊界的一部分。假設第一媒體為BK7玻璃，其為最廣泛 已知的光學玻璃之一。因為BK7玻璃的折射率在人=〇.6328 微米的He-Ne雷射波長時為近似1.51508920，假設第一媒體 的折射率⑴為1.51508920且第二媒體的折射率n々1〇。進一 步假設從原點0(亦即次級焦點）至非球形折射表面2〇5之最 1〇紐距離（亦即背焦長）為50.0公厘，而射線的域角介於最小值 0i=e=〇°至最大值θ2=4〇。之間。這些條件下，自點〇發散的所 有射線L2根據司乃耳折射定律在非球形折射表面205處折 射之後變成平行射線Li。因此，反向方向中，平行射線^ 在非球形折射表面205處折射之後變成朝向點〇收斂之射線 15乙2。因此，結論在於第3圖所示的非球形折射表面肋$係為 真正無球形像差。 第4圖顯示根據本發明的一較佳實施例比之一非球形 透鏡400。令非球形透鏡4〇〇的旋轉對稱軸線為2軸，非球形 >〇折射表面405在譬如x_z平面及y_z平面等含有z軸的平面中 之所有&剖面係與第3圖所示的非球形折射表面2 〇 5者相 j % 曰之，非球形折射表面4〇5係對應於第3圖所示的非 球形折射表面2G5之第-曲線沿z軸旋轉所獲得之線跡。 a 一非球形折射表面2〇5的第一曲線係被定義為一長方形 座標系的x-z平面及非球形折射表面2〇5之間的一系列交會 30 1299090 部。一第一曲線被疋義為x-z平面及第一透鏡表面2〇7之間 的一系列交會部，而第二曲線為一垂直於2軸之直線分段。 第二曲線的ζ座標ZF不小於第一曲線上之第一點的最大值 座標(ZF2max(z(0))。 5 另一方面，垂直於作為光軸的ζ軸之第一透鏡表面4〇7 係以與第2圖所示的旋轉對稱非球形透鏡2〇〇之第一透鏡表 面207相同的方式身為一平面表面。確切言之，如果第一透 鏡表面207沿ζ轴旋轉，第一透鏡表面207的線跡以一圓碟形 式變成第一透鏡表面407。 10 非球形透鏡40〇可使用於多種不同的領域中。例如，可 藉由將一發光二極體(LED)或一高效率光源設置於非球形 透鏡400的次級焦點込處來增強束方向性。此非球形透鏡 400可制在燈塔或車·中。並且，可藉由將此一透鏡式 纖維的核心配置為具有第4圖所示非球形折射表面4〇5形狀 15來實ί見彳憂異的透鏡式纖維。藉由對準此—透鏡式纖維及 一半導體雷射，可大幅地增強光學耦合效率。 另一方面，第2圖所示的非球形折射表面2〇5可被視為 一圓柱非球形透鏡的-橫剖面。―圓柱非球形透鏡在一含 2有作為光軸的ζ軸之第一平面（譬如χ_ζ平面）中具有折射焦 2〇度但在一垂直於第一平面之第二平面（譬如y-z平面）中不具 有折射焦度。可利用一圓柱非球形透鏡來獨立地控制X方向 方向中之光折射。譬如，料自—半導體雷射的光發射 =度並不對稱以及若χ方向及y方向的發散角度大為不同將 疋很平常的現象。在此例中，可使用圓柱非球形透鏡來匹 31 1299090 配兩正交方向巾之發散角度。 在x_z"^中中2了 Γ明簡單起見，—圓柱非球形透鏡假設 ,/'彳射焦度。因此，-圓柱非球形透鏡在 4面中的輪廓（亦即橫剖面）係與非球形折射表纖的 輪廓相同，而其在y_z平面中的輪廓係為—無法使—經準直 束收斂或發散之平面窗口（亦即—財部）。_圓柱非球形透 鏡的輪廓可在如等式23所提供之—長方形鋪系中描述。 [數學式23]

ζ = Φ^) = ζ(χ) 如等式23所示，一圓柱非球形透鏡的輪廓未依y座標 而定。並且，如果假設第2圖所示的一非球形透鏡之橫剖 面219為一圓柱非球形透鏡在x-z平面中的橫剖面，亦即等 式6所定義的距離r係為在x-z平面中測量之一距離而轴向 半徑p由X取代，則等式7、8、9及22可轉換成下列等式24至 15 27。 [數學式24]

r - 4x1 + z1 ζ(Θ) = γ(Θ) cosO

[數學式25] 20 [數學式26] x(6l) = r(0) sin 0 [數學式27] r(^) = r(^2.)exp 1 ηλ sin θ} ηχ cos θ'-η2 d& 32 1299090 f 5圖㈣不根據本發明的一較佳實施例^之一具有沿丫 輛的平私對稱性之圓板非球形透鏡。第5圖所示的非球 形折射表面在一平行於y_z平面的平面中之橫剖面係與第3 圖所不的非球形折射表面2〇5者相同。當第2圖中垂直於作 為光軸的z軸之第一透鏡表面如7沿著丫轴平移時，則其線跡 文成長方形。結果，一較佳實施例lc中之圓柱非球形透 鏡500的第-透鏡表面係為一長方形平面。 第6圖顯示根據本發明的一較佳實施例id之一環面非 球形透鏡_。-環面非球形透鏡_係包括―環面非球形 1〇表面605及圓柱形表面607。環面非球形表面605係對應於 藉由沿X轴旋轉第一曲線所獲得之一線跡，其係為χ_ζ平面 及非球形折射表面2〇5間之一系列交會部。環面非球形表面 605係為對應於一長方形座標系中所定義的一圓柱非球形 折射表面之一圓柱座標系中的一折射表面。圓柱形表面6〇7 15係對應於第2圖中第一透鏡表面207外形（亦即第二曲線)沿X 轴旋轉所獲得之線跡。 不需要將非球形折射表面（第二透鏡表面2〇5)及第一透 鏡表面207的外形沿X軸旋轉360。藉以獲得具有環面非球形 表面605及圓柱形表面6〇7之環面非球形透鏡。易言之，譬 20如，即便第一及第二曲線旋轉1〇°，曲線的線跡仍構成一環 面透鏡表面。因此，如果假設環面非球形透鏡的义軸重合於 一連接南極與北極之垂直線，環面非球形透鏡之平行於一 緯線的一橫剖面係變成一圓或一弧，而其一含有一縱向線 之橫剖面的輪廓總是如第3圖所示般地提供。 33 1299090 比較第2圖所示的非球形折射表面及環面非球形透鏡 _’可注意到pAz的角色交換。因此，如果p軸被2軸取代， ^軸被P轴取代、且令軸向半徑續2轴產生的方位角為ω，則 第6圖所示的環面輪廓係由等式28至31所提供。 5 [數學式28] z = r(6〇sin/9 [數學式29]

X = γ{Θ) cos Θ cos ω [數學式30] 10 [數學式31] y = ΐ"{θ)ο〇^θύηω ;nx cos^~/22 r^y)= r(^)exp 因此 15 代表一圓柱法而定’相同的數學等式可 ㈣㈣形透鏡及—環面非球形透鏡及 形透鏡。下文中，為說明簡單起見，將代 折射表二透Γ但應瞭解亦可將該非球形 表面。 球形折射表面及一環面非球形折射 物距==鏡根據較佳實__為具有無窮 且有=鏡。然而’依據應用而定，需要I有 較㈣__及—有限像狀有料树鏡。” 較佳實施例2 複合透 根據第7圖所示之本發明的- 34 20 1299090 鏡700包括兩個非球形透鏡。—非球形透鏡的背焦長係對應 於-有限物距而另-非球形透鏡的背焦長對應於一有限像 距。各非球形透鏡係包括一非球形折射表面7〇7、7〇5及一 平面透鏡表面71卜712。非球形折射表面7〇7及7〇5係分別 5為複合透鏡的第-及第二透絲面。兩平面透鏡表面711及 712彼此平行且分開_任意距離e。此_複合透鏡可在物 距及像距皆為有限之案例中防止產生球形像差。 第7圖中，為了在物側變數及對應的像側變數之間作區 为，像側上之變數係標以底線。物距及像距相對於其各別 10頂點係為zl及红；非球形折射透鏡的直徑為]〇;而一入射在 物侧上之射線的最大方位角θ2係小於如下列等式32所近似 提供之角θ2’。 [數學式32] ίΑ」 15 可在最小入射角θί為零(θρθ==0)、最大入射角為θ，2、而 從第一焦點〇至非球形折射表面（第一透鏡表面）的距離Γ(θί) 為21(’>21)之假設下自等式22獲得物側上之非球形折射 表面707的輪廓。因為等式22中不定積分的上限為θ，2,軸向 半徑Ρ(θ 2)係大於D/2。超過p(02)=D/2的區域係被棄置藉以 20得到一具有直徑D及一前頂點焦長21之非球形折射表面 707非球形折射表面707的最大入射角02係滿足等式33。 [數學式33]

Kg)sin02 =* 35 !299〇9〇 可類似地獲得像側上之非球形折射表面7〇5的輪庵。為 了確保可製祕或其他原因之故，可將—具有預定厚度之 光學爲平部插入兩平面透鏡表面川及川之間。第7圖顯示 -具有厚度e之經插入的光學扁平部703。、沿著光轴测量之 5兩非球形折射表面的頂點之間的厚度t係如 (22^)+6+(公所提供。 第8圖顯示根據本發明的一較佳實施例2a之一具有兩 表面701及702之非球形透鏡7〇〇的形狀。類似於第4圖的案 例，抓用普通的BK7玻璃作為透鏡材料且設計波長採用 10 He-Ne波長。透鏡的直徑設定在5〇公厘，而ζι、么及㊁分別設 定在50公厘、200公厘及10公厘（Ζι=5〇公厘，么=2〇〇公厘， e==l〇公厘）。 第9圖顯示對於具有兩非球形表面的透鏡7〇〇之射線執 跡。第9圖所示的非球形折射表面之輪廓係等於第8圖所示 15的非球形折射表面之輪廓，差異在於下列事實··兩非球形 折射表面的頂點之間的距離t設定在20公厘。可看出，如果 從物體至透鏡的前頂點之距離確切等於紅，則所有射線在 透鏡表面處被折射後係朝向點α收斂。尚且，可從第7及9 圖〉主意到，束的發散角在穿過透鏡之後係降低。此處，發 散角係為一射線與光軸構成之最大角度。 根據本發明第二實施例之複合透鏡亦可用來改變自一 諸如一雷射或一LED等小光源所發散之束的發散角，或用 來改變束小區尺寸。譬如，如果一半導體雷射放置在原點〇 處’自半導體雷射發散之雷射束係在兩非球形折射表面7〇7 36 1299090 及705上被折射且朝向點殳收斂，然後在穿過點q之後再度 發散。然而，可從第7及9圖看出，束的發散角在該束穿過 兩非球形折射表面之後係降低(02>££)。 較佳實施例2的複合透鏡700亦可用來改良一半導體雷 5射與一光纖之間的光學耦合效率。每個光纖具有一特徵數 值孔徑(NA)，且束未被拘限於光纖内而是當一射線的入射 角大於一臨界角時將洩漏離開。如果來自一半導體雷射的 一高度發散束穿過本發明第二實施例之複合透鏡，則束的 發散角可降低至臨界角以下，且束可有效率地耦合至光纖 10 内0 同時’諸如一雷射束等同調光係遵循高斯光學 (Gaussian optics)的規則，所以束的發散角及小區尺寸彼此 相互有關。因此，改變一束的發散角將導致束小區尺寸的 變化，且反之亦然。因此，可採行第7圖的複合透鏡7〇〇以 15改變一光源的發散角或小區尺寸。 較佳實施例3 第10圖示意地顯示根據一較佳實施例3之一無球形像 差非球形透鏡1〇〇〇在x_z平面中之一橫剖面。一非球形折射 表面（第一透鏡表面)1005係沿重合於座標系的2軸之光轴 ° 1001呈現對稱。非球形折射表面1005的左及右側係分別充 填有呈現折射率〜及η:之媒體。折射率⑴小於折射率n2 hi<n2)。藉由無球形像差透鏡1〇〇〇，平行於光軸1〇〇1自非 球形折射表面1005左侧入射之一第一射線1009係在非球形 折射表面1005上的一點P2處被折射，且以一天頂角㊀穿過光 37 1299090 軸1001上之原點〇(亦即，透鏡的第二焦點）。 .非球形折射表面祕及對於非球形折射表面右側無窮 狀間的空間係充填有呈現折射率n2之媒體。並且，如第 1〇圖所示，折射率⑯之媒體可能只充填非球形折射表面（第 5 一透鏡表面）娜及第二透鏡表面⑽7之間的空間，故使益 球形像差非球形透鏡1000採行一正彎液面透鏡的形式。 在-使非球形折射表面1005身為沿光軸職呈旋轉對 稱性的正彎液面透鏡之案例中，則第二透鏡表面膽係為 一相對於點〇具有半徑^之球形表面。另一方面，在一使非 球形折射表面祕身為圓柱非球形折射表面之案例中，則 第二透鏡表面1007亦為一圓柱形表面。代表第二透鏡表面 1007之曲線係為一具有位於原點〇的中心之圓，因此當第二 透鏡表面1007沿X軸旋轉時正很像其沿z軸旋轉時可獲得一 球形表面。因此，在一使非球形折射表面1〇〇5身為一環面 15非球形表面之案例中，第二透鏡表面1〇〇7為一球形表面。 因為第二透鏡表面1〇〇7總是垂直於朝向原點〇收斂之 第二射線1101，當第二射線1011穿過第二透鏡表面1〇〇7 時，第二射線ι〇η的傳播方向未改變。為此，非球形折射 表面1005的設計不受是否出現或缺乏第二透鏡表面1007所 20影響。第10圖所示的透鏡不但可適用於具有第一及第二透 鏡表面之非球形透鏡，亦可適用於具有單一非球形折射表 面1005之透鏡及其他光學纟且件。 可在具有身為座標系2軸的光軸之一長方形及一極座 標系中描述此一非球形折射表面1005的輪廓。z軸從右方導 38 1299090 往卢方门、 ^ °因為第10圖所示的非球形透鏡的橫剖面被拘限於 一維XI平面内，圓柱及球形座標系係分別化簡至一長方形 極座標系。點P2的座標可以點P2的方位角Θ及從原點0 .占p2之距離r描述。距離r係為方位角Θ之一函數，亦即 ()長方形座標中的座標(x，z)係以極座標中之自變數Θ 、“數^供’亦即，x((9) = r(<9)sin(9及 z(0) = r〇9)cos(9。 非球开》折射表面1〇〇5的輪廓可就非球形折射表面1〇〇5

、 壬思點Ρ2(θ，γ)處之切平面τ的一仰角多=$(θ)予以定 10 義°又计根據本發明之非球形折射表面1005的輪廓以使平 仃於光軸的第一射線1009在非球形折射表面1005處被折 ，並變成一具有位於化與化之間的天頂角θ且朝向光軸 1001上的點0收斂之第二射線1101。切平面Τ的仰角0滿足 等式34。 [數學式34] 遵循用以獲得較佳實施例1 a至1 d所示之非球形折射表 • _輪叙_微分㈣，可如等式35提供無球形像差非 - 球形折射表面1005的輪廓。 _ [數學式35] ' 咐)=r L^cos^+tan^)sin^ 2〇、#式35中，θ，為假變數，不定積分的下界為θ,，而Γ(θ〇 為具有天頂角㈣i之對於非球形折射表面刪上的一點之 距離。下界較佳係為零㈣)且释Γ〇則等於從原點〇至非 球形折射表面1005與光軸讀之間交會部之距離。假設透 39 l299〇9〇 鏡採行一正彎液面的形式，光軸上的點0係為透鏡的次級焦 點’半徑rB為背焦長，而透鏡的中心厚度t為r0-rB(t=r()_rB)。 上述ΐΜ、η!、心、、心及]：(仏)係為設計非球形折射表面1005 之設計參數。 5 第一曲線係被定義為一長方形座標系的x-z平面與非 球形折射表面1005之間的一系列交會部。依照定義，第二 透鏡表面1007的半徑rB係為被定義為x-z平面及第二透鏡表 面1007之間的一系列交會部之一第二曲線的半徑。第二曲 線為一沿原點之圓弧。圓弧的半徑rB不大於對於非球形折 1〇 射表面之最短距離（亦即，rBSmin(r(^))。 第一射線1009根據司乃耳折射定律在非球形折射表面 1005處被折射。垂直於非球形折射表面1005上的點p2處之 切平面T的一法向N與第一射線之間的角度為0，因此入射 角為#。另一方面，法向N及第二射線1011之間的角度為 15 疼0，因此折射角為多-0。入射角及折射角係根據司乃耳折 射定律滿足等式36。 [數學式36] ηχ ήηφ = η2 ύη{φ-θ) 利用三角函數關係，切平面Τ的斜率tan必如等式37所提 20 供。 [數學式37] ^ , n2 sin0 tm(p =----- COS Θ 一 γι^ 利用等式37,如等式38提供等式35中被積函數之分子。 40 1299090 [數學式38] sin0-tan#cos0 = ——— n\ ~ n2cos Θ 另一方面，如等式39提供被積函數之分母。 [數學式39] cos ^ + tan φύηθ = — -〇〇S ^~匕 ni—n2c〇s0 為此’藉由等式38及39，等式35可化簡至如等式4〇所 提供的一較簡單形式。 [數學式4〇] r((9) = r(^.)exp lS1^~ ^ ηλ cos^f-n2 1〇 可注意到等式40與等式22相同。因此，可採用相同公 式來设计一無球形像差平凸透鏡或一正彎液面透鏡。透鏡 形狀取決於兩折射率〜及”何者較大而定。 第11圖顯示根據本發明的一較佳實施例3a之一折射表 面的輪廓及射線軌跡。相較於第1〇圖所示者，第u圖所示 5的折射表面之右及左側彼此交換。亦即，第11圖中，具有 折射率n2之第二媒體存在於左側而具有折射率⑴之第一媒 體存在於右側。可假設第—媒體為具有折射率丨之空氣㈤=1) 而第二媒體為BK7玻璃。因此，第二媒體的折射率化在 λ==〇·6328微米的He-Ne雷射波長近似為1515〇892〇。並且， 20可假設從原點〇(亦即第二焦點）至折射表面之最短距離_ 5〇·〇公厘’且折射射線11〇1的方位角θ介於從最小值0产〇。 41 1299090 至最大值θ2，。之間。這些條件下，自原點〇發散之所有射 線根據司乃耳折射定律在非球形折射表面刚5處被折射之 後係變成平行射線。反向方向中，一準直束(亦即平行射線) 係在非球形折射表面1005處被折射之後朝向原點〇收敛。因 5此，可作如下結論：構形為具有較佳實施例3的非球形折射 表面1005之透鏡係為一無球形像差透鏡。 一LED殼體可形成為具有第丨丨圖所示之非球形折射表 面1GG5。-f知的LED係在_透關頂形殼體内具有一發 光細絲。如果透明LED殼體具有第n圖所示的一形式且細 W絲對準於非球形透明殼體的第二焦點處，具有小於I的發 散角之所有射線係收斂成平行射線，藉以改良束方向性。 這些方式中，第Η圖的非球形折射表面可構成一透鏡的一 部分或一光學組件的一部分，諸如發光二極體(LED)的殼體 等。 15 弟12圖顯示根據本發明的一較佳實施例之一具有一身 為第一透鏡表面的非球形折射表面12〇5及一球形第二透鏡 表面1207之正彎、液面透鏡1200的一形狀。非球形折射表面 1205係與第n圖所示的非球形折射表面1〇〇5相同，而球形 第二透鏡表面1207的半徑!^為2〇公厘。透鏡12〇〇可用來改 20良無線光學通信系統中之束方向性。亦即，如果一光源在 透鏡1200的第二焦點處對準，折射光係平行於光轴前進且 很像來自一燈塔的光具有高的方向性，即便光源為一諸如 白熾燈等不同調供源亦然。尚且，如果一光偵測器在無線 光通信系統的另一側上之透鏡的第二焦點處對準，只偵測 42 1299090 到平行於光軸之入射光。一採用此透鏡之發送器或接收器 可為點對點通信中之一有用裝置。雖然未明示，從先前論 述應瞭解較佳實施例3、3a及3b中的非球形折射表面形狀係 可實行成圓柱非球形透鏡及環面非球形透鏡，及常見的旋 5轉對稱非球形透鏡。 較佳實施例4 第13圖示意地顯示根據本發明的一較佳實施例4之一 非球形透鏡1300在x-z平面中之一橫剖面。第二較佳實施例 的非球形透鏡係為一用以將一收斂束轉換成一平行束及將 1〇 一平行束轉換成一發散束之轉換器。如第13圖所示，非球 幵/折射表面1305係沿一重合於座標2軸的光軸呈現對 稱。第一透鏡表面1307係為沿原點〇具有一半徑巧之一球形 表面的一部分。 -具有折射率ηι的媒體及另—具有折射率化的媒體係 15分別存在於非球形折射表面13〇5的左側及右側。折射率^ 大於折射率η2 (ηι>η2)。在光軸13Q1上自非球形折射表面 1305左侧朝向原肋傳播之—收斂射線請9係在非球形折 射表面測上的-點P3#折射且平行於光轴㈣傳播。反 之，平行於光轴1301自非球形折射表面侧右側傳播至卢 側之-平行射線系在非球形折射表面13〇5被折射且以 發散中心重合於原點〇作發散。 非球形折射表面1305與對於非球形折射表面左側之盈 窮遠之間的空間係充填有具有折射率〜之媒體。或者，: 第！3圖所示，具有折射率ηι的媒體可只充填非球形折 43 !299〇9〇 面（第二透鏡表面）1305及第一透鏡表面i3〇7之間的空間，故 非球形透鏡1300採行一負彎液面透鏡的形式。因為第一透 鏡表面1307為一具有位於點〇的中心之球形表面，朝向點〇 收斂之第一射線的傳播方向在穿過第一透鏡表面13〇7之後 並未改變。為此，非球形折射表面13〇5的設計不受是否出 現或缺乏第一透鏡表面1307所影響。因此，第13圖所示的 透鏡可為一負彎液面透鏡，或者此較佳實施例可適用於各 種不同透鏡及具有|-非球形折射表面刪之其他光學組 10 非球形折射表面13Q5的輪廓可在具有重合於光轴的z 軸之長方形及-極座標系中加以描述。z轴方向從右至左 、’進可以點P3的天頂角及從原點〇至點h之距離r將一點 5的位置描述為㈣，其中距離内⑼為天頂角θ的一函數。 長方形座標系（χ，ζ)係如卿㈣及柳，—以極座標 !5中之自變數θ的函數所提供。 並且，非球形折射表面13〇5的輪廝可以非球形折射表

S-x -

2〇 [數學式41J dz dx ί*例1至Id所示之非球形折射表 非球形折射表面1305的輪廓可 遵循用以獲得較佳實施例J 面的輪廓之類似微分程序， 44 1299090 如等式42所提供。 [數學式42] sin θ’- tan 辦)cos π cos tan 卢(θ’) sin θ’

等式42巾’Θ，為假魏。不定積分的下界為㈣，而_ 5為具有天頂角㈣之從原點〇至非球形折射表面㈣上的 -點之距離。較佳使下界θί為零(㈣㈣係為從原點〇 至非球形折射表面1305與光轴的交會部之距離。對於負彎 液面透鏡，透鏡的中心厚度t為㈣“♦上述的ηι、n2、 l、θ2、θί係為用以設計非球形折射表面⑽之設計參數。 1〇帛一射線1309根據司乃耳折射定律在非球形折射表面 1305處被折射。垂直於非球形折射表面13()5上的叫處之 切平面T的-法_與第—射線_之間的角度為舳，因 此入射角為#。另-方面，第二射線平行於光轴，且法向 N及第二射線1311之間的角度為〆因此，折射角為多。入

r(^) = r(^.)exp ^ 15射角及折射角之間的關係根據司乃耳折射定律如等式43所 提供。 [數學式43] — 。利用三角函數關係’切平面T的身率tW如等式44所提 4共0 [數學式44] tan^ = ήηθ ηι ^θ^η2 45 1299090 利用等式44,由等式45提供等式42中被積函數之分子。 [數學式45] sin^~tan^cos^ = —n?sin^-ηλ cos θ-η2 另一方面，如等式46提供被積函數之分母。 5 [數學式46] cosΘ + tan^sinθ = CQS^ ηλ cos^~n2 利用等式45及46將等式42可化簡至等式47所提供的一 較簡單形式。 [數學式47]

10 r(0) = r(0i)Qxp f—2 SmJ 等式47中，⑴及!!2係分別為位居非球形折射表面13〇5 的左側及右側上之媒體的折射率。兩折射率⑴及叱皆可採行 任何大於1的實數。有鑒於此，如果較佳實施例4中的折射 率〜及叱分別為1.15108920及1.0，同時較佳實施例3、以中 15的折射率⑴及η2分別為1.0及1.51508920,兩等式40及47係描 述相同曲線。因此，等式40及47大致彼此相同。從另一觀 點來看，雖然令用以將一發散束轉換成一平行束之第1〇圖 中非球形折射表面的輪廓成為相同，如果空氣及BK7玻璃 分別改變成BK玻璃及空氣，則非球形折射表面13〇5變成用 2〇以將一收斂束轉換成一平行束之另一非球形折射表面。 第14圖顯示根據本發明的一較佳實施例4a之一非球形 46 1299090 折射表面1305的輪廓及射線執跡。相較於第13圖者，第14 圖所示之非球形折射表面1305的右及左側係彼此交換。亦 即’第14圖中，具有折射率化的第二媒體存在於左侧而具 有折射率ηι的第一媒體存在於右側。假設第一媒體為BK7 5玻璃(ni=1·51508920)，而第二媒體為具有折射率1 (η2=1·0) 之二氣。因此，第一媒體的折射率雷射的波長 (λ 0.6328微米）近似為1515〇892〇。並且，假設從原點〇至 非球形折射表面1305之最短距離1()為2〇〇公厘，而第一射線 的天頂角Θ介於從最小值θι=〇。至最大值仏=4〇。之間。這些條 件下，平行於光軸所入射之第二射線根據司乃耳折射定律 係在非球形折射表面1305被折射，並以光軸上的-點作為 么政中心而發散。反向方肖巾，朝向光轴上的點收敛之射 線係在穿過非球形折射表面1305之後轉換成平行於光軸之 射線。 ★第15圖顯示根據本發明的較佳實施例仆之一具有大致 φ 與第14圖的非球形折射表面13〇5相同的非球形折射表面 - 05之負弓液面透鏡第一透鏡表面1507的半徑rF為3〇 : T(rF，公厘），而第一透鏡表面15〇7的中心位居用以描 - «二透鏡表面之座標系的原點處。藉由具有第15圖所示 20 _球形折射表面15〇5之透鏡，—平面波可轉換成一球形 波。易言之，如第圖所示，藉由令一諸如自一雷射發射 的-射線料錢(―平行束)平行於光軸人射在非球形折 、未表面15G5上’可以產生—球形波。球形波可用來測量— 透鏡的輪廓及一鏡面式表面。 〆r 47 1299090 較佳實施例5 S 17圖顯示根據本發明的—較佳實施例4之—複合透 鏡17_形狀。許多案例中，需要放大或縮小平行束的束 尺寸，諸如自-雷射所發射者。一簡單的束擴張器係採行 5 -由-凹透鏡及-凸透鏡構成之伽利略望遠鏡(Ο— tel⑽Pe)的形式。凸透鏡的焦長長於凹透鏡的焦長，而兩 透鏡的第二焦點係重合。此外，存在有可能包括一對棱鏡、 或複數個透鏡之許多種類的複雜束擴張器。 如第17圖所示，-優良的束擴張器可構形為具有兩非球 10形透鏡，確切言之，-包括分別來自較佳實施WbA4b的兩 透鏡作為-第-及-第二透鏡之複合透鏡17⑻。第—透鏡係 由作為第一透鏡表面之非球形折射表面1705P及一具有 半控rb作為第二透鏡表面之球形表面17G7構成。第二透鏡 係由一具有半徑以作為一第三透鏡表面之球形表面 15及一作為一第四透鏡表面的非球形折射表面1705N構成。第 三透鏡表面1707N的半徑rF係不大於第二透鏡表面17〇71>的 半徑Rb。第二透鏡表面及第三透鏡表面具有一共同中心。 具有折射率〜的一媒體係存在於物側，亦即非球形折 射表面1705P的左側。第一透鏡具有折射率❼。一具有折射 2〇率叱的媒體係充填第一及第二透鏡之間的空間。第二透鏡 具有一折射率η*。一具有折射率〜的媒體係存在於像側，亦 即非球形折射表面1705N的右侧。第一透鏡的形狀係與第1〇 圖所示之較佳實施例3a*3b者相同，而第二透鏡的形狀與 第13圖所示的較佳實施例4或如者相同。第一及第二透鏡共 48 1299090 用共同光軸17G卜第-及第二透鏡的第二焦點、以及第 及第二透鏡表面的中心皆重合。為了使用此—複合透鏡 作為束擴張H ’第—透鏡的折射率h應大於位於物側之 媒體的折射率ηι，而第二透鏡的折射率以應大於位於像側之 5媒體的折射率n5，亦即n2>niJ^>n5。 構形為具有複合透鏡17〇〇之束擴張器的操作原理係如 自物側入射之一平行束17〇9係在非球形折射表面 上之點Q!處被折射且傳播朝向複合透鏡17〇〇的共同焦點 〇。因為第二透鏡表面1707P及第三透鏡表面 1707N係為具 1〇有位於共同焦點〇的中心之球形表面，折射射線的傳播 方向在穿過第二及第三透鏡表面17Q7p及17讀之後並不改 麦折射射線在非球形折射表面17〇5N上之點p4再度被折射 且、文成平行於光軸1701。因此，射線在穿過複合透鏡17〇〇 之則及之後皆平行於光軸17〇1但對於光軸之距離則改變。 is如果第一透鏡的非球形折射表面17〇51>上之點仏的長方形 座標為(X，Z)而第二透鏡的非球形折射表面17〇51^上之點匕 的長方形座標為(x，z)，束尺寸係以比值χ/χ縮小。因此，自 物側亦即自複合透鏡1700左側入射之一平行射線的束尺寸 係以比值x/X縮小，且反之，自像側亦即自複合透鏡右側入 20射之一平行射線的束尺寸係以比值χ/Χ放大。因此，一諸如 自一雷射發射的射線等平行射線應自複合透鏡17〇〇右側且 平行於光軸入射藉以使用複合透鏡1700作為一束擴張器。 非球形折射表面^仍？上之一任意點Qi的座標係°如等 式48至50所提供。 49 1299090 [數學式48] [數學式49] 丨 一'sin0f n2 -nj cos^f -d& Z{6) = R{G) c〇s0 5 [數學式50] Χ(θ) = R(0)sin0 從第17圖顯然可知第二透鏡表面17〇7p的半徑Rb應小 於從原點至非球形折射表面1705P上的一任意點之一距離 10 R(0) °非球形折射表面i 7讀上之一任意點的座標(χ，ζ)如 等式51至53所提供。 [數學式51] Γ(β) = r(^.)exp } ~ n5 sin θ1 ηΑ - η5 cos θ' [數學式52] z(0) = r(0)cose 15 [數學式53 x(^) = r(0)sin0 類似地’第三透鏡表面丨7_的半徑1>應大於自原點至 非球形折射表Φ1職上的—任意點之—距離。因此， 等式54所提供的一關係可成立。 [數學式54] R^)>RB>rF >r{9)>〇 如果兩透鏡由相同材料製成，折射率化等於折射率n4。 / 50 20 !299〇9〇 並且，如果複合束擴張器亦即複合透鏡17〇〇的兩透鏡伋 譬如空氣等相同媒體中’折射率ηι、化及〜皆相同。 在較佳實施例5的束擴張器中未必需要第二透鏡表面 1707P及第三透鏡表面Π_。易言之，若無第二及第^透 5鏡表面ΠΟΤΡ及Π〇7Ν，-束擴張器可構形為具有分別作為 第一及第四透鏡表面的功用之第_及第二非球形折射表面 1705Ρ及17G5N。如果依此構形為具有第—及第二非球形折 射表面Π05Ρ及1705Ν之透鏡具有折射率化，而周遭媒體具 有折射率⑴，則束擴張器的第一非球形折射表面π〇5ρ的形 10 狀如等式55所提供。 [數學式55] 束擴張器的非球形折射表面17〇51>上之一點仏的長方 形座標(Χ，Ζ)係如等式56及57所提供。

15 [數學式56] Z(〇)^R(0)〇〇s0 [數學式57] - R(0)sm0 類似地，第二非球形折射表面Π〇5Ν的輪廓如等式58 20所提供。 [數學式58] = exp l ^ n2 - ηλ cos θ' 51 1299090 第二非球形折射表面1705N上之一叫的長方形座標 (x，z)如等式59及60所提供。 [數學式59] z(0) = r(0)COS0 5 [數學式60] 柳，)sin Θ [數學式61] R(^)>r(0)>〇 從等式55及58可注意到，兩非球形折射表面η㈣及 Π) Π_具有緊密的類似性。其具有相同輪廓但尺度不同。 #敎所提及，-束擴_可放大或縮小―經準直束 的束尺寸。譬如，為了將自_He長雷射發射之_束的尺寸 放大五>[口，根據本發明的一較佳實施例&可使用第圖的 一透鏡。進行—項其巾如果束尺寸較大則實驗結果更清楚 15可見之干涉實驗時，藉由將第18圖所示具有兩非球形折射 表面咖㈣蕭之透鏡放置在雷射前方、或更佳藉由整 合束擴張器及雷射，則可放大雷射束的尺寸。利用諸如用 於塑料或玻璃透鏡製造之射出壓縮模製等技術，可以單件 方式獲知第18圖所不具有兩非球形折射表面17〇51>及17〇51^ 2〇 ^透鏡。因此，不像採用複數個透鏡之其他束擴張器，不 *要透鏡組裝來製造—束㈣器。因為避免了機械振動導 致透鏡失準之可能性，此束擴張器可使用在較惡劣環境 中。並且，因為透鏡表面數減少，可降低所需要的防反射 塗覆程序，且仍可減少有害反射的產生。 52 1299090 較佳實施例ό 第19圖示意地顯示根據本發明的一較佳實施例6之一 非球形透鏡1900在χ_ζ平面中之一橫剖面。非球形透鏡测 扮演用以將收斂射線轉換成平行射線且將平行射線轉換成 5發散射線之轉換器的角色。如第19圖所示，非球形折射表 面(第一透鏡表面）1905係沿重合於座標2軸的光軸19〇1呈現 對稱。-具有折射料的媒體及—具有折射和2的媒體係分 別存在於非球形折射表面1905的左側及右側。折射率仏小 於叱。一自左側朝向光軸19〇1上的一點〇傳播之收斂射線 10 19G9係在非球形折射表面簡上的_财5被縮小且變成一 平行於光軸_之經準直束。反向方向中，自右側傳播且 平行於光轴侧之平行射線1911係在非球形折射表面觸 處被折射且使發散中心位於點Ο作發散。 —具有折射和2的舰射域非球形折射表面祕 15及對於非球形表面右側的無窮遠之間的空間。或者，如第 19圖所示’―具有折射率~的媒體可只充填非球形折射表 面（第一透鏡表面）1905及身為一垂直於光轴的平面表面之 第二透鏡表面觸之間的空間。第二透鏡表面觸係位居 相距原點之-距離Zb處(Ζβ<γ(θ))。後者案例係對應於一平凹 20 非球形透鏡。 因為第二透鏡表面1907係為一垂直於光軸侧之平面 表面，在第二射線1911穿過第二透鏡表面撕之後平行於 光軸之第二射線·的傳播方向並未改變。為此，非球妒 折射表面咖的設料受是”現或缺乏第二透鏡表面 53 / >- 1299090 1907所影變。m , ' "因此，第19圖所示的透鏡1900可採行一平凹 非求幵7透鏡的形式，或者此較佳實施例可實行於具有單一 非球幵廣射表面1905之透鏡及其他光學組件中。 可在具有與光軸重合的z軸之一長方形及一極座標系 5中“述非球形折射表面19〇5的輪廊。z轴從右方行進至左 方。非球形折射表面1905上之點ps的座標可以點的方位 角Θ及從原點〇至點Ps之距離r描述為（θ，γ=κΘ》。長方形座標 中的座私（χ，ζ)係以極座標中之自變數㊀的函數提供為 x(0 = r(0)sin0&2(^) = r(^)cos0。 10 非球形折射表面1905的輪廓可以非球形折射表面19〇5 上的點P5(0，r)處之一切平面T的一仰角_0(θ)予以定義。切 平面Τ的仰角彡滿足等式62。 [數學式62] 岭% I5 遵循用以獲得較佳實施例1至Id所示之非球形折射表 面的輪廓之類似微分程序，可如等式63提供非球形折射表 面1905的輪廓。 [數學式63] 冲)=啲)哪[ L ^ cos θ^+ tan sin & 2〇 等式63中，θ’為假變數。不定積分的下界為θ==θί，而r(0i) 為具有天頂角Θ=Α之從原點至非球形折射表面丨905上的一 點之對應距離。下界θί較佳係為零（0产〇)且r(0>rG係為從原 54 1299090 之間的一交會部之 點〇至非球形料表面彻5與光轴刪 =;t，採行-平凹非球形透鏡的形式，透鏡的中 ，度 t 為㈣=的）。上述 ηι、η2、βι、θ2^(β 5 10 根據本發_來設計非球形折射表面娜之設計參數。’、、’ 第-射線1909根據司乃耳折射定律在非球形折射表面 1905處被折射。垂直於非球形折射表面簡上的點I處之 切平面T的-法向N與第-射線之間的角度為㈣，因此入 射角為鈔Θ。另一方面，法向N及第二射線1911之間的角度 為…因此折射角為人射角及折射角係根據司乃耳折射 定律滿足等式64 ° [數學式64] η\ ^(Φ + θ) = η2 sin φ 利用三角函數關係，切平面T的斜率tan0如等式65所提 供。 15 [數學式65] tan 卜」igM . n2 - nx cos θ 利用等式65,如等式66提供等式63中被積函數之分子。 [數學式66] sin ^ + tan cos ^ = 3 sljL^_ -qcose 20 另一方面’如等式67提供被積函數之分母。 [數學式67] cos Θ — tan φ sin θ = "2cos Θ jn^ n2 - nx cos Θ 55 1299090 等式63化簡至如等式68所示的一較 利用荨式66及67 簡單形式。

[數學式68 J («2 COS θ’—％ 明= r(g)exp 5 Π差異在於較佳實施例6中折射率 ’而較佳實施例4及财折射率叫大於^折射率 111及化皆可採行大於1的任何實數。因此，從相同等式，可 獲得較佳實施例4及如中非球形折射表面的輪廊或較佳實 '施修中非球形折射表面的輪廟係依據兩折射率喊化何者 較大而定。 第2G圖顯示根據本發明的_較佳實施例如之非球形折 射表面及射線執跡。第19及20圖中之非球形折射表面的右 及左側彼此交換。亦即，第20圖中，具有折射率化之第二 15媒體存在於左側而具有折射率叫之第一媒體存在於右側: 可假設第-媒體為具有折射率！之空氣(η产1〇)而第二媒體 為BK7玻璃。因此，第二媒體的折射率n2^=〇 6328微米的 He-Ne雷射波長近似為1.51508920。並且，可假設從原點〇 至折射表面之最短距離r〇為50·0公厘，且折射射線的方位角 20 θ介於從最小值θι=0。至最大值化=40。之間。這些條件下，平 行於光轴入射之第二射線遵循司乃耳折射定律在非球形折 射表面處被折射之後係以發散中心位於點〇作發散。因此， 反向方向中，朝向點〇收斂之射線係在穿過折射表面之後轉 56 l299〇9〇 換成平行於光軸之射線。 第21圖顯示根據一較隹實施例丨、^至1(1之一無球形像 差非球形透鏡2100的輪廓及射線軌跡。此處亦假設透鏡由 BK玻璃製造，背焦長為5〇公厘，而透鏡的直徑為5〇公厘。 ' 藉由此非球形透鏡，平行於光軸自物側入射之射線係 J 在透鏡處被折射，且收斂前往一點。因此，此透鏡的確為 ： 預定所指之無球形像差透鏡。另一方面，如第22圖所示， _ 當透鏡的右側及左側彼此交換時，經準直束未收斂前往一 點。然而’如第22圖所示，可有利地使透鏡的非球形折射 〇表面面對左方（亦即物側）。例如，可改良諸如扭曲像差等球 形像差除外之像差特徵。因此，如第22圖示意地顯示，當 非球形折射表面面對位於左方之物側時，需要找出無球形 像差之一透鏡的輪廓。 較佳實施例7 is 々 第23圖顯不根據本發明的一較佳實施例7之一非球形 | €鏡23GG的輪廓，其當非球形折射表面面對左方的物側時 係為無球形像差。根據較佳實施例7之非球形透鏡23〇〇係由 、 一作為第一透鏡之非球形折射表面2305、及一作為第二透 、2鏡表面2307之平面表面構成。一平行於光軸23〇1入射在非 20球形透鏡上之射線23〇9係在非球形折射表面挪上的一點 Q2處被折射且所產生的折射射線231〇係傳播前往第二透鏡 表面23〇7上之一點&。折射射線如。在第二透鏡表面23们 上的點P6處再度被折射且傳播前往透鏡23〇〇的第二焦點 下文中折射射線2310在第二透鏡表面23〇7上的點p6被 57 l299〇9〇 折射之前係稱為-第-折射射線，而在軌被折射之射線 .2311稱為一第二折射射線。 冑設物側及像側上之媒體的折射率分別為n。及〜，且透 - 鏡的折射率為ηι。一般而言，假設nG不同於n2。這可比擬成 ' 5 —具有—呈非剌折射S Φ形狀的壁之核箱且水族箱分 別充填有諸如水及空氣等不同媒體之案例。 A射射線23G9及非球形折射表面上的叫處之一 _ 垂直於切平面T之法向N之間的角度係為一另—方面，第 一折射射線23H)及練之間㈣度為s，而第二折射射線 10 23U及光軸之間的角度為卜對於點&處的折射應用司乃耳 定律係導致等式69。 [數學式69] 在非球形折射表面2305上之點⑽，入射射線^㈣ 法向N之間的角度為^，因此，入射角為另—方面，折 射射線細及*向N之間㈣度為料，因此折射角為. 對於點Q2處的折射應用司乃耳定律係導致等式兀。 [數學式7〇] ' 20 非球形折射表面2305上的一叫處之長方形座標係為 (X，Z)，而第二透鏡表面薦上的—點&處之長方形座標為 可將對於點P6的距離r指定為天頂角^的—函數藉以 在一具有與透鏡第二焦點〇重合的原點及與光軸麗重合 的ζ軸之極座標系中方便地描述第二透鏡表面㈣的輪 廓。點Ρ6的長方形座標㈣及極座標_且有如 及啦) = _〇β所提供之關係。此透鏡的背隹長 58 1299090 為ίβ。因為第二透鏡表面2307為一平面’點P6的長方形座標 (x，z)如等式71及72所提供。 [數學式71]

= fB 5 [數學式72] x{e) = fBtme 另一方面，從第二透鏡表面2307上的點P6至非球形折 射表面（第一透鏡表面）2305上的點Q2之距離係以L(0)提 供。如果兩點Q2及P6之間的距離L表示為第二折射射線的天 10 頂角Θ之一函數，則非球形折射表面2305上之點Q2的長方形 座標(X，Z)係如等式73及74所提供。 [數學式73] Χ{θ) = fB tan θ + L{0) sin δ{θ) [數學式74] 15 Ζ(θ) = fB+L(0) cosS(0) 可藉由將等式73相對於Θ微分來獲得下列等式75。 [數學式75] dX_ ϋθ fB dL . ^ £άδ -ζ—ι--sin δ + L cos δ — cos2 θ άθ άθ 可藉由將等式74相對於θ微分來獲得下列等式76。 20 [數學式76] dZ_ 1θ dL c r . =——cos δ -Lsm δ —— άθ άθ 利用三角函數關係，非球形折射表面2305上的點Q2處 59 1299090 之切平面T的斜率tane係如等式77所提供 [數學式77] tan

丄 dZ

[數學式78] dZ_Hd -tan- dX_ ~άθ 藉由等式75及76，可將等式78表示為等式79 [數學式79] dL τ • L· sin^-tan^cos^ dd 一 tan# _cos5 +tan#sin5_ 10 一 cos2 Θ cos5 +tan#sin5 άθ 在進一步獲得一解之前，可利用等式80及81所定義的 10 函數使得等式79中的表示更為簡單。 [數學式80] άδ_ He Α{θ). sin^-tan^cos^ cos^ + tan^sin^ [數學式81] Β(θ) cos Θ tan^ cos^ +tan^sin^ 15 [數學式82] ^ + Α(Θ)1(Θ) = Β(Θ) d w 將等式82兩側乘以一未知函數ί(θ)，可獲得等式83所示 的一關係。 60 1299090 [數學式83] F(0)dL + Ρ{θ)Α{θ)1{θ)άθ) = Ρ{θ)Β{θ)άθ 使等式83左側成為一恰當微分之條件係如等式84所提 供。 5 [數學式84] %=Α_) 因此，未知函數F(e)必須如等式85以Α(θ)的一函數提 供。 [數學式85] 10 F(0) = exp 利用等式85，等式83如等式86所提供。 [數學式86] L{0) exp

因此，函數L(e)如等式87所提供。 15 [數學式87] 讲)=点卜)+ ]>(θ，)—，> 可藉由將等式69相對於Θ微分來獲得下列等式88。 [數學式88] dS n2 cos θ …一· —- άθ nx cos δ 61 1299090 另一方面，可藉由重新排列等式7 0來獲得下列等式8 9。 [數學式89] . ηλ sin δ tan 夕=-L- ηλ cos S -n0 藉由等式69及89,等式80所提供之Α(θ)的分子係如等 5 式90所提供。 [數學式90]

sin^-tan^cos^ =——-0 -n^ · nx cos δ-nQ 另一方面，等式80所提供之Α(θ)的分母係如等式91所 提供。 10 [數學式91] cos δ + tan ^ sin ^ = —~~n〇c^os^ ηλ cos S -n0 藉由等式88至91，Α(θ)係如等式92所提供。 [數學式92]

Α(θ) = n0 sin δ η2 cos θ % - cos 5 % cos 5 15 利用等式69，可以如等式93所提供之天頂角θ的一函數 來提供角度δ。 [數學式93] -n\ sin^ 因此，函數Α(θ)可表示為天頂角Θ之唯一函數。 62 1299090 [數學式94] Α(β) - ——ηΐ^ιηθ cos 0 Μ-ηΙύτ^θ ^^^sin2 θ 另一方面，函數Β(θ)如等式95所提供。 [數學式95]

Β(θ、= 一」L·^ 'sinJ 等式95所提供的函數B⑼亦可表示為如等式 之天頂角Θ的唯一函數。 [數學式96] Β(θ) ~ ~ n\ni sin δ cos2 θ η2 ~n〇7^ -n[sin2^ ίο 為此，藉由等式85、94及96，可獲得等式87中所提供 之LW。利用函數L⑼及等式71至74，可獲得根據較佳實施 例7或7a之非球形折射表面23〇5的輪廓。 第24圖顯示根據一較佳實施例7a之一透鏡2300的輪廓 及射線執跡。假設透鏡23〇〇由BK7玻璃製成，且透鏡幻㈧ 15的物側及像側上之媒體的折射率nG及化皆為空氣的折射 率，亦即η〇=η2=ι·〇。因此，透鏡23〇〇的折射率η4λ==〇 6328 微米的He-Ne雷射波長近似係為1.51508920。進一步假設透 鏡的直么及負焦長皆為5〇·〇公厘。這些條件下，一平行於 光軸之入射射線係在透鏡23〇〇的前表面處亦即非球形折射 2〇表面（第一透鏡表面)2305處被折射一次，且在背表面處亦即 第二透鏡表面（平面表面)2307被折射一次，然後經兩次折射 63 1299090 的射線係收斂前往一點，亦即透鏡的第二焦點。因此，反 向方向中，一自透鏡2300的第二焦點發散之射線係在透鏡 處被折射兩次然後轉換成一平行於光軸之射線。 並且，參照第19圖，較佳實施例6或6a的非球形透鏡 5 19〇〇係將收斂前往透鏡1900的第二焦點Ο之射線1909轉換 成一平行於光轴之經準直束1911，且將一平行於光軸的經 準直束1911轉換成一發散射線而發散中心位於透鏡19〇〇的 第二焦點Ο處。為了將一收斂射線轉換成一經準直束，發散 射線應自非球形折射表面1905(亦即第一透鏡表面）側入射 10在透鏡上。反之，為了將一經準直束轉換成一發散束，經 準直束應自平面透鏡表面1907(亦即第二透鏡表面）侧入射 在透鏡上。然而，類似於較佳實施例6或6a，可能需要具有 一可將一收斂前往透鏡第二焦點的射線轉換成一經準直束 及將一經準直束轉換成一發散射線且發散中心位於透鏡第 I5二焦點並使兩透鏡表面的物侧及像側交換之透鏡。 較佳實施例8 第25圖顯示一具有經改良的像差特徵之非球形透鏡 2500的示思圖。根據本發明的較佳實施例，非球形透鏡 由一平面第一透鏡表面25〇7及一非球形第二透鏡表面25〇5 20構成。一收斂朝向非球形透鏡2500的第二焦點0之入射射線 2509係在第一透鏡表面2507的點h處被折射且成為一折射 射線2510，傳播至非球形折射表面25〇5上的點仏。此折射 射線2510在非球形折射表面25〇5上的點a處再度折射且變 成一平行於光軸2501之射線2511。較佳實施例8中，在點仏 64 1299090 被折射前之折射射線25_為第—折射射線，、在點q3被 析射之射線2511稱為第二折射射線。類似於較佳實施例7及 7a，假設物側及像側上之媒體一般可具有不同的折射率。 物及像側上之媒體的折射率分別為⑼仏，而透鏡的折射率 為〜。第-透鏡表面25()7上的點匕處之人射射線謂9與光轴 之間的角度為Θ，而第-折射射線25職光軸之間的角度為 δ。對於點P7處的折射剌3乃耳定律將導致下列等式97。 [等式97]

15

20 n0 sin θ -nx sin δ 第一折射射線2510及非球形折射表面25〇5上的點^處 之法向N之間的角度係為疼δ，而第二折射射線2511及法向 Ν之間的角度為0。因此，對於點(^的折射應用司乃耳定律 係導致等式98 〇 [荨式98] η^\η{φ-δ)^η2ύηφ 第一透鏡表面2507上的一點Ρ7之長方形座標係為 (Χ’Ζ) ’而非球形折射表面（亦即，第二透鏡表面）2505上之一 』Q3的長方形座標為(X，Z)。可藉由將對於點P 7的距離r指定 為“同點之天頂角Θ的一函數在一使原點位居透鏡25〇〇 —焦點且z軸重合於光軸2501之極座標系中來描述第 一透鏡表面2507的輪廓。因此，點P7的長方形座標(χ，ζ)及 極座標（Θ，Γ)具有如χ(〇 =sin Θ及ζ⑼=Γ(θ) cos Θ所提供之關 係〇田、 '、 為弟一透鏡表面為一平面表面，沿光軸測量之高度z 以一常數提供。 65 1299090 [等式99] ζ{θ) = ζ(〇) Ξ z〇 另一方面，座標X為天頂角Θ之一函數且如等式1〇〇所提 供。 [等式1〇〇] χ(θ) = z0 tan θ 10 15 從第一透鏡表面2507上的一點Ρ7至非球形折射表面 2505上的點Q3之距離係提供為L(0)。如果兩點之間的距離L 表示為入射射線2509的天頂角㊀之一函數，則非球形折射表 面2505上之點Q3的長方形座標（x，z)係如等式100及1〇1所 提供。 [數學式101] X (Θ) = z0 tan θ - L(j9) sin δ (θ) [數學式102] Z(0) = zo-L(0)oos(0) 可藉由將等式101相對於Θ微分來獲得下列等式1〇3。 [數學式103] Τθ=ύ~θ~Τθ^δ-ι^δΤθ 再度’可藉由將等式102相對於Θ微分來獲得下列等式 2〇 104 〇 [數學式1〇4] dZ dL . r —=一-—cosJ + — άθ άθ άθ 66 1299090 第二透鏡表面2505上的點03處之切平面T的斜率如等 式105所提供。 [數學式105]

tan 因為座標X及Z皆為天頂角Θ之函數，等式105可表示為 等式106。 [數學式106] dZ_ ~άθ -tan^ dX ~άθ 利用等式103及104,等式106可表示為等式107。 10 [數學式107] ^Ρ- + Α(Θ)Σ(Θ) = Β(Θ) 等式107可利用等式108及109所定義之函數以較簡單 形式來表示。 [數學式108] 15 r ύηδ -tmφcosδΛdδ Kcos5 Jttmφsmδ) άθ [數學式109] z0 f tan 沴 cos2 Θ ycosδ + sinS^ 遵循較佳實施例7或7a所示的類似微分程序，函數L(0) 可如等式110所提供。 67 1299090 [數學式110] 此處，函數F(0)係為Α(θ)的一函數且提供成為等式111 [等式111] F{0) - exp [Αψ)ά& 藉由將等式97相對於Θ微分來獲得下列等式112 [等式112] άδ _ n0 cos0 άθ nx cos δ 可藉由重新排列等式98來獲得下列等式113。 10 [等式 113] tan 彡: nx sin δ ηλ cos δ -η2 利用等式113，可如等式114提供等式108中所界定之函 數Α(θ)的分子。 [等式114] 15 sin ^ - tan ^ cos δ: -n2 sin δ ηλ cos δ -η2 類似地，可如等式115提供函數Α(θ)的分母 [等式115] c 丄 ,.c η} - η, οο^ δ cos J + tan 彡 sm J = —5--- nx cos δ -n2 68 1299090 利用等式112至115，如等式116來提供函數Α(θ)。 [等式116]

n2 sin δ η0 cos θ ηλ -η2 cos δ ηχ cosS 利用等式97，可如等式117所示以天頂角θ的唯一函數 來提供角δ。 [等式117]

δ{θ) = tan-1 n0 sin θ - n\ sin2 Θ 因此，可以天頂角Θ的唯一函數來提供函數Α(θ)。 [等式118] 10 Α(θ) = η2 nl sin Θ cos θ - nl sin2 Θ -n2^nf - n20 sin2 Θ 另一方面，如等式119提供函數Β(θ)。 [等式119]

ζ0 ηλ sin δ cos2 ^ ηλ -n2 cosS 等式119亦可以如等式120所示之天頂角Θ的唯一函數 15 提供。 [等式120] Β(θ) = -^2 nxnQ sin θ cos2 θ - η2 - η] sin2 θ 為此，利用等式118及120，可獲得等式110提供的函數 L(e)。並且，利用函數L(e)及等式99至102及117,可獲得根 69 1299090 據較佳實施例8的非球形透鏡2500之非球形折射表面25〇5 的輪腐。 第26圖顯示根據本發明的一較佳實施例％之透鏡25〇〇 的一輪廓及射線軌跡。相較於第25圖所示的透鏡，第26圖 5所不的透鏡之右側及左側係彼此交換。假設透鏡25〇〇由 BK7製成且透鏡物側及像侧上之媒體的折射率ηαη2為空 氣的折射率，亦即η〇=η2=1.〇。因此，透鏡的折射率〜在 籲 λ=0.6328微米的-He_Ne雷射波長近似為】划㈣。並 且，假設透鏡的入口瞳孔直徑(_)為5〇〇公厘，而最小距 H)離Z0及透鏡中心厚度L⑼分別為6〇公厘及1〇公厘（2〇=6〇公 厘，L(0)=10公厘）。這些條件下，一平行於光轴的入射射線 係根據司乃耳折射定律在一前表面處亦即非球形折射表面 (第二透鏡表面)處被折射—次，且在_背表面處亦即第一透 鏡表面(平面表面)處被折射一次，然後折射兩次的射線係以 '發散中心位於透鏡第二焦點處作發散。因此，反向方向中， 鲁 厂收斂前往第二焦點之射線係在透鏡25〇〇上折射兩次且然 _ 後轉換成一平行於光軸之經準直束。 — 較佳實施例9 20 第27圖示意地顯轉據本發明的—較佳實施例9政 至％之-非球形透鏡27_輪廓。非球形透鏡謂將一收 斂射線轉換成具有較小收㈣㈣_收斂射線謂一發散 射線轉換成具有較錯㈣之另—發散射線。如第27圖所 仏折射表面27G5在X_y平面巾的橫剖面係沿重合 ;座標系的z軸之光軸·呈現對稱。—具有折射料的媒 70 1299090 =:=率"的媒體係分別存在於非球形折射表面 伽的左舰賴。折射“小於n2(ni<n2)。—自左往右收 傲之第-射線2709係在非球形折射表面· 5

10 折射然後以—較小收斂㈣播至點0。反向方向中、、、，自= 2701上的-點〇發散之第二射線训係在非球形折射表面 2705上的-點p8處被折射，然後以—較大發散角發散。 一具有折射率112的媒體可充赫球形折射表面2705及 對於非球形折射表面右側的無窮遠之間的空間。或者，如 第27圖所不’―具有折射率n2的媒體可只充填第二透鏡表 @2707亦即-相對於_則具有半如的球形表面及非球 形折射表面（第一透鏡表面)27〇5之間的空間。後者案例對應 於一雙凹透鏡。 因為第二透鏡表面2707為一具有位於原點〇的中心之 球形表面，在第二透鏡射線2711穿過第二透鏡表面27〇7之 15後穿過點Ο之第二射線2711的傳播方向並未改變。為此，非 球形折射表面2705的設計不受是否出現或缺乏第二透鏡表 面2707所影響。並且，第27圖示意地顯示之透鏡可實行成 一雙凹透鏡及具有單一非球形折射表面27〇5之各種不同透 鏡及其他光學組件。 '° 非球形折射表面2705的輪廓可在具有位於點〇的原點 及重合於光軸2701的z軸之一長方形及一極座標系中加以 描述。z軸在圖中從右側行進至左側。p8的座標可以天頂角 Θ及從原點0至點P8之距離r描述，亦即成為（e，r=r(0))。長方 形座標系（x，z)可如x(^ = r(0)sin0及z(^ = r(^c〇e提供為極座 71 1299090 襟系中之自變數θ的函數。 以非球形折射表 .並且’非球形折射表面薦的輪廊可 切 面2705上的點ρ8㈣處之一切平的 平面Τ的仰角‘_為天頂角J —仰角細定義 [數學式121] 1角之函數，且料等式⑵ tan 彡: dz dx ，循嘴以獲得較佳實施例中所提供之非球形 =表面的輪廓之類似微分程序，非球形折射表面聰的 輪廓可如等式122所提供。 10 [數學式122] 明=r⑹exp ; L 為 c〇s θ’+tan 彡((9’）Sin Θ，⑽ 、等式122中，θ，為假變數。不定積分的下界為㈣i，而 (1)為/、有天頂角0-0i之從原點至非球形折射表面nos上 的一點之對應距離。較佳使下界$為零汍=〇)而^(…係為 15從原點〇至非球形折射表面2705與光軸2701間的交會部之 距離。假設透鏡採行一雙凹透鏡的形式，透鏡的中心厚度t 第一射線2709根據司乃耳折射定律在非球形折射表面 2705處被折射。垂直於非球形折射表面27〇5上的點Ps處之 20切平面丁的一法向N與第一射線2709之間的角度為0+δ，因 此入射角為。另一方面，法向ν及第二射線2711之間的 角度為¢+0，因此，折射角為多+θ。入射角及折射角係根據 72 1299090 司乃耳折射定律滿足等式123。 [數學式123] ηλ sin(^ + φ) = η2 sin(^ + φ) 利用三角函數關係重新排列等式123，切平面T的斜率 5 tan #如等式124所提供。 [數學式124] tan 沴= -nx sin δ+ n2 sin Θ /¾ cos5-n2 COS0

利用等式124,如等式125提供等式122中被積函數之分 子。 10 [數學式125] sin Θ + tan φ cos θ -nx sin(iJ - θ) ηλ cos δ -η2 cos θ 另一方面，如等式125提供被積函數之分母。 [數學式126]

cos Θ — tan # sin Θ = ηλ cos(^ -θ)-η2 nx cos S-n2 cos Θ 15 因此，利用等式125及126可將等式122化簡至等式127 所提供的一較簡單形式。 [數學式127] r(0) = r(0i)Qxp θ _Asin(5 — 0’） 9i nx cos(S - θ') - η2 d0' 為了獲得等式12 7所描述的一非球形折射表面的輪 20 廓，入射射線的天頂角δ必須提供為如等式128所提供的折 73 1299090 射射線之天頂角Θ的一函數。 [數學式128] δ = δ(θ) 如第128圖所示，角度δ係為天頂角Θ的一任意函數。此 函數表示為透鏡的一投射方案。如果亦提供等式128所提供 的投射方案及A、η2、θι、θ2、$及你)，獨特地決定出非球 形折射表面2705的輪廓。

根據本發明一較佳實施例9a，可使用較佳實施例9的透 鏡2700作為一廣角轉換器。第28圖顯示用以增加一發散射 1〇線的發散角之透鏡2700。假設第一媒體為具有1〇折射率 ηΚη^Ι.Ο)之空氣，而第二媒體為具有折射率叱之bk7玻 璃。因此，折射率η4λ=0·6328微米的雷射波長近似 為1.51508920。並且，假設等式127中的不定積分之下界$ 為零，從點Ο至非球形折射表面（第一透鏡表面)· 15之最短距離Γ〇為50·0公厘(Γ(Θ〇=^(〇^ιν=50·〇公厘），而第二透 鏡表面的半徑rB為30公厘(rB=3〇公厘）。 20 設計透鏡27GG的輪_使在非麵折射表面27〇 5處相 折射之第二射線2711變成具有較大發散角之第一射鱗 2709。如第29圖所示’具有位於最小值㈣。及最大值n 間的發散角Θ之第二射線2711係在非球形折射表面2觸 被折射且變成具有位於最小值§㈣。及最大值間的潑 散角δ之第-射線簡。因此’一如·3崎提供的關制 成立。或者’可使用較佳實_9的透鏡27叫降低一收舍 射線的收㈣。此較佳實_係為等切9中所·的等声

74 1299090 投射方案之一範例。 [數學式129] δ(θ) = €βαθ 等式129中，Cea係為比例常數，且以一任意實數提供。 5如果比例常數Cea為零(Cea=〇)，透鏡2700的輪廓係與較佳實 施例3a及3b圖所示的透鏡相同。易言之，如果δ(θ)=〇，則等 式127與等式40相同。如果比例常數一大於i，發散射線的 發散角增大。另一方面，如果比例常數Cea大於〇且小於i， 發散角減小。 1〇 第30圖顯示根據一較佳實施例9b之透鏡27〇〇的輪廓， 其中第二射線2711在非球形折射表面2705處（第一透鏡表 面)被折射之後變成具有較小發散角的第一射線27〇9。第二 射線2711的發散角Θ係介於從最小值θι=〇。至最大值02=3〇。 之間，而第一射線2709的發散角δ介於從最小值δι=0。至最大 I5值δ^ΙΟ。之間。在此例中，投射方案亦如μ的所提供， 但比例常數cea為l/3(cea=l/3)。 在一其中比例常數Cea小於零之案例中，第二射線2711 在非球形折射表面2705處折射之後再度收斂，但收斂射線 未收斂前往一點。因此，此案例具有極小實用價值。對於 2〇此用途，最好使用較佳實施例Id中的透鏡。 可更一般性地定義等式129中所提供的等角投射方 案。等式129中，第一射線的最小天頂角&及第二射線2711 的㊀1皆為零。在一其中兩最小天頂角一般不為零之案例 中，可如等式130提供等角投射方案。 75 1299090 [數學式130] V ； 等式130中，01、02、§1及32為任意實數。第二射線2711 的天頂角Θ介於01至02之間，第一射線27〇9的天頂角§介於δι 5 至δ2之間。 第31圖顯示根據一較佳實施例9c之一複雜透鏡3100及 射線軌跡。設計透鏡31〇〇以使一具有介於最小值01=〇。及最 大值θ2=25°間的天頂角θ之發散射線在折射後分離成分別 具有天頂角δ=0。、25。及50。之三個不同射線。投射方案如 10 等式131所提供。 [數學式131] 0%0°<θ<5° δ(θ) = \25%5° <θ <15° 50°,15° <^<25° 可採用複雜透鏡3100以藉由將一典型光源放置在複雜 透鏡的焦點處來獲得結構式發光效應。 15 現今，一LED(發光二極體)係為石灰光燈作為對於諸如 白熾燈泡等習知光源之一種更好的替代物。然而，—般而 言，一LED的輻射圖案未必總是發光的最適化條件。第& 圖為說明對於一給定光源之輻照與通量之間關係的_+ 圖。就像一白織燈泡的殼體，一 LED殼體具有一旋轉對矛^ 形狀。令吾人假設一LED位居一具有與LED的旋轉對稱車由 線3201重合之z軸之座標系的原點。隨後，在一具有半押 76 20 l299〇9〇

:中心:於原點之假設性球3202上的1 咖處測量輻 係為每單位面積的表面上之-人射射線的光學功 、 2、, 1且典型單位以瓦特/平方公分提供。如果LED 5體’、有疋轉對稱形狀，則輕照圖案亦將具有旋轉對稱 生。因此，球形表面迦上的一點32〇3處之輕照工可以如等 : 式132所提供的天頂角Θ之唯一函數提供。 : [數學式132] _ 想像覆蓋住—具有介於0及柯0間之天頂角的區域之 球形表面3202上之一細條的圓形帶。則帶具有一寬度rd0及 1〇 —圓周2；crsine。因此，帶上之輻照的總和係如 Μθχ2πΜηθχΙ(θ)所提供。因此，身為具有〇至〇間的天頂角 之球形表面3202的一部分上之所有輻照的總和之輻射功率 Ε(θ)係如等式133所提供。 [數學式133] 15 Ε{θ) = 2^r2 sinQydff

第33圖顯示如等式134所任意選擇之本發明的一示範 性輻照圖案。 [數學式134] 1{θ) = cos7 θ 20 第33圖中，標有一粗線的圖形部分係對應於具有θ=〇。 至θ=45。間的天頂角之一區域。如果使用一具有此高方向性 的光源來發光，則光源前側將過亮，而周邊區域將隨著天 頂角增加而漸進地變暗。因此，在光源前方需要使用一透 鏡精以重新分配光輸出’並均質化具有小於預定值的天頂 77 1299090 角之區域的輻照。一典型住宅環境中，如果球形表面3202 的半徑r設定至從裝設在一天花板上的一光源至一地板之 一距離，則相較於半徑r可忽略LED尺寸。因此，在透鏡處 被折射之射線的傳播方向未位於一條穿過原點的直線上之 5 事實根本不重要。因此，可藉由找出身為入射射線之天頂 角Θ的一函數之迫使位於所選擇角度範圍内的輻照成為均 勻所需要之折射射線的天頂角δ來解決此問題。 [數學式135] δ = δ{θ) 10 當透鏡放置在光源前方時，則具有0至δ間的天頂角之 球的一區域之輻射功率如等式136所提供。 [數學式136] 0{δ) = 2πτΙ^ήηδ}άδ} 等式136中，1〇為透鏡裝設後之經均質化輻照。如果並 15 無由於透鏡處的反射或吸收所導致之能量損失，根據能量 守恆定律，下列等式應成立。 [數學式137] β(δ) = Ε(θ) 更確切言之，如果來自光源之射線的角度範圍為從0 20 至θ2，而折射射線的對應角度範圍為從0至δ2，則總輻射功 率Ετ如等式138所提供。 [數學式138] σ(δ2) = Ετ=Ε(θ2) 從等式136及138，射線在穿過透鏡之後的輻照係如等 78 χ299〇9〇 式139所提供。 [數學式139] / = Ετ 0 2;^2(1-。〇8 52) 等式140 另一方面，迫使輻照成為均勻之折射角係如 5所提供。 [數學式140]

δ(β) = cos~ h 10 藉由等式140及127，可獲得可對準於一高度方向丨生“ 源前方以改變射線傳播方向藉以使一預定角範園 光 維持均勻之透鏡形狀。

第34圖顯示根據本發明的一較佳實施例9d之利片、 140及127所計算之透鏡3400的形狀及射線軌跡。對=== 透鏡折射前及折射後之射線的兩個最大值角度02及32係設 定至45。。在非球形折射表面34〇1上，具有較小天頂角之射 15線係折射成具有較大天頂角之射線。藉由此方式來重新分 佈射線’在預疋角度範圍内於球的區域上達成一均勻輻照。 較佳實施例9e中，提供一可對準於一具有如第35圖所 示輻照圖案的光源前方之透鏡。第35圖騎的韓照圖案4 如等式141所代表。 20 [數學式141] /(^) = sin8(2.5<9) 對於一具有等式141提供的輻照圖案之光源，在一具有 79 1299090 3〇°至4"的天頂角之區域中係為高㈣，但 側中係為低輻照。第36圖顯示配合一且 原的别 源使用之透鏡的形狀，及射職跡。案的光 3600，可以將具有相對較大天頂角之射=折射表面 有相對較健照之透鏡前側。 ~ 具 如果LED殼體具錢轉對稱性频，料然，透鏡亦 應具有旋轉對稱性形狀。並且，未必直+ 〜而要具有分離的透 10 鏡及LED。而是，LED殼體可形成為具有非球形折射表面 的形狀藉以獲得-均勻輻照圖案。這些較佳實施例中，可 考量用以獲得均勻輻照圖案之案例。然而，可考量具有不 同目標之其他案例。譬如’射線可更大或更寬散佈式聚焦， 或可對於特殊發光效應獲得其他輻照圖案。另一方面，對 於諸如LCD(液晶顯示器）面板所使用者等一維光源係應嘎 改變獲得輻射功率之公式。 15 第37圖為用以顯示一諸如攝影機等成像光學系統中對 於一給定投射方案之入射射線3709的天頂角3及折射射線 的天頂角Θ之間的概念圖。一攝影機係由一透鏡371〇及一其 中設有一影像感測器3714之體部3712所構成。透鏡3710可 在一理想攝影機模型中視為一針孔。攝影機的節點NP係為 2〇 針孔位置。假設自主體傳播至影像感測器之所有射線3711 穿過攝影機的節點NP。從節點NP至影像感測器之距離係近 似等於攝影機的標稱焦長f。此較佳實施例中，穿過節點NP 之前與之後的射線係分別稱為入射射線(3709)及折射射線 (3711)。如果折射射線及光軸3701之間的天頂角為Θ，則從 80 1299090 影像感測器3714中心亦即影像感測器3714與光軸間的交會 部至其中擷取折射射線之影像感測器上的一點之距離係如 等式142所提供。 [數學式142] 5 X = / tan Θ 一直線投射方案中’假設主體存在於一垂直於光轴 ’ 3701之平面3721上且其與節點NP分開一距離d。入射射線 ; 3709源自於平面3721上的一點3723且其與光軸具有一距離 B y，而入射射線3709及光軸之間的天頂角為δ。入射射線3709 10 的天頂角δ及距離y滿足等式143。 [數學式143]

y-d tmS 一直線投射方案中，tan5與tan0成正比，如等式144所 示。 15 [數學式144]

tan 0 = cr/ tan J ® 等式144中，crl為比例常數。成像光學系統中，如果入 射射線的天頂角δ介於最小值0至最大值δ2之間且折射射線 _ 的天頂角Θ介於最小值0至最大值θ2之間，則根據等式144， 20 等式145所提供的一關係應該成立。 [數學式145] tan θ2 = crl tan δ2 從等式145，比例常數crl被獨特地決定，因此在遵循直 線投射方案之光學系統中，入射射線的天頂角係以如等式 81 1299090 146提供的折射射線之天頂角_—函數所提供 [數學式146] ’、 藉由-用以實行直線投射方案之成像光學系統，平面 、之主體的衫像係忠實地再生於影像感測器Π4上。 錢系統的放大物可定義為影狀寸讀於域尺寸丫之 比值。從等式142及143，放大率Μ如等式147所提供。 [數學式147]

ftm0_= (p dXmxd 因為’ Crl為比例常數，放大率M只依據物距4及透鏡的 焦長f而定。因此，平面3721上之一主體可再生於影像感測 ^3714上，主體各部分具有相同尺度。此直線投射方案係

為大部份成像光學透鏡所遵循者、或至少試圖盡可能忠實 地實行者。 直線投射方案中，入射射線的天頂角δ無法超過9〇。。 然而’對於特定應用，入射射線的天頂角需要高於9〇。，因 此需要並非直線投射方案之投射方案。在容許入射射線具 有大於90。的天頂角δ之許多投射方案中，最佳的已知投射 方案為等距投射方案。等距投射方案中，假設一主體存在 2〇於一中心位居攝影機處之大球3731上，而入射射線的天頂 角δ及折射射線之天頂角Θ的切線具有等式148所提供之一 線性關係。 82 1299090 [數學式148]

tm0 = cedS #式148中，eed為另—比例常數。以類似於直線投射方 案的案例之方式考量兩天頂角範圍，入射射線的天頂角係 5如等式149所提供以折射射線的天頂角之一函數提供。 [數學式149] ^ 〇 、 根據等式149所示的關係，折射射線的天頂角θ無法大 於90。。然而，此極限不適用於入射射線的天頂角，因此入 10射射線3709所發源之球形表面3731上的一點3733甚至可位 居攝影機後方。優質等級的魚眼透鏡係相對較忠實地實行 等距才又射方案。貫際投射方案及等距投射方案之間的懸殊 差異係為魚眼透鏡的品質之主要指示之一。 類似於等距投射方案之另-投射方㈣為立體攝影投 15射方案且如等式150所提供。 [數學式150] tan^ = c tan — 2 ♦量人射及折射射線的天頂純圍，人騎線的天頂角 係以如等式151提供之折射射線的天頂角之一函數所提供。 20 [數學式151] 2 tan 6^2 δ{θ) = 2tan~ tan & 、 tan (9 83 1299090 在如同魚眼透鏡者之可允許超過180視域(FOV)之投射 方案中，立體攝影投射方案係提供對於人裸眼呈現最自然 之影像。譬如，如果以一配備有遵循立體攝影投影方案的 一魚眼透鏡之攝影機來擷取整個天空，一諸如太陽等圓形 5物體係呈現一圓而無關乎所擷取影像的位置。另一方面， 在遵循等距投射方案之影像中，一圓可依據所擷取影像的 位置而呈現一橢圓。 最後，長期以來已知另一投射方案，亦即等式152所提 供之正交投射方案。 10 [數學式152]

tan0 = cog sin J 類似於直線投射方案之案例來考量入射及折射射線的 天頂角範圍，入射射線的天頂角係以如等式153所示的折射 射線天頂角之一函數所提供。 15 [數學式153] sin tan Λ tan0 第38圖為比較前述各種不同投射方案之圖形。選擇比 例常數以使角當其具有小數值時彼此 重合，亦即對 於小的天頂角可滿足㈣關係。確切言之，比例常數… Ced及c°g皆為而^為2.〇(〜〜=、=ι.()而Csg，。另一 方面’第39圖係為對於相同範圍之〇。至3〇。間的折射射線的 天頂角Θ及〇。至6〇。間的人射射線的天頂w比較四個不同 投射方案之圖形’亦即直線投射方案⑹、等距投射方案 84 20 1299090 (ed)、立體攝影方案（sg)及正交投射方案（og)。這些各種不 同投射方案之中，最佳方案係為當FOV低於180。時為有利 之直線投射方案，及當FOV高於180。時為有利之等距投射 方案。第40及41圖顯示分別遵循直線投射方案及等距投射 方案之本發明較佳實施例奸及外中之透鏡及射線執跡。 較佳實施例10 在第27圖所示的較佳實施例9之雙凹非球形透鏡的案 例中’入射射線的最大天頂角無法高於9〇。。然而，最大發 散角的最大天頂角需高於90。藉以使一裝設在一天花板上 10的光學發送器/接收器與配置於房間中他處之其他裝置呈 現光學導通。如果最大發散角低於9〇。，則一死區存在於房 間中而光學信號無法抵達該處。 第42圖顯示根據當入射射線的天頂角超過卯。時可使 用之一較佳實施例10之一透鏡4200的輪廓。類似於較佳實 15施例9,非球形折射表面4025可用來將一收斂射線轉換成I 有較小收斂角的另-收斂射線或用來將一發散射線轉換成 具有較大發散角之另-發散射線。非球形折射表面4205係 沿重合於座標z軸之光軸4201呈現對稱。_具#折射率_ 媒體及一具有折射率化的媒體分別存在於非球形折射表面 2〇 4205左側及右側。折射率⑴大於n2。 如果假設一具有折射率⑴的媒體充填於非球形折射表 面4205及對於非球形表面左方的無窮遠之間的空間，則一 源自於光軸上的一點0之發散射線4211係在非球形折射表 面4205上的點P9處被折射且以一較大發散角作發散反 85 1299090 自左至右收斂之射線4209係在非球形折射表面42〇5 上的點P9處被折射然後以-較小收斂角傳播前往點〇。不用 說，可利用目前實施例來降低發散角或增加收斂角，就像 較佳實施例9〇 人非球形折射表面42〇5的輪廓可在一具有與光軸42〇1重 合的2軸且原點〇位居第二媒體内之長方形及極座標系中加 '榀述z軸自右方導往左方。非球形折射表面的輪廓 =以被定義為Χ-Ζ平面及非球形折射表面42〇5間之一系列 W交會部之-曲線上之一點ρ9的天頂角0及從原點〇至點5的 矩離加以描述。距離r係為天頂角θ的一函數，亦即Γ=Γ(Θ)。 長方形座標系中點！>9的座標（χ，ζ)係如耶)=咐)8_及 ’ ⑹coW以極座標系中之自變數0的函數提供。 非球形折射表面4205的輪廓亦可以非球形折射表面 15 4205上的點Ρ9(Θ，Γ)處之一切平面T的天頂角多加以定義。切 15平面Τ的天頂角和系為天頂角0的一函數，亦即羚汽…，且滿 足等式154 〇 彳 [數學式154] 遵循用以獲得較佳實施例丨至1〇1所示的非球形折射表 面的輪廓之類似微分程序，非球形折射表面42〇5的輪廓係 如等式155所提供。 ' [數學式155] r(^) = r(<9.)exp ^ sin tan 辦)cos 0 丨 c〇s^Kan^f)sin^ cW' 1299090 #式155中’ e，為假變數，不定積分的下界細令而 咖)為具有天頂角θ%之從原點至非球形折射表面娜上 的-點之對應距離。不定積分的下界$較佳係為零㈣)且 ㈣〇)係為從原點〇至非球形折射表面侧與光軸麵間 5的-交會部之距離。入射射線根據司乃耳折射定律在非球 形折射表面4205處被折射。第一射線侧及垂直於非球形 折射表面上的點Ρ9處的切平面τ之法向Ν間之角度為料， 因此入射角為木δ。另-方面，第二射線4211及法向Ν間之 角度為舳，因此折射角為舳。入射角及折射角根據司乃 1〇耳折射定律係滿足等式156。 [數學式156] ηι ^ιΚΦ-δ)^η2ύη{φ^θ) 利用三角函數關係，切平面τ的斜率0如等式157所提 供0 15 [數學式157] nx cos δ -n2 cos θ 利用等式157,如等式158提供等式155中被積函數之分 子。 [數學式158] siM-tan 和 nx cos δ — n2 cos Θ 另—方面，如等式159提供被積函數之分母。 87 20 1299090 [數學式159] C〇s0 + tan0sin0

一 ％ cos(5 - 0) - 行2 nx cos5-n2 oosG 因此，利用等式158及159，以等式160所示的較簡單形 式提供等式155。 [數學式160] r{0) = r(^.)exp 4式160係與等式127確切相同。透鏡的輪廓可依據折 射率〜及叱何者較大而如第27或42圖提供。上述ηι、化、θι、 ㊀2 θ:、r(0i)及δ(θ)係為根據較佳實施例ι〇用來設計非球带 透鏡4205之設計參數。用以蚊非球形折射表面伽的投 射方案之函數δ(θ)係可具有與較佳實施例9中的案例相同之 形式及種類。 15 —(5 - θ，） nx cos(S-01)-η2 第43圖顯示用以表達第42圖所示的非球形折射表面 4205㈣之另—立體圖。與第爛中非球形折射表面娜 相同之第43圖中非球形折射表面侧的形狀係可在一且有 與光軸侧重合的2轴且具有餅折射率〜的第二媒體中 的原點Ο之極座標系中予以表達。ζ轴係自右方主 非球形折射表面侧上之—財彪標可以吨的天工頂角 及:肋至點Ρα之她加以描述杨哪))。如果書出 的中心之假設性球(未圖示)且點匕位於 在點Μ亦即蛾〇處與球相切之平面。 〜、…Pa處之非球形折射表面相切之平面了以一角 20 1299090 <Μ(θ)相對。角《滿足等式 161 〇 [數學式161] tan 沴: dr

rdQ 利用變數分離的技術可自等式161獲得下列等式162 [數學式162] dr -\ΖΆφ{θ)άθ [數學式163] Κθ) = r(0) exp[一（ tan 0((9，)洲，] 等式155中，θ，為假變數，不定積分的下界為㈣i，而 (0為/、有天頂角0=01之從原點至非球形折射表面43〇5上 ^一點之對應距離。下界

從原點〇至非球形折射表面4305與光軸4301間的交會部之 距離。入射射線4309根據司乃耳折射定律在非球形折射表 面4305處被折射。第一射線侧的角度罐自一穿過原點〇 15及點Pa之直線測量。因此，入射角提供為Αα。另一方面， 第二射線觀及法向Ν間之角度為0，因此折射角為《。入 射角及折射角根據司乃耳折射定律係滿足等式164。 [數學式164] /¾ sin(彡- a) = «2 sin 彡 20 利用三角函數關係，切平面T的斜率¢5如等式165所提 1299090 [數學式165] nx cosS-n2 式 162。 [數學式166] 利用等式l65，如等式丨66所較簡單形式提供等

比較第42及43圖可注意到，角α等於δ—θ(亦即，α=：δ_θ)。 因此，等式166係與等式160確切相同。 第44圖顯示根據一較佳實施例1〇a之一非球形折射表 1〇面4205的輪靡。可假設第一媒體為BK7玻璃，位於非_ 折射表面4205右側之媒體為具有折射率丨之空氣(n2=1〇)， 而從原點Ο至折射表面之最長距離〇為5〇〇公厘。第44圖顯 不遵循等距投射方案之一非球形折射表面42〇5，其設計成 可使一入射發散射線在非球形折射表面42〇5處被折射且變 15成一具有較大發散角之發散射線。發散角Θ在折射前係介於 最小值Θ^Ο。至最大值02=45。之間，而發散角δ在折射後介於 最小值δρΟ。至最大值δ2=90。之間。反之，可利用非球形折 射表面4205來降低一收斂射線的收斂角。第45圖顯示非球 形折射表面4205的輪廓及射線執跡。 20較佳實施例11 可利用較佳實施例10中的非球形折射表面來改變收斂 或發散射線之FOV。然而，具有單一折射表面之透鏡係具 1299090 有受限的用途。因此根據較佳實施例11，一透鏡4600可構 形為具有一第一透鏡表面4607及一第二透鏡表面4605，其 中兩折射表面皆為非球形。如果第一透鏡表面4607為一簡 單球形表面，因為第二射線4611在第二透鏡表面4605處被 5 折射之後，第一射線4610不再是具有位於光軸4601上原點〇 的發散中心之發散射線，投射方案無法實施成為如原始所 構想。因此，即便第一透鏡表面4607構形為一具有位於點〇 的中心之球形表面，第一射線4610係在穿過第一透鏡表面 4607之同時被折射。為了不在第一透鏡表面4607處被折 10射，第一射線461〇應在第一射線461〇所穿過之點Q4處垂直 於第一透鏡表面4607。 如第46圖所示，根據本發明的一較佳實施例η之第一 透鏡表面4607係沿一與座標ζ軸重合之光軸460丨具有一對 稱輪摩° 一具有折射率ηι的媒體及具有折射率如的另一媒體 I5係分別存在於第一透鏡表面4607的右側及左側。事實上， 位於第一透鏡表面4607左側之媒體的折射率並不重要。自 光軸4601上的一點〇發散之第二射線4611係在第二透鏡表 面460 5之一點P B處被折射且變成以一較大發散角發散之第 一射線4610。第一射線在點q4處垂直於第一透鏡表面46〇7。 20 第一透鏡表面46〇7的輪廓可在一具有與光轴4601重合 的z軸及位居一點〇的原點之長方形及極座標系中加以描 述。z轴從右方導往左方。第二透鏡表面46〇5的輪廓係與較 佳貫施例10的非球形折射表面4205及4305者相同，且由等 式160描述。在第二透鏡表面46〇5上的點Pb處被折射之第一 91 1299090 射線4609係具有一天頂角δ=δ(θ)，而從點pB至第一透鏡表面 4607上的一點Q4之距離係為L=L(e)。點&的長方形座標係 提供為Q4=Q4(X，Z) ’其中X為自光軸測量之垂直距離而z為 沿光軸測量之高度。從第46圖所示的幾何關係，可獲得等 5 式167及168所提供的下列關係。 [數學式167] X (Θ) = r{0) sin θ + L(0) sin δ{θ) [數學式168] Ζ(θ) = r(0) cos θ + L(0) cos δ{θ) 10 接近點Q4處，x方向的增量dX及Z方向的增量dZ係滿足 等式169所示的一關係。 [數學式169] tmd =

dX 可藉由將等式167相對於Θ微分來獲得下列等式170。 15 [數學式170]

dX 另一方面 等式171。 [數學式171]

Jr sin e + rcosede + dLsinS + L cos δάδ 可藉由將等式168相對於Θ微分來獲得下列

dZ dr cos ^ - r sin θάθ + dLcosS -LsinSdS 利用等式170及171，可替代性地如等式172提供等式 92 fQ\ 20 169 ° 1299090 [數學式172] JL(cos δ + tan δ sin δ) = -(cos θ + tan ^ sin &)dr + r(sin Θ - tan δ cos θ)άθ 可從三角函數關係獲得下列等式173。 [數學式173] cos δ + tan δ sin δ =- cos^ 考量等式173，可藉由將等式172兩側乘以coW及除以 (1Θ來獲得下列等式174。 [數學式174] ——=-cos(S-ff)--r sin(^ - θ) άθ άθ 10 藉由正式積分等式174來獲得下列等式175。 [數學式175] m = Ld【 等式175中，θ’為假變數。不定積分的下界為0=$，而 L(e〇為具有天頂角θ=θί之從第二透鏡表面4605上的一點至 15 第一透鏡表面4607上的一對應點之對應距離。下界θ!較佳為 零(0尸〇)，L〇=L(0)係為沿光軸測量之從第一透鏡表面46()7 至第二透鏡表面4605之距離。第二透鏡表面4605的輪廊如 等式176所提供。 [數學式176] 20 r{9) = r(^.)exp cos(S-0')-n2 93 !299〇9〇 因此，可藉由將等式176相對於θ微分來獲得下列等式 177 〇 [數學式177] dr ηνήη{δ^θ) άθ ftx cos{S — 0) — n2 利用等式175及177，可獲得下列等式178。 [數學式178]

增=增）+ θ n2r(^)sin(S-^) ^ cos(^ — /9’）一 j^2 d& 第47圖顯示根據一較佳實施例na之一透鏡4600的輪 廓。第47圖所示的第二透鏡表面4605之輪廓係與根據一較 10 佳實施例10之第44圖所示的非球形折射表面42〇5者相同， 而相距第一透鏡表面4607及第二透鏡表面4605之距離L〇係 設定為10公厘（L〇=10公厘）。另一方面，第48圖顯示透鏡4600 的輪廓及射線執跡。從圖中可看出，所有第一射線皆垂直 於苐一透鏡表面4607。 15 較佳實施例12 根據較佳實施例11之透鏡4600的第一透鏡表面46〇7不 /、有任何折射焦度且具有一不改變在第二透鏡表面4605被 折射的射線路控之非球形折射表面的形狀。然而，如果第 及第二透鏡表面4607及4605可共用所需要的折射焦度， 可獲得更理想的透鏡。第49圖顯示根據一較佳實施例12之 透兄49⑻，其中苐一及第二透鏡表面4907及4905皆為具 有折射焦度之非球形表面。 94 1299090 第一及第二透鏡表面4907及4905係沿一與座標系z軸 重合之光軸4901呈現對稱。一具有折射率如的媒體及一具 有折射率ηι的媒體係分別存在於第一透鏡表面4907的左側 及右侧。自光軸4901上的一點〇發散之第三射線4911係在第 5二非球形折射表面4905上的一點pc處被折射之後變成以一 較大發散角發散之第二射線491〇。第二射線4910係在第一 透鏡表面4907上的一點q5處再度被折射且變成以一更大發 散角發散之第一射線4909。 第一透鏡表面4907的輪廓可在具有與光軸4901重合的 10 z軸且具有位於點〇的原點之一長方形及一極座標系中加以 描述。z軸自右方導往左方。第二透鏡表面49〇5的輪廓係與 較佳實施例10的非球形折射表面4205及4305者相同，且由 等式160描述。在第二透鏡表面49〇5上的一點匕處被折射之 第二射線4610具有一天頂角δ=δ(θ)，而從第二透鏡表面4905 15上的點匕至第一透鏡表面4907上的點Q5之距離L係為 L=L(e)。點qs的長方形座標係如q5=q5(x，z)所提供，其中χ 為相距光軸之一垂直距離而Ζ為沿光軸測量之高度。從第49 圖所示的幾何關係，可獲得下列等式179及180。 [數學式179] 20 Χ{θ) = r{0) sin θ + L{0) sin δ{θ) [數學式180] Ζ{θ) = γ(Θ) cos θ + L(0) cos δ{θ) 接近點Q5處，X方向的增量dX及Ζ方向的增量dZ係滿足 等式181所示的一關係。 95 1299090 [數學式181] tan^:

dZ

dX 可藉由將等式179相對於Θ微分來獲得下列等式182。 [數學式182]

5 dX = dr ήηθ r οο^θάθ άΐύηδ Lco^SdS 另一方面，可藉由將等式180相對於Θ微分來獲得下列 等式183。 [數學式183] dZ = dr cos θ -τήηθάθ + dLcosS - Ls\nSd5 10 利用等式182及183，可將等式181化簡至等式184所提 供的一較簡單形式。 [數學式184] — + Α(Θ)Σ(Θ) = Β(Θ)

UU

等式184中，Α(θ)及Β(θ)係為如等式185及186所定義之 15 函數。 [數學式185] Α{θ) r sind -Χ,^ηψ ζο^δλάδ ^cos^ +tan^sin^) άθ [數學式186] Β(θ)三 ^sin^~ tani^cos^^ -l- r - <cos5 +tanysin^ ^cos^ +tan^sin^^j dr ^cos^ +tan^sin^) άθ 96 1299090 藉由將一假設性函數F(e)d0乘至等式184兩側，可如等 式187所示獲得一關係。 [數學式187] F(0)dL + F{0)A{6)L{e)d0 = Γ(θ)Β(θ)άθ 5 使等式187右側成為恰當微分之條件係如等式188所提 供。 [數學式188] S—) 因此，假設性函數F(0)係如等式189所示之Α(θ)的一函 10 數所提供。 [數學式189] F{6) = expj^ ^ Α{&)άθ[ 在等式184中利用等式189，如等式190提供函數L(e)。 [數學式190] 15 m F{0) uZ⑹ + J>(0，輝，)洲， 根據較佳實施例12之第二非球形折射表面4905的輪廓 係如等式191所提供。 [數學式191] r{6) = r(^.)exp

-ηλ sin(J -ff) A COS((J - θ’）一 巧 d& 20 可藉由將等式191相對於Θ微分來獲得下列等式192。 97 1299090 [數學式192] dr __ nx sin(S - θ) άθ % cos((J — θ) — η: 因此，函數Β(θ)如等式193所提供 [數學式193] Β{θ) = (sin Θ - tan ψ cos θ) ηλ sin(^ - θ) ηχ cos(^ -θ)-η: -(cos θ + tan ψ sin θ) cos ^ + tan ^ sin δ 藉由在第一透鏡表面4907處應用司乃耳折射定 律，可獲得下列等式194。 [數學式194] n0 sin(/? -ψ) = ηχ sin(^ - ψ) 10 藉由重新排列等式194，可獲得下列等式195。 [數學式195] tan^ nx sin S -n0 sin β nx cos δ-nQ cos β 類似地，藉由在第二透鏡表面4905處應用司乃耳折射 定律，可獲得下列等式196。 15 [數學式196] nx sin(^ - δ) = n2 sin(^ - Θ) 從等式196，可獲得下列關係。 [數學式197] tan#: nx sin δ -n2 sin Θ ηλ cos δ -n2 cos Θ 20 利用等式196，可獲得下列等式198及199。 98 1299090 [數學式198] sin J-tanycosJ = —n〇S^n^~~—— nx cos δ-n0 cos β [數學式199] cos^ +tan^sin^ = nx - n0 cos(y5 - δ) nx cosS-n0 cos β

5 因此，函數Α(θ)如等式200所提供。 [數學式200] Α(θ) = - η0 $ιη(β - δ) dS ηλ -η0 cos(^-S) άθ 類似地，利用等式195，可獲得下列等式201及202。 [數學式201]10 sin^tanvhUiM—O + n#， cos S -n0 cos β

[數學式202] cos^tan^sin^ ^°SH”0c〇s ㈣) nxcosd-n0 cosy^ 因此，獲得下列等式。 [數學式203] (sinΘ-Χ,^ηψ cosθ) ηλ sin(^ - θ) (cos θ + tany sin θ) ΐΐ^ cos(^ — — ΐ%2 sin(户一5) + /¾¾ sin(d — θ) + η2/ί。sin(0 — /?) COS(5 - 0) - /¾ }(% COS 5 - η〇 COS y5) 藉由等式203，函數Β(θ)如等式204所提供。 99 15 1299090 [數學式204] 編、一一 sin(户- ¥2 sin(5 -内 + 沒為 sin(0 一灼 {nx c〇s{5-θ)-η2}{n〇 c〇s(y0-δ)-^} 因此，利用等式200、189及204，可獲得等式190所提 供之函數L(0)。藉由函數L(e)及等式π9及iso，可獲得根據 本發明的較佳實施例12之第一透鏡表面49〇7的輪靡。 當較佳實施例12的透鏡使用於一光學成像系统中$ 一投射方案亦為重要。投影方案係根據一第一射 %緣49〇9的 如 天頂角β及一第三射線4911的天頂角θ間之關係而決定 果假設第一至第三射線的所有最小天頂角為零， !〇 射方案係如等式205至209所提供。 首先，等角投射方案中，天頂角β及Θ之間的關 式205所提供。 [數學式205] 則 係如等 15 直線投射方案中，天頂角(3及0之間的關係如等式 提供。 [數學式206] 所 β{θ) = tan" tan々2 tan

tmO 等距投射方案中，天頂角0及0之間的關係如等式2的 20 提供。 100 !299〇9〇 [數學式207] (β λ β (0) =, tm0

tan J 立體攝影投射中，天頂角β及Θ之間的關係如等式208所 提供。 5 [數學式208] tan

A 辦）=2 tan- tan θ2 -tan0 正交投射中，天頂角β及Θ之間的關係如等式209所提供。 [數學式2〇9] β(θ) ⑭Atan0 tan 6^2 10 15 另方面’第二射線4910的天頂角δ可如等式210所示 的任意函數所提供。 [數學式21〇] δ = δ{θ) 、如果使用一任意函數，透鏡輪廟將遠遜於所需 者為了使兩折射表面具有可相比較的折射焦度，δ(θ) 可如等式211所不採行峨剛間之一中間值。 [數學式211] δ^±Μ1 2 -替代性枝係如等式2⑽示將料焦度不相 等地 101 ^299〇9q 分佈在第一及第二折射表面4907及4905之間。 [數學式212] δ{θ) = θ + ο{β{θ)^θ) 等式212中，c為0與1間之一任意實數。 5 第50圖顯示根據本發明的較佳實施例12a之一透鏡 4900的輪廓及射線執跡。假設透鏡由具有折射率ηβ々ΒΚ7 玻璃製造而位於透鏡物側及像側處之媒體為空氣，亦即 η〇=η2=ι·〇。因此，透鏡的折射率〜在卜山㈠以微米的He_Ne 雷射波長為近似1.51508920。並且，假設透鏡的背焦長為 1〇 50·0公厘，第一射線的最大角β2為90°(β2=90。），而第三射線 的最大角Θ為30°(θ2=30°)。透鏡4900係實行等距投射方案， 而函數δ(θ)如等式211所提供。 可注意到，第50圖所示的透鏡之第一非球形折射表面 15的輪廓並不適合射出壓縮模製，亦即一種廣泛用來製造非 求形透鏡之技術。第51圖顯示根據本發明的較佳實施例12b 之-透鏡5100的輪專及射線執跡，其中透鏡51〇〇具有與第 =圖所示的透鏡相同之F〇v及相同的投射方案（亦即等距 杈射方案），但第一透鏡表面（亦即第二非球形折射表面）具 1比第二透鏡表面更大的折射焦度。事實上，第μ圖中的 '2鏡测輪摩由等式212所描述，而比例常數c為ο.3。另- ^ ’ ^52圖顯示根據本發明的較佳實施例12e之-用以實 方安:射方案之透鏡5200及相關聯的射線執跡。該投射 方案亦由等式212決定，而比例常數_.3。 本發明的上述較佳實施例係基於射線為可見射線之假 102 1299090 設而描述。铁而 、〜…、而，可對於具有任意波長的射線設計滿足u ^ 、八律之透鏡輪廓，只要使用對應該設計波長之〆 可見=率即可。易言之，不論是諸如公厘波長、微波及 '卜線、运紅外線及軟X射線等波長，本發明的遂 5鏡輪廓及光學_皆可以上述相，式來描述。為此，本 發明不限於可見範圍内之射線。 ^本毛明’可迅速獲得一非球形折射表面之確切輪 靡。並且’可從本發明之具有非球形折射表面之光學組件 10及透鏡獲得各種不同效應。 々本發明可以其他特定形式實施而不脫離其精神與重要 特徵。所描述的實施例在所有方面皆視為示範性而非限制 !·生本發明的抵圍因此係由申請專利範圍而非前文描述所 界定。位於申請專利範圍的範傳及均等意義内之所有變化 15皆位於本發明的範圍内。 【圖式簡單說明】 第1圖為顯不習知球形及非球形折射表面的輪廓之示 意圖； 第2圖為顯示根據本發明一較佳實施例丨之一具有一非 20球形折射表面之透鏡的輪廓之示意圖； 第3圖顯示根據本發明的一較佳實施例la之一非球形 折射表面的輪廓及射線軌跡； 第4圖顯示根據本發明的一較佳實施例lb之一旋轉對 稱非球形折射透鏡； 103 1299090 、第5圖顯示根據本發明的一較佳實施例1c之一圓桎非 球形透鏡； 第6圖顯示根據本發明的一較佳實施例ld之一 球形透鏡； ^ 5 10 15 20 第7圖為拫據本發明的一較佳實施例2之一具有兩 形折射表面的透鏡之示意圖； ' 第8圖為根據本發明的一較佳實施例2a之非球形折 表面； 、 第9圖顯示第8圖所示的透鏡之射線軌跡； 第10圖為顯示根據本發明的一較佳實施例3之一 形折射表面的示意圖； 第11圖顯示根據本發明的一較佳實施例3a之一非球形 折射表面的輪廓及射線軌跡； 第12圖顯示根據本發明的一較佳實施例3b之一透鏡的 輪廓； 第13圖顯示根據本發明的一較佳實施例4之一非球形 折射表面的示意圖； 弟14圖顯示根據本發明的一較佳實施例4a之一非球形 折射表面的輪廓及射線執跡； 第15圖顯示根據本發明的一較佳實施例4 b之一透鏡的 輪廓； 第16圖顯示使用第15圖所示的透鏡將一經準直束轉換 成—發散射線之一範例； 第17圖為顯示根據本發明的一較佳實施例4之一複合 104 1299090 透鏡的形狀之示意圖； ▲第18圖顯示根據本發明的一較佳實施例5a之一用以改 又束尺寸之轉換器的一範例； ^第19圖為顯示根據本發明的一較佳實施例6之一非球 5形折射表面的輪廓之示意圖； 第20圖顯示根據本發明的一較佳實施例6a之一非球形 折射表_財卩及射線執跡； 第21圖顯示較佳實施例1及1 a至1 d之一包括非球形折 射表面之平凸透鏡的形狀並示範此透鏡可用來將一經準直 10束聚焦成單一小區； 第22圖示範隨著第21圖所示的透鏡之左及右側彼此交 換時之射線軌跡的一變異； 第23圖為顯示根據本發明的一較佳實施例7之一具有 一非球形折射表面之透鏡的輪紅*意®; 15 第24圖顯示根據本發明的一較佳實施例7a之〆透鏡的 輪廊及射線轨跡； 第25圖為顯示根據本發明的一較佳實施例8之一具有 一非球形折射表面之透鏡的示意圖； 苐26圖顯示根據本發明的一較佳實施例ga之〆透鏡的 20輪廓及射線執跡； 第27圖為顯示根據本發明的一較佳實施例9之一用以 改變視域(FOV)之轉換器的一折射表面之輪廓的示意圖； 第28圖顯示根據本發明的一較佳實施例9a之〆用以改 變FOV之轉換器； 105 1299090 第29圖為顯示根據本發明的一較佳實施例9a之一用以 改變FOV之轉換器的形狀及射線執跡； 第30圖為顯示根據本發明的一較佳實施例9b之一用以 改變FOV之轉換器的輪廓及射線執跡； 5 第31圖為顯示根據本發明的一較佳實施例9c之一透鏡 的輪廓及射線執跡； 第32圖為顯示一光源之輻照（irradiance)與通量之間的 關係之不意圖， 第33圖顯示一光源的輻照圖案之一範例； 10 第34圖顯示根據本發明的一較佳實施例9d之一透鏡的 輪廓及射線軌跡； 第35圖顯示另一示範性光源之輻照圖案； 第36圖顯示根據本發明的一較佳實施例8e之一透鏡的 輪廓及射線執跡； I5 第37圖為顯示依據一諸如攝影機等光學成像系統的投 射方案而定之入射射線的天頂角δ與折射射線的天頂角θ之 間關係的示意圖； 第38圖為比較適合光學成像系統之各種不同投射方案 之圖形； 20 第39圖為顯示當入射及折射射線的天頂角範圍對於四 個代表性投射方案設定為相同時身為折射射線之天頂角的 函數之入射射線的天頂角之一示範性圖形； 第40圖顯示根據本發明的一較佳實施例9f之用以實疒 直線投射方案之一透鏡的輪廓及射線執跡； 106 199090 等距=i圖顯不根據本發明的一較佳實施例9g之用以實行 2 案之一透鏡的輪廓及射線執跡； 4 2圖為顯示根據本發明的一較佳實施例丨〇之一 形折，面的示意圖； # 3圖為顯示根據本發明的一較佳實施例1〇之非球 折射錢； 第44圖龜-

10

β頊示顯示根據本發明的一較佳實施例1〇a之一 非球形折射表面的輪廓；、 第5圖顯不根據本發明的一較佳實施例10a之一非球 —輪軌射線執跡； 第4 6圖為顯示根據本發明的一較佳實施例11之一透鏡 的輪廓之示意圖； 第47圖顯不根據本發明的一較佳實施例11a之一透鏡 的輪康； 第48圖顯示根據本發明的一較佳實施例Ua之一透鏡 的輪廓及射線軌跡； 第49圖為顯示根據本發明的一較佳實施例12之一透鏡 的輪廓之示意圖； 第50圖顯示根據本發明的一較佳實施例12a之一透鏡 20 的輪廓及射線執跡； 第51圖顯示根據本發明的一較佳實施例i2b之一透鏡 的輪扉及射線執跡； 第52圖顯示根據本發明的一較佳實施例12c之一透鏡 的輪廊及射線軌跡。 107 1299090 【主要元件符號說明 105…折射表面 107…旋轉對稱非球形折射表面 200···無球形像差旋轉對稱非 球形透鏡 201，1001，1301，1701，1901，2301， 2701，3701，4201，4301，4601，4901 ...光轴 203…p轴 205,2505·.·非球形折射表面(第二 透鏡表面） 207,407,1307,1507,4607,4907… 第一透鏡表面 209,2509,3709,4309...入射射線 211，1710,2310···折射射線 219···非球形透鏡橫剖面 400,1300,1900,2300,2500,2700 …非球形透鏡 405,705,707，1205，1305，1505， 1705N，1705P，1905,4025,4305 …非球形折射表面 500···圓柱非球形透鏡 600…環面非球形透鏡 605…環面非球形表面 607···圓柱形表面 700···複合透鏡 703···光學扁平部 711，712···平面透鏡表面 1000···無球形像差非球形透鏡 1005，1905,2305,2705.“非球形折 射表面(第一透鏡表面） 1007…第二透鏡表面 1009,2709,4609,4610,4909 …第一射線 1101，2711，4610,4611.第二射線 1200…正彎液面透鏡 1207···球形第二透鏡表面 1309，1909···收斂射線 1311,1911…平行射線 1500···負彎液面透鏡 1700...合透鏡 1707,3202,3731···球形表面 1707N···第三透鏡表面 1707P…第二透鏡表面 1907,2307,2707,4605···第二透鏡 表面 1909,2309,4209···射線 108 1299090

2307···弟一透鏡表面(平面表面) 2311···第二折射射線 2507···平面第一透鏡表面 2510…第一折射射線 2511···第二折射射線 3100…複雜透鏡 3201 ·· .LED的旋轉對稱軸線 3202···假設性球 3203,3723,3733，P，PhP25P35P45P5, P6，P7，P8，P9，Pa，Pb，Pc，Qi，Q2，Q3，Q4, Q5…S點 3710,4200,4600,4900,5100,520 0...透鏡 3712…體部 3714···影像感測器 3721…平面 4211···發散射線 4905…第二非球形折射表面，第 一透鏡表面 4911···第三射線 c…頂點曲率 D···非球形折射透鏡的直徑 d…物距 e···光學扁平部厚度 Ετ...總輻射功率 f...透鏡的焦長 F2· · ·非球形透鏡的次級焦點 fB...背焦長 1〇···透鏡裝設後之經均質化輻照 k··.圓錐常數 L(0)·.·透鏡中心厚度 L…平行於光軸201的射線 L2…自點〇發散的射線 N···法向 …折射率 ΝΡ···節點 r球形表面3202的半徑 r〇…從原點〇至非球形折射表面 205與光軸201之間交會部之距離 R(e)···從原點至非球形折射表 面1705P上的一任意點之距離 ΚΘ)…自原點至非球形折射表 面1705N上的一任意點之距離 _)···具有天頂角之從原點 〇至非球形折射表面205上的 一點之對應距離，第一焦點〇至 非球形折射表面（第一透鏡表 面)的距離 109 1299090 RB…第二透鏡表面1707P的半徑 ZF···第二曲線的Z座標 rB···第二透鏡表面1007的半徑 (X···角 rF···第一透鏡表面1507的半徑， β…第一射線4909的天頂角 第三透鏡表面1707N的半徑 δ.··入射射線的天頂角 T...切平面 Θ...折射射線之天頂角 T...透鏡的中心厚度 θ’...假變數 y...距離 θ’2…最大入射角 z...南度 Θ—最小值天頂角 Z’...高度 θ2...最大值天頂角 Z〇...最小距離 θί最小入射角 Zi...前頂點焦長 Ρ，Ρ(Θ’2)…轴向半徑 1...從物體至透鏡的前頂點之 距離 彡…切平面Τ的仰角 110

Claims (1)

1299090 十、申請專利範圍： 1. 一種光學組件，包含： 至少一第一非球形折射表面，其中 該第一非球形折射表面係構成一具有一折射率IM 5 的第一媒體及一具有一折射率n2的第二媒體間之一邊 界的一部分， 一第一曲線係被定義為一長方形座標系的x-z平面 及該第一非球形折射表面之間的一系列交會部，其中 該長方形座標系的原點位居該第二媒體内，而該長 10 方形座標系的z軸穿過原點及該第一非球形表面上的一 點， 該第一曲線沿該z軸對稱， 具有一天頂角Θ之從該原點至該第一曲線上的一第 一點之距離係為r(0)， 15 該x-z平面中之第一點的長方形座標（x，z)及極座標 (θ，ι〇係滿足等式1及2所提供之關係， (等式1) x(^) = r(^)sin^ (等式2) 2Q ζ(θ) = γ(Θ) cos θ 該距離γ(Θ)如等式3所提供， (等式3) r{9) = r(^.)exp -nx sin(^-θ') % cos(5 - 0’）— n2 d& 111 1299090 該01為該第一曲線上的一第二點之一天頂角， 該r(e〇為從該原點至該第二點之一對應距離， 該δ為該第一點的天頂角Θ之一任意函數(δ=δ(θ))， 而該天頂角Θ介於一不小於零的最小值Θ i到一小於π/2的 5 最大值θ2之間。 2. 如申請專利範圍第1項之光學組件，其中該第一媒體的 折射率η!大於該第二媒體的折射率η 2 (n i > η 2)， 該δ為零(δ=0)， 該光學組件進一步包含一第二透鏡表面， 10 一第二曲線被定義為該Χ-Ζ平面及該第二透鏡表面 之間的一系列交會部， 該第二曲線的ζ座標Z F不小於該第一曲線上之第一 點的最大z座標(ZF2max(z(0)))，及 該第一非球形折射表面及該第二透鏡表面之間的 15 空間係充填有該具有折射率〜之第一媒體。 3. 如申請專利範圍第2項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二透鏡表面沿該ζ軸呈現旋轉對稱。 4. 如申請專利範圍第2項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二透鏡表面具有沿著該長方形座標系 2〇 的y軸之平移對稱性。 5. 如申請專利範圍第2項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二透鏡表面沿該長方形座標系的X軸呈 現旋轉對稱。 6. 如申請專利範圍第1項之光學組件，其中該第一媒體的 112 1299090 折射率⑴小於該第二媒體的折射率η2 (ηι<η2)， 該δ為零(δ=〇)， 該光學組件進一步包含一第二透鏡表面， 一被定義為該χ·ζ平面及該第二透鏡表面之間的一 系列交會部之第二曲線係為一沿該原點具有一半徑q之 圓弧， 该圓孤的半徑rB不大於該最短距離咐) (rBSmin(r(0)))，及 该第一非球形折射表面及該第二透鏡表面之間的 空間係充填有該具有折射率n2之第二媒體。 7. 如申請專利範圍第6項之光學、組件，其中該第—非球形 折射表面及該第二透鏡表面沿該z軸呈現旋轉對稱。 8. 如中請專利範圍第6項之光學組件，其中該第—非球形 折射表面及該第二透鏡表面具有沿著該長方形座標系 的y軸之平移對稱性。 ” 9. 如申請專利範圍第6項之光學組件，其中該第—非球形 折射表面及該第二透鏡表面沿該長方形座標系的χ轴呈 現旋轉對稱。 10. 如申請專利範圍第i項之光學組件，其中該㈣零而該 δ(θ)具有等式4所提供之一關係， (等式4) δ{θ) = tan 1 —n^2 tan θ tan^2 其中該δ:係為對應於該〇2之§的一數值(δ2=δ(θ2))，及 113 1299090 該δ2小於π/2 〇 11.如申請專利範圍第1項之光學組件，其中該01為零，該δ(θ) 具有等式5所提供之一關係， (等式5) f s λ tm0 Ktm02 j 及該δ2係為對應於該θ2之δ的一數值(δ2=δ(θ2))。

12.如申請專利範圍第1項之光學組件，其中該㊀!為零，該δ(θ) 具有等式6所提供之一關係， (等式6) 10 δ(θ) = 2tm~l tan 2 tan tan0 及該δ2係為對應於該θ2之δ的一數值(δ2=δ(θ2))。 13. 如申請專利範圍第1項之光學組件，其中該01為零，該δ(θ) 具有等式7所提供之一關係， (等式7) (.只 \ 15 δ{θ) = sin-1 .......- tan Θ ltan^2 J 及該δ〗係為對應於該Θ2之δ的一數值(δ2=δ(θ2))。 14. 如申請專利範圍第1項之光學組件，其中該第一媒體的 折射率ΙΜ小於該第二媒體的折射率η2 (ηγηΟ， 該光學組件進一步包含一第二透鏡表面， 20 一被定義為該x-z平面及該第二透鏡表面之間的一 114 1299090 系列交會部之第二曲線係為一沿該原點具有一半徑rB之 圓弧， . 該圓弧的半徑rB不大於對於該第一曲線上的第一 點之最短距離(rBSmin(r(0)))及 5 該第一非球形折射表面及該第二透鏡表面之間的 空間係充填有該具有折射率n2之第二媒體。 15. 如申請專利範圍第14項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二透鏡表面沿該z軸呈現旋轉對稱。 16. 如申請專利範圍第14項之光學組件，其中該第一非球形 10 折射表面及該第二透鏡表面具有沿著該長方形座標系 的y軸之平移對稱性。 17. 如申請專利範圍第14項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二透鏡表面沿該長方形座標系的X軸呈 現旋轉對稱。 15 18. —種光學組件，包含： 至少一第一非球形折射表面，其中 該第一非球形折射表面係構成一具有一折射率m 的第一媒體及一具有一折射率n2的第二媒體間之一邊 界的一部分， 20 一第一曲線係被定義為一長方形座標系的x-z平面 及該第一非球形折射表面之間的一系列交會部，其中 該長方形座標系的原點位居該第二媒體内，而該長 方形座標系的z軸穿過原點及該第一非球形表面上的一 點，

115 1299090 該第一曲線沿該z軸對稱， 具.有一天頂角Θ之從該原點至該第一曲線上的一第 一點之一距離係為r(0)， 該x-z平面中之第一點的長方形座標(x，z)及極座標 (e，r)係滿足等式8及9所提供之關係， (等式8) χ(θ) = r{9) sin θ (等式9)

ζ(θ) = γ(Θ) cos θ 10 該距離r(e)如下列等式10所提供， (等式10) r{6) = r(^.)exp 1 n2 sin θ} n2 cos θ}-ηλ -d& 其中該Θ!為該第一曲線上的一第二點之天頂角， 該r(0i)為從該原點至該第二點之對應距離，及 15 該天頂角Θ介於一不小於零的最小值㊀斤〗一小於π/2 的最大值θ2之間。 19.如申請專利範圍第18項之光學組件，其中該第一媒體的 折射率η!大於該第二媒體的折射率η2 (ήβη])， 該光學組件進一步包含一第二透鏡表面， 20 一被定義為該x-z平面及該第二透鏡表面之間的一 系列交會部之第二曲線係為一沿該原點具有一半徑rF之 圓弧， 該圓弧的半徑rF不小於該第一曲線上之第一點的最 116 1299090 長距離(rF2max(r(0)))，及 該第一非球形浙射表面及該第二透鏡表面之間的 空間係充填有該具有折射率A之第一媒體。 20. 如申請專利範圍第19項之光學組件，其中該第一非球形 5 折射表面及該第二透鏡表面沿該z軸呈現旋轉對稱。 21. 如申請專利範圍第19項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二透鏡表面具有沿著該長方形座標系 的y軸之平移對稱性。 22. 如申請專利範圍第19項之光學組件，其中該第一非球形 10 折射表面及該第二透鏡表面沿該長方形座標系的X軸呈 現旋轉對稱。 23. 如申請專利範圍第18項之光學組件，其中該第一媒體的 折射率&小於該第二媒體的折射率η2 (ηγη〗）， 該光學組件進一步包含一第二透鏡表面， 15 一被定義為該x_z平面及該第二透鏡表面之間的一 系列交會部之第二曲線係為一垂直於該z軸之直線分 段， 該第二曲線的z座標zB不大於該第一曲線上的第一 點之最小z座標(zBSmin(z(0)))，及 20 該第一非球形折射表面及該第二透鏡表面之間的 空間係充填有該具有折射率n2之第二媒體。 24. 如申請專利範圍第23項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二透鏡表面沿該z軸呈現旋轉對稱。 2 5.如申請專利範圍第2 3項之光學組件，其中該第一非球形

117 1299090 折射表面及該第二透鏡表面具有沿著該長方形座標系 的y軸之平移對稱性。 26. 如申請專利範圍第23項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二透鏡表面沿該長方形座標系的X軸呈 5 現旋轉對稱。 27. —種光學組件，包含： 一第一透鏡表面； 一第二透鏡表面； 一第三透鏡表面；及 10 —第四透鏡表面，其中 該第四透鏡表面係構成一具有一折射率114的第四 媒體及一具有一折射率n5的第五媒體間之一邊界的一 部分， 該第四媒體的折射率n4大於該第五媒體的折射率 15 n5 (n4>n5) 5 一第四曲線係被定義為一長方形座標系的x-z平面 及該第四透鏡表面之間的一系列交會部，其中 該長方形座標系的一原點位居該第五媒體内，而該 長方形座標系的z軸穿過該原點及該第四透鏡表面上的 20 一點， 該第四曲線沿該z軸對稱， 具有一天頂角Θ之從該原點至該第四曲線上的一第 一點之距離係為r(e)， 該x-z平面中之第一點的長方形座標（x，z)及極座標 118 1299090

10

(θ，ι〇係滿足等式11及12所提供之關係， .(等式11) x{9) = r{6) sin θ (等式12) ζ(θ) = r{6) cos θ 該距離r(e)係由如下列等式13所提供， (等式13) Γ(θ) = Γ(θί)οχρ\ f-~^5 S~ d& 其中該Θ!為該第一曲線上的一第二點之天頂角， 該Γ(θ〇為從該原點至該第二點之一對應距離， 該天頂角Θ介於一不小於零的最小值θ#〗一小於π/2 的最大值θ2之間， 該第一透鏡表面係構成一具有一折射率η!的第一 媒體及一具有一折射率η2的第二媒體間之一邊界的一 部分， 該第一媒體的折射率仏小於該第二媒體的折射率η2 (ηι<η2)， 一被定義為該x-z平面及該第一透鏡表面之間之一 系列交會部之第一曲線係沿該z軸呈現對稱， 具有該天頂角Θ之從該原點至該第一曲線上的一第 三點之一距離係為R(e)， 該x-z平面中之第三點的長方形座標(X，Z)及極座標 (e，R)係滿足等式14及15所提供之下列關係， 119 20 1299090 (等式14) X(e) = R(e)sm0 (等式15) Z(0) = R(0)cos0 該距離R(e)如下列等式16所提供 (等式16) 1....... n2 - nx cos θ' 該R(0i)為具有該天頂角之從該原點至該第一曲線 上的一第四點之一距離； 10 一被定義為該x-z平面及該第二透鏡表面間之一系 列交會部之第二曲線係為一沿該原點具有一半徑RB之 圓弧， 15 一被定義為該x-z平面及該第三透鏡表面間之一系 列交會部之第三曲線係為一沿該原點具有一半徑rF之圓 弧， 該第二曲線的半徑RB不大於對於該第一曲線上的 第三點之最短距離(RBSmin(R(e)))， 該第三曲線的半徑rF不小於對於該第四曲線上的第 一點之最長距離(rF^max(r(0)))， 該第二曲線的半徑RB不小於該第三曲線的半徑rF (Rb》i*f) ’ 該第一透鏡表面及該第二透鏡表面之間的空間係 充填有該具有折射率n2之第二媒體， 120 20 1299090 該第二透鏡表面及該第三透鏡表面之間的空間係 充填有一具有折射率n3之第三媒體，及 該第三透鏡表面及該第四透鏡表面之間的空間係 充填有一具有折射率n4之第四媒體。 5 28.如申請專利範圍第27項之光學組件，其中該第二、該第 三及該第四媒體的折射率n2、n3及n4皆相同（n2=n3=n4)。 29.如申請專利範圍第27項之光學組件，其中該第一透鏡表 面、該第二透鏡表面、該第三透鏡表面及該第四透鏡表 面係沿該z軸呈現旋轉對稱。 10 30.如申請專利範圍第27項之光學組件，其中該第一透鏡表 面、該第二透鏡表面、該第三透鏡表面及該第四透鏡表 面係具有沿著該長方形座標系的y軸之平移對稱性。 31. 如申請專利範圍第27項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面、該第二透鏡表面、該第三透鏡表面及該第四 15 透鏡表面沿該長方形座標系的X軸呈現旋轉對稱。 32. —種光學組件，包含： 一第一透鏡表面；及 一第二透鏡表面’其中 該第一透鏡表面係構成一具有一折射率n〇的第一媒 20 體及一具有一折射率叫的第二媒體間之一邊界的一部分， 該第二透鏡表面係構成該第二媒體及一具有一折 射率n2的第三媒體間之一邊界的一部分， 一第一曲線係被定義為一長方形座標系的該x-z平 面及該第一透鏡表面之間的一系列交會部，其中 121 1299090 該長方形座標系的一原點係位居該第三媒體内，而 該長方形座標系的z軸穿過該原點及該.第一透鏡表面上 的一點， 該第一曲線沿該z軸對稱， 一第二曲線係被定義為該x-z平面及該第二透鏡表 面之間的一系列交會部，而該第二曲線為一垂直於該z 軸之直線分段， 從該原點至該第二曲線之一距離為fB， 10 具有一天頂角Θ之該x_z平面中之該第二曲線上的 一第一點的長方形座標(X，z)及極座標(e，r)係如等式17及 18所提供， (等式17) χ(θ) = /Β(θ)ί3ηθ (等式18) 15 Ζ(β) = fΒ 該天頂角Θ係介於從一不小於零的最小值01到一小 於π/2的最大值θ2之間， 20 對應於該第二曲線上的第一點之該第一曲線上的 一第二點之長方形座標(Χ，Ζ)係滿足等式19及20所提供 的關係， (等式19) X (Θ) = fB tan θ + L{6) sin δ (θ) (等式20) Z(0) = fB^L(0)cosS(0) 122 1299090 該L(0)為從該第一點至該第二點之距離，且該L(e) 如等式21所提供，(等式21) θ 、 m= Ρ{θ)

該L(0i)為從θ=θ!之該第二曲線上的一第三點至該第 一曲線上的對應第四點之距離， 該F(e)如等式22所提供，(等式22) F{9) - exp 10 該Α(θ)如等式23所提供 Α{β) n22 sin Θ cos θ yjΐΐγ — /^2 sin.2 θ ϊίγ ~ ~~ sin2 θ 該Β(θ)如等式24所提供，及

m=- fs nxn2 sin Θ cos2 Θ - n0^n^ -n\ sin2 Θ 15 及該δ(θ)如等式25所提供， (等式25) - nl sin2 θ 〇 33. 如申請專利範圍第32項之光學組件，其中該第一透鏡表 面及該第二透鏡表面係沿該ζ軸呈現旋轉對稱。 34. 如申請專利範圍第32項之光學組件，其中該第一透鏡表

123 1299090 面及該第二透鏡表面係具有沿著該長方形座標系的y軸 之平移對稱性。. 35. 如申請專利範圍第32項之光學組件，其中該第一透鏡表 面及該第二透鏡表面沿該長方形座標系的X軸呈現旋轉 5 對稱。 36. —種光學組件，包含： 一第一透鏡表面；及 一第二透鏡表面，其中 該第一透鏡表面係構成一具有一折射率n〇的第一 10 媒體及一具有一折射率以的第二媒體間之一邊界的一 部分， 該第二透鏡表面係構成該第二媒體及一具有一折 射率n2的第三媒體間之一邊界的一部分， 一第一曲線係被定義為一長方形座標系的該x-z平 15 面及該第一透鏡表面之間的一系列交會部，其中 該長方形座標系的一原點係位居該第三媒體内，而 該長方形座標系的z軸穿過該原點及該第一透鏡表面上 的一點， 該第一曲線為一垂直於該z軸之直線分段， 20 一第二曲線係被定義為該x-z平面及該第二透鏡表 面之間的一系列交會部，而該第二曲線沿該z軸對稱， 從該原點至該第一曲線之距離為z〇， 具有一天頂角Θ之該x-z平面中之該第一曲線上的 一第一點的長方形座標(x，z)及極座標(0，r)係如等式26及 124 1299090 27所提供， (等式26) χ{θ) = z0 tan θ (等式27) ζ(θ) = ζ(0) = ζ0 該天頂角θ係介於從不小於零的最小值到小於π/2 的最大值θ2之間， 10 對應於該第一曲線上的第一點之該第二曲線上的 一第二點之長方形座標(X，Ζ)係滿足等式2 8及2 9所提供 的關係， (等式28) Χ{θ) = z0 tan θ - L{0) sin δ{θ) (等式29) Z(0) = zo-L(0)cosS(0)

該L(e)為從該第一點至該第二點之距離，且該L(e) 如等式30所提供， (等式30) m Ρ(θ) 明)+ ]>(θ，輝，)洲， 該L(e〇為從θ=θι之該第一曲線上的一第三點至該第 二曲線上的對應第四點之距離， 該F(0)如等式31所提供， (等式31) 125 20 1299090 F{6) = exp 該Α(θ)如等式32所提供 (等式32) Α{θ) η2 n20 sin θ cos θ - η] sin2 θ nf - η2 - η] sin2 θ 該Β(θ)如等式33所提供 Β(θ) ζο ηχη^ sin θ oos2e nl-n2如卜心in2 θ 而該δ(θ)如等式34所提供 (等式34) δ{θ) = tan~ n0 sin Θ - nl sin2 Θ 10 37.如申請專利範圍第36項之光學組件，其中該第一透鏡表 面及該第二透鏡表面係沿該z軸呈現旋轉對稱。 38.如申請專利範圍第36項之光學組件，其中該第一透鏡表 面及該第二透鏡表面係具有沿著該長方形座標系的y軸 之平移對稱性。 15 39.如申請專利範圍第36項之光學組件，其中該第一透鏡表 面及該第二透鏡表面係沿該長方形座標系的X軸呈現旋 轉對稱。 40.—種光學組件，包含： 一第一非球形折射表面；及 20 一第二非球形折射表面，其中 126 1299090

10 15

20 該第一非球形折射表面係構成一具有一折射率n〇 的第一媒體及一具有一折射率以的第二媒體間之一邊 界的一部分， 該第二非球形折射表面係構成該第二媒體及一具 有一折射率n2的第三媒體間之一邊界的一部分， 一第二曲線係被定義為一長方形座標系的該x-z平 面及該第二非球形折射表面之間的一系列交會部，其中 該長方形座標系的原點係位居該第三媒體内，而該 長方形座標系的Z軸穿過該原點及該第二非球形折射表 面上的一點， 該第一曲線係沿該Z軸對稱， 具有一天頂角Θ之從該原點至該第二曲線上的第一 點之一距離為r(e)， 該x-z平面中的第一點之長方形座標(χ,ζ)及極座標 (θ，ι〇係滿足下列等式35及36中所示之關係，(等式35) χ{θ) = r{6)sm6(等式36) ζ(θ) = r(0) cos θ 該距離Ι·(θ)如下列等式37所提供，(等式37) r{&) = r(^.)exp d& 該01為該第一曲線上的一第二點之一天頂角， 127 1299090 該r(0i)為從該原點至該第二點之一距離， 該δ為該第一點的天頂角Θ之一任意函數(δ=δ(θ))， 該天頂角Θ介於從一不小於零的最小值到一小於π/2的 最大值θ2之間， 5 一第一曲線被定義為該义_2平面及該第一非球形折 射表面之間的一系列交會部，且該第一曲線沿該Ζ軸對 稱， 對應於該第二曲線上的第一點之該第一曲線上的 一第三點之長方形座標(Χ，Ζ)係滿足下列等式38至40中 10 所示之關係， (等式38) Χ{θ) = γ(Θ) sin θ + L(0) sin δ{θ) (等式39) Ζ(θ) = γ{Θ) cos θ + 1(θ) cos δ(θ) 15 (等式40) n2r(^)sin(S-^)⑽ ηλ οο^{δ-θ})-η2 增=增)+£ 該L(e)為從該第一點至該第三點之一距離， 該L(0i)為從該第二點至對應於該第二點之第一曲 線上的一第四點之一距離。 20 41.如申請專利範圍第40項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二非球形折射表面係沿該ζ軸呈現旋轉 對稱。 42.如申請專利範圍第40項之光學組件，其中該第一非球形 128 1299090 折射表面及該第二非球形折射表面係具有沿著該長方 形座標系的y軸之平移對稱性。 3·如申清專利範圍第40項之光學組件，其中該第〆#球形 折射表面及該第二非球形折射表面係沿該長方形座標 系的X軸呈現旋轉對稱。 44.如申請專利範圍第4〇項之光學組件，其中該匕為零而該 δ(θ)具有等式41所示之一關係， (等式41) ^(<9) = tan~1 tan 5亥δ:係為對應於該02之§的一數值(g2=g(02))，及該 §2小於π/2 〇 45·如申請專利範圍第4〇項之光學組件，其中該㈩為零，該 δ(θ)具有等式42所示之一關係， (等式42) 及該δ2係為對應於該θ2之δ的一數值(δ2=δ(θ2))。 46·如申請專利範圍第40項之光學組件，其中該01為零而該 δ(θ)具有等式42所示之一關係， (等式43) δ{θ) = 2tan' -tan0 tan & 2一 tan 6^2 129 20 1299090 及4δ2係為對應於該02之§的_數值(32^3(02))。 47·如申請專利範圍第40項之光學組件，其中該仏為零，該 δ(θ)具有等式44所示之一關係， (等式44) 5 δ{θ) = sin' sin tan02 tan (9 及該δ2係為對應於該02之5的_數值(δ2=δ(θ2))。

10

20 48· —種光學組件，包含： 一第一非球形折射表面；及 一第二非球形折射表面，其中 /該第-非球形折射表面係構成—具有〆折射率… 興 '媒體及具有-折射率〜的第三媒體間之一邊 界的一部分， 该第二非球形折射表面係構成該 第二媒體及一具 = 的第三媒體間之—邊界的—部分， 第一曲線係被定義為—長方形座標系的該Μ平 ^弟—非球形折射表面之間的-㈣交會部，其中 I古^長方$座&系的原點係位居該第三媒體内，而該 射參私系㈤Z軸係穿過該原點及該第二非球形折 射表面上的一點， 該第二曲線係沿該z軸對稱， /、有X頂肖θ之從該原點至該第二曲線上的-第 *、、占之一距離為r(e)， ^平面中的第—點之長方形座標(x，z)及極座標 130 1299090

10

(e，r)係滿足下列等式45及46所示之關係， (等式45) X⑹=r⑹ sin0 (等式46) z{9) = r{6) cos θ 該距離γ(Θ)如下列等式47所提供， (等式47) r{9) = r(^z)exp 該01為該第一曲線上的一第二點之天頂角， 該r(0i)為從該原點至該第二點之一距離， 該天頂角Θ介於從一不小於零的最小值Θ i到一小於 π/2的最大值θ2之間， 一第一曲線被定義為該x-z平面及該第一非球形折 射表面之間的一系列交會部，且該第一曲線沿該ζ軸對 稱， 對應於該第二曲線上的第一點之該第一曲線上的 一第三點之長方形座標（Χ，Ζ)係滿足下列等式48至50所 示之關係， (等式48) Χ{θ) = r{6) sin θ + L{0) sin δ{θ) (等式49) Ζ{θ) = r{0) cos Θ + L{0) cos δ(θ) 131 20 1299090 (等式50) _ =点卜)輝’)， 該L(e)為從該第一點至該第三點之一距離， 該L(0i)為從該第二點至對應於該第二點之該第一 曲線上的一第四點之一距離， 該F(e)如等式51所提供， (等式51) F{6) = exp [Αψ)ά θ、 10 該Α(θ)如等式52所提供， (等式52) Α{β)=— n0 sin(yff - δ) άδ ηχ -η0 cos(yff-δ) άθ 該Β(θ)如等式53所提供， (等式53) sin(/? -乃 + sin(5 — θ) + sin(0 - /?) {nx cos(^-θ)-η2}{η0 cos(/?-δ)-ηλ} 15 該β為該天頂角的一任意函數θ(β=β(θ))，及 該δ(θ)採行Θ與β(θ)之間的一任意值。 49.如申請專利範圍第48項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二非球形折射表面係沿該ζ軸呈現旋轉 對稱。 20 50.如申請專利範圍第48項之光學組件，其中該第一非球形 132 1299090 折射表面及該第二非球形折射表面係具有沿著該長方 形座標系的y轴之平移對稱性。 51. 如申請專利範圍第48項之光學組件，其中該第一非球形 折射表面及該第二非球形折射表面係沿該長方形座標 5 系的一 X軸呈現旋轉對稱。 52. 如申請專利範圍第48項之光學組件，其中該01為零，該 β(θ)具有等式54所示之一關係， (等式54) [tan θ2 10 該β2係為對應於該02之β的一數值(β2=β(02)) ’及 該β2小於π/2。 53.如申請專利範圍第48項之光學組件，其中該01為零，該 β(θ)具有等式55所示之一關係， (等式55)

[^Γθ 及該β2係為對應於該θ2之β的一數值(β2=β(θ2))。 54.如申請專利範圍第48項之光學組件，其中該01為零，而 該β(θ)具有等式56所示之一關係， (等式56) 20 β{θ) = 2 tan'1 —-—tan0 tan 1299090 及該β2係為對應於該θ2之β的一數值(β2=β(θ2))。 55. 如申請專利範圍第48項之光學組件，其中該01為零，該 β(θ)具有等式57所示之一關係， (等式57) ltan^2 J 及該β2係為對應於該θ2之β的一數值(β2=β(θ2))。 56. 如申請專利範圍第48項之光學組件，其中該δ(θ)如等式 58所提供， (等式58) 10 = 。 57. 如申請專利範圍第48項之光學組件，其中該δ(θ)如等式 59所提供， (等式59) δ(θ) = θ + ο{β(θ)-θ} 15 及該c為大於0且小於1之一實數。 134