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JP4648401B2 - Ｊａｃｏｂｉ回転を用いたマトリクスの固有値分解と特異値分解 - Google Patents

Ｊａｃｏｂｉ回転を用いたマトリクスの固有値分解と特異値分解 Download PDF

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JP4648401B2
JP4648401B2 JP2007541491A JP2007541491A JP4648401B2 JP 4648401 B2 JP4648401 B2 JP 4648401B2 JP 2007541491 A JP2007541491 A JP 2007541491A JP 2007541491 A JP2007541491 A JP 2007541491A JP 4648401 B2 JP4648401 B2 JP 4648401B2
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Description

この発明は一般に通信に関し、特にマトリクスを分解するための技術に関する。
多重入力多重出力（ＭＩＭＯ）通信システムは、データ送信のために送信ステーションにおいて複数（Ｔ）の送信アンテナを採用し、受信ステーションにおいて複数（Ｒ）の受信ステーションを採用する。Ｔの送信アンテナとＲの受信アンテナにより形成されるＭＩＭＯチャネルは、Ｓの空間チャネルに分解されてもよい。但しＳ≦ｍｉｎ｛Ｔ，Ｒ｝である。Ｓの空間チャネルは、より高い総体的なスループットおよび／またはより大きな信頼性を得るような方法でデータを送信するために使用されてもよい。
ＭＩＭＯチャネル応答はＲ×Ｔのチャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
により特徴づけられてもよい。このマトリクスは異なるペアの送信および受信アンテナのすべてに対して複素チャネル利得を含む。
チャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
は対角行列にしてＳの固有モードを得ても良い。Ｓの固有モードはＭＩＭＯチャネルの直交空間チャネルとして見てもよい。改善された性能は、ＭＩＭＯチャネルの固有モードにデータを送信することにより達成されてもよい。
チャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
の特異値分解を行うかまたは
Figure 0004648401
の相関マトリクスの固有値分解を行うかにより対角行列にしてもよい。特異値分解は左および右の特異ベクトルを供給し、固有値分解は固有ベクトルを供給する。送信ステーションは右の特異値ベクトルまたは固有ベクトルを用いてデータをＳの固有モードに送信する。受信ステーションは左特異ベクトルまたは固有ベクトルを用いてＳの固有モードに送信されたデータを受信する。
固有値分解および特異値分解は非常に計算上集中的である。それゆえ、効率的にマトリクスを分解するための技術の必要性がある。
この特許出願は、この特許出願の譲受人に譲渡され、参照することによりここに組み込まれる２００４年１１月１５日に出願された「Ｊａｃｏｂｉ回転を用いたマトリクスの固有値分解および特異値分解」(Eigenvalue Decomposition and Singular Value Decomposition of Matrices Using Jacobi Rotation)というタイトルの米国仮出願第６０／６２８，３２４の優先権を主張する。
Ｊａｃｏｂｉ回転を用いてマトリクスを効率的に分解するための技術がここに記載される。これらの技術は複素値のエルミートマトリクスの固有値分解のために使用されて、エルミートマトリクスのための固有ベクトルのマトリクスおよび固有値のマトリクスを得てもよい。また、この技術は、左特異ベクトルのマトリクス、右特異ベクトルのマトリクス、および任意のマトリクスの特異値のマトリクスを得るために、複素数値の任意のマトリクスの特異値分解のために使用されてもよい。
一実施形態において、第１マトリクス内の非対角線要素を消去するために複素値の複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを用いて複素値の第１のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復が実行される。第１のマトリクスはチャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
、
Figure 0004648401
である
Figure 0004648401
の相関マトリクス、またはその他のマトリクスであってよい。反復毎にサブマトリクスは第１のマトリクスに基づいて形成されてもよく、分解されてサブマトリクスのための固有ベクトルを得てもよい。Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクスは、固有ベクトルを用いて形成されてもよく、第１のマトリクスを更新するために使用されてもよい。複素値の第２のマトリクスはＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基づいて導き出される。第２のマトリクスは直交ベクトルを含み、
Figure 0004648401
の特異ベクトルまたは
Figure 0004648401
の固有ベクトル
のマトリクス
Figure 0004648401
であってよい。
固有値分解の場合、固有値の第３マトリクス
Figure 0004648401
はＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基づいて導き出してもよい。第１の特異値分解（ＳＶＤ）実施形態に基づいた特異値分解の場合、複素値の第３のマトリクス
Figure 0004648401
はＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基づいて導き出してもよい。直交ベクトルを有した第４のマトリクス
Figure 0004648401
は第３のマトリクス
Figure 0004648401
に基づいて導き出してもよい。そして、特異値のマトリクス
Figure 0004648401
も第３のマトリクス
Figure 0004648401
に基づいて導き出してもよい。第２のＳＶＤ実施形態に基づいた特異値分解の場合、直交ベクトルと特異値のマトリクス
Figure 0004648401
を有した第３のマトリクス
Figure 0004648401
はＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基づいて導き出してもよい。
この発明の種々の観点および実施形態は以下にさらに詳細に記載される。
「例示」という用語はここでは、例、インスタンス、または例証として機能することを意味するために使用される。「例示」としてここに記載されるいずれの実施形態も必ずしも他の実施形態に対して好適であるとかまたは利点があるとして解釈されるべきでない。
ここに記載されたマトリクス分解技術は、単一周波数サブバンドを有した単一キャリア通信システム、複数のサブバンドを有したマルチキャリア通信システム、マルチサブバンドを有した単一キャリア周波数分割多重アクセス（ＳＣ＝ＦＤＭＡ）システムおよび他の通信システムのような種々の通信システムのために使用されてもよい。複数のサブバンドは、直交周波数分割多重化（ＯＦＤＭ）、その他の変調技術またはその他の構成を用いて得てもよい。ＯＦＤＭは全体のシステム帯域幅を複数（Ｋ）の直交サブバンドに分割する。直交サブバンドは、またトーン、サブキャリア、ビン、等とも呼ばれる。ＯＦＤＭの場合、各サブバンドはデータで変調されてもよいそれぞれのサブキャリアに関連する。ＳＣ−ＦＤＭＡシステムは、システム帯域幅にわたって配信されるサブバンドに送信するためにインターリーブされたＦＤＭＡ（ＩＦＤＭＡ）を利用してもよい。または、隣接するサブバンドのブロックに送信するために局部的なＦＤＭＡ（ＬＦＤＭＡ）を利用してもよい。または、隣接するサブバンドの複数のブロックに送信するために機能強化されたＦＤＭＡ（ＥＦＤＭＡ）を利用してもよい。一般に、変調シンボルはＯＦＤＭを備えた周波数領域およびＳＣ−ＦＤＭＡを備えた時間領域において送信される。明確にするために、以下の記載の多くは単一サブバンドを有したＭＩＭＯシステムの場合である。
複数（Ｔ）の送信アンテナおよび複数（Ｒ）の受信アンテナにより形成されたＭＩＭＯチャネルはＲ×Ｔのチャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
により特徴づけられてもよい。これは以下のものとして与えられてもよい。
Figure 0004648401
但し、ｉ＝１，．．．Ｒおよびｊ＝１，．．．Ｔの場合のエントリーＨi,jは送信アンテナｊと受信アンテナｉとの間のカップリングまたは複素チャネル利得を示す。
チャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
は対角行列にされ、
Figure 0004648401
の複数（Ｓ）チャネル応答を得てもよい。但し、Ｓ≦ｍｉｎ｛Ｔ，Ｒ｝である。例えば、対角化は、
Figure 0004648401
の特異値分解か、または
Figure 0004648401
の相関マトリクスの固有値分解を実行することにより達成してもよい。
固有値分解は以下のように表してもよい。
Figure 0004648401
但し、
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
のＴ×Ｔの相関マトリクスである。
Figure 0004648401
は、
列が、
Figure 0004648401
の固有ベクトルであるＴ×Ｔのユニタリマトリクスである。
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
の固有値のＴ×Ｔの対角マトリクスである。
Figure 0004648401
は共役転置を示す。ユニタリマトリクス
Figure 0004648401
は特性
Figure 0004648401
により特徴づけられる。但し、
Figure 0004648401
はマトリクスである。ユニタリマトリクスの列は互いに直交している。各列は単位電力を有する。対角マトリクス
Figure 0004648401
は対角線に沿って可能なノンゼロ値を含み、他のどこかにゼロを含む。
Figure 0004648401
の対角線要素は
Figure 0004648401
の固有値である。これらの固有値は｛λ1，λ2，．．．，λs｝として表示され、
Figure 0004648401
の固有モードのための電力利得を表す。
Figure 0004648401
は、非対角要素が以下の特性
Figure 0004648401
を有するエルミートマトリクスである。但し
Figure 0004648401
は複素共役を表す。
特異値分解は以下のように表してもよい。
Figure 0004648401
但し、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の左特異ベクトルのＲ×Ｒユニタリマトリクスである。
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
の特異値のＲ×Ｔの対角マトリクスである。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の右特異値のＴ×Ｔユニタリマトリクスである。
Figure 0004648401
は各々直交ベクトルを含む。式（２）および（３）は、
Figure 0004648401
の右特異ベクトルはまた
Figure 0004648401
の固有ベクトルでもあることを示している。
Figure 0004648401
の対角要素は、
Figure 0004648401
の特異値である。これらの特異値は｛σ1，σ2，．．．σs｝として表され、
Figure 0004648401
の固有モードのチャネル利得を表す。
Figure 0004648401
の特異値はまた
Figure 0004648401
の固有値の平方根でもあり従って、
Figure 0004648401
である。
送信ステーションは
Figure 0004648401
における特異ベクトルを用いて
Figure 0004648401
の固有モードにデータを送信してもよい。固有モードにデータを送信することは典型的に、任意の空間処理を伴わずにＴの送信アンテナから単にデータを送信することよりもより良い性能を提供する。受信ステーションは、
Figure 0004648401
の固有モードに送信されたデータ送信を受信するために
Figure 0004648401
内の左特異ベクトルを使用してもよいし、または
Figure 0004648401
における固有ベクトルを使用してもよい。表１は送信ステーションにより実行される空間処理、受信ステーションにおける受信されたシンボル、および受信ステーションにより実行される空間処理を示す。表１において、
Figure 0004648401
は、送信されるべき
Figure 0004648401
までのデータシンボルを有したＴ×１のベクトルである。
Figure 0004648401
はＴの送信アンテナから送信されるＴの送信シンボルを有したＴ×１のベクトルである。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の受信アンテナから得られる
Figure 0004648401
の受信されたシンボルを有するＲ×１のベクトルである。
Figure 0004648401
はＲ×１の雑音ベクトルである。
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
までの検出されたデータシンボルを有したＴ×１のベクトルであり、これは
Figure 0004648401
におけるデータシンボルの推定値である。
Figure 0004648401
複素マトリクスの固有値分解と特異値分解は、Ｊａｃｏｂｉ回転を使用する反復プロセスを用いて実効されてもよい。Ｊａｃｏｂｉ回転はまた、一般にＪａｃｏｂｉ方法およびＪａｃｏｂｉ変換とも呼ばれる。Ｊａｃｏｂｉ回転はマトリクス上で平面回転を実行することにより複素マトリクスの非対角要素を消去する。２×２の複素エルミート行列の場合、Ｊａｃｏｂｉ回転の１つの反復だけが、この２×２マトリクスのための２つの固有ベクトル及び２つの固有値を得るために必要である。２×２より大きな次元を有するより大きな複素マトリクスの場合、反復プロセスはＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行し、より大きな複素マトリクスのための所望の固有ベクトルと固有値を得るかまたは特異ベクトルおよび特異値を得る。以下に記載するように、より大きなマトリクスに対するＪａｃｏｂｉ回転の各反復は、２×２のサブマトリクスの固有ベクトルを使用する。
２×２のエルミートマトリクス
Figure 0004648401
の固有値分解は以下のように実行してもよい。エルミートマトリクス
Figure 0004648401
は次のように表してもよい。
Figure 0004648401
但し、Ａ、Ｂ、およびＤは任意の実数値であり、θbは任意の位相である。
Figure 0004648401
の固有値分解の第１のステップは以下のように両面のあるユニタリ変換を適用することである。
Figure 0004648401
但し、
Figure 0004648401
は、ロケーション（１，２）および（２，１）に対称非対角要素を有し、実数を含む対称実数マトリクスである。
次に、対象実数マトリクス
Figure 0004648401
は、以下のように両面のあるＪａｃｏｂｉ回転を用いて対角マトリクスにされる。
Figure 0004648401
但し角度θは以下のように表してもよい。
Figure 0004648401
Figure 0004648401
の固有ベクトルの２×２のユニタリマトリクス
Figure 0004648401
は以下のように導き出されてもよい。
Figure 0004648401
２つの固有値λ1およびλ2は式（６）に基づいて、または以下のように式
Figure 0004648401
に基づいて導き出されてもよい。
Figure 0004648401
方程式セット（９）において、２つの固有値の順序付けは固定されない。λ1はλ2より大きくてもよくまたは小さくてもよい。しかしながら、角度φは｜２φ｜≦π／２であるように制約されるなら、Ｄ＞Ａの場合に限り、ｃｏｓ２φ≧０、およびｓｉｎ２φ＞０である。したがって、２つの固有値の順序付けはＡおよびＤの相対的な大きさにより決定されてもよい。Ａ＞Ｄならλ1はより大きな固有値であり、Ｄ＞Ａならλ2はより大きな固有値である。Ａ＝Ｄなら、ｓｉｎ２φ＝１であり、λ2はより大きな固有値である。
λ2がより大きな固有値なら、
Figure 0004648401
における２つの固有値は、最も大きな固有値から最も小さな固有値の所定の順序付けを維持するためにスワップされてもよく、
Figure 0004648401
の第１および第２の列もまたそれに対応してスワップされてもよい。
Figure 0004648401
において２つの固有ベクトルのためのこの所定の順序付けを維持することは、最も大きな固有値から最も小さな固有値に順序付けられる
Figure 0004648401
を用いて分解されるより大きなサイズのマトリクスの固有ベクトルを生じる。これは望ましい。
また、２つの固有値λ1およびλ2は、以下のようにして
Figure 0004648401
の要素から直接計算されてもよい。
Figure 0004648401
方程式（１０）は、
Figure 0004648401
の特性方程式の解決法である。方程式（１０）において、λ1は右手側の第２の量に対してプラスの符号を有して得られる。λ2は第２の量に対してマイナスの符号を有して得られる。この場合、λ1≧λ2である。
方程式（８）は、
Figure 0004648401
の要素を導き出すためにｃｏｓφおよびｓｉｎφの計算を必要とする。ｃｏｓφとｓｉｎφの計算は複雑である。
Figure 0004648401
の要素は以下のようにして
Figure 0004648401
の要素から直接計算されてもよい。
Figure 0004648401
但し、ｒ1,1，ｒ1,2およびｒ2,1は
Figure 0004648401
の要素であり、ｒはｒ1,2の大きさである。ｇ1は複素数値であるので、
Figure 0004648401
は第２の行の複素数値を含む。
方程式セット（１１）は、
Figure 0004648401
から
Figure 0004648401
を導き出すために計算の量を低減するように設計される。例えば、方程式（１１ｃ）、（１１ｄ）、（１１ｆ）において、ｒにより割り算が必要である。その代わりｒは反転されてｒ1を得る。そして方程式（１１ｃ）、（１１ｄ）、（１１ｆ）に対してｒ1による乗算が実行される。これは割り算演算の数を低減する。割り算演算は乗算よりも計算的により高価である。また、逆正接演算を必要とする複合要素ｒ1,2の引数（位相）を計算し、つぎにｃ1とｓ1を得るためにこの位相値のｃｏｓｉｎｅおよびｓｉｎｅを計算する代わりに、平方根演算のみを用いてｒ1,2の実数部と虚数部の関数としてｃ1とｓ1を解くために種々の三角恒等式が使用される。さらに、方程式（７）において逆正接を、および方程式（８）においてｓｉｎｅおよびｃｏｓｉｎｅ関数を計算する代わりに、
Figure 0004648401
の要素の関数としてｃおよびｓを解くために他の三角恒等式が使用される。
方程式セット（１１）は、
Figure 0004648401
を得るために
Figure 0004648401
に対して複素Ｊａｃｏｂｉ回転を実行する。方程式セット（１１）における計算のセットは、
Figure 0004648401
を導き出すために必要な乗算演算、平方根演算、および反転演算の数を低減するように設計される。これは、
Figure 0004648401
を用いたより大きなサイズのマトリクスの分解に対して計算の複雑さを大幅に低減することができる。
Figure 0004648401
の固有値は以下のように計算されてもよい。
Figure 0004648401
１．固有値分解
方程式（２）に示すように２×２より大きいＮ×Ｎのエルミートマトリクスの固有値分解は反復プロセスを用いて実行されてもよい。この反復プロセスは、Ｎ×Ｎのエルミートマトリクス内の非対角要素を消去するためにＪａｃｏｂｉ回転を繰り返して使用する。反復プロセスの場合、Ｎ×Ｎのユニタリ変換マトリクスがＮ×Ｎのエルミートマトリクスの２×２のエルミートサブマトリクスに基づいて形成され、Ｎ×Ｎのエルミートマトリクスを対角行列にするために繰り返し適用される。各ユニタリ変換マトリクスは、対応する２×２エルミートサブマトリクスの要素から導き出される４つの非自明な要素（すなわち、０または１以外の要素）を含む。変換マトリクスはＪａｃｏｂｉ回転マトリクスとも呼ばれる。すべてのＪａｃｏｂｉ回転を完了した後で、結果として得られる対角マトリクスはＮ×Ｎエルミートマトリクスの実数の固有値を含み、すべてのユニタリ変換マトリクスの積は、Ｎ×Ｎのエルミートマトリクスのための固有値のＮ×Ｎのマトリクスである。
以下の記載において、インデックスｉは反復数を示し、ｉ＝０としてイニシャライズされる。
Figure 0004648401
は分解されるＮ×Ｎのエルミートマトリクスである。但しＮ＞２である。Ｎ×Ｎマトリクス
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
の固有値の対角マトリクス
Figure 0004648401
の近似値であり、
Figure 0004648401
としてイニシャライズされる。Ｎ×Ｎマトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の固有ベクトルのマトリクス
Figure 0004648401
の近似値であり、
Figure 0004648401
としてイニシャライズされる。
マトリクス
Figure 0004648401
を更新するためにＪａｃｏｂｉ回転の単一の反復は以下のように行われてもよい。第１に、以下のように現在の
Figure 0004648401
に基づいて２×２のエルミートマトリクス
Figure 0004648401
が形成される。
Figure 0004648401
但し、ｄp,qは、
Figure 0004648401
におけるロケーション（ｐ，ｑ）における要素であり、
Figure 0004648401
である。
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
の２×２のサブマトリクスであり、
Figure 0004648401
の４つの要素は、
Figure 0004648401
におけるロケーション（ｐ，ｐ）、（ｐ，ｑ）、（ｑ，ｐ）および）（ｑ，ｑ）における４つの要素である。
例えば方程式セット（１１）に示されるように、
Figure 0004648401
の固有値分解が実行され、
Figure 0004648401
の固有ベクトルの２×２ユニタリマトリクス
Figure 0004648401
を得る。
Figure 0004648401
の固有値分解の場合、方程式（４）の
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
と交換され、方程式（１１）からの
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
として供給される。
次に、マトリクス
Figure 0004648401
を用いてＮ×Ｎの複素Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクス
Figure 0004648401
が実行される。
Figure 0004648401
は、それぞれ
Figure 0004648401
の（１，１）、（１，２）、（２，１）、（２，２）と交換されたロケーション（ｐ，ｐ）、（ｐ，ｑ）、（ｑ，ｐ）、（ｑ，ｑ）における４つの要素を有した恒等マトリクスである。
Figure 0004648401
は以下のフォームを有する。
Figure 0004648401
但し、ｖ1,1、ｖ1,2、ｖ2,1およびｖ2,2は
Figure 0004648401
の４つのエレメントである。
Figure 0004648401
のすべての他の非対角要素はゼロである。方程式（１１１）は、
Figure 0004648401
は、ｖ2,1およびｖ2,2のための複素数値を含む複素マトリクスであることを示す。
Figure 0004648401
はまたＪａｃｏｂｉ回転を実行する変換マトリクスとも呼ばれる。
次にマトリクス
Figure 0004648401
は以下のように更新される。
Figure 0004648401
方程式（１５）は、
Figure 0004648401
においてそれぞれロケーション（ｐ，ｑ）および（ｑ，ｐ）において２つの非対角要素ｄp,qおよびｄq,pを消去する。計算は、
Figure 0004648401
における他の非対角要素の値を変えてもよい。
また、マトリクス
Figure 0004648401
は以下のように更新される。
Figure 0004648401
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
に使用されるすべてのＪａｃｏｂｉ回転マトリクス
Figure 0004648401
を含む累積的な変換マトリクスとして見てもよい。
Ｊａｃｏｂｉ回転の各反復は、
Figure 0004648401
の２つの非対角要素を消去する。Ｊａｃｏｂｉ回転の複数の反復は、
Figure 0004648401
の全ての非対角要素を消去するために異なる値のインデックスｐおよびｑに対して実行されてもよい。インデックスｐおよびｑはすべての可能な値を一斉に捜索することにより所定の方法で選択されてもよい。
インデックスｐおよびｑのためのすべての可能な値にわたる単一のスイープ(sweep)は以下のように行われてもよい。インデックスｐは１のインクリメントで１からＮ−１まで進めてもよい。ｐの値毎にに、インデックスｑは、１のインクリメントでＰ＋１からＮまで進めてもよい。ｐとｑの各異なる値の組み合わせに対して
Figure 0004648401
を更新するためにＪａｃｏｂｉ回転の反復が実行されてもよい。
反復毎に、
Figure 0004648401
はｐおよびｑの値およびその反復のための現在の
Figure 0004648401
に基づいて形成される。
Figure 0004648401
は方程式セット（１１）に示されるように
Figure 0004648401
に対して計算される。
Figure 0004648401
は方程式（１４）に示されるように
Figure 0004648401
を用いて計算される。
Figure 0004648401
は方程式（１５）に示されるように更新される。
Figure 0004648401
は方程式（１６）に示されるように更新される。
ｐとｑのための値の所定の組み合わせの場合、
Figure 0004648401
を更新するためのＪａｃｏｂｉ回転は、
Figure 0004648401
におけるロケーション（ｐ，ｑ）および（ｑ，ｐ）における非対角要素の大きさが所定のしきい値を下回るなら、スキップされてもよい。
スイープはｐとｑの全ての可能な値に対して
Figure 0004648401
を更新するためにＪａｃｏｂｉ回転のＮ・（Ｎ−１）／２の反復から構成される。
Ｊａｃｏｂｉ回転の各反復は、
Figure 0004648401
の２つの非対角要素を消去するが、以前に消去されたかもしれない他の要素を変更してもよい。インデックスｐおよびｑを一斉に捜索する効果は、
Figure 0004648401
の全ての非対角要素の大きさを低減することであり、それによって
Figure 0004648401
は対角マトリクス
Figure 0004648401
に近づく。
Figure 0004648401
は、集合的に
Figure 0004648401
を与えるすべてのＪａｃｏｂｉ回転マトリクスの蓄積を含む。従って
Figure 0004648401
が
Figure 0004648401
に近づくにつれ、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
に近づく。
Figure 0004648401
のますます正確な近似値を得るために任意の数のスイープが実行されてもよい。コンピューターシミュレーションは、
Figure 0004648401
の非対角要素を無視できるレベルに低減するのに４つのスイープで十分であろうこと、およびほとんどのアプリケーションの場合３つのスイープで十分であろうことを示した。所定数のスイープ（例えば３つまたは４つのスイープ）が実行されてもよい。あるいは、
Figure 0004648401
が十分に正確であるかどうかを決定するために各スイープの後で
Figure 0004648401
の非対角要素がチェックされてもよい。例えばトータルエラー（例えば、
Figure 0004648401
の全ての非対角要素における電力）は各スイープの後で計算してもよく、エラーしきい値と比較され、トータルエラーがエラーしきい値を下回るなら反復プロセスを終了してもよい。また、他の条件または基準を用いて反復プロセスを終了してもよい。
また、インデックスｐおよびｑのための値は決定論的方法で選択されてもよい。一例として、反復ｉ毎に、
Figure 0004648401
の最大の非対角要素が識別され、ｄp,qとして示される。次に、この最大非対角要素ｄp,qと
Figure 0004648401
におけるロケーション（ｐ，ｐ）、（ｑ，ｐ）、および（ｑ，ｑ）における３つの他の要素を含む
Figure 0004648401
を用いてＪａｃｏｂｉ回転が実行されてもよい。反復プロセスは終了条件に遭遇するまで実行されてもよい。終了条件は、例えば、所定数の反復の完了、上述したエラー基準の満足、またはその他の条件または基準であってよい。
反復プロセスが終了すると、最終の
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の良好な近似値であり、最終の
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の良好な近似値である。
Figure 0004648401
の列は、
Figure 0004648401
の固有ベクトルとして提供され、
Figure 0004648401
の直交要素は、
Figure 0004648401
の固有ベクトルとして提供されてもよい。
最終の
Figure 0004648401
における固有値は、最も大きなものから最も小さなものに順序付けられる。なぜなら、各反復のための
Figure 0004648401
における固有ベクトルが順序付けられているからである。
最終の
Figure 0004648401
における固有ベクトルも
Figure 0004648401
における関連する固有値に基づいて順序付けられる。
図１は、Ｊａｃｏｂｉ回転を用いて、Ｎ＞２の条件の下にＮ×Ｎのエルミートマトリクス
Figure 0004648401
の固有値分解を実行するための反復プロセスを示す。
マトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
としてイニシャライズされ、インデックスｉはｉ＝１としてイニシャライズされる（ブロック１１０）。
反復ｉの場合、インデックスｐおよびｑのための値は所定の方法で（例えば、これらのインデックスのためのすべての可能な値を進めることにより）または決定論的方法（例えば、最大の非対角要素のためのインデックス値を選択することにより）で選択される。次に、インデックスｐおよびｑにより決定されるロケーションにおいてマトリクス
Figure 0004648401
の４つの要素を用いて２×２のマトリクス
Figure 0004648401
が形成される（ブロック１１４）。次に、例えば方程式セット（１１）に示されるように、
Figure 0004648401
の固有値分解が実行され、
Figure 0004648401
の固有ベクトルの２×２マトリクス
Figure 0004648401
を得る（ブロック１１６）。次に、方程式（１４）に示されるように、Ｎ×Ｎの複素Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクス
Figure 0004648401
がマトリクス
Figure 0004648401
に基づいて形成される（ブロック１１８）。次に、マトリクス
Figure 0004648401
は、方程式（１５）に示されるように
Figure 0004648401
に基づいて更新される（ブロック１２０）。また、マトリクス
Figure 0004648401
も方程式（１６）に示されるように
Figure 0004648401
に基づいて更新される（ブロック１２２）。
次に、
Figure 0004648401
の固有値分解を終了すべきかどうかの決定が行われる（ブロック１２４）。終了基準はすでに実行された反復またはスイープの回数、エラー基準、等に基づいていてもよい。ブロック１２４に対して答えが「Ｎｏ」なら、インデックスｉがインクリメントされ（ブロック１２６）、プロセスは次の反復のためにブロック１１２に戻る。そうでなければ、終了に至るなら、マトリクス
Figure 0004648401
が対角マトリクス
Figure 0004648401
の近似値として提供され、マトリクス
Figure 0004648401
が
Figure 0004648401
の固有ベクトルのマトリクス
Figure 0004648401
の近似値として提供される（ブロック１２１８）。
複数のサブバンドを有するＭＩＭＯシステムの場合（例えば、ＯＦＤＭを利用するＭＩＭＯシステム）、異なるサブバンドに対して複数のチャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
を得てもよい。反復プロセスは各チャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
に対して実行されてもよく、マトリクス
Figure 0004648401
を得る。これらのマトリクスは、
Figure 0004648401
のそれぞれ固有ベクトルの対角マトリクス
Figure 0004648401
とマトリクス
Figure 0004648401
の近似値である。
高度の相関がＭＩＭＯチャネル内の隣接するサブバンド間に典型的に存在する。この相関は、関心のあるサブバンドに対して
Figure 0004648401
を導き出すために計算量を低減するための反復プロセスにより有効に利用されてもよい。例えば、反復プロセスは、システム帯域幅の一端から始まってシステム帯域幅の他端の方へ移動する、一度に１つのサブバンドに対して実行されてもよい。最初のサブバンドを除いた各サブバンドｋに対して、以前のサブバンドｋ−１に対して得られる最終的な解
Figure 0004648401
は、現在のサブバンドｋのための初期解として使用されてもよい。各サブバンドｋのための初期化は
Figure 0004648401
として与えられてもよい。次に、反復プロセスは、終了条件に遭遇するまでサブバンドｋのための
Figure 0004648401
の初期解に対して動作する。
また、上述した概念は時間に対して使用されてもよい。時間間隔ｔ毎に、以前の時間間隔ｔ−１に対して得られた最終解
Figure 0004648401
は、現在の時間間隔ｔのための初期解として使用されてもよい。各時間間隔ｔのための初期化は、
Figure 0004648401
として与えられてもよい。この場合、
Figure 0004648401
は時間間隔ｔのためのチャネル応答マトリクスである。次に、反復プロセスは、終了条件に遭遇するまで時間間隔ｔのための
Figure 0004648401
の初期解に対して動作する。また、この概念は周波数と時間の両方に対して使用されてもよい。各時間間隔における各サブバンドに対して、以前のサブバンドに対して得られた最終解および／または以前の時間間隔に対して得られた最終解は、現在のサブバンドおよび時間間隔のための初期解として使用されてもよい。
２．特異値分解
また、反復プロセスは、２×２より大きい任意の複素マトリクス
Figure 0004648401
の特異値分解のために使用されてもよい。
Figure 0004648401
の特異値分解は
Figure 0004648401
として与えられる。
Figure 0004648401
に関して以下の観察が行われてもよい。第１にマトリクス
Figure 0004648401
とマトリクス
Figure 0004648401
は両方ともエルミートマトリクスである。第２に、
Figure 0004648401
の列である
Figure 0004648401
の右特異ベクトルはまた
Figure 0004648401
の固有ベクトルである。同様に、
Figure 0004648401
の列である
Figure 0004648401
の左特異ベクトルもまた
Figure 0004648401
の特異ベクトルである。第３に
Figure 0004648401
のノンゼロ固有値は
Figure 0004648401
のノンゼロ固有値に等しく、
Figure 0004648401
の対応する特異値の二乗である。
複素数値の２×２のマトリクス
Figure 0004648401
は以下のように表してもよい。
Figure 0004648401
但し
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の第１列における要素を有した２×１のベクトルである。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の第２列内の要素を有した２×１のベクトルである。
Figure 0004648401
の右特異ベクトルは、
Figure 0004648401
の固有ベクトルであり、方程式（１１）において上述した固有値分解を用いて計算してもよい。２×２エルミートマトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
として定義され、
Figure 0004648401
の要素は、以下のように
Figure 0004648401
の要素に基づいて計算されてもよい。
Figure 0004648401
エルミートマトリクス
Figure 0004648401
の場合、
Figure 0004648401
なので、ｒ2,1は計算する必要がない。方程式セット（１１）を
Figure 0004648401
に適用してマトリクス
Figure 0004648401
を得てもよい。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の固有ベクトルを含み、これはまた
Figure 0004648401
の右特異ベクトルでもある。
Figure 0004648401
の左の特異ベクトルは
Figure 0004648401
の固有ベクトルであり、方程式セット（１１）で上述した固有値分解を用いて計算されてもよい。２×２エルミートマトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
として定義され、
Figure 0004648401
の要素は以下のように
Figure 0004648401
の要素に基づいて計算されてもよい。
Figure 0004648401
方程式セット（１１）を
Figure 0004648401
に適用してマトリクス
Figure 0004648401
を得てもよい。
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
の固有ベクトルを含む。これはまた、
Figure 0004648401
の左特異ベクトルでもある。
Ｎ×Ｎのエルミートマトリクス
Figure 0004648401
の固有値分解に対して上述された反復プロセスは、２×２より大きい任意の複素マトリクス
Figure 0004648401
の特異値分解に対して使用されてもよい。
Figure 0004648401
はＲ×Ｔの次元を有する。但し、Ｒは行の数であり、Ｔは列の数である。
Figure 0004648401
の特異値分解（ＳＶＤ）のための反復プロセスはいくつかの方法で実行されてもよい。
第１のＳＶＤ実施形態において、反復プロセスは、
Figure 0004648401
における右特異ベクトルと
Figure 0004648401
におけるスケールされた(scaled)左特異値の近似値を導き出す。この実施形態の場合、Ｔ×Ｔマトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の近似値であり、
Figure 0004648401
としてイニシャライズされる。Ｒ×Ｔマトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の近似値であり、
Figure 0004648401
としてイニシャライズされる。
第１のＳＶＤ実施形態の場合、マトリクス
Figure 0004648401
を更新するためにＪａｃｏｂｉ回転の単一の反復が以下のように実行されてもよい。最初に２×２エルミートマトリクス
Figure 0004648401
が現在の
Figure 0004648401
に基づいて形成される。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
のサブマトリクスであり、
Figure 0004648401
におけるロケーション（ｐ，ｐ）、（ｐ，ｑ）、（ｑ，ｐ）および（ｑ，ｑ）において４つの要素を含む。
Figure 0004648401
の要素は以下のように計算されてもよい。
Figure 0004648401
但し、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の列ｐであり、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の列ｑである。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
におけるロケーション
Figure 0004648401
における要素である。インデックスｐおよびｑは
Figure 0004648401
のようである。インデックスｐおよびｑの値は以下に記載するように種々の方法で選択されてもよい。
次に、例えば方程式セット（１１）に示されるように、固有値分解
Figure 0004648401
が実行され、
Figure 0004648401
の固有ベクトルの２×２のユニタリマトリクス
Figure 0004648401
を得る。この固有値分解の場合、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
と交換され、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
として供給される。
次にマトリクス
Figure 0004648401
を用いてＴ×Ｔ複素Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクス
Figure 0004648401
が形成される。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
のそれぞれ（１，１）、（１，２）、（２，１）、（２，２）と交換されるロケーション（ｐ，ｐ）、（ｐ，ｑ）、（ｑ，ｐ）、（ｑ，ｑ）における４つの要素を有した恒等マトリクスである。
Figure 0004648401
は方程式（１４）に示されるフォームを有する。
次にマトリクス
Figure 0004648401
は以下のように更新される。
Figure 0004648401
マトリクス
Figure 0004648401
もまた以下のように更新される。
Figure 0004648401
マトリクスも以下のように更新されます:
第１のＳＶＤ実施形態の場合、明示的に
Figure 0004648401
を計算することなく、反復プロセスは、
Figure 0004648401
の非対角要素
を繰り返し消去する。インデックスｐおよびｑはｐを１からＴ−１に進めることにより、およびｐの各値に対してｑをＰ＋１からＴに進めることによりスイープされてもよい。あるいは、
Figure 0004648401
が最大であるｐおよびｑの値は反復毎に選択されてもよい。反復プロセスは終了条件に遭遇するまで実行される。終了条件は、所定数のスイープ、所定数の反復、エラー基準の満足等であってよい。
反復プロセスが終了すると、最終
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
の良好な近似値であり、最終
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の良好な近似値である。収束すると
Figure 0004648401
である。但し、"T"は転置を示す。平方対角マトリクスの場合、
Figure 0004648401
の最終解は
Figure 0004648401
として与えられてもよい。非平方対角マトリクスの場合、
Figure 0004648401
のノンゼロ対角要素は、
Figure 0004648401
の対角要素の平方根により与えられる。
Figure 0004648401
の最終解は
Figure 0004648401
として与えられる。
図２は、第２のＳＶＤ実施形態に従って、Ｊａｃｏｂｉ回転を用いて、２×２より大きい任意の複素マトリクス
Figure 0004648401
の特異値分解を実行する反復プロセス２００を示す。マトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
としてイニシャライズされ、インデックスｉはｉ＝１としてイニシャライズされる（ブロック２１０）。
反復ｉの場合、ｐおよびｑの値は所定の方法または決定論的方法で選択される（ブロック２１２）。次に２×２のマトリクス
Figure 0004648401
は方程式セット（２０）に示されるインデックスｐおよびｑにより決定されるロケーションにおけるマトリクス
Figure 0004648401
の４つの要素を用いて形成される。次に、例えば方程式セット（１１）に示されるように
Figure 0004648401
の固有値分解が実行され、
Figure 0004648401
の固有ベクトルの２×２のマトリクス
Figure 0004648401
を得る（ブロック２１６）。方程式（１４）に示されるように、Ｔ×Ｔの複素Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクス
Figure 0004648401
はマトリクス
Figure 0004648401
に基づいて形成される（ブロック２１８）。次に、マトリクス
Figure 0004648401
は方程式（２１）に示されるように
Figure 0004648401
に基づいて更新される（ブロック２２０）。また、方程式（２２）に示されるように、マトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
に基づいて更新される（ブロック２２２）。
次に、
Figure 0004648401
の特異値分解を終了するかどうかについての決定が行われる（ブロック２２４）。終了基準は、すでに実行された反復またはスイープの数、エラー基準等に基づいていてもよい。ブロック２２４に対して答えが「Ｎｏ」であるなら、インデックスｉがインクリメントされ（ブロック２２６）、プロセスは次の反復のためにブロック２１２に戻る。
さもなければ、終了に到達するなら、
Figure 0004648401
に対してポストプロセッシングが実行され、
Figure 0004648401
を得る（ブロック２２８）。
マトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の右特異ベクトルのマトリクス
Figure 0004648401
の近似値として供給され、マトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の左特異ベクトルのマトリクス
Figure 0004648401
の近似値として供給され、マトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の特異値のマトリクス
Figure 0004648401
の近似値として供給される（ブロック２３０）。
Figure 0004648401
の左の特異値ベクトルは、第１のＳＶＤ実施形態を実行し、スケールされた左特異ベクトル
Figure 0004648401
の解を求め、次に正規化することにより得てもよい。
Figure 0004648401
の左特異ベクトルもまた
Figure 0004648401
の固有値分解に対して反復プロセスを実行することにより得てもよい。
第２のＳＶＤ実施形態において、反復プロセスは、
Figure 0004648401
における右特異ベクトルと
Figure 0004648401
における左特異ベクトルの近似値を直接導き出す。このＳＶＤ実施形態は左および右の特異ベクトルの解を同時に得るために両面のある方式でＪａｃｏｂｉ回転を適用する。任意の複素２×２マトリクス
Figure 0004648401
の場合、このマトリクスの共役転置は
Figure 0004648401
であり、この場合、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の２つの列であり、また
Figure 0004648401
の行の複素共役でもある。
Figure 0004648401
の左特異ベクトルはまた
Figure 0004648401
の右特異ベクトルでもある。
Figure 0004648401
の右特異ベクトルは、方程式セット（１８）に対して記載したようにＪａｃｏｂｉ回転を用いて計算されてもよい。
Figure 0004648401
の左特異ベクトルは、方程式セット（１９）に対して記載したように、Ｊａｃｏｂｉ回転を用いて
Figure 0004648401
の右特異ベクトルを計算することにより得てもよい。
第２の実施形態の場合、Ｔ×Ｔマトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の近似値であり、
Figure 0004648401
としてイニシャライズされる。Ｒ×Ｒマトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の近似値であり、
Figure 0004648401
としてイニシャライズされる。Ｒ×Ｔマトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の近似値であり
Figure 0004648401
としてイニシャライズされる。
第２のＳＶＤ実施形態の場合、マトリクス
Figure 0004648401
を更新するためのＪａｃｏｂｉ回転の単一の反復は以下のように実行されてもよい。第１に現在の
Figure 0004648401
に基づいて２×２のエルミートマトリクス
Figure 0004648401
が形成される。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の２×２のサブマトリクスであり、
Figure 0004648401
におけるロケーション（ｐ1，Ｐ1）、（Ｐ1，ｑ1)、（ｑ1，ｐ1)、（ｑ1，ｑ1)
における４つの要素を含む。
Figure 0004648401
の４つの要素は以下のように計算されてもよい。
Figure 0004648401
ただし、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の列ｐ1である。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の列ｑ1である。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
におけるロケーション
Figure 0004648401
における要素である。インデックスｐ1とｑ1は
Figure 0004648401
のようである。インデックスｐ1とｑ1は以下に記載するように種々の方法で選択されてもよい。
例えば方程式セット（１１）で示されるように、
Figure 0004648401
の固有値分解が実行され、
Figure 0004648401
の固有ベクトルの２×２マトリクス
Figure 0004648401
を得る。この固有値分解の場合、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
と交換され、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
として供給される。次に、Ｔ×Ｔ複素Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクス
Figure 0004648401
はマトリクス
Figure 0004648401
を用いて形成され、ロケーション（ｐ1，ｐ1）、（ｐ1，ｑ1）、（ｑ1，ｐ1)
、（ｑ1，ｑ1）において
Figure 0004648401
の４つの要素を含む。
Figure 0004648401
は方程式（１４）に示されるフォームを有する。
また、他の２×２エルミートマトリクス
Figure 0004648401
も現在の
Figure 0004648401
に基づいて形成される。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の２×２サブマトリクスであり、
Figure 0004648401
におけるロケーション（ｐ2，ｐ2)、（ｐ2，ｑ2）、（ｑ2，ｐ2）、（ｑ2，ｑ2)
における要素を含む。
Figure 0004648401
の要素は以下のように計算されてもよい。
Figure 0004648401
但し、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の行ｐ2である。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の行ｑ2である。
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
におけるロケーション
Figure 0004648401
における要素である。
インデックスｐ2およびｑ2は
Figure 0004648401
のようである。インデックスｐ2およびｑ2は以下に記載するように種々の方法で選択されてもよい。
次に、例えば方程式セット（１１）に示されるように、
Figure 0004648401
の固有値分解が実行され、
Figure 0004648401
の固有ベクトルの２×２マトリクス
Figure 0004648401
を得る。この固有値分解の場合、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
と交換され、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
として供給される。次に、マトリクス
Figure 0004648401
を用いて、Ｒ×Ｒの複素Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクス
Figure 0004648401
が形成され、ロケーション（ｐ2，ｐ2）、（ｐ2，ｑ2）、（ｑ2，ｐ2）、（ｑ2，ｑ2）において
Figure 0004648401
の４つの要素を含む。
Figure 0004648401
は方程式（１４）に示されるフォームを有する。
次にマトリクス
Figure 0004648401
は以下のように更新される。
Figure 0004648401
マトリクス
Figure 0004648401
は以下のように更新される。
Figure 0004648401
マトリクス
Figure 0004648401
は以下のように更新される。
Figure 0004648401
第２の実施形態の場合、反復プロセスは（１）
Figure 0004648401
におけるインデックスｐ1およびｑ1を用いて非対角要素を消去するＪａｃｏｂｉ回転および（２）
Figure 0004648401
におけるｐ2およびｑ2を用いて非対角要素を消去するＪａｃｏｂｉ回転を交互に求める。インデックスｐ1およびｑ1はｐ1を１からＴ−１まで進めることにより、そしてｐ1の各値に対して、ｑ1をｐ1＋1からＴまで進めることによりスイープされてもよい。また、インデックスｐ2およびｑ2は、１からＲ−１までｐ2を進めることにより、そしてｐ2の各値に対してｑ2をｐ2＋１からＲまで進めることによりスイープされてもよい。一例として平方マトリクス
Figure 0004648401
の場合、インデックスは、ｐ1＝ｐ2およびｑ1＝ｑ2として設定されてもよい。他の例として、平方または非平方マトリクス
Figure 0004648401
の場合、ｐ1とｑ1のセットが選択されてもよく、次にｐ2とｑ2のセットが選択されてもよく、次にｐ1とｑ1の新しいセットが選択されてもよく、ｐ2とｑ2の新しいセットが選択されてもよく以下同様である。従って、インデックスｐ1とｑ1およびインデックスｐ2とｑ2に対して新しい値が交互に選択される。あるいは、各反復に対して
Figure 0004648401
が最大であるｐ1とｑ1の値が選択されてもよく、
Figure 0004648401
が最大であるｐ2とｑ2の値が選択されてもよい。反復プロセスは終了条件に遭遇するまで実行され、終了条件は、所定数のスイープ、所定数の反復、エラー基準の満足等であってよい。
反復プロセスが終了すると、最終の
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の良好な近似値であり、最終の
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の良好な近似値であり、最終の
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の良好な近似値である。但し、
Figure 0004648401
はそれぞれ
Figure 0004648401
の回転されたバージョンであってもよい。上述した記載は左および右の特異ベクトル解を十分に制約しないので、最終
Figure 0004648401
の対角要素は正の実価である。最終
Figure 0004648401
の要素はその大きさが
Figure 0004648401
の特異値に等しい複素値であってよい。
Figure 0004648401
は以下のように回転されなくてよい。
Figure 0004648401
但し、
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の対応する対角要素の位相のマイナスである単位の大きさと位相を有する対角要素を有したＴ×Ｔの対角マトリクスである。
Figure 0004648401
はそれぞれ
Figure 0004648401
の最終近似値である。
図３は第２のＳＶＤ実施形態に従って、Ｊａｃｏｂｉ回転を用いて２×２より大きい任意の複素マトリクス
Figure 0004648401
の特異値分解を実行するための反復プロセス３００を示す。
マトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
としてイニシャライズされ、インデックスｉはｉ＝１としてイニシャライズされる（ブロック３１０）。
反復ｉの場合、インデックスｐ1、ｑ1、ｐ2およびｑ2のための値は所定の方法または決定論的方法で選択される（ブロック３１２）。
２×２のマトリクス
Figure 0004648401
は方程式セット（２３）に示されるインデックスｐ1およびｑ1により決定されるロケーションにおいてマトリクス
Figure 0004648401
の４つの要素を用いて形成される（ブロック３１４）。次に、
Figure 0004648401
の固有値分解が、例えば方程式セット（１１）に示されるように実行され、
Figure 0004648401
の固有ベクトルの２×２マトリクス
Figure 0004648401
を得る（ブロック３１６）。次に、Ｔ×Ｔの複素Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクス
Figure 0004648401
はマトリクス
Figure 0004648401
に基づいて形成される（ブロック３１８）。また、２×２マトリクス
Figure 0004648401
は、方程式セット（２４）に示されるように、インデックスｐ2およびｑ2により決定されるロケーションにおいてマトリクス
Figure 0004648401
の４つの要素を用いて形成される（ブロック３２４）。次に、方程式セット（１１）に示されるように、
Figure 0004648401
の固有値分解が実行され、
Figure 0004648401
の固有ベクトルの２×２マトリクス
Figure 0004648401
を得る（ブロック３２６）。次に、Ｒ×Ｒ複素Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクス
Figure 0004648401
はマトリクス
Figure 0004648401
に基づいて形成される（ブロック３２８）。
次に、マトリクス
Figure 0004648401
は方程式（２５）に示されるように、
Figure 0004648401
に基づいて更新される（ブロック３３０）。
マトリクス
Figure 0004648401
は方程式（２６）に示されるように、
Figure 0004648401
に基づいて更新される（ブロック３３２）。
マトリクス
Figure 0004648401
は方程式（２７）に示されるように
Figure 0004648401
に基づいて更新される（ブロック３３４）。
次に、
Figure 0004648401
の特異値分解を終了するかどうかの決定が行われる（ブロック３３６）。終了基準は、すでに実行された反復またはスイープの数、エラー基準等に基づいていてもよい。ブロック３３６に対して答えが「Ｎｏ」であるなら、インデックスｉはインクリメントされ（ブロック３３８）、プロセスは次の反復のためにブロック３１２に戻る。そうでなければ、終了に到達するなら、
Figure 0004648401
に対してポストプロセッシングが実行され、
Figure 0004648401
を得る（ブロック３４０）。マトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の近似値として供給され、マトリクス
Figure 0004648401
は、
Figure 0004648401
の近似値として供給され、マトリクス
Figure 0004648401
は
Figure 0004648401
の近似値として供給される。
第１および第２のＳＶＤ実施形態の場合、最終の
Figure 0004648401
における右特異ベクトルと、最終の
Figure 0004648401
における左特異ベクトルは最も大きな特異値から最も小さな特異値に順序づけられる。なぜなら、各反復に対して（第１のＳＶＤ実施形態の場合）
Figure 0004648401
における特異ベクトルと（第２の実施形態の場合）
Figure 0004648401
における特異ベクトルが順序づけられているからである。
複数のサブバンドを有するＭＩＭＯシステムの場合、反復プロセスは各チャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
に対して実行され、マトリクス
Figure 0004648401
を得る。これらは、その
Figure 0004648401
に対してそれぞれ右特異ベクトルのマトリクス
Figure 0004648401
、左特異ベクトルのマトリクス
Figure 0004648401
特異値の対角マトリクス
Figure 0004648401
の近似値である。反復プロセスは、システム帯域幅の一端から開始し、システム帯域幅の他端に向けて移動する、一度に１つのサブバンドに対して実行されてもよい。第１のＳＶＤ実施形態の場合、第１のサブバンドを除く各サブバンドｋに対して、以前のサブバンドｋ−１に対して得られた最終解
Figure 0004648401
は現在のサブバンドｋのための初期解として使用されてもよい。従って
Figure 0004648401
である。第２のＳＶＤ実施形態の場合、第１のサブバンドを除く各サブバンドｋに対して、以前のサブバンドｋ−１に対して得られる最終解
Figure 0004648401
は現在のサブバンドｋに対する初期解として使用されてもよい。従って
Figure 0004648401
である。両方の実施形態の場合、反復プロセスは、サブバンドに対して終了条件に遭遇するまで、サブバンドｋのための初期解に対して動作する。この概念は上述したように時間に対してまたは周波数と時間に対して使用されてもよい。
図４はＪａｃｏｂｉ回転を用いてマトリクスを分解するプロセス４００を示す。
Ｊａｃｏｂｉ回転の複数の反復は、複素値の複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを用いて複素値の第１のマトリクスに対して実行される（ブロック４１２）。第１のマトリクスはチャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
、
Figure 0004648401
である
Figure 0004648401
の相関マトリクス、またはその他のマトリクスであってよい。
Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクスは、
Figure 0004648401
および／またはその他のマトリクスであってよい。
各反復に対して、サブマトリクスは第１のマトリクスに基づいて形成されてもよく、分解されてサブマトリクスのための固有ベクトルを得てもよい。Ｊａｃｏｂｉ回転ベクトルは、固有ベクトルを用いて形成されてもよく、第１のマトリクスを更新するために使用されてもよい。複素値の第２のマトリクスは複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基づいて導き出される（ブロック４１４）。第２のマトリクスは直交ベクトルを含み、
Figure 0004648401
の右特異ベクトルまたは
Figure 0004648401
の固有ベクトルのマトリクス
Figure 0004648401
であってもよい。
ブロック４１６において決定される固有値分解の場合、固有値の第３マトリクス
Figure 0004648401
は、複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基づいて導き出されてもよい（ブロック４２０）。
第１の実施形態またはスキームにもとづく特異値分解の場合、複素値の第３のマトリクス
Figure 0004648401
は、複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基づいて導き出されてもよい。直交ベクトルを有した第４のマトリクス
Figure 0004648401
は、第３のマトリクス
Figure 0004648401
に基づいて導き出されてもよい。特異値のマトリクス
Figure 0004648401
は第３のマトリクス
Figure 0004648401
に基づいて導き出されてもよい（ブロック４２２）。第２のＳＶＤ実施形態に基づく特異値分解の場合、直交ベクトルを有した第３のマトリクス
Figure 0004648401
および特異値のマトリクス
Figure 0004648401
は複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて導き出されてもよい（ブロック４２４）。
図５はＪａｃｏｂｉ回転を用いたマトリクスを分解するための装置５００を示す。装置５００は、複素値の複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを用いて複素値の第１のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行するための手段（ブロック５１２）と、複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて複素値の第２のマトリクス
Figure 0004648401
を導き出すための手段（ブロック５１４）を含む。
固有値分解の場合、装置５００は、複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて固有値の第３のマトリクス
Figure 0004648401
を導き出すための手段をさらに含む（ブロック５２０）。第１のＳＶＤ実施形態に基いた特異値分解の場合、装置５００は、複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いた複素値の第３のマトリクス
Figure 0004648401
と、第３のマトリクスに基いた直交ベクトルを有した第４のマトリクス
Figure 0004648401
と、第３のマトリクスに基いた特異値のマトリクス
Figure 0004648401
を導き出す手段を更に含む（ブロック５２２）。第２のＳＶＤ実施形態に基いた特異値分解の場合、装置５００は、直交ベクトルを有した第３のマトリクス
Figure 0004648401
と、複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いた特異値のマトリクス
Figure 0004648401
を導き出すための手段をさらに含む（ブロック５２４）。
３．システム
図６はＭＩＭＯシステム６００におけるアクセスポイント６１０とユーザー端末６５０の一実施形態のブロック図を示す。アクセスポイント６１０はデータ送信および受信のために使用されてもよい複数（Ｎap）のアンテナを備えている。ユーザー端末６５０はデータ送信および受信のために使用されてもよい複数（Ｎut）のアンテナを備えている。簡単にするために、以下の記載は、ＭＩＭＯシステム６００は時分割多重（ＴＤＤ）を使用し、各サブバンドｋのためのダウンリンクチャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
そのサブバンドのためのアップリンクチャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
の逆数、すなわち
Figure 0004648401
であると仮定する。
ダウンリンク上で、アクセスポイント６１０において、送信（ＴＸ）データプロセッサー６１４はデータソース６１２からトラヒックデータを受信し、コントローラー／プロセッサー６３０から他のデータを受信する。ＴＸデータプロセッサー６１４は、受信したデータをフォーマットし、符号化し、インターリーブし、変調し、データシンボルを発生する。データシンボルはデータのための変調シンボルである。ＴＸ空間プロセッサー６２０はデータシンボルとパイロットシンボルを受信し、データシンボルとパイロットシンボルを乗算し、適用可能なら、固有ベクトルまたは右特異ベクトルを用いて空間処理を実行し、Ｎapストリームの送信シンボルをＮapの送信機（ＴＭＴＲ）６２２ａ乃至６２２ａｐに供給する。各送信機６２２はその送信シンボルストリームを処理し、ダウンリンク変調された信号を発生する。送信機６２２ａ乃至６２２ａｐからのＮapのダウンリンク変調された信号は、それぞれアンテナ６２４ａ乃至６２４ａｐから送信される。
ユーザー端末６５０において、Ｎutのアンテナ６５２ａ乃至６５２ｕｔは送信されたダウンリンク変調された信号を受信し、各アンテナ６５２は受信した信号をそれぞれの受信機（ＲＣＶＲ）６５４に供給する。各受信機６５４は送信機６２２により実行される処理に相補的な処理を実行し、受信したシンボルを供給する。受信（ＲＸ）空間プロセッサー６６０はすべての受信機６５４ａ乃至６５４ｕｔからの受信されたシンボルに対して空間整合フィルタリングを実行し、検出されたデータシンボルを供給する。検出されたデータシンボルは、アクセスポイント６１０により送信されたデータシンボルの推定値である。
ＲＸデータプロセッサー６７０は検出されたデータシンボルをさらに処理し（例えば、シンボルデマップし、デインターリーブし、デコードする）、デコードされたデータをデータシンク６７２および／またはコントローラー／プロセッサー６８０に供給する。
[0096] チャネルプロセッサー６７８は受信したパイロットシンボルを処理し、関心のある各サブバンドに対してダウンリンクチャネル応答の推定値、
Figure 0004648401
を供給する。プロセッサー６７８および／または６８０はここに記載された技術を用いて各マトリクス
Figure 0004648401
を分解し、
Figure 0004648401
を得てもよい。これは、ダウンリンクチャネル応答マトリクス
Figure 0004648401
のための
Figure 0004648401
の推定値である。プロセッサー６７８および／または６８０は、表１に示すように、
Figure 0004648401
に基いて関心のある各サブバンドに対してダウンリンク空間フィルターマトリクス
Figure 0004648401
を導き出してもよい。プロセッサー６８０は、
Figure 0004648401
をダウンリンク整合フィルタリングのためにＲＸ空間プロセッサー６６０に供給してもよいし、および／または
Figure 0004648401
をアップリンク空間処理のためにＴＸ空間プロセッサー６９０に供給してもよい。
アップリンクのための処理は、ダウンリンクのための処理と同じかまたは異なっていてもよい。データソース６８６からのトラヒックデータおよびコントローラー／プロセッサー６８０からの他のデータはＴＸデータプロセッサー６８８により処理され（例えば、符号化され、インターリーブされ、変調される）、パイロットシンボルと乗算され、さらに関心のある各サブバンドに対して
Figure 0004648401
を用いてＴＸ空間プロセッサー６９０により空間的に処理される。ＴＸ空間プロセッサー６９０からの送信シンボルは送信機６５４ａ乃至６５４ｕｔによりさらに処理され、Ｎutのアップリンク変調された信号を発生する。これらはアンテナ６５２ａ乃至６５２ｕｔを介して送信される。
アクセスポイント６１０において、アップリンク変調された信号はアンテナ６２４ａ乃至６２４ａｐにより受信され、アップリンク送信のための受信されたシンボルを発生する。ＲＸ空間プロセッサー６４０は受信したデータシンボルに対して空間整合フィルタリングを実行し、検出されたデータシンボルを供給する。ＲＸデータプロセッサー６４２は、さらに検出されたデータシンボルを処理し、デコードされたデータをデータシンク６４４および／またはコントローラー／プロセッサー６３０に供給する。
チャネルプロセッサー６２８は受信したパイロットシンボルを処理し、アップリンクパイロットが送信される方法に応じて関心のあるサブバンドに対して
Figure 0004648401
の推定値を供給する。プロセッサー６２８および／または６３０はここに記載された技術を用いて各マトリクス
Figure 0004648401
を分解し、
Figure 0004648401
を得る。また、プロセッサー６２８および／または６３０は、
Figure 0004648401
に基いて関心のある各サブバンドに対してアップリンク空間フィルターマトリクス
Figure 0004648401
を導き出してもよい。プロセッサー６８０は、
Figure 0004648401
をアップリンク空間整合フィルタリングのためにＲＸ空間プロセッサー６４０に供給してもよくおよび／または
Figure 0004648401
をダウンリンク空間処理のためにＴＸプロセッサー６２０に供給してもよい。
コントローラー／プロセッサー６３０および６８０は、それぞれアクセスポイント６１０およびユーザー端末６５０における動作を制御する。メモリ６３２および６８２はそれぞれアクセスポイント６１０とユーザー端末６５０のためのデータおよびプログラムコードを記憶する。プロセッサー６２８、６３０、６７８、６８０および／または他のプロセッサーはチャネル応答マトリクスの固有値分解および／または特異値分解を実行してもよい。
ここに記載されたマトリクス分解技術は、種々の方法により実施されてもよい。例えば、これらの技術はハードウエア、ファームウエア、ソフトウエア、またはそれらの組み合わせにおいて実施されてもよい。ハードウエア実施の場合、マトリクス分解に使用される処理ユニットは、１つ以上の特定用途向け集積回路（ＡＳＩＣｓ）、デジタルシグナルプロセッサー（ＤＳＰｓ）、デジタル信号処理装置（ＤＳＰＤｓ）、プログラマブルロジックデバイス（ＰＬＤｓ）、フィールドプログラマブルゲートアレイ（ＦＰＧＡｓ）、プロセッサー、コントローラー、マイクロコントローラー、マイクロプロセッサー、ここに記載された機能を実行するように設計された他の電子ユニット、またはそれらの組み合わせ内で実施されてもよい。
ファームウエアおよび／またはソフトウエア実施の場合、マトリクス分解技術は、ここに記載された機能を実行するモジュール（例えば、手続、機能等）を用いて実施されてもよい。ソフトウエアコードはメモリ（例えば、図６のメモリ６３２または６８２）に記憶されてもよく、プロセッサー（例えば、プロセッサー６３０または６８０）により実行される。メモリユニットはプロセッサー内で実施されてもよくまたはプロセッサー外部で実施されてもよい。
見出しは、参照のためにおよびあるセクションの位置をつきとめるのを支援するためにここに含まれる。これらの見出しは、見出しの下に記載される概念の範囲を制限することを意図していない。これらの概念は、明細書全体にわたって他のセクションに適用性を有していてもよい。
開示された実施形態の上述の記載は、当業者がこの発明を製作または使用することを可能にするために提供される。これらの実施形態に対する種々の変更は当業者には容易に明白であり、ここに定義される包括的原理は、この発明の精神または範囲から逸脱することなく他の実施形態に適用されてもよい。従って、この発明は、ここに示される実施形態に限定されることを意図したものではなく、ここに開示された原理および新規な特徴と一致する最も広い範囲が許容されるべきである。
図１はＪａｃｏｂｉ回転を用いて固有値分解を実行するプロセスを示す。 図２は第１のＳＶＤ実施形態に従ってＪａｃｏｂｉ回転を用いて特異値分解を実行するプロセスを示す。 図３は第２のＳＶＤ実施形態に従ってＪａｃｏｂｉ回転を用いて特異値分解を実行するプロセスを示す。 図４はＪａｃｏｂｉ回転を用いてマトリクスを分解するプロセスを示す。 図５はＪａｃｏｂｉ回転を用いてマトリクスを分解するための装置を示す。 図６はアクセスポイントとユーザー端末のブロック図を示す。

Claims (38)

  1. 複素値の複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを用いて複素値の第１のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行するように構成された少なくとも１つのプロセッサと、ここにおいて、前記第１のマトリクスは、エルミートマトリクスであり、前記少なくとも１つのプロセッサは、各反復毎に、前記第１のマトリクスに基づいてサブマトリクスを形成し、前記サブマトリクスを分解し、前記サブマトリクスに関する固有ベクトルを取得し、前記固有ベクトルを用いてＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクスを用いて前記第１のマトリクスを更新するように構成され、
    前記少なくとも１つのプロセッサはさらに、前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて複素値の第２のマトリクスであって直交ベクトルを含む第２のマトリクスを導き出すように構成され、
    前記少なくとも１つのプロセッサーに接続されたメモリと、
    を備えた装置。
  2. 前記複数の反復の各々に対して、前記少なくとも１つのプロセッサーは、前記サブマトリクスのための固有値に基いて前記サブマトリクスのための固有ベクトルを順序付けるように構成される、請求項１の装置。
  3. 前記少なくとも１つのプロセッサーは、前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて固有値の第３のマトリクスを導き出すように構成される、請求項１の装置。
  4. 前記少なくとも１つのプロセッサーは前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて複素値の第３のマトリクスを導き出し、
    前記第３のマトリクスに基いて直交ベクトルを有した第４のマトリクスを導き出すように構成された、請求項１の装置。
  5. 前記少なくとも１つのプロセッサーは前記第３のマトリクスに基いて特異値のマトリクスを導き出すように構成された、請求項４の装置。
  6. 前記少なくとも１つのプロセッサーは、前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて直交ベクトルを有する第３のマトリクスを導き出すように構成される、請求項１の装置。
  7. 前記少なくとも１つのプロセッサーは、前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて特異値のマトリクスを導き出すように構成される、請求項６の装置。
  8. 前記少なくとも１つのプロセッサーは、前記Ｊａｃｏｂｉ回転の複数の反復のための第１のマトリクスの行インデックスおよび列インデックスに対して異なる値を選択するように構成された、請求項１の装置。
  9. 前記複数の反復の各々に対して、前記少なくとも１つのプロセッサーは、前記第１のマトリクスにおいて最大の非対角要素を識別し、前記最大の非対角要素に基いて前記Ｊａｃｏｂｉ回転を実行するように構成された、請求項１の装置。
  10. 前記少なくとも１つのプロセッサーは、所定の反復数の後に前記第１のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転を終了するように構成される、請求項１の装置。
  11. 前記少なくとも１つのプロセッサーは、エラー基準が満足されたかどうかを決定し、前記エラー基準が満足されると前記Ｊａｃｏｂｉ回転の複数の反復を終了するように構成される、請求項１の装置。
  12. 前記第１のマトリクスは２×２より大きい次元を有する、請求項１の装置
  13. 無線通信装置により、複素値の複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを用いて複素値の第１のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行することと、ここにおいて、前記第１のマトリクスは、エルミートマトリクスであり、前記複数の反復を実行することは、反復毎に、前記第１のマトリクスに基づいてサブマトリクスを形成することと、前記サブマトリクスを分解して前記サブマトリクスに関する固有ベクトルを取得することと、前記固有ベクトルを用いてＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成することと、前記Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクスを用いて前記第１のマトリクスを更新することとを備える、
    前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて複素値の第２のマトリクスであって直交ベクトルを含む第２のマトリクスを導き出すことと、
    を備えた方法。
  14. 前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて複素値の第３のマトリクスを導き出すことと、
    前記第３のマトリクスに基いて直交ベクトルを有した第４のマトリクスを導き出すことと、
    をさらに備えた、請求項１３の方法。
  15. 前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて直交ベクトルを有した第３のマトリクスを導き出すことをさらに備えた、請求項１３の方法。
  16. 複素値の複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを用いて複素値の第１のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行する手段と、ここにおいて、前記第１のマトリクスはエルミートマトリクスであり、前記複数の反復を実行する手段は、各反復毎に、前記第１のマトリクスに基づいてサブマトリクスを形成し、前記サブマトリクスを分解して前記サブマトリクスに関する固有ベクトルを取得し、前記固有ベクトルを用いてＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクスを用いて前記第１のマトリクスを更新するように構成される、
    前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて、複素値の第２のマトリクスであって直交ベクトルを含む第２のマトリクスを導き出す手段と、
    を備えた、無線通信のための装置。
  17. 前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて複素値の第３のマトリクスを導き出す手段と、
    前記第３のマトリクスに基いて直交ベクトルを有する第４のマトリクスを導き出す手段と、
    をさらに備えた、請求項１６の装置。
  18. 前記複数のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて直交ベクトルを有する第３のマトリクスを導き出す手段をさらに備えた、請求項１６の装置。
  19. 第１のマトリクスを恒等マトリクスにイニシャライズし、
    第２のマトリクスを複素値のエルミートマトリクスにイニシャライズし、
    前記第２のマトリクスに基づいて各反復毎にサブマトリクスを形成し、前記サブマトリクスを分解して各反復毎に前記サブマトリクスの固有ベクトルを取得し、前記サブマトリクスの固有ベクトルを用いて各反復毎に複素値のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記反復のための前記Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて各反復毎に前記第１および第２のマトリクスを更新することにより前記第２のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行し、
    固有ベクトルのマトリクスとして前記第１のマトリクスを供給し、
    前記第２のマトリクスを固有値のマトリクスとして供給するように構成された少なくとも１つのプロセッサーと、
    前記少なくとも１つのプロセッサーに接続されたメモリと、
    を備えた装置。
  20. 第１のマトリクスを恒等マトリクスにイニシャライズする手段と、
    第２のマトリクスを複素値のエルミートマトリクスにイニシャライズする手段と、
    各反復毎に、前記第２のマトリクスに基づいてサブマトリクスを形成し、前記サブマトリクスを分解して前記サブマトリクスに関する固有ベクトルを取得し、前記固有ベクトルを用いてＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記反復のためのＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて前記第１および第２のマトリクスを更新することにより、前記第２のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行する手段と、
    固有ベクトルのマトリクスとして前記第１のマトリクスを供給する手段と、
    固有値のマトリクスとして前記第２のマトリクスを供給する手段と、
    を備えた無線通信のための装置。
  21. 第１のマトリクスを恒等マトリクスにイニシャライズし、
    第２のマトリクスを複素値のエルミートマトリクスにイニシャライズし、
    各反復毎に、前記第２のマトリクスに基づいてサブマトリクスを形成し、前記サブマトリクスを分解して前記サブマトリクスに関する固有ベクトルを取得し、前記サブマトリクスの固有ベクトルを用いて、Ｊａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記反復のためのＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて前記第１および第２のマトリクスを更新することにより前記第２のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行し、
    右特異ベクトルのマトリクスとして前記第１のマトリクスを供給するように構成された少なくとも１つのプロセッサーと、
    前記少なくとも１つのプロセッサーに接続されたメモリと、
    を備えた装置。
  22. 前記少なくとも１つのプロセッサーは前記第２のマトリクスに基いて特異値のマトリクスを導き出すように構成される、請求項２１の装置。
  23. 前記少なくとも１つのプロセッサーは前記第２のマトリクスに基いて左特異ベクトルのマトリクスを導き出すように構成される、請求項２１の装置。
  24. 第１のマトリクスを恒等マトリクスにイニシャライズする手段と、
    第２のマトリクスを複素値のエルミートマトリクスにイニシャライズする手段と、
    各反復毎に、前記第２のマトリクスに基づいてサブマトリクスを形成し、前記サブマトリクスを分解して前記サブマトリクスに関する固有ベクトルを取得し、前記固有ベクトルを用いてＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記反復のためのＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて前記第１および第２のマトリクスを更新することにより、前記第２のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行する手段と、
    前記第１のマトリクスを右特異ベクトルとして供給する手段と、
    を備えた無線通信のための装置。
  25. 第１のマトリクスを恒等マトリクスにイニシャライズし、
    第２のマトリクスを前記恒等マトリクスにイニシャライズし、
    第３のマトリクスを複素値のエルミートマトリクスにイニシャライズし、
    各反復毎に、前記第３のマトリクスに基づいて第１のサブマトリクスを形成し、前記第１のサブマトリクスを分解して前記第１のサブマトリクスに関する固有ベクトルを取得し、前記第１のサブマトリクスに関する固有ベクトルを用いて第１のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記第３のマトリクスに基いて第２のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記第１のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて前記第１のマトリクスを更新し、前記第２のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて前記第２のマトリクスを更新し、前記第１および第２のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて前記第３のマトリクスを更新することにより、各反復毎に、前記第３のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行し、
    前記第２のマトリクスを左特異ベクトルのマトリクスとして供給するように構成された少なくとも１つのプロセッサーと、
    前記少なくとも１つのプロセッサーに接続されたメモリと、
    を備えた装置。
  26. 前記複数の反復の各々に対して、前記少なくとも１つのプロセッサーは、
    前記第３のマトリクスに基いて第２のサブマトリクスを形成し、
    前記第２のサブマトリクスを分解して前記第２のサブマトリクスのための固有ベクトルを得、
    前記第２のサブマトリクスのための固有ベクトルを用いて前記第２のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成するように構成された、請求項２５の装置。
  27. 前記少なくとも１つのプロセッサーは前記第１のマトリクスに基いて右特異ベクトルのマトリクスを導き出すように構成される、請求項２５の装置。
  28. 前記少なくとも１つのプロセッサーは、前記第３のマトリクスに基いて特異値のマトリクスを導き出すように構成された、請求項２５の装置。
  29. 第１のマトリクスを恒等マトリクスにイニシャライズする手段と、
    第２のマトリクスを前記恒等マトリクスにイニシャライズする手段と、
    第３のマトリクスを複素値のエルミートマトリクスにイニシャライズする手段と、
    各反復毎に、前記第３のマトリクスに基づいて第１のサブマトリクスを形成し、前記第１のサブマトリクスを分解して前記第１のサブマトリクスに関する固有ベクトルを取得し、前記第１のサブマトリクスに関する固有ベクトルを用いて第１のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記第３のマトリクスに基いて第２のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成し、前記第１のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて前記第１のマトリクスを更新し、前記第２のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて前記第２のマトリクスを更新し、前記第２のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスに基いて前記第３のマトリクスを更新することにより、前記第３のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の複数の反復を実行する手段と、
    左特異ベクトルのマトリクスとして前記第２のマトリクスを供給する手段と、
    を備えた無線通信のための装置。
  30. 前記第２のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成するための手段は、
    前記第３のマトリクスに基いて第２のサブマトリクスを形成する手段と、
    前記第２のサブマトリクスを分解して前記第２のサブマトリクスのための固有ベクトルを得る手段と、
    前記第２のサブマトリクスのための固有ベクトルを用いて前記第２のＪａｃｏｂｉ回転マトリクスを形成する手段と、
    を備えた、請求項２９の装置。
  31. 複素値の第１のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の第１の複数の反復を実行し、直交ベクトルを有する第１のユニタリマトリクスを得、ここにおいて、前記第１のマトリクスはエルミートマトリクスである、複素値の第２のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の第２の複数の反復を実行し、直交ベクトルを有した第２のユニタリマトリクスを得るように構成された少なくとも１つのプロセッサーと、ここにおいて、前記第１のユニタリマトリクスは、第１のサブバンドにおける前記複素値の第１のマトリクスに対して前記Jacobi回転の第１の複数の反復を実行することにより得られ、第２のサブバンドにおける前記複素値の第２のマトリクスに対して前記Jacobi回転の複数の反復を実行する際の初期解として使用される、
    前記少なくとも１つのプロセッサーに接続されたメモリと、
    を備えた装置。
  32. 前記少なくとも１つのプロセッサーは複素値の第３のマトリクスに対して前記Ｊａｃｏｂｉ回転の第３の複数の反復を実行し、直交ベクトルを有した第３のユニタリマトリクスを得るように構成され、前記第２のユニタリマトリクスは前記第３のユニタリマトリクスのための初期解として使用される、請求項３１の装置。
  33. 複素値の前記第１および第２のマトリクスは２つの周波数サブバンドのためのチャネル応答マトリクスである、請求項３１の装置。
  34. 複素値の前記第１および第２のマトリクスは２つの時間間隔のチャネル応答マトリクスである、請求項３１の装置。
  35. 複素値の第１のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の第１の複数の反復を実行し、直交ベクトルを有する第１のユニタリマトリクスを得る手段と、ここにおいて、前記第１のマトリクスはエルミートマトリクスである、
    複素値の第２のマトリクスに対してＪａｃｏｂｉ回転の第２の複数の反復を実行し、直交ベクトルを有した第２のユニタリマトリクスを得る手段と、
    を備え、前記第１のユニタリマトリクスは、第１のサブバンドにおける前記複素値の第１のマトリクスに対して前記Jacobi回転の第１の複数の反復を実行することにより得られ、第２のサブバンドにおける前記複素値の第２のマトリクスに対して前記Jacobi回転の第２の複数の反復を実行する際の初期解として使用される、無線通信のための装置。
  36. 複素値の前記第１および第２のマトリクスは２つの周波数サブバンドのためのチャネル応答マトリクスである、請求項３５の装置。
  37. 複素値の第１のマトリクスに対してJacobi回転の第１の複数の反復を実行し直交ベクトルをゆする第１のユニタリマトリクスを得る、ここにおいて、前記第１のマトリクスはエルミートトマトリクスである、および
    複素値の第２のマトリクスに対してJacobi回転の第２の複数の反復を実行し直交ベクトルを有する第２のユニタリマトリクスを得る、ここにおいて、前記第１のユニタリマトリクスは、第１の時間間隔に前記複素値の第１のマトリクスに対して前記Jacobi回転の第１の複数の反復を実行することにより得られ、第２の時間間隔に前記複素値の第２のマトリクスに対して前記Jacobi回転の第２の複数の反復を実行する際の初期解として使用される、
    ように構成された少なくとも１つのプロセッサと、
    前記少なくとも１つのプロセッサに接続されたメモリと、
    を具備する、装置。
  38. 複素値の第１のマトリクスに対してJacobi回転の第１の複数の反復を実行し、直交ベクトルを有する第１のユニタリマトリクスを得る手段と、ここにおいて、前記第１のユニタリマトリクスはエルミートマトリクスである、
    複素値の第２のマトリクスに対して前記Jacobi回転の第２の複数の反復を実行し、直交ベクトルを有する第２のユニタリマトリクスを得る手段と、ここにおいて、前記第１のユニタリマトリクスは、第１の時間間隔に前記複素値の第１のマトリクスに対して前記Jacobi回転の第１の複数の反復を実行することにより得られ、第２の時間間隔に、前記複素値の第２のマトリクスに対して前記Jacobi回転の第２の複数の反復を実行する際の初期解として使用される、
    を具備する、無線通信のための装置。
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Families Citing this family (31)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US8204149B2 (en) 2003-12-17 2012-06-19 Qualcomm Incorporated Spatial spreading in a multi-antenna communication system
US7336746B2 (en) 2004-12-09 2008-02-26 Qualcomm Incorporated Data transmission with spatial spreading in a MIMO communication system
US8285226B2 (en) 2004-05-07 2012-10-09 Qualcomm Incorporated Steering diversity for an OFDM-based multi-antenna communication system
US8923785B2 (en) 2004-05-07 2014-12-30 Qualcomm Incorporated Continuous beamforming for a MIMO-OFDM system
US7978649B2 (en) 2004-07-15 2011-07-12 Qualcomm, Incorporated Unified MIMO transmission and reception
US7602855B2 (en) 2005-04-01 2009-10-13 Interdigital Technology Corporation Method and apparatus for singular value decomposition of a channel matrix
US8543070B2 (en) 2006-04-24 2013-09-24 Qualcomm Incorporated Reduced complexity beam-steered MIMO OFDM system
US8290089B2 (en) * 2006-05-22 2012-10-16 Qualcomm Incorporated Derivation and feedback of transmit steering matrix
AU2007284477B2 (en) * 2006-08-17 2012-02-02 Apple Inc. Method and apparatus for providing efficient precoding feedback in a MIMO wireless communication system
CN101488759B (zh) * 2009-02-24 2012-04-11 东南大学 多输入多输出正交频分复用系统低密度校验码的译码方法
CN101908123B (zh) * 2010-06-01 2012-06-27 福建新大陆电脑股份有限公司 一种Hough运算的硬件逻辑实现装置
CN102013907B (zh) * 2010-09-29 2013-12-11 中国科学院声学研究所 一种Mt×2MIMO特征波束成型系统信道信息反馈方法
CN103780330B (zh) 2012-10-19 2017-04-26 华为技术有限公司 信号的传输方法和系统以及装置
CN105323037A (zh) * 2014-08-01 2016-02-10 中国移动通信集团公司 根据复矩阵进行预编码的方法及装置
CN105323036A (zh) * 2014-08-01 2016-02-10 中国移动通信集团公司 对复矩阵进行奇异值分解的方法、装置及计算设备
CN105871503B (zh) * 2015-01-22 2019-03-12 华邦电子股份有限公司 多输入多输出无线通信系统及其通道分解方法
CN104618293B (zh) * 2015-01-27 2017-11-28 东南大学 一种平滑奇异值分解的酉变换矩阵的优化方法
CN104636632B (zh) * 2015-03-10 2017-12-15 中国人民解放军国防科学技术大学 高精度相位小存储量查表计算方法
CN105403865B (zh) * 2015-10-23 2017-10-27 河海大学 多载波信号恒定包络调制方法
US11782992B2 (en) * 2017-02-17 2023-10-10 Kyndi, Inc. Method and apparatus of machine learning using a network with software agents at the network nodes and then ranking network nodes
CN107102841A (zh) * 2017-04-06 2017-08-29 上海晟矽微电子股份有限公司 一种坐标变换并行计算方法和装置
CN108228536B (zh) * 2018-02-07 2021-03-23 成都航天通信设备有限责任公司 使用FPGA实现Hermitian矩阵分解的方法
CN110110285B (zh) * 2019-04-10 2020-05-22 浙江大学 一种用于FPGA的并行Jacobi计算加速实现方法
CN110531866B (zh) * 2019-10-29 2020-03-13 深圳市瑞立视多媒体科技有限公司 基于改进的反向运动学进行姿态解算的方法及相关设备
CN112015369B (zh) * 2020-08-25 2022-09-16 湖南艾科诺维科技有限公司 基于fpga的信号处理方法、电子设备和存储介质
US12387103B2 (en) * 2021-05-12 2025-08-12 Microsoft Technology Licensing, Llc Backpropagation using parametrizing angles of unitary matrix
CN114184837B (zh) * 2021-12-09 2022-10-18 电子科技大学 一种基于Cordic算法的瞬时测频方法
IL313035A (en) * 2021-12-10 2024-07-01 Rampart Communications Inc Methods and devices for correcting timing and frequency offsets between communication receivers and transmitters
CN116539035B (zh) * 2022-01-26 2025-09-02 舜宇光学（浙江）研究院有限公司 位姿矩阵确定方法、定位方法、处理器和移动机器人
CN115659880B (zh) * 2022-09-01 2025-08-12 南京模数智芯微电子科技有限公司 一种基于奇异值分解的主成分分析算法的硬件电路及方法
CN116382617B (zh) * 2023-06-07 2023-08-29 之江实验室 基于fpga的带并行排序功能的奇异值分解加速器

Family Cites Families (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JP2976888B2 (ja) * 1996-06-27 1999-11-10 日本電気株式会社 回路シミュレーション方法
DE19626984C1 (de) * 1996-07-04 1997-11-27 Siemens Ag Verfahren zur rechnergestützten Ermittlung einer Systemzusammenhangsfunktion
US6510354B1 (en) * 1999-04-21 2003-01-21 Ching-Fang Lin Universal robust filtering process
US6859747B2 (en) * 2001-04-26 2005-02-22 Siemens Energy & Automation, Inc. Method and apparatus for self-calibrating a motion control system
US7327800B2 (en) * 2002-05-24 2008-02-05 Vecima Networks Inc. System and method for data detection in wireless communication systems

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WO2006053340A2 (en) 2006-05-18
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