JP2015095968A - 回転電機 - Google Patents

Abstract

【課題】電機子鉄心の磁気異方性に起因するコギングトルクを低減でき、かつ溝の位置を限定できる回転電機を提供する。
【解決手段】磁気異方性を有する電機子鉄心４と、対向配置されたＰ極（Ｐは正の２の倍数）の磁極を有する回転子３を備えた回転電機１において、低減対象の第１のコギングトルクの脈動回数をαＰ（αは自然数）とした場合、第１のコギングトルクを低減する第２のコギングトルクを発生させる溝６を、電機子鉄心４の突極上のＰとαから求められる位置に設ける。
【選択図】図６

Description

この発明は、回転電機のコギングトルクの低減方法として、電機子の突極部端面でかつ界磁と対向する面に溝を設け、溝により発生するコギングトルクと、元来存在するコギングトルクが相殺することにより、コギングトルクの総量を低減させる技術に関するものである。

永久磁石を有するモータにおいて、電機子側のスロットオープンにより発生するコギングトルク波形の基本波の位相に対して、π（ｒａｄ）ずれた位相を有するコギングトルクが発生するように、電機子側突極部の端面に溝を設ける技術が開示されている（例えば、特許文献１）。

特開２００９−１８９１６３号公報（段落［０００８］、［００５４］〜［００５５］、図４、図７）

特許文献１の発明では、スロットオープンによるコギングトルク波形の低減方法が示されているが、元来あるコギングトルクに対し π（ｒａｄ）ずれた位相を有するコギングトルクが発生する位置に溝を設けるとしているが、溝を設ける具体的位置について開示されていない。また、スロットオープン以外の因子により発生するコギングトルクの対処方法については、開示されていない。スロットオープン以外の因子により発生するコギングトルクは、それぞれの因子の寄与度が製品により変化し統一的な対処方法が難しいという問題がある。

この発明は、電機子鉄心の磁気異方性に起因するコギングトルクを低減でき、かつ溝の位置を限定できる回転電機を提供することを目的とする。

この発明に係る回転電機は、複数の突極に巻回された複数のコイルに順次通電することにより回転磁界が得られるように構成された磁気異方性を有する電機子鉄心と、電機子鉄心と空隙を介して対向配置されたＰ極（Ｐは正の２の倍数）の磁極を有し、電機子鉄心の電機子との間に生じる電磁力によりトルクが発生するように構成された界磁を有する回転子を備え、電機子鉄心の磁気異方性に起因する第１のコギングトルクを低減するために電機子鉄心の突極上に溝を設ける場合、低減対象の第１のコギングトルクの脈動回数をαＰ（αは自然数）とすると、第１のコギングトルクを低減する第２のコギングトルクを発生させる溝の位置は、電機子鉄心の突極上のＰとαから求められる。

この発明に係る回転電機は、上記のように構成されているため、低減対象の第１のコギングトルクをαＰ（αは自然数、Ｐは磁極数）とした場合、第１のコギングトルクを低減することができるとともに、溝の位置をαとＰで表した式で限定することができる。

この発明の実施の形態１の回転電機に係る電動機の断面図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る磁気異方性により磁極１極に働く力を考察するための模式図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る磁気異方性により磁極１極に働く力の変化の説明図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る電機子内周面の溝により磁極１極に働く力を考察するための模式図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る電機子内周面の溝により磁極１極に働く力の変化の説明図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る具体例の溝加工候補位置図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る合成考察用のベクトル図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る図６の具体例の抑制溝加工位置の組み合わせ図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る溝に起因するコギングトルクのベクトル図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る溝加工位置を表すベクトル図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る具体例の溝加工候補位置図である。 この発明の実施の形態１の回転電機に係る図１１の具体例の最適溝加工位置図である。 この発明の実施の形態２の回転電機に係る溝加工位置を表すベクトル図である。 この発明の実施の形態３の回転電機に係る溝加工位置を表すベクトル図である。

実施の形態１．
実施の形態１は、磁気異方性に起因するコギングトルクを電機子鉄心の突極上に溝を設けることによって低減し、かつ溝の加工位置を限定できる回転電機に関するものである。実施の形態１では、１つの溝で磁気異方性に起因するコギングトルクを低減する溝加工、あるいは２つの溝で磁気異方性に起因するコギングトルクを低減し、溝による新たな別調波のコギングトルクの発生を抑制する溝加工、さらに溝の寸法誤差や加工のばらつきによる低減効果のばらつきを抑制するために、溝の寸法を小さくすることなく溝の数を増やす溝加工（溝設計）について説明する。

以下、本願発明の実施の形態１に係る回転電機１の構成、動作について、回転電機の断面図である図１、磁気異方性により磁極１極に働く力を考察するための模式図である図２、磁気異方性により磁極１極に働く力の変化の説明図である図３、電機子内周面の溝により磁極１極に働く力を考察するための模式図である図４、電機子内周面の溝により磁極１極に働く力の変化の説明図である図５、具体例の溝加工候補位置図である図６、ベクトル合成の説明図である図７、具体例の抑制溝加工位置の組み合わせ図である図８、溝に起因するコギングトルクのベクトル図である図９、溝加工位置を表すベクトル図である図１０、具体例の抑制溝加工候補位置図である図１１、および具体例の最適溝加工位置図である図１２に基づいて説明する。

図１は、本発明の実施の形態１の回転電機１の断面図である。図１において、本発明を適用する回転電機１は電機子２と回転子３で構成される。
電機子２は、電機子鉄心４と溝６（図示なし）とスロット７とを備える。回転子３は磁極５と回転子シャフト８とを備える。
実施の形態１の回転電機１は、永久磁石型でかつ界磁回転型の同期電動機であり、極数がＰ、スロット数がＳである。実施の形態１では、極数がＰ＝１０、スロット数がＳ＝１２の同期電動機を想定して説明する。

電機子２は金型とプレス機を用い円筒状に打ち抜いた電磁鋼板を積層することで製作されている。小型かつ大量生産される電動機においては、この工程の生産性を高めるため、順送金型による抜きカシメという工法が採られることが多い。この工法は、コイル状に巻き取られた電磁鋼板が、プレス機のスタンピング周期に同期して一定のピッチで金型内に送り込まれ、１ピッチ進む毎に所定の部位が打ち抜かれ、複数回の打ち抜きを経て最終形状に打ち抜かれた電磁鋼板が金型内のスクイズリングと呼ばれる部位に抜き落とされ、１ショット前に抜き落とされた電磁鋼板の上にカシメ止めされることにより積層される。
電磁鋼板は所望の板厚を得るため、その長手方向に繰り返し圧延されている影響で、磁気異方性を持つ。磁気異方性とは、圧延方向の透磁率が最も高く、圧延方向と直交する方向の透磁率が最も低くなる傾向である。

図２は実施の形態１に係る回転電機１の断面図で、スロット７による磁気抵抗の影響を除外し、磁気異方性に起因するコギングトルクを考察するための模式図である。説明を簡単にするため、回転子シャフト８上のある１極に着目し、この磁極５に働く力を考察する。
ここでいう磁極５の１極とは回転子３の表面の磁束密度分布の基本波のあるゼロクロスポイントから隣のゼロクロスポイントまでを意味し、基本波のピーク位置すなわち極大点または極小点を磁極５の中心とする。

磁気異方性に起因するコギングトルクについて、図３に基づいて説明する。図３は磁気異方性により磁極１極に働く力が磁極の回転に従って変化する様子を示した図である。
磁気異方性により磁極５に働く回転子３回転方向の力をＦ（θ）とすると、電機子２側の磁気異方性と磁極５に働く力の相対位置関係は図３の展開図のように表される。図３の意味するところは次の通りである。
本実施の形態１の電機子２は磁気異方性により、回転子３が１回転するとき透磁率が最大となる位置と最小となる位置がそれぞれ２点ある。いま、透磁率最大の位置のうちの１点を回転角度０（ｒａｄ）とすると、磁極５の中心が０（ｒａｄ）の位置にあるとき、回転子３は安定位置にあるので回転子３に働く回転方向の力は０である。次に、磁極５の中心が正の方向に移動したとき、磁極５には安定位置である０度の位置に戻ろうとする力が働くので、Ｆ（θ）は負の値をとる。さらに回転子３を正の方向に回していくと、いずれかの位置でＦ（θ）は最小値をとる。その後増加に転じ、磁極５の中心が π／２（ｒａｄ）の位置で透磁率最小となりＦ（θ）が０となる。
この位置は不安定位置であり、わずかに負の方向にずれると負の力が磁極５に働き、わずかに正の方向にずれると正の力が磁極５に働く。さらに正の方向に回すとＦ（θ）は正の値をとり続け、いずれかの位置でＦ（θ）は最大値をとり、磁極５の中心が１８０度の位置で透磁率が最大となりＦ（θ）が０となる。
π（ｒａｄ）から２π（ｒａｄ）のＦ（θ）の波形は上述の０（ｒａｄ）からπ（ｒａｄ）のものと同一となる。

Ｆ（θ）は周期がπ（ｒａｄ）の周期関数となるため、フーリエ級数を用いて一般的に（１）式のように表現できる。

ただし、

図３より、Ｆ（θ）は奇関数であるため、すべてのｋに関してａ_ｋ＝０となり、（１）式は（３）式で表現できる。

（３）式は磁極５の１極に働く回転方向の力である。（３）式を利用してＰ極分のトルクの和Ｔ（θ）は、回転子３の半径をｒとして、（４）式で表現できる。

ここで、あるｋに関して、

が、０以外の値をとるのは、三角関数の性質より、αを自然数として（２ｋ）・（２π／Ｐ）＝２πα、すなわち

のときである。（５）式を（４）式に代入して、（６）式が得られる。

（６）式から、実施の形態１における磁気異方性に起因するコギングトルクの回転子３の１回転当たりの脈動回数は、極数の自然数倍の値を取りうるということがわかる。
いずれの脈動回数の成分が卓越するかは、電機子鉄心４の材質や形状等に依存するため、回転電機（電動機）の機種により異なる。
なお、磁気異方性に起因するコギングトルクＴ（θ）が、本願発明の第１のコギングトルクである。

今、卓越する脈動回数をα_１Ｐ回とし、この成分をα_１Ｐ山成分と呼ぶ。この成分を、電機子鉄心の突極上でかつ磁極５との対向面に回転軸方向に伸びる溝６を設けることにより相殺することを図４、図５に基づいて検討する。
図４は溝６の中心が電機子内周のφ（ｒａｄ）の位置にあるときの、磁極５の１極に働く力を考察するための模式図である。ただし、図ではφ＝０としている。

この磁極５に働く力をＦ^＊（θ）とすると、電機子２とＦ^＊（θ）の相対位置関係は図５のようになる。図５は、電機子内周面に設けられた溝により磁極１極に働く力が磁極の回転に従って変化する様子を示し、この図の意味するところは、次の通りである。
磁極５の中心が溝６の中心位置であるφ（ｒａｄ）の位置にあるとき、この位置は不安定点であり、中心位置から少し負の方向にずれると負の向きの力が、正の方向にずれると正の向きの力が働く。さらに磁極５を正の方向に進めると、溝６の近傍のある位置でＦ^＊（θ）は最大値をとる、その後減少し、φ＋π（ｒａｄ）の位置で０となる。この点は安定点であり、磁極５をさらに正の方向に進めるとＦ^＊（θ）は負の値をとる。そして磁極５が溝６の近傍のある位置に来たときＦ^＊（θ）は最小値をとり、その後２π（ｒａｄ）の位置で０となる。すなわち、Ｆ^＊（θ）はφｒａｄの位置に関し点対称な波形となる。
なお、溝の中心位置とは、溝の一方の縁から他方の縁までの距離を測ったときの中心位置である。

Ｆ^＊（θ）をフーリエ級数で表現すると、０〜π（ｒａｄ）とπ〜２π（ｒａｄ）の値が異なることを考慮の上、Ｆ（θ）の導出と同様に考えると、（７）式が得られる。

ここで、ｂ^＊ _ｋ＊ は（８）式で表される。

（７）式は磁極５の１極に働く回転方向の力である。（７）式を利用してＰ極分のトルクの和Ｔ^＊（θ）は、Ｔ（θ）の導出と同様に考えて（９）式で表される。

（９）式より、溝に起因するコギングトルクＴ^＊（θ）の、回転子３の１回転当たりの脈動回数は、極数の自然数倍の値を取りうる。脈動成分の振幅ｂ^＊ _α＊Ｐ の大きさと正負は、溝の幅、深さに依存するＦ^＊（θ）の波形とｓｉｎα^＊Ｐ（θ−φ）の波形の相互関係で決まる（図５のＦ（θ）とｓｉｎ２ｋθを参照）。ただし、ｓｉｎα^＊Ｐ（θ−φ）の半波長分の円弧長に対し、溝の深さを十分小さくすれば、ｂ^＊ _α＊Ｐを正にすることができる。
なお、溝に起因するコギングトルクＦ^＊（θ）が、本願発明の第２のコギングトルクである。

この溝によるコギングトルクのうち，α^＊＝α_１ である成分でもって、磁気異方性に起因するコギングトルクを相殺するための、溝の位置を考察する。

Ｔ（θ）のα＝α_１の成分をＴ_α１（θ）、Ｔ^＊（θ）のα^＊＝α_１の成分をＴ^＊ _α１（θ） とすると、すべてのθに関して（１０）式が成立すればよい。

（１０）式から（１１）式が導かれる。

（１１）式から（１２）式が導かれる。

（１２）式がθに関して常に成立するので、（１３）式が導かれる。

（１３）式から（１４）式が導かれる。

ここで、ｂ^＊ _α１Ｐ ／ｂ_α１Ｐの正負の符号に関して場合分けが生じる。
まず、（ｂ^＊ _α１Ｐ ／ｂ_α１Ｐ）＞０のとき、（１４）式から（１５）式が導かれる。

（１５）式の左辺第１項と第２項はそれぞれ０以上であるため、（１５）式が成立する必要十分条件は、

となる。

次に（ｂ^＊ _α１Ｐ ／ｂ_α１Ｐ）＜０のとき、（１４）式から（１７）式が導かれる。

（１７）式の左辺第１項と第２項はそれぞれ０以上であるため、（１７）式が成立する必要十分条件は、

となる。

（１６）式または（１８）式が溝の満たすべき条件である。これらの内｜ｂ^＊ _α１Ｐ｜、すなわち振幅の大きさは、磁界解析や試作により、溝によるコギングトルクのα_１Ｐ山成分が、元来あるトルクのα_１Ｐ山成分と同等の大きさとなるように溝の幅や寸法を調整し決定する。
溝の位置については、まずは（１６）式の位置でコギングトルク低減効果の有無を確認し、α_１Ｐ山成分が増幅してしまう場合は、（１８）式の位置に変更すれば確実に低減効果が得られる。つまり、溝の位置は（１６）式または（１８）式の２通りに限定されるため、計算および試作の回数を減らすことができ効率的である。また、ｍは数学的に全ての整数をとることができるが、実機の電機子内周面の溝加工位置を考える際、ｍとｍ±α_１Ｐは同じ位置を指すので、ｍのとりうる値は０以上α_１Ｐ−１ 以下の整数に限定できる。

特許文献１の発明では、元来あるコギングトルクに対しπ（ｒａｄ）ずれた位相を有するコギングトルクが発生する位置に溝を設けるとしているが、溝を設ける具体的位置について開示されていなかった。しかし、本発明では、溝の位置を具体的に限定することができる。

（１６）式または（１８）式を満たすα_１Ｐ箇所の候補位置のいずれかに溝を設ければ、同等の低減効果が得られる。
図６に例として、Ｐ＝１０、α_１＝２、Ｓ＝１２のときの溝加工の候補位置（α_１Ｐ＝２０）を示す。

磁気異方性に起因するコギングトルクを抑制するための溝の加工候補位置は、次のように一般化できる。
Ｐ極の回転子を備えた回転電機において、電機子鉄心の磁気異方性に起因する第１のコギングトルクを低減するため、低減対象の第１のコギングトルクの脈動回数をαＰ（αは自然数）とした場合、電機子鉄心の突極上のＰとαから求められる位置に溝を設けることで、第１のコギングトルクを打ち消す第２のコギングトルクを発生させることができる。
第２のコギングトルクを発生させる溝の位置は、回転子の回転方向に関し、電機子鉄心の突極の対抗面上において、電機子のコイルに対して鎖交方向の透磁率が最大となる位置を０（ｒａｄ）とし、０からαＰ−１までのいずれかの値をとるβ個の整数(βは1からαＰまでの自然数)をｍ_０，・・・，ｍ_β−１とするとき、その個数はβ個存在し、それぞれの溝の中心位置は（（２π／αＰ）・ｍ_０，・・・，（２π／αＰ）・ｍ_β−１）となるか、または、（（２π／αＰ）・ｍ_０＋（π／αＰ）），・・・，（（２π／αＰ）・ｍ_β−１＋（π／αＰ））となる。

上記の計算では、溝１個でα_１Ｐ山成分をゼロにするための条件を求めたが、これを複数の溝で行ってもよい。α_１Ｐ以下の自然数をβとするとき、｜ｂ_α１Ｐ｜＝β｜ｂ^＊ _α１Ｐ｜ となるようなβ個の溝を、（１６）式または（１８）式のα_１Ｐ箇所の候補位置のいずれかのβ箇所に分散配置しても同等の効果が得られる。

以上説明したように、上記のように（１６）式または（１８）式で設計された溝により、磁気異方性に起因するコギングトルクのα_１Ｐ山成分を相殺できることが明らかとなった。
しかし、この溝により新たにα_γＰ山成分（α_γは自然数かつα_γ≠α_１ ）が発生する可能性がある。特にα_１が２以上のとき、α_γ＝１ の成分は極数と同数の成分であるため、たとえ回転子３の起磁力分布が基本波のみで構成されていたとしても、少なからず発生するため、少なくともα_γ＝１の成分すなわちＰ山成分の発生は抑制する必要がある。

今、α_１を２以上の整数とする。（１６）式、（１８）式より、α_１Ｐ山成分低減のための溝加工候補位置は、２π／α_１Ｐ（ｒａｄ）毎にα_１Ｐ箇所存在する。α_１Ｐ山成分に関しては、これらのうちいずれの箇所を選択してもコギングトルクが低減できる。

ここでα_１個の溝を用い、Ｐ山成分を相殺することを考える。
ある溝が発生させるコギングトルクＰ山成分は、（９）式のα^＊＝１の成分であるので（１９）式で表すことができる。

ここで、ｔ＝ｒＰｂ_Ｐ 、δはこの溝の中心位置である。
０からＰ−１までのいずれかの値をとるα_１−１個の整数をλ_１，λ_２，・・・，λ_α１−１とし、この溝から［（２π／α_１Ｐ）＋（２π／Ｐ）λ_１］（ｒａｄ），［（２π／α_１Ｐ）・２＋（２π／Ｐ）λ_２］（ｒａｄ），・・・，［（２π／α_１Ｐ）・（α_１−１）＋（２π／Ｐ）λ_α１−１］（ｒａｄ）離れた位置にそれぞれ同じ大きさの溝を１つずつ設けたときのそれぞれのコギングトルクＰ山成分は、（２０）式で表される。

（１９）式および（２０）式の各式の和が、α_１個の溝が発生させるＰ山成分であり、これをＴ^＊ _１（θ）とする。（２０）式の各々のλ_１，λ_２，・・・，λ_α１−１に関する項は、Ｐ山成分の周期性より消去できることを考慮すると、Ｔ^＊ _１（θ）は（２１）式となる。

（２１）式の右辺の各項を正弦関数の定義に則り、円周上の各点に対応させると、図７のようになる。Ｔ^＊ _１（θ）は、図７の原点と円周上の各点を結ぶベクトルの和に対応するので、図形の対称性より、（２２）式が成立する。

次に、α_γ＝１以外の成分について帰納的に考える。α_１個の溝を設けたとき、α_γＰ山成分Ｔ_αγ（θ）は（２３）式で表される。

（２３）式を図７と同じく円周上でベクトル的に考察すると、右辺のそれぞれの項に対応するべクトルは、α_γ周分の円周上の道のりをα_１等分した点に相当するので、α_γがα_１の整数倍でない限りは、（２３）式の右辺も０となる。

結局、元々の低減対象であったα_１Ｐ山成分以外で、溝により新たに発生する可能性のある成分は、ｑα_１Ｐ山成分（ｑは２以上の整数）のみであり、高次になればなるほど、その振幅は小さくなる傾向にある。
すなわち、溝により新たに別調波のコギングトルクが発生することを抑制できる。
上記の説明で導き出したα_１個の溝の位置を以降、「１８０度低減位置」と呼ぶ。

図８に例として、Ｐ＝１０、α_１＝２、Ｓ＝１２、（ｂ^＊ _α１Ｐ ／ｂ_α１Ｐ）＞０のときの１８０度低減位置を示す。図８は、具体的には、図７の溝加工候補位置のうち、溝により新たに余分な別成分のコギングトルクが発生することを抑制できる加工位置の組み合わせを示す。図８において、●と■をそれぞれ同じ数ずつ選択することで２０ｑ山成分を低減できる。
なお、（１９）式、（２０）式で表されるα_１個の溝の組み合わせは、ｎ組（ｎは１からＰまでの自然数）作ることができる。つまりｎα_１個の溝でｑα_１Ｐ山成分（ｑは２以上の整数）以外の発生を抑制することができる。

磁気異方性に起因するコギングトルクを抑制するための溝の１８０度低減位置は、次のように一般化できる。
回転子の回転方向に関し、電機子鉄心の突極の対抗面上において、電機子のコイルに対して、０からＰ−１までのいずれかの値をとるｎα個の整数(ｎは1からＰまでの自然数)をｍ_１０，・・・，ｍ_{１（α−１）}，・・・，ｍ_ｎ０，・・・，ｍ_{ｎ（α−１）}とするとき、その溝の個数はｎα個存在し、それぞれの溝の中心位置が（２π／αＰ）・（０＋αｍ_１０），・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{１(α−１）}｝，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αｍ_ｎ０），・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{ｎ(α−１）}｝となるｎα個の溝から成り立つか、または、（２π／αＰ）・（０＋αｍ_１０）＋（π／αＰ），・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{１(α−１）}｝＋（π／αＰ），・・・，（２π／αＰ）・（０＋αｍ_ｎ０）＋（π／αＰ），・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{ｎ(α−１）}｝＋（π／αＰ）となるｎα個の溝から成り立つ。

ところで、磁気異方性に起因するコギングトルクは電機子鉄心や回転子の寸法、材質を変更しなければ、どの個体も同等の大きさのものが発生する。このため、一度試作で溝の寸法および位置を決定しておけば、量産時は予め電機子鉄心の打ち抜き工程において、金型に溝形状を仕込んでおくことで、α_１Ｐ山成分の小さい製品ができる。

特許文献１の発明では、コギングトルク低減のための溝の寸法は、幅が０．５ｍｍ以下、深さが０．３ｍｍであることが好ましいとしている。しかし、溝の加工誤差による低減効果のばらつきに対する対処方法が明らかにされていない。
大量生産される回転電機の電機子鉄心は、電磁鋼板を金型とプレス機械で所望の形状に打ち抜き、それらを積層して製作され、電磁鋼板の板厚は０．５ｍｍまたは０．３ｍｍであることが多い。一般にプレス金型による打ち抜き加工において板厚以下の寸法をコントロールすることは難しいとされているので、上記寸法の溝加工はばらつきが大きくなると考えられる。
特許文献１の発明では、溝により発生するコギングトルクが、元来あるコギングトルクの位相に対して１８０度ずれているため、溝寸法のばらつきによる影響が、コギングトルクの総量に直結する。例えば、溝加工寸法が大きい側に振れたとき、溝によるコギングトルクの振幅が、元来あるコギングトルクの振幅を上回り、元来あるコギングトルクとは逆位相のコギングトルクが発生してしまう。

しかし、特許文献１にも記述されている通り、これらの溝の寸法は、経験的にコンマ数ミリのオーダーになることが多く、金型におけるパンチ・ダイの加工誤差やチッピングによりコギングトルク低減効果にばらつきが生じる。ばらつきの影響を小さくするためには、溝数を増やす、すなわちｓα_１個（ｓは２以上の整数）の溝を設けることが有効であるが、低減すべきα_１Ｐ山成分の大きさは一定であるので、溝１つ当たりが担うコギング低減量が小さくなり、そのためさらに溝寸法が小さくなり加工が困難になる。

そこで、溝の寸法を小さくすることなく、溝の数を増やす方法を検討する。
（１６）式および（１８）式は、磁気異方性に起因するコギングトルクを、溝１箇所で相殺する場合の必要十分条件であり、このとき溝に起因するコギングトルクのα_１Ｐ山成分Ｔ^＊ _α１（θ）は、（２４）式で表される。

（２４）式が成立する必要十分条件は、（２５）式または（２６）式である。

いま、（２４）式のトルクを２つの溝で発生させることを考える。図９の円周１周は、２π／α_１Ｐ （ｒａｄ）に相当するとし、円周上でかつ０（ｒａｄ）の位置を元来あるコギングトルクのα_１Ｐ山成分を表すベクトルとする。このとき、Ｔ^＊ _α１（θ）は、図９中のベクトルａで表される。
ここで、ベクトルａに対してそれぞれ＋ζ（ｒａｄ）、−ζ（ｒａｄ）離れたベクトルｂ、ｃを考える。ベクトルｂ、ｃのベクトルの和は、ベクトルａと同一の方向を向く。
ここで、ζはずらし角度であり、実数である。
これらを数式で表せば次のようになる。ベクトルｂ、ｃに対応するコギングトルクをそれぞれＴ^＊ _ｂα１（θ）、Ｔ^＊ _ｃα１（θ）とすると、Ｔ^＊ _ｂα１（θ）、Ｔ^＊ _ｃα１（θ）およびこれらの和Ｔ^＊ _ｂα１（θ）＋Ｔ^＊ _ｃα１（θ）は（２７）式から（２９）式のように表される。

（２９）式が、（２４）式と等しくなる必要十分条件は（３０）式となる。

つまり、（３０）式が成立するように２つの溝の寸法および溝の位置ζを調整すれば、α_１Ｐ山成分の低減に関し、１８０度低減候補位置の溝と同等の効果を得ることができる。特に、ζ＝π／３ とすれば、２ｃｏｓζ＝１となるので、（３１）式が成立する。

すなわち、１８０度低減候補位置で決定した溝と同じ寸法の溝で、２個の溝を使用して同等の効果（磁気異方性に起因するコギングトルクを低減し、かつｑα_１Ｐ山成分（ｑは２以上の整数）以外の溝によるコギングトルクの発生を抑制することができる）を得ることができる。

ところで、１８０度低減候補位置が、２π／α_１Ｐ（ｒａｄ）毎にα_１Ｐ箇所あったことと同様に、ずらし角度ζ（ｒａｄ）に対する溝候補位置は、ｂ方向にα_１Ｐ箇所、ｃ方向にα_１Ｐ箇所存在する。
すなわち、α_１Ｐ箇所の１８０度低減候補位置からβ個（βはα_１Ｐ以下の自然数）の箇所を選んで、同じ寸法のβ個の溝でコギングトルクのα_１Ｐ山成分を相殺できるとき、それらの溝の位置に対してそれぞれ＋方向、−方向にそれぞれζ／α_１Ｐ（ｒａｄ）ずらした２β箇所の位置に、（３０）式を満たす寸法の溝を設ければ、１８０度低減候補位置における溝の２倍の溝で、同等の効果を得ることができる。

特に、β＝α_１とし、１８０度低減位置すなわち、０からＰ−１までのいずれかの値をとるα_１−１個の整数をλ_１，λ_２，・・・，λ_α１−１ とし、１８０度低減候補位置にある、ある１つの溝と、この溝から（２π／α_１Ｐ＋（２π／Ｐ）λ_１）（ｒａｄ）、（（２π／α_１Ｐ）・２＋（２π／Ｐ）λ_２）（ｒａｄ） … （（２π／α_１Ｐ）・（α_１−１）＋（２π／Ｐ）λ_α１−１）（ｒａｄ）離れた位置にそれぞれ同じ大きさの溝を１つずつ設ける場合を仮想したとき（ただし、実際には設けない）、これらα_１箇所の溝の位置からそれぞれ＋方向、−方向にそれぞれ（ζ／α_１Ｐ）（ｒａｄ）ずらした２α_１個の溝を設けた場合でも、１８０度低減位置と同様の効果、すなわちｑα_１Ｐ山成分（ｑは２以上の整数）以外の成分は相殺することができる。ここで、その例として図１０を示す。
なお、上記で表される２α_１個の溝の組み合わせは、あるζに対してｎ組（ｎは１からＰまでの自然数）作ることができる。つまり２ｎα_１個の溝でｑα_１Ｐ山成分（ｑは２以上の整数）以外の発生を抑制することができる。なお、図１０ではα_１を４としている。

いま、図１０の円周１周は、（２π／α_１Ｐ）（ｒａｄ）に相当するとし、円周上でかつ０（ｒａｄ）の位置を元来あるコギングトルクのα_１Ｐ山成分を表すベクトルとする。上記の１８０度低減位置にあるα_１個の溝の群を便宜上Ａ群と呼ぶ。Ａ群の溝が生み出すα_１Ｐ山成分は、大きさが円の半径の１／α_１で角度がπ（ｒａｄ）であるα_１個のベクトルの和（図１０のＡ）である。

ここでＡ群の代わりにＢ群、Ｃ群のようなベクトルを考える。すなわち、Ｂ群、Ｃ群のベクトルの和がＡ群のベクトル和と等しくなれば、同等の低減効果が得られる。
Ｂ群、Ｃ群はそれぞれα_１個の溝で構成され、それらの位置は、１８０度低減位置よりも図１０上ではそれぞれ＋π／３（ｒａｄ）、−π／３（ｒａｄ）ずれている。
図１０の円一周は（２π／α_１Ｐ）（ｒａｄ）に相当するので、実際の溝の位置は１８０度低減位置よりもそれぞれ＋（π／３α_１Ｐ）（ｒａｄ）、−（π／３α_１Ｐ）（ｒａｄ）ずれている。

一方、群内の溝の位置関係は（１９）式、（２０）式における溝の位置関係と同様の関係にあるので、これらの溝によりｑα_１Ｐ山成分以外の成分は発生しない。Ａ群の溝の代わりにＢ群とＣ群の位置に溝を配置することで、Ａ群に溝を設けたときと同じ寸法の溝で溝の数を２倍に増やすことができる。このため、溝１箇所当たりのα_１Ｐ山成分への影響度を下げることができるため、コギングトルクが小さく、また溝寸法ばらつきに強い電機子２を得ることができる。
図１１に例として、Ｐ＝１０、α_１＝２、Ｓ＝１２のときのＢ群、Ｃ群の溝加工の候補位置を示す。
図１１において、●と■と○と□をそれぞれ同じ数ずつ選択することで磁気異方性に起因するコギングトルク山成分を低減でき、かつ設けた溝によるｑα_１Ｐ山成分以外のコギングトルクは発生しない。

図１０では溝の数は２α_１個の例を挙げたが、加工精度が許す限り溝寸法を小さくしていけば、２ｎα_１（ｎ＝１、２、・・・、Ｐ）個の溝でも実現可能である。図１２では例として、Ｐ＝１０、α_１＝２、Ｓ＝１２のときのＢ群、Ｃ群の溝加工位置を示す。図１１の候補位置の中から、●、■、○、□がそれぞれ同数となり、かつ各突極当たりの溝数を同数とし、かつスロット７部に近い加工位置を避けるようにして選択した。
突極当たりの溝数を同一にしたのは、３相交流の作り出す回転磁界にアンバランスができトルクリップルが生じるのを避けるためである。また、スロットに近い加工位置を避けたのは、溝の効果を安定させるためである。

磁気異方性に起因するコギングトルクを抑制するため、（１６）式または（１８）式の条件を満たす溝（Ａ群）に対して、Ｂ群、Ｃ群の溝を設ける場合の溝の加工位置は、次のように一般化できる。
回転子の回転方向に関し、電機子鉄心の突極の対抗面上において、電機子のコイルに対して、ある自然数をαとし、０からαＰ−１までのいずれかの値をとる２β個の整数(βは1からαＰまでの自然数)をｍ_０，・・・，ｍ_β−１, λ_０，・・・，λ_β−１とし、ある実数ζが０＜ζ＜π／２を満たすとき、その個数は２β個存在し、それぞれの溝の中心位置が（（２π／αＰ）・ λ_０＋ζ／αＰ），・・・，（（２π／αＰ）・ λ_β−１＋ζ／αＰ）となるβ個の溝と、（（２π／αＰ）・ ｍ_０−ζ／αＰ），・・・，（（２π／αＰ）・ ｍ_β−１−ζ／αＰ）となるβ個の溝とから成り立つか、または、（（２π／αＰ）・ λ_０＋ζ／αＰ＋π／αＰ），・・・，（（２π／αＰ）・ λ_β−１＋ζ／αＰ＋π／αＰ）となるβ個の溝と（（２π／αＰ）・ ｍ_０−ζ／αＰ＋π／αＰ），・・・，（（２π／αＰ）・ ｍ_β−１−ζ／αＰ＋π／αＰ）となるβ個の溝とから成り立つ。

また、磁気異方性に起因するコギングトルクを抑制するための１８０度低減位置の溝（Ａ群）に対しては、Ｂ群、Ｃ群の溝を設ける場合の溝の加工位置は次のように一般化できる。
回転子の回転方向に関し、電機子鉄心の突極の対抗面上において、電機子のコイルに対して、ある自然数をαとし、０からＰ−１までのいずれかの値をとる２ｎα個の整数(ｎは1からＰまでのいずれかの自然数)をｍ_１０,・・・,ｍ_{１（α−１）}，・・・，ｍ_ｎ０,・・・，ｍ_{ｎ（α−１）}，λ_１０,・・・,λ_{１（α−１）}，・・・，λ_ｎ０,・・・，λ_{ｎ（α−１）}とし、ある実数ζが０＜ζ＜π／２を満たすとき、その個数は２ｎα個存在し、それぞれの溝の中心位置が（２π／αＰ）・（０＋αλ_１０）＋ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・｛（α−１）＋αλ_{１(α−１）}｝＋ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αλ_ｎ０）＋ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αλ_{ｎ(α−１）}｝＋ζ／αＰとなるｎα個の溝と（２π／αＰ）・（０＋αｍ_１０）−ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・｛（α−１）＋αｍ_{１(α−１）}｝−ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αｍ_ｎ０）−ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{ｎ(α−１）}｝−ζ／αＰとなるｎα個の溝とから成り立つか、または、（２π／αＰ）・（０＋αλ_１０）＋ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・｛（α−１）＋αλ_{１(α−１）}｝＋ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αλ_ｎ０）＋ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αλ_{ｎ(α−１）}｝＋ζ／αＰ＋π／αＰとなるｎα個の溝と（２π／αＰ）・（０＋αｍ_１０）−ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・｛（α−１）＋αｍ_{１(α−１）}｝−ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αｍ_ｎ０）−ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{ｎ(α−１）}｝−ζ／αＰ＋π／αＰとなるｎα個の溝とから成り立つ。

以上説明したように、実施の形態１の回転電機は、磁気異方性に起因するコギングトルクを電機子鉄心の突極上に溝を設けることによって低減し、かつ溝の加工位置を限定できるものである。

１つの溝で磁気異方性に起因するコギングトルクを低減する溝加工を回転電機に適用すれば、最小限の溝加工を行うことで、磁気異方性に起因するコギングトルクを低減できる。
また、２つの溝で磁気異方性に起因するコギングトルクを低減する溝加工を回転電機に適用すれば、溝による新たな別調波のコギングトルクの発生を抑制することができる。
さらに、溝の寸法を小さくすることなく溝の数を増やすために、磁気異方性に起因するコギングトルクを低減する溝によるコギングトルクとベクトル的に同一となる２つの溝を設ける溝加工を回転電機に適用すれば、溝の寸法誤差や溝加工のばらつきによる低減効果のばらつきを抑制することができる。
さらに、以上のように実施の形態１の回転電機では、回転電機の小型化を図ることができると共に、生産工程の簡素化を図ることができる。

実施の形態２．
実施の形態１の回転電機では、磁気異方性に起因するコギングトルクを低減する溝の寸法を小さくすることなく溝の数を増やすために、ベクトル的に同一となる２つの溝を設ける溝加工において、ずらし角度ζをπ／３の場合の例を説明した。実施の形態２では、ずらし角度ζを０＜ζ＜π／３としたものである。

以下、実施の形態２の回転電機の構成、動作について、回転電機に係る溝加工位置を表すベクトル図である図１３に基づいて、実施の形態１との差異を中心に説明する。

図１３は実施の形態２に係る溝加工位置を表すベクトル図である。実施の形態１の図１０では溝の加工寸法をＡ，Ｂ，Ｃ群ともに同一としていた。ただし、実際にはＡ群の位置には溝加工せず、Ａ群と同一というのはＢ，Ｃ群の溝加工を考える上での仮想上の表現である。
本実施の形態２では、その制約をなくし、溝加工位置を±（π／３α_１Ｐ）（ｒａｄ）からずらすことで、２α_１Ｐ山の発生を抑制することを目的とする。特に、本実施の形態２では、溝加工位置を（π／３α_１Ｐ）（ｒａｄ）から狭めることを検討する。なお、図１３ではα_１を４としている。

図１３において、Ｂ群およびＣ群の溝に起因して生じるコギングトルクの２α_１Ｐ成分は、（９）式のα^＊＝２α_１のときとして表現でき、（３２）式、（３３）式で表すことができる。

これらの和をとると、（３４）式となる。

（３４）式が０となるとき、すなわち２α_１Ｐ山成分が相殺される必要十分条件は、（３５）式で表される。

（３５）式から（３６）式が得られる。

ここで、ｎは整数である。
つまり１８０度低減位置よりＢ群は−（π／４α_１Ｐ）（ｒａｄ）、Ｃ群は＋（π／４α_１Ｐ）（ｒａｄ）ずらすことで、２α_１Ｐ山成分が相殺される。ここで、図１３(ａ）のようにＢ、Ｃ群の溝の大きさを実施の形態１の図１０と同様に同じ大きさにすると、Ｂ、Ｃ群の合成ベクトルの大きさは、Ａ群のものより大きくなってしまう。そこで、図１３（ｂ）のように実施の形態１よりも溝加工寸法を小さくすることで、α_１Ｐ山成分を低減し、さらに次の次数である２α_１Ｐ山の発生を抑制できる溝配置が実現する。

以上説明したように、実施の形態２の回転電機は、磁気異方性に起因する第１のコギングトルクを低減するための溝による第２のコギングトルクと、ベクトル的に同一となる２つの溝を設け、ずらし角度ζを０＜ζ＜π／３としたものである。このため、実施の形態１の回転電機と同様に磁気異方性に起因するコギングトルクを低減することができる。
さらに、溝の寸法を小さくすることなく溝の数を増やすることができ、溝の寸法誤差や溝加工のばらつきによる低減効果のばらつきを抑制できる。

実施の形態３．
実施の形態１の回転電機では、磁気異方性に起因するコギングトルクを低減する溝の寸法を小さくすることなく溝の数を増やすために、ベクトル的に同一となる２つの溝を設ける溝加工において、ずらし角度ζをπ／３とし、実施の形態２ではずらし角度ζを０＜ζ＜π／３とした。実施の形態３の回転電機は、ずらし角度ζをπ／３＜ζ＜π／２とし、溝数を２倍以上としたものである。

以下、実施の形態３の回転電機の構成、動作について、回転電機に係る溝加工位置を表すベクトル図である図１４に基づいて、実施の形態１、２との差異を中心に説明する。

図１４は実施の形態３に係る溝加工位置を表すベクトル図である。実施の形態２とは異なり、Ａ群に溝を設けたときと同じ寸法のまま溝数を２倍以上にすることを目的とする。
Ｂ郡、Ｃ群の溝加工位置が±（π／３α_１Ｐ）（ｒａｄ）よりさらに広がる方向に移動させることで、溝寸法を変えずに溝数を２ｎ^＊α_１（ｎ^＊＝１，２，・・・，Ｐ）倍にできる。なお、図１４ではα_１を４としている。
このときの加工位置を±（ζ^＊／α_１Ｐ）（ｒａｄ）とすると、Ｂ群、Ｃ群の溝によるコギングトルクα_１Ｐ山成分は（３７）式から（３９）式で表される。

ここで、溝の寸法がＡ群と同じであることから
ｄ_α１Ｐ ＝ｂ^＊ _α１Ｐ
である。この条件の元で、（３９）式の右辺がＡ群の合成ベクトルと等しくなる必要十分条件は、（４０）式で表される。（４１）式の通りとなる。

（４０）式から（４１）式が得られる。

溝数をα_１の整数倍で増やすことにより、ｑα_１Ｐ山成分（ｑは２以上の整数）以外の成分の発生を抑制しつつ、溝寸法のばらつきによる影響を、実施の形態１の場合よりも減らすことができる。

以上説明したように、実施の形態３の回転電機は、磁気異方性に起因するコギングトルクを低減する溝によるコギングトルクとベクトル的に同一となる２つの溝を設け、このずらし角度ζをπ／３＜ζ＜π／２としたものである。このため、実施の形態１の回転電機と同様に磁気異方性に起因するコギングトルクを低減することができる。
さらに、溝の寸法を小さくすることなく溝の数を２倍以上に増やすることができ、溝の寸法誤差や溝加工のばらつきによる低減効果のばらつきを抑制できる。

なお、本発明は、その発明の範囲内において、各実施の形態を自由に組み合わせたり、実施の形態を適宜、変形、省略したりすることが可能である。

１ 回転電機、２ 電機子、３ 回転子、４ 電機子鉄心、５ 磁極、６ 溝、
７ スロット、８ 回転子シャフト。

Claims (8)

1. 複数の突極に巻回された複数のコイルに順次通電することにより回転磁界が得られるように構成された磁気異方性を有する電機子鉄心と、前記電機子鉄心と空隙を介して対向配置されたＰ極（Ｐは正の２の倍数）の磁極を有し、前記電機子鉄心の電機子との間に生じる電磁力によりトルクが発生するように構成された界磁を有する回転子を備えた回転電機において、
   前記電機子鉄心の磁気異方性に起因する第１のコギングトルクを低減するために前記電機子鉄心の突極上に溝を設ける場合、
   低減対象の前記第１のコギングトルクの脈動回数をαＰ（αは自然数）とすると、
   前記第１のコギングトルクを低減する第２のコギングトルクを発生させる溝の位置は、前記電機子鉄心の突極上の前記Ｐと前記αから求められる回転電機。
2. 前記第２のコギングトルクを発生させる溝は、
   前記回転子の回転方向に関し、前記電機子鉄心の突極の対抗面上において、前記電機子のコイルに対して鎖交方向の透磁率が最大となる位置を０ｒａｄとし、０からαＰ−１までのいずれかの値をとるβ個の整数（βは１からαＰまでの自然数）をｍ_０，・・・，ｍ_β−１とするとき、前記溝の個数はβ個存在し、それぞれの前記溝の中心位置は（２π／αＰ）・ｍ_０，・・・，（２π／αＰ）・ｍ_β−１となるβ個の溝から成り立つか、
   または、（（２π／αＰ）・ｍ_０＋（π／αＰ）），・・・，（（２π／αＰ）・ｍ_β−１＋（π／αＰ））となるβ個の溝から成り立つ請求項１に記載の回転電機。
3. 前記第２のコギングトルクを発生させる溝は、
   前記回転子の回転方向に関し、前記電機子鉄心の突極の対抗面上において、前記電機子のコイルに対して鎖交方向の透磁率が最大となる位置を０ｒａｄとし、０からＰ−１までのいずれかの値をとるｎα個の整数（ｎは１からＰまでの自然数）をｍ_１０，・・・，ｍ_{１（α−１）}，・・・，ｍ_ｎ０，・・・，ｍ_{ｎ（α−１）}とするとき、前記溝の個数はｎα個存在し、それぞれの前記溝の中心位置が（２π／αＰ）・（０＋αｍ_１０），・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{１（α−１）}｝，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αｍ_ｎ０），・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{ｎ（α−１）}｝となるｎα個の溝から成り立つか、
   または、（２π／αＰ）・（０＋αｍ_１０）＋（π／αＰ），・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{１（α−１）}｝＋（π／αＰ），・・・，（２π／αＰ）・（０＋αｍ_ｎ０）＋（π／αＰ），・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{ｎ（α−１）}｝＋（π／αＰ）となるｎα個の溝から成り立つ請求項１に記載の回転電機。
4. 前記第２のコギングトルクを発生させる溝は、
   前記回転子の回転方向に関し、前記電機子鉄心の突極の対抗面上において、前記電機子のコイルに対して鎖交方向の透磁率が最大となる位置を０ｒａｄとし、０からαＰ−１までのいずれかの値をとる２β個の整数（βは１からαＰまでの自然数）をｍ_０，・・・，ｍ_β−１， λ_０，・・・，λ_β−１とし、ある実数ζが０＜ζ＜π／２を満たすとき、前記溝の個数は２β個存在し、それぞれの前記溝の中心位置が（（２π／αＰ）・ λ_０＋ζ／αＰ），・・・，（（２π／αＰ）・ λ_β−１＋ζ／αＰ）となるβ個の溝と（（２π／αＰ）・ ｍ_０−ζ／αＰ），・・・，（（２π／αＰ）・ ｍ_β−１−ζ／αＰ）となるβ個の溝とから成り立つか、
   または、（（２π／αＰ）・ λ_０＋ζ／αＰ＋π／αＰ），・・・，（（２π／αＰ）・ λ_β−１＋ζ／αＰ＋π／αＰ）となるβ個の溝と（（２π／αＰ）・ ｍ_０−ζ／αＰ＋π／αＰ），・・・，（（２π／αＰ）・ ｍ_β−１−ζ／αＰ＋π／αＰ）となるβ個の溝とから成り立つ請求項１に記載の回転電機。
5. 前記第２のコギングトルクを発生させる溝は、
   前記回転子の回転方向に関し、前記電機子鉄心の突極の対抗面上において、前記電機子のコイルに対して鎖交方向の透磁率が最大となる位置を０ｒａｄとし、０からＰ−１までのいずれかの値をとる２ｎα個の整数（ｎは１からＰまでのいずれかの自然数）をｍ_１０，・・・，ｍ_{１（α−１）}，・・・，ｍ_ｎ０，・・・，ｍ_{ｎ（α−１）}，λ_１０，・・・，λ_{１（α−１）}，・・・，λ_ｎ０，・・・，λ_{ｎ（α−１）}とし、ある実数ζが０＜ζ＜π／２を満たすとき、前記溝の個数は２ｎα個存在し、それぞれの前記溝の中心位置が（２π／αＰ）・（０＋αλ_１０）＋ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・｛（α−１）＋αλ_{１（α−１）}｝＋ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αλ_ｎ０）＋ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αλ_{ｎ（α−１）}｝＋ζ／αＰとなるｎα個の溝と（２π／αＰ）・（０＋αｍ_１０）−ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・｛（α−１）＋αｍ_{１（α−１）}｝−ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αｍ_ｎ０）−ζ／αＰ，・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{ｎ（α−１）}｝−ζ／αＰとなるｎα個の溝とから成り立つか、
   または、（２π／αＰ）・（０＋αλ_１０）＋ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・｛（α−１）＋αλ_{１（α−１）}｝＋ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αλ_ｎ０）＋ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αλ_{ｎ（α−１）}｝＋ζ／αＰ＋π／αＰとなるｎα個の溝と（２π／αＰ）・（０＋αｍ_１０）−ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・｛（α−１）＋αｍ_{１（α−１）}｝−ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）・（０＋αｍ_ｎ０）−ζ／αＰ＋π／αＰ，・・・，（２π／αＰ）｛（α−１）＋αｍ_{ｎ（α−１）}｝−ζ／αＰ＋π／αＰとなるｎα個の溝とから成り立つ請求項１に記載の回転電機。
6. 前記ζは、ζ＝π／３である請求項４または請求項５に記載の回転電機。
7. 前記ζは、０＜ζ＜π／３である請求項４または請求項５に記載の回転電機。
8. 前記ζは、π／３＜ζ＜π／２である請求項４または請求項５に記載の回転電機。

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