DE4412227A1

DE4412227A1 - Generating method for elementary deformable rotationally linked chains

Info

Publication number: DE4412227A1
Application number: DE19944412227
Authority: DE
Inventors: Adriana Crisan
Original assignee: CRISAN ADRIANA DIPL MATH
Current assignee: CRISAN ADRIANA DIPL MATH
Priority date: 1994-04-09
Filing date: 1994-04-09
Publication date: 1995-10-12
Anticipated expiration: 2014-04-10
Also published as: DE4412227C2

Abstract

The chains are derived from a platonic body, which in a first phase is divided by cutting planes into an even number of units. These show mirror symmetry congruently and in pairs. In a second phase, the number of units is increased or reduced until it can be fixed at the minimum number which allows a complete upside-down turning motion. In a third phase the units are then closed into a rotationally linked chain which is deformable, and which permits folding around all connecting edges.

Description

Die Entdeckung bezieht sich auf eine Generierungsmethode von Drehgelenkketten, die folgende Merkmale aufweisen:The discovery relates to a generation method of swivel chains, the following Features:

- The component types serve as links, which are created by the decomposition of a platonic or an Archimedean body (The term is used below for platonic solids with cut corners, where all edges are congruent and which have two types of regular polygons as surfaces, which are represented in equal numbers: one has one number of pages equal to twice the number of pages of a surface of the original body, the other equal to the number of pages the number of edges that meet in a tip of the original body.) in congruent but in pairs mirror-symmetrical units arise; these result from placing Section planes, according to the method described here
- they allow complete inversion movements
- They allow the formation of polyhedral structures by turning and Laying chain links together.

In der Raumkinematik sind verschiedene Drehgelenkketten bekannt. Bei Schatz (Patentschrift CH 216 760) wird eine sechsgliedrige zwangsläufige Drehgelenkkette behandelt, die durch Anwendung einer Schnittmethode auf den Würfel hervorgegangen ist. Bei Ernhofer (Gebrauchsmuster G 91 01 549.9) handelt es sich um eine mathematisch fundierte Verallgemeinerung der Schnittmethode die auf alle platonischen Körper übertragen wird. Die im Folgenden vorgeschlagene Generierungsmethode von Drehgelenkketten bringt eine einheitliche Lösung folgender Probleme:Various swivel chains are known in space kinematics. With Schatz (patent specification CH 216 760) is a six-link inevitable swivel chain treated by Using a cutting method on the cube. At Ernhofer (Utility model G 91 01 549.9) is a mathematically based one Generalization of the cutting method that is applied to all Platonic solids. The generation method of swivel chains proposed below brings one Uniform solution to the following problems:

- The bolt body used in the conventional generation methods Swivel chains as a by-product are completely avoided here that a decomposition of the body into congruent and mirror-symmetrical pairs Units takes place
- the richness of configurations, limited with the mentioned swivel chains, is here due to the variety of polyhedron shapes, closed chain shapes and Mixed forms between polyhedra and chains represented.
- Writable in contrast to the mentioned swivel chains, which are in the Let the body from which they originated be registered, that is with the Elemental, deformable swivel chains don't, resulting in a larger one Variety of generated forms leads (protection claim 6)
- Dynamics: instead of the inevitable inversion movements of the mentioned Swivel chains, inverting movements and folding movements are possible here (The term "deformable" is to be seen in this context below), which too excellent dynamics / deformability of the swivel chains.
- Uniform legality of the method, given by the simple, clear Cutting method and the rule for linking the units to one Swivel chain (listed in protection claims 1 to 5)
- Economics principle: characterized in that the generation method in the Determination of the number of chain links that limit the minimum (the term "Elementary" can be seen in this context below), the one Inversion movement allowed
- Range of applications of the generation method: wide, applicable to both Platonic as well as on the Archimedean body.

Vorteilhafte Ausgestaltungen sind in dem Schutzanspruch 7 angegeben. Anwendungsbereiche und -gebiete:Advantageous embodiments are specified in the protection claim 7. Areas of application and areas:

- Training the spatial imagination (Education, therapy, toys / handicrafts, computer animation)
- Design (especially the polyhedral structures-architectural elements, Display objects, furniture decoration / goods, partitions)
- Utilization of complex movements (machines).

Presentation of the invention

In der ersten Phase, um die Komponenten zu erhalten, die die Drehgelenkkette bilden sollen, geht man von einem platonischen oder von einem archimedischen Körper aus, und legt mehrere Schnittebenen so durch den Körper, daß:In the first phase, in order to obtain the components that are to form the swivel chain, one assumes a Platonic or an Archimedean body and places several Cutting planes through the body so that:

- these go through the center of the body's in-ball
- divide the body into an even number of units (hereinafter Called unit components), which are the same in form, but where one distinguish between two types that are mirror-symmetrical to each other; there is an alternating arrangement of the two types in the body.

Folgende Auführungsbeispiele veranschaulichen diese Phase; in den meisten Abbildungen sind auch die Schnittebenen dargestellt die man legen muß um jeweils die platonischen Körper mit abgeschnittenen Ecken zu erhalten:The following performance examples illustrate this phase; are in most of the pictures also the cutting planes are shown which one has to lay around the platonic solids To get cut corners:

- the body A, ( Fig. 1), with the sectional planes II, II-II, III-III, the unit components of type M and N
- the body B, ( Fig. 4), with the cutting planes IV-IV, VV, VI-VI, the unit components of type O and P and the cut corners R
- the body C, ( Fig. 7), with the cutting planes VII-VII, VIII-VIII, and the unit components of type S and T
- The body D, ( Fig. 10), with the cutting planes IX-IX, XX, the unit components of type U and V and the cut corners W
- the body E, ( Fig. 13), with the sectional planes XI-XI, XII-XII, XIII-XIII, XIV-XIV and the unit components of type X and Y
- The body F, ( Fig. 1), with the sectional planes XVII-XVII, XVIII-XVIII, XIX-XIX, XX-XX, XXI-XXI, XXII-XXII, the unit components of type Z and A ′ and the cut corners B ′
- the body G, ( Fig. 19), with the cutting planes XXIII-XXIII, XXIV-XXIV, XXV-XXV, XXVI-XXVI, XXVII-XXVII and the unit components of type C ′ and D ′
- the body H, ( Fig. 22), with the sectional planes XXVIII-XXVIII, XXIX-XXIX, XXX-XXX, XXXI-XXXI, XXXII-XXXII, the unit components of type E ′ and F ′ and the cut corners
- the body I, ( Fig. 25), with the cutting planes XXXIII-XXXIII, XXXIV-XXXIV, XXXV-XXXV, and the unit components of the types H ′ and I ′
- the body J, ( Fig. 28), with the cutting planes XXXVI-XXXVI, XXVII-XXVII, XIIL-XIIL and the unit components of type J ′ and K ′
- the body K, ( Fig. 35), with the cutting planes XIL-XIL, XL-XL, XLI-XLI, XLII-XLII, XLIII-XLIII and the unit components of type M ′ and K ′
- the body L, ( Fig. 38), with the cutting planes VIL-VIL, VL-VL, IVL-IVL, IIIL-IIIL, IIL-IIL and the unit components of type O ′ and P ′

Die Verbindungskanten (Unter Verbindungskante eines platonischen oder archimedischen Körpers wird im Folgenden folgendes verstanden: Strecken die an der Oberfläche oder im Inneren dieser Körper liegen und die Kanten der Einheitskomponenten sind, über die diese in einer späteren Phase verbunden werden.) der archimedischen Körper sind Teilstrecken der Verbindungskanten der platonischen Körper aus denen sie durch abschneiden der Ecken R, X, C′, H′, P′, V′ vervorgegangen sind.The connecting edges (The connecting edge of a Platonic or Archimedean body is understood as follows in the following: Stretch the lie on the surface or inside these bodies and are the edges of the unit components over which they are in one later phase.) The Archimedean bodies are subsections of the connecting edges the platonic bodies from which they are made by cutting off the corners R, X, C ′, H ′, P ′, V ′ have passed.

In der zweiten Phase, um eine Drehgelenkkette aus den Einheitskomponenten, die in der ersten Phase betrachtet wurden, zu erhalten, ist es erforderlich, eine bestimmte Anzahl von Einheitskomponenten hinzuzufügen oder wegzulassen, so daß man die minimale Anzahl der Einheitskomponenten erreicht, die eine geschlossene kettenförmige Formation bilden können mit der Eigenschaft, daß sie sowohl nach innen als auch nach außen eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.In the second phase, to create a swivel chain from the unit components used in the first Have been considered to obtain a certain number of phases Add or omit unit components, so that you have the minimum number of Unity components achieved that can form a closed chain-like formation with the property that they are complete both internally and externally Inversion movement allowed.

Gleichzeitig erhält man auch, nach einer gewissen Klappbewegung um eine Kante oder durch Aufeinanderlegen einiger Flächen, eine Vielfalt von Polyedern oder von Mischformen eines Polyeders und einer geschlossenen Kette.At the same time you get, after a certain folding movement around an edge or through Stacking some surfaces, a variety of polyhedra or mixed forms of one Polyhedron and a closed chain.

In der dritten Phase werden die Einheitskomponenten der zu bildenden Drehgelenkkette zusammengetan, wobei die Verbindungskanten der anliegenden Einheitskomponenten zueinander windschief sind.In the third phase, the unit components of the swivel chain to be formed put together, the connecting edges of the adjacent unit components are skewed towards each other.

Gleichzeitig erhält man auch, nach einer gewissen Klappbewegung um eine Kette oder durch Aufeinanderlegen einiger Flächen, eine Vielfalt von Polyedern oder von Mischformen eines Polyeders und einer geschlossenen Kette.At the same time you get, after a certain folding movement around a chain or through Stacking some surfaces, a variety of polyhedra or mixed forms of one Polyhedron and a closed chain.

Im Folgenden werden 14 Beispiele für die entdeckte Generierungsmethode von elementaren verformbaren Drehgelenkketten beschrieben, welche mit den Abb. 1-Abb. 40 in Zusammenhang stehen. In the following, 14 examples of the discovered generation method of elementary deformable swivel chains are described, which are related to Fig. 1- Fig. 40.

List of figures

Abb. 1 Schnitte durch den Würfel
Abb. 2 Drehgelenkkette aus acht Einheitskomponenten, die durch Schnitte des Würfels hervorgegangen sind
Abb. 3 Konvexes Polyeder
Abb. 4 Würfel mit abgeschnittenen Ecken
Abb. 5 Konkaves Polyeder
Abb. 6 Drehgelenkkette aus zehn Einheitskomponenten, die durch Schnitte des Oktaeders hervorgegangen sind
Abb. 7 Tetraeder, geschnitten von zwei Ebenen
Abb. 8 Drehgelenkkette aus acht Einheitskomponenten
Abb. 9 Konkaves Polyeder
Abb. 10 Schnitte durch das Tetraeder mit abgeschnittenen Ecken
Abb. 11 Konkaves Polyeder, hervorgegangen durch die Anwendung der beschriebenen Methode
Abb. 12 Drehgelenkette aus acht Einheitskomponenten, die durch die Anwendung der Methode auf den Körper hervorgegangen sind
Abb. 13 Tetraeder, geschnitten von sechs Ebenen
Abb. 14 Drehgelenkkette aus zwölf Einheitskomponenten, die durch Schnitte des Tetraeders (vgl. Abb. 13) hervorgegangen sind
Abb. 15 Konvexes Polyeder, hervorgegangen durch die Anwendung der Methode auf das Tetraeder (vgl. Abb. 13)
Abb. 16 Schnittebenen durch das Tetraeder mit abgeschnittenen Ecken
Abb. 17 Konkaves Polyeder, hervorgegangen durch die Anwendung der Methode auf das Tetraeder (vgl. Abb. 16)
Abb. 18 Drehgelenkkette aus zwölf Einheitskomponenten
Abb. 19 Schnitte durch ein Dodekaeder
Abb. 20 Mischform zwischen einer geschlossenen Kette und einem Polyeder
Abb. 21 Drehgelenkkette aus zehn Einheitskomponenten, die durch die Schnitte des Dodekaeders (vgl. Abb. 19) entstanden sind
Abb. 22 Oktaeder mit abgeschnittenen Ecken
Abb. 23 Drehgelenkkette aus zehn Einheitskomponenten
Abb. 24 Mischform zwischen einer geschlossenen Kette und einem Polyeder
Abb. 25 Schnitte durch ein Dodekaeder
Abb. 26 Drehgelenkkette aus zehn Einheitskomponenten
Abb. 27 Konkaves Polyeder
Abb. 28 Dodekaeder mit abgeschnittenen Ecken
Abb. 29 Drehgelenkkette aus zehn Einheitskomponenten
Abb. 30 Mischform zwischen einer geschlossenen Kette und einem Polyeder
Abb. 31 Drehgelenkkette aus acht Einheitskomponenten wie in Abb. 25
Abb. 32 Konkaves Polyeder
Abb. 33 Drehgelenkkette aus acht Einheitskomponenten wie in Abb. 28
Abb. 34 Konkaves Polyeder
Abb. 35 Schnitte durch ein Ikosaeder
Abb. 36 Drehgelenkkette aus zwölf Einheitskomponenten, die durch Schnitte des Ikosaeders hervorgegangen sind
Abb. 37 Mischform zwischen einer geschlossenen Kette und einem Polyeder
Abb. 38 Schnitte durch das Ikosaeder mit abgeschnittenen Ecken
Abb. 39 Drehgelenkkette aus zwölf Einheitskomponenten, wie in Abb. 38
Abb. 40 Mischform zwischen einer geschlossenen Kette und einem Polyeder Fig. 1 cuts through the cube
Fig. 2 Swivel chain consisting of eight unit components, which were created by cutting the cube
Fig. 3 Convex polyhedron
Fig. 4 Cubes with cut corners
Fig. 5 Concave polyhedra
Fig. 6 Swivel chain consisting of ten unit components, which were created by cutting the octahedron
Fig. 7 Tetrahedron, cut from two planes
Fig. 8 Swivel chain made of eight standard components
Fig. 9 Concave polyhedra
Fig. 10 Sections through the tetrahedron with cut corners
Fig. 11 Concave polyhedra, created by using the described method
Fig. 12 Swivel joint consisting of eight unit components, which were created by applying the method to the body
Fig. 13 Tetrahedron, cut from six planes
Fig. 14 Swivel chain consisting of twelve unit components, which were created by cutting the tetrahedron (see Fig. 13)
Fig. 15 Convex polyhedron, created by applying the method to the tetrahedron (see Fig. 13)
Fig. 16 Section planes through the tetrahedron with cut corners
Fig. 17 Concave polyhedron, created by applying the method to the tetrahedron (see Fig. 16)
Fig. 18 Swivel chain made up of twelve standard components
Fig. 19 Sections through a dodecahedron
Fig. 20 Mixed form between a closed chain and a polyhedron
Fig. 21 Swivel chain made of ten unit components, which were created by cutting the dodecahedron (see Fig. 19)
Fig. 22 Octahedron with cut corners
Fig. 23 Swivel chain consisting of ten standard components
Fig. 24 Mixed form between a closed chain and a polyhedron
Fig. 25 Sections through a dodecahedron
Fig. 26 Swivel chain consisting of ten standard components
Fig. 27 Concave polyhedron
Fig. 28 Dodecahedron with cut corners
Fig. 29 Swivel chain consisting of ten standard components
Fig. 30 Mixed form between a closed chain and a polyhedron
Fig. 31 Swivel chain consisting of eight unit components as in Fig. 25
Fig. 32 Concave polyhedra
Fig. 33 Swivel chain consisting of eight unit components as in Fig. 28
Fig. 34 Concave polyhedra
Fig. 35 cuts through an icosahedron
Fig. 36 Swivel chain consisting of twelve unit components, which were created by cutting the icosahedron
Fig. 37 Mixed form between a closed chain and a polyhedron
Fig. 38 Cuts through the icosahedron with cut corners
Fig. 39 Swivel chain consisting of twelve standard components, as in Fig. 38
Fig. 40 Mixed form between a closed chain and a polyhedron

Description of the method based on corresponding examples example 1

stellt die Anwendung der Methode auf den Würfel dar.represents the application of the method to the cube.

Ein Würfel A, vgl. Abb. 1, wird von den Ebenen I-I, II-II, III-III geschnitten, die durch den Mittelpunkt der Inkugel des Würfels gehen. Diese Ebenen teilen den Würfel A in sechs symmetrische, alternierende Einheitskomponenten, drei davon sind vom Typ M, mit den Flächen ª, b, c, d und mit den Kanten 1, 2, 3, 4, 5, 6 die anderen drei sind vom Typ N, mit den Flächen e, f, g, h und mit den Kanten 7, 8, 9, 10, 11, 12.A cube A, cf. Fig. 1, is cut from levels II, II-II, III-III, which go through the center of the cube's sphere. These planes divide the cube A into six symmetrical, alternating unit components, three of which are of the type M, with the areas ª, b , c , d and with the edges 1, 2, 3, 4, 5, 6 the other three are from Type N, with the areas e , f , g , h and with the edges 7, 8, 9, 10, 11, 12 .

Die sechs Einheitskomponenten werden um zwei weitere ergänzt - eine vom Typ M (mit den entsprechenden Flächen ª, b, c, d und Kanten 1, 2, 3, 4, 5, 6) und die andere vom Typ N (mit den Flächen e, f, g, h und den Kanten 7, 8, 9, 10, 11, 12).The six unit components are supplemented by two more - one of type M (with the corresponding areas ª, b , c , d and edges 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) and the other of type N (with the areas e , f , g , h and edges 7, 8, 9, 10, 11, 12 ).

Durch die alternierende Aneinanderreihung der vier Einheitskomponenten vom Typ N und der vier Einheitskomponenten vom Typ M - über die Verbindungskanten 3 bzw. 1 und 9 bzw. 7 - erhält man eine Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Einheitskomponenten (elementare Drehgelenkkette), die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.By alternating the four unit components of type N and the four unit components of type M - over the connecting edges 3 or 1 and 9 or 7 - you get a swivel chain with a minimal number of unit components (elementary swivel chain) that complete a turning movement allowed.

Durch die Klappbewegung der Gelenkkette um zwei Kanten (3 bzw. 9) erhält man das Aufeinanderliegen der Flächen b und f. Wenn man die erhaltene Konfiguration um die Kanten 3 bzw. 9 klappt, erhält man das Aufeinanderliegen der Flächen c bzw. g. Weiter von dieser Konfiguration ausgehend, bewirkt die Klappbewegung um die Kanten 1 bzw. 7, die nun in Verlängerung liegen, das Aufeinanderliegen der Flächen ª und c, und alle Bestandteile bilden eine Pyramide.The folding movement of the articulated chain around two edges ( 3 and 9 ) results in the surfaces b and f lying on one another. If you fold the obtained configuration around the edges 3 and 9 , you get the superimposition of the surfaces c and g . Starting from this configuration, the folding movement around the edges 1 and 7 , which are now in extension, causes the surfaces ª and c to lie one on top of the other, and all the components form a pyramid.

Example 2

stellt die Anwendung der Methode auf einen Würfel mit abgeschnittenen Ecken dar.shows the application of the method to a cube with cut corners.

Dem Würfel A (vgl. Abb. 1), werden die Ecken R so abgeschnitten, daß man den archimedischen Körper B erhält (vgl. Abb. 4), der nur regelmäßige Dreiecke und Achtecke als Flächen besitzt. Der Körper B, wird von den Ebenen IV-IV, V-V, VI-VI, die auch durch den Mittelpunkt der Inkugel des Körpers gehen, geschnitten. Diese Ebenen teilen den Körper B in sechs symmetrische, alternierende Einheitskomponenten, drei davon vom Typ O und drei andere vom Typ P.The corners R of the cube A (cf. Fig. 1) are cut off in such a way that the Archimedean body B is obtained (cf. Fig. 4), which has only regular triangles and octagons as surfaces. Body B is intersected by planes IV-IV, VV, VI-VI, which also go through the center of the body's in-ball. These planes divide the body B into six symmetrical, alternating unit components, three of which are of type O and three others of type P.

Die sechs Einheitskomponenten des gemäß der Erfindung geschnittenen Körpers werden ergänzt - um vier weitere Einheitskomponenten vom Typ O (mit den Flächen i, j, k, l und den Kanten 13, 14, 15, 16, 17, 18) und vier Einheitskomponenten vom Typ P (mit den Flächen m, n, o, p und den Kanten 19, 20, 21, 22, 23, 24) - und abwechselnd aneinandergereiht mittels der windschiefen Verbindungskanten 15 bzw. 13 und 21 bzw. 19. Man erhält somit eine Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Bestandteile, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt, vgl. Abb. 6.The six unit components of the body cut according to the invention are supplemented - by four further unit components of the type O (with the surfaces i , j , k , l and the edges 13, 14, 15, 16, 17, 18 ) and four unit components of the type P (with the areas m , n , o , p and the edges 19, 20, 21, 22, 23, 24 ) - and alternately strung together by means of the skewed connecting edges 15 or 13 and 21 or 19 . A swivel chain is thus obtained with a minimal number of components, which allows a complete inverting movement, cf. Fig. 6.

Durch die Klappbewegung der Gelenkkette um zwei Verbindungskanten 15 bzw. 21 und durch Aufeinanderlegen bestimmter Flächen j und n, anschließend durch die Klappbewegung um die anderen zwei Kanten 15 bzw. 21 bis die Flächen o und k aufeinander liegen und schließlich durch die Klappbewegung um die Kanten 13 bzw. 19, bis die Flächen l und p aufeinander liegen, erhält man die Mischformation zwischen einer geschlossenen Kette und einem Polyeder, vgl. Abb. 5. By the folding movement of the articulated chain to two connecting edges 15 and 21 and by stacking certain areas j and n, then through the folding movement about the other two edges 15 and 21 to the surfaces o and k are sequentially and finally through the folding movement around the edges 13 and 19 , respectively, until the surfaces l and p lie on top of each other, the mixed formation between a closed chain and a polyhedron is obtained, cf. Fig. 5.

Example 3

stellt die Anwendung der Methode auf das Tetraeder C dar.represents the application of the method to tetrahedron C.

Ein Tetraeder C, vgl. Abb. 7, wird von den Ebenen VII-VII, VIII-VIII, die auch durch den Mittelpunkt der Inkugel des Körpers gehen, geschnitten. Diese Schnittebenen teilen das Tetraeder C in vier symmetrische, alternierende Einheitskomponenten; zwei von diesen sind vom Typ S (mit den Flächen r, s, t, u und den Kanten 25, 26, 27, 28, 29, 30) die anderen zwei vom Typ T (mit den Flächen v, w, x, y und den Kanten 31, 32, 33, 34, 35, 36).A tetrahedron C, cf. Fig. 7, is cut from the levels VII-VII, VIII-VIII, which also go through the center of the body's ball. These sectional planes divide the tetrahedron C into four symmetrical, alternating unit components; two of these are of type S (with surfaces r , s , t , u and edges 25, 26, 27, 28, 29, 30 ) the other two are of type T (with surfaces v , w , x , y and the edges 31, 32, 33, 34, 35, 36 ).

Wenn man die vier Einheitskomponenten des Tetraeders C um vier weitere Einheitskomponenten ergänzt - zwei vom Typ S und zwei vom Typ T - und diese dann, dem Typ nach abwechselnd aneinanderreiht, erhält man eine geschlossene Kette, (vgl. Abb. 8), wobei die Verbindungskanten 27 bzw. 33 und 25 bzw. 31 windschief sind.If you add four further unit components to the four unit components of the tetrahedron C - two of the type S and two of the type T - and then alternate them in type, you get a closed chain, (see Fig. 8), where the Connecting edges 27 and 33 and 25 and 31 are skewed.

Durch die Klappbewegung dieser Gelenkkette um die Kanten 27 bzw. 33 bis die Flächen s und w, aufeinander liegen und anschließend durch die Klappbewegung um die anderen zwei Kanten 27 bzw. 33 bis die Flächen t und x aufeinander liegen, erhält man das konkave Polyeder aus der Abb. 9.The concave polyhedron is obtained by the folding movement of this articulated chain around the edges 27 and 33 until the surfaces s and w lie on one another and then by the folding movement around the other two edges 27 and 33 until the surfaces t and x lie on one another Fig. 9.

Example 4

stellt die Anwendung der Methode auf ein Tetraeder mit abgeschnittenen Ecken dar.shows the application of the method to a tetrahedron with cut corners.

Dem Tetraeder C, (vgl. Abb. 7) schneidet man die Ecken ab, so daß man den archimedischen Körper D erhält (vgl. Abb. 10).The corners of the tetrahedron C (see Fig. 7) are cut off so that the Archimedean body D is obtained (see Fig. 10).

Der Körper D, wird von den Ebenen IX-IX, X-X, die auch durch den Mittelpunkt der Inkugel des Körpers geht, geschnitten. Diese Ebenen teilen den Körper D in vier symmetrische alternierende Einheitskomponenten, zwei davon vom Typ U (mit den Flächen z, a′, b′, c′ und den Kanten 38, 39, 40, 41, 42) und zwei vom Typ V (mit den Flächen d′, e′, f′, g′ und den Kanten 43, 44, 45, 46, 47, 48). Wenn diese vier Einheitskomponenten des Körpers D um vier weitere Einheitskomponenten ergänzt werden, zwei vom Typ U und zwei vom Typ V, und danach abwechselnd die vier Einheitskomponenten vom Typ U mit den vier Einheitskomponenten vom Typ V über die windschiefen Verbindungskanten 39 bzw. 45 und 37 bzw. 43 verbunden werden, erhält man eine geschlossene Kette, wie in Abb. 12 dargestellt.The body D is intersected by the planes IX-IX, XX, which also passes through the center of the body's in-ball. These planes divide the body D into four symmetrical alternating unit components, two of them of type U (with the areas z , a ′ , b ′ , c ′ and edges 38, 39, 40, 41, 42 ) and two of type V ( with the areas d ' , e' , f ' , g' and the edges 43 , 44, 45, 46, 47, 48 ). If these four unit components of the body D are supplemented by four further unit components, two of the type U and two of the type V, and then alternately the four unit components of the type U with the four unit components of the type V via the skewed connecting edges 39 or 45 and 37 or 43 , a closed chain is obtained, as shown in Fig. 12.

Um das konkave Polyeder aus Abb. 11 zu erhalten, werden folgende Schritte durchgeführt: eine die Klappbewegung der Drehgelenkkette um die Kanten 39 bzw. 45 bis die Flächen c′ und g′ aufeinander liegen, danach eine Klappbewegung um die anderen zwei Kantenpaare 39 bzw. 45 bis die Flächen a′ und e′ aufeinander liegen und anschließend eine die Klappbewegung um die Kanten 37 bzw. 43 bis die Flächen b′ und f′ aufeinander liegen. To obtain the concave polyhedron from Fig. 11, the following steps are carried out: one the folding movement of the swivel chain around the edges 39 or 45 until the surfaces c ′ and g ′ lie on one another, then a folding movement around the other two edge pairs 39 or 45 until the surfaces a ' and e' lie on one another and then the folding movement around the edges 37 and 43 until the surfaces b ' and f' lie on one another.

Example 5

stellt die Anwendung der Methode auf das Tetraeder C dar, wobei eine zusätzliche Schnittebene gelegt wird.represents the application of the method to tetrahedron C, with an additional section plane is placed.

Ein Tetraeder E, (vgl. Abb. 13), wird von den Ebenen XI-XI, XII-XII, XIII-XIII, XIV-XIV, XV-XV, XVI-XVI, die durch den Mittelpunkt der Inkugel des Körpers gehen, geschnitten. Diese Ebenen teilen das Tetraeder E in 24 symmetrische, alternierende Einheitskomponenten, wovon zwölf vom Typ X (mit den Flächen h′, i′, j′, k′ und den Kanten 49, 50, 51, 52, 53, 54) und die anderen zwölf vom Typ Y (mit den Flächen l′, m′, n′, o′ und den Kanten 55, 56, 57, 58, 59, 60) sind.A tetrahedron E, (see Fig. 13), is from the planes XI-XI, XII-XII, XIII-XIII, XIV-XIV, XV-XV, XVI-XVI, which go through the center of the body's ball, cut. These planes divide the tetrahedron E into 24 symmetrical, alternating unit components, twelve of which are of type X (with the areas h ' , i' , j ' , k' and the edges 49, 50, 51, 52, 53, 54 ) and the other twelve of the type Y (with the areas l ' , m' , n ' , o' and the edges 55, 56, 57, 58, 59, 60 ).

Wenn von den vierundzwanzig Einheitskomponenten des Tetraeders mit abgeschnittenen Ecken E, zwölf benutzt werden, sechs vom Typ X und sechs vom Typ Y, die abwechselnd über die windschiefen Verbindungskanten aneinandergereiht werden, erhält man eine geschlossene Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Einheitskomponenten, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.If from the twenty four unit components of the tetrahedron with cut corners E, twelve are used, six of type X and six of type Y, which alternate over the windy connecting edges are strung together, you get a closed Swivel chain with a minimum number of unit components that make a complete Inversion movement allowed.

Durch die Klappbewegung der Gelenkkette (vgl. Abb. 14), um die Kanten 49 bzw. 55 bis die Flächen h′ und l′ aufeinander liegen, erhält man das konvexe Polyeder aus Abb. 15.The convex polyhedron from Fig. 15 is obtained by the folding movement of the articulated chain (see Fig. 14) around edges 49 and 55 until the surfaces h ′ and l ′ lie on top of each other.

Example 6

stellt die Anwendung der Methode auf ein Tetraeder mit abgeschnittenen Ecken F (vgl. Abb. 16).represents the application of the method to a tetrahedron with cut corners F (see Fig. 16).

Dieses entsteht indem man die Ecken B′ des Tetraeders E, entfernt, so daß der erhaltene Körper hinterher nur regelmäßige Dreiecke und Sechsecke als Flächen besitzt.This is created by removing the corners B 'of the tetrahedron E, so that the body obtained afterwards has only regular triangles and hexagons as surfaces.

Dieser Körper wird mit den Ebenen XVII-XVII, XVIII-XVIII, XIX-XIX, XX-XX, XXI-XXI, XXII-XXII, die durch den Mittelpunkt der Inkugel des Körpers gehen, geschnitten. Diese Ebenen teilen den Körper F in vierundzwanzig symmetrische, alternierende Einheitskomponenten.This body is made with the levels XVII-XVII, XVIII-XVIII, XIX-XIX, XX-XX, XXI-XXI, XXII-XXII that go through the center of the body's inball cut. These Layers divide the body F into twenty-four symmetrical, alternating ones Unit components.

Wenn man zwölf Einheitskomponenten verwendet - sechs vom Typ Z (mit den Flächen p′, r′, s′, t′, und den Kanten 61, 62, 63, 64, 65, 66) und sechs vom Typ A′ (mit den Flächen u′, v′, w′, x′ und den Kanten 67, 68, 69, 70, 71, 72) - und dem Typ nach abwechselnd über die windschiefen Verbindungskanten 62 bzw. 68 und 65 bzw. 71 aneinanderreiht, erhält man eine geschlossene Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Einheitskomponenten, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.If one uses twelve unit components - six of the type Z (with the surfaces p ′ , r ′ , s ′ , t ′ , and the edges 61, 62, 63, 64, 65, 66 ) and six of the type A ′ (with the Areas u ' , v' , w ' , x' and edges 67, 68, 69, 70, 71, 72 ) - and alternating in type over the skewed connecting edges 62 or 68 and 65 or 71 are obtained a closed swivel chain with a minimum number of unit components, which allows a complete inverting movement.

Um das konkave Polyeder aus Abb. 17 zu erhalten, werden folgende Schritte durchgeführt: eine Klappbewegung der Gelenkkette (vgl. Abb. 18) um die Kanten 62 bzw. 68 bis alle Flächen p′ und u′ aufeinander liegen, danach eine Klappbewegung um die Kanten 71 bzw. 65 bis die Flächen s′ und w′ aufeinander liegen und schließlich eine wiederholte Klappbewegung um die Kanten 62 bzw. 68 bis die Flächen r′ und v′, aufeinander liegen. In order to obtain the concave polyhedron from Fig. 17, the following steps are carried out: a folding movement of the link chain (see Fig. 18) around the edges 62 and 68 until all surfaces p ′ and u ′ lie on one another, then a folding movement around the Edges 71 and 65 until the surfaces s ' and w' lie on top of one another and finally a repeated folding movement around the edges 62 and 68 until the surfaces r ' and v' lie on top of one another.

Example 7

stellt die Anwendung der Methode auf das Oktaeder dar.represents the application of the method to the octahedron.

Ein Oktaeder G, (vgl. Abb. 19) wird von den Ebenen XXIII-XXIII, XXIV-XXIV, XXV-XXV, XXVI-XXVI, XXVII-XXVII, XXVIII-XXVIII geschnitten. Diese Ebenen gehen durch den Mittelpunkt der Inkugel des Oktaeders eingeschriebenen Kugel und teilen das Oktaeder G in sechzehn Einheitskomponenten, acht vom Typ C′ (mit den Sehnen y′, z′, a′′, b′′ und Kanten 73, 74, 75, 76, 77, 78) und acht vom Typ D′ (mit den Flächen c′′, d′′, e′′, f′′ und Kanten 79, 80, 81, 82, 83, 84).An octahedron G, (see Fig. 19) is cut from the levels XXIII-XXIII, XXIV-XXIV, XXV-XXV, XXVI-XXVI, XXVII-XXVII, XXVIII-XXVIII. These planes go through the center of the ball of the octahedron and divide the octahedron G into sixteen unit components, eight of the type C '(with the tendons y' , z ' , a'' , b'' and edges 73 , 74, 75 , 76, 77, 78 ) and eight of the type D '(with the areas c'' , d'' , e'' , f'' and edges 79, 80, 81, 82, 83, 84 ).

Wenn von den sechzehn so erhaltenen Einheitskomponenten des Oktaeders G, zehn benutzt werden, fünf vom Typ C und fünf vom Typ D′, so erhält man durch die abwechselnde Aneinanderreihung dieser über die windschiefen Verbindungskanten 74 bzw. 80 und 77 bzw. 83, eine Drehgelenkkette, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.If of the sixteen unit components of the octahedron G obtained in this way, ten are used, five of the type C and five of the type D ', the alternating arrangement of these over the skewed connecting edges 74 or 80 and 77 or 83 results in a swivel chain that allows a complete inversion movement.

Durch eine Klappbewegung der Gelenkkette aus Abb. 21 um die Kanten 77 bzw. 83 bis die Flächen y′ und c′′ aufeinander liegen, erhält man eine Mischform zwischen einem Polyeder und einer geschlossene Kette.By folding the articulated chain from Fig. 21 around the edges 77 and 83 until the surfaces y ' and c'' lie on each other, a mixed form is obtained between a polyhedron and a closed chain.

Example 8

stellt Anwendung der Methode auf das Oktaeder mit abgeschnittenen Ecken G dar.represents the application of the method to the octahedron with cut corners G.

Dem Oktaeder G, in Abb. 19, werden die Ecken abgeschnitten, so daß der erhaltene Körper nur regelmäßige Dreiecke und Sechsecke als Flächen besitzt.The corners of the octahedron G, in Fig. 19, are cut off, so that the body obtained has only regular triangles and hexagons as surfaces.

Das so erhaltene Oktaeder mit abgeschnittenen Ecken H, wird von den Ebenen XXVIII-XXVIII, XXIX-XXIX, XXX-XXX, XXXI-XXXI, XXXII-XXXII geschnitten, die durch den Mittelpunkt der Inkugel des Körpers H gehen. Diese Ebenen teilen das Oktaeder in sechzehn symmetrische, alternierende Einheitskomponenten, acht vom Typ E′ und acht vom Typ F′.The octahedron thus obtained with cut corners H, is from the levels XXVIII-XXVIII, XXIX-XXIX, XXX-XXX, XXXI-XXXI, XXXII-XXXII cut through the center the ball of body H go. These levels divide the octahedron into sixteen symmetrical, alternating unit components, eight of the type E 'and eight of the type F'.

Wenn man davon zehn Einheitskomponenten auswählt und abwechselnd fünf Einheitskomponenten vom Typ E′ (mit den Flächen g′′, h′′, i′′, j′′ und Kanten 85, 86, 87, 88, 89, 90) und fünf Einheitskomponenten vom Typ F′ (mit den Flächen k′′, l′′, m′′, n′′ und Kanten 91, 92, 93, 94, 95, 96) über windschiefe Verbindungskanten aneinanderreiht, erhält man eine Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Einheitskomponenten, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.If one selects ten unit components and alternately five unit components of type E '(with the areas g'' , h'' , i'' , j'' and edges 85, 86, 87, 88, 89, 90 ) and five unit components of type F '(with the surfaces k'' , l'' , m'' , n'' and edges 91, 92, 93, 94, 95, 96 ) side by side over skewed connecting edges, you get a swivel chain with a minimum number of unit components, which allows a complete inverting movement.

Durch die Umstülpungsbewegung der Gelenkkette aus Abb. 23 nach innen erhält man auch eine geschlossene Kette, deren Flächen j′′ und n′′, in dieselbe Ebene gelangen; eine weitere Klappbewegung bewirkt, daß die Flächen i′′ und m′′ aufeinander liegen; anschließend durch die teilweise Klappbewegung nach innen um dieselben Kanten 85 und 91, erhält man eine Mischform zwischen einem Polyeder und einer geschlossenen Kette, wie in Abb. 24. By turning the articulated chain from Fig. 23 inside out, you also get a closed chain, the surfaces j '' and n '' of which reach the same plane; a further folding movement causes the surfaces i '' and m '' to lie on one another; then by partially folding inwards around the same edges 85 and 91 , a mixed form is obtained between a polyhedron and a closed chain, as in Fig. 24.

Example 9

stellt die Anwendung der Methode auf das Dodekaeder (vgl. Abb. 25) dar.shows the application of the method to the dodecahedron (see Fig. 25).

Ein Dodekaeder I wird von den Ebenen XXXIV-XXXIV, XXXV-XXXV, XXXVI-XXXVI geschnitten, die durch den Mittelpunkt der Inkugel des Dodekaeders gehen. Die Ebenen teilen das Dodekaeder I in sechs symmetrische, alternierende Einheitskomponenten, drei vom Typ H (mit den Flächen o′′, p′′, r′′, s′′, t′′, u′′ und den Kanten 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 117, 119) und drei vom Typ I′ (mit den Flächen v′′, w′′, x′′, y′′, z′′, a′′′ und den Kanten 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 118, 120).A dodecahedron I is intersected by planes XXXIV-XXXIV, XXXV-XXXV, XXXVI-XXXVI that go through the center of the dodecahedron's sphere. The planes divide the dodecahedron I into six symmetrical, alternating unit components, three of the type H (with the areas o '' , p '' , r '' , s '' , t '' , u '' and the edges 97, 98 , 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 117, 119 ) and three of type I ′ (with the areas v ′ ′ , w ′ ′ , x ′ ′ , y ′ ′ , z ′ ′ , a ''' and the edges 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 118, 120 ).

Die sechs Einheitskomponenten des Dodekaeders werden um vier weitere Einheitskomponenten ergänzt zwei Typ H′ und zwei vom Typ I′. Durch die abwechselnde Aneinanderreihung der fünf Einheitskomponenten vom Typ H′ und der fünf Einheitskomponenten vom Typ I′, über die windschiefen Verbindungskanten 100 bzw. 110, und 119 bzw. 120, erhält man eine Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Einheitskomponenten, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.The six unit components of the dodecahedron are supplemented by four further unit components, two type H 'and two type I'. By alternating the five unit components of the type H 'and the five unit components of the type I', over the skewed connecting edges 100 and 110 , and 119 and 120 , you get a swivel chain with a minimum number of unit components that complete a turning movement allowed.

Durch die Klappbewegung der geschlossenen Kette nach innen oder nach außen, erzeugt man neue Formen.By folding the closed chain inwards or outwards, one creates new shapes.

Ausgehend von der geschlossenen Kette in Abb. 26 erhält man ein konkaves Polyeder, indem man eine Klappbewegung um alle Kanten 100 bzw. 110 durchführt, bis die Flächen o′′ und v′′ aufeinander liegen und anschließend eine Klappbewegung um die Kanten 119 bzw. 120 durchführt bis die Flächen u′′ und a′′′ aufeinander liegen (vgl. Abb. 27). Über andere Klappbewegungen können neue Polyederkonfigurationen erreicht werden.Starting from the closed chain in Fig. 26, a concave polyhedron is obtained by performing a folding movement around all edges 100 and 110 , respectively, until the surfaces o ′ ′ and v ′ ′ lie on one another and then a folding movement around edges 119 or 120 carries out until the surfaces u '' and a ''' lie on each other (see Fig. 27). New polyhedron configurations can be achieved with other folding movements.

Example 10

stellt die Anwendung der Methode auf ein Dodekaeder I, mit denselben Schnittebenen wie in Beispiel 9 beschrieben, wobei die Einheitskomponenten H′ und I′ abwechselnd aneinandergereiht werden; dabei werden andere Verbindungskanten hergenommen, als im Realisierungsbeispiel 9.represents the application of the method to a dodecahedron I, with the same cutting planes as described in Example 9, with the unit components H 'and I' being alternately strung together; other connecting edges are used than in implementation example 9 .

Wenn die sechs Einheitskomponenten des Dodekaeders, um zwei weitere Einheitskomponenten ergänzt werden, eine vom Typ H′ und eine vom Typ I′, erhält man dann durch die abwechselnde Aneinanderreihung der vier Einheitskomponenten vom Typ H′ und der vier Einheitskomponenten vom Typ I′ - die Verbindung geschieht dabei abwechselnd über die Kanten 106 bzw. 116, und 98 bzw. 108 - eine geschlossene Drehgelenkkette, vgl. Abb. 31, mit einer minimalen Anzahl von Einheitskomponenten, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.If the six unit components of the dodecahedron are supplemented by two further unit components, one of the type H ′ and one of the type I ′, then one obtains by alternating the four unit components of the type H ′ and the four unit components of the type I ′ - the Connection takes place alternately via edges 106 and 116 , and 98 and 108 - a closed swivel chain, cf. Fig. 31, with a minimal number of unit components, which allows a complete inverting movement.

Durch die Klappbewegung der Gelenkkette nach innen um die Verbindungskanten 98 bzw. 108, bis die Flächen o′′ und v′′ aufeinander liegen und danach durch die weitere Klappbewegung nach innen, um die zwei Verbindungskantenpaare 106 bzw. 116 bis vier Flächen u′′ bzw. a′′′ aufeinander liegen, erhält man ein konkaves Polyeder (vgl. Abb. 32). By the folding movement of the articulated chain inwards around the connecting edges 98 and 108 , until the surfaces o ′ ′ and v ′ ′ lie on one another and then by the further folding movement inwards, around the two connecting edge pairs 106 and 116 to four surfaces u ′ ′ or a ′ ′ ′ lie on top of each other, a concave polyhedron is obtained (see Fig. 32).

Example 11

stellt die Anwendung der Methode auf das Dodekaeder mit abgeschnittenen Ecken dar.shows the application of the method to the dodecahedron with cut corners.

Dem Dodekaeder I, vgl. Abb. 25, werden die Ecken L′ abgeschnitten, so daß der erhaltene Körper nur regelmäßige Dreiecke und Zehnecke als Flächen besitzt.The dodecahedron I, cf. Fig. 25, the corners L 'are cut off, so that the body obtained has only regular triangles and decagons as surfaces.

Das so erhaltene Dodekaeder mit abgeschnittenen Ecken J, wird von den Ebenen XXXVI-XXXVI, XXXVII-XXXVII, XIIL-XIIL geschnitten, die durch den Mittelpunkt der Inkugel des Dodekaeders gehen. Diese Ebenen teilen das Dodekaeder in sechs symmetrische, alternierende Einheitskomponenten, drei vom Typ J′ und drei vom Typ K′.The dodecahedron thus obtained with cut corners J, is from the planes XXXVI-XXXVI, XXXVII-XXXVII, XIIL-XIIL cut through the center of the ink ball of the Dodecahedron go. These levels divide the dodecahedron into six symmetrical, alternating ones Standard components, three of the type J 'and three of the type K'.

Die sechs Einheitskomponenten werden um vier weitere Einheitskomponenten ergänzt - zwei vom Typ J′ und zwei vom Typ K′. Durch abwechselnde Aneinanderreihung der fünf Einheitskomponenten vom Typ J′ (mit den Flächen b′′′, c′′′, d′′′, e′′′, f′′′, g′′′ und den Kanten 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132), und der fünf Einheitskomponenten vom Typ K′, (mit den Flächen h′′′,i′′′, j′′′, k′′′, l′′′, m′′′ und den Kanten 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 143, 144) über die Verbindungskanten 132 bzw. 144 und 124 bzw. 136, erhält man eine geschlossene Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Einheitskomponenten, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt (vgl. Abb. 29).The six unit components are supplemented by four further unit components - two of the type J ′ and two of the type K ′. By alternating the five unit components of type J ′ (with the surfaces b ′ ′ ′ , c ′ ′ ′ , d ′ ′ ′ , e ′ ′ ′ , f ′ ′ ′ , g ′ ′ ′ and the edges 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132 ), and the five unit components of type K ′, (with the areas h ′ ′ ′ , i ′ ′ ′ , j ′ ′ ′ , k ''' , L''' , m ''' and the edges 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 143, 144 ) over the connecting edges 132 or 144 and 124 or 136 , you get a closed swivel chain with a minimum number of unit components, which allows a complete inverting movement (see Fig. 29).

Die Drehgelenkkette (in Abb. 29) wird um die windschiefen Verbindungskanten 124 bzw. 136 und 132 bzw. 144 nach innen geklappt, bis die Flächen f′′′ und l′′′ aufeinander liegen. Dadurch entsteht eine Mischform zwischen einem Polyeder und einer geschlossenen Kette (vgl. Abb. 30).The swivel chain (in Fig. 29) is folded inwards around the skewed connecting edges 124 or 136 and 132 or 144 until the surfaces f ''' and l''' lie on each other. This creates a hybrid between a polyhedron and a closed chain (see Fig. 30).

Example 12

stellt die Anwendung der Methode auf ein Dodekaeder mit abgeschnittenen Ecken J dar, dessen Einheitskomponenten J′ und K′ wie in Abb. 31 aneinandergereiht sind.shows the application of the method to a dodecahedron with cut corners J, whose unit components J 'and K' are lined up as in Fig. 31.

Wenn die sechs Einheitskomponenten - die durch die Teilung des Körpers J entstanden sind - um zwei weitere Einheitskomponenten ergänzt werden, eine vom Typ J′ und eine vom Typ K′, und diese danach abwechselnd über die Verbindungskanten 122 bzw. 134 und 130 bzw. 142 aneinanderreiht, erhält man eine Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Einheitskomponenten, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.If the six unit components - which resulted from the division of the body J - are supplemented by two further unit components, one of the type J 'and one of the type K', and these then alternately via the connecting edges 122 or 134 and 130 or 142 next to each other, you get a swivel chain with a minimum number of unit components, which allows a complete inverting movement.

Die Drehgelenkkette in Abb. 33, mit den windschiefen Verbindungskanten 122 bzw. 134 und 130 bzw. 142, nimmt die Form des Polyeders in Abb. 34 an, indem man alle flächen g′′′ und m′′′ aufeinanderlegt. The swivel chain in Fig. 33, with the skewed connecting edges 122 or 134 and 130 or 142 , takes the shape of the polyhedron in Fig. 34 by placing all surfaces g ''' and m''' on top of each other.

Example 13

stellt die Anwendung der Methode auf das Ikosaeder (Abb. 35) dar.shows the application of the method to the icosahedron ( Fig. 35).

Ein Ikosaeder K wird von den Ebenen XIL-XIL, XL-XL, XLI-XLI, XLII-XLII, XLIII-XLIII geschnitten, die durch den Mittelpunkt der Inkugel des Körpers gehen. Diese Ebenen teilen das Ikosaeder K in zehn Einheitskomponenten, fünf davon vom Typ M′, (mit den Flächen n′′′, o′′′, p′′′, r′′′, s′′′, t′′′ und Kanten 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154) und fünf vom Typ N′, (mit den Flächen u′′′, v′′′, w′′′, x′′′, y′′′, z′′′ und den Kanten 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164). Die Einheitskomponenten M′ und N′ sind zueinander spiegelsymmetrisch und alternierend.An icosahedron K is intersected by the XIL-XIL, XL-XL, XLI-XLI, XLII-XLII, XLIII-XLIII planes, which go through the center of the body's ball. These planes divide the icosahedron K into ten unit components, five of them of type M ′, (with the areas n ′ ′ ′ , o ′ ′ ′ , p ′ ′ ′ , r ′ ′ ′ , s ′ ′ ′ , t ′ ′ ′ and edges 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154 ) and five of the type N ′, (with the areas u ′ ′ ′ , v ′ ′ ′ , w ′ ′ ′ , x ′ '' , Y ''' , z''' and the edges 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164 ). The unit components M 'and N' are mutually mirror-symmetrical and alternating.

Wenn diese zehn Einheitskomponenten des Ikosaeders um zwei weitere ergänzt werden, eine vom Typ M′ und die andere vom Typ N′, erhält man durch die abwechselnde Aneinanderreihung über die Verbindungskanten 148 bzw. 158 und 148 bzw. 159, eine Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Einheitskomponenten, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.If these ten unit components of the icosahedron are supplemented by two more, one of the type M 'and the other of the type N', you get a swivel chain with a minimal number by alternating stringing over the connecting edges 148 or 158 and 148 or 159 of unit components, which allows a complete inverting movement.

Ausgehend von der geschlossenen Kette (Abb. 36) wird eine Klappbewegung um die Kante 149 bzw. 159 durchgeführt, bis die Flächen n′′′ und u′′′ aufeinander liegen, und anschließend eine Umstülpungsbewegung nach außen der anderen Einheitskomponenten, bis man die Konfiguration in Abb. 37 erhält.Starting from the closed chain ( Fig. 36), a folding movement around the edge 149 or 159 is carried out until the surfaces n ′ ′ ′ and u ′ ′ ′ lie on one another, and then an inverting movement outwards of the other unit components until the Configuration in Fig. 37.

Example 14

stellt die Anwendung der Methode auf das Ikosaeder mit abgeschnittenen Ecken L (Abb. 38) dar.shows the application of the method to the icosahedron with cut corners L ( Fig. 38).

Dem Ikosaeder K, vgl. Abb. 35, werden die Ecken R′ abgeschnitten. Man erhält das Ikosaeder mit abgeschnittenen Ecken L (vgl. Abb. 38), das nur regelmäßige Fünfecke und Sechsecke als Flächen besitzt.The icosahedron K, cf. Fig. 35, the corners R 'are cut off. The icosahedron with cut corners L (see Fig. 38) is obtained, which has only regular pentagons and hexagons as surfaces.

Das Ikosaeder mit den abgeschnittenen Ecken L wird von den Ebenen XLIV-XLIV, XLV-XLV, IVL-IVL, IIIL-IIIL, IIL-IIL geschnitten, die durch den Mittelpunkt der Inkugel des Körpers L gehen. Diese Ebenen teilen den Körper L in zehn symmetrische, alternierende Einheitskomponenten, fünf vom Typ O′ und fünf vom Typ P′.The icosahedron with the cut corners L is made of the levels XLIV-XLIV, XLV-XLV, IVL-IVL, IIIL-IIIL, IIL-IIL cut through the center of the ball of the body L go. These levels divide the body L into ten symmetrical, alternating ones Unit components, five of the type O 'and five of the type P'.

Wenn man die zehn Einheitskomponenten um zwei weitere ergänzt, eine vom Typ O′ und eine zweite vom Typ P′, erhält man durch die alternierende Aneinanderreihung der sechs Einheitskomponent vom Typ O′ (mit den Flächen ª^iv, b ^iv, c ^iv, d ^iv, e ^iv, f ^iv und den Kanten 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174) und der den sechs Einheitskomponenten vom Typ P′ (mit den Flächen g ^iv, h ^iv, i ^iv, j ^iv, j ^iv, k ^iv, l ^iv und den Kanten 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184) - wobei die Verbindung zwischen diesen über die Verbindungskanten 169 bzw. 179 und 168 bzw. 178 geschieht, - erhält man eine Drehgelenkkette mit einer minimalen Anzahl von Bestandteilen, die eine vollständige Umstülpungsbewegung erlaubt.If you add two more to the ten unit components, one of the type O ′ and a second one of the type P ′, the alternating series of six unit components of the type O ′ (with the areas ª ^iv , b ^iv , c ^iv , d ^iv , e ^iv , f ^iv and the edges 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174 ) and the six unit components of type P ′ (with the areas g ^iv , h ^iv , i ^iv , j ^iv , j ^iv , k ^iv , l ^iv and the edges 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184 ) - the connection between them via the connecting edges 169 and 179 and 168 or 178 happens, - you get a swivel chain with a minimum number of components, which allows a complete inversion movement.

Ausgehend von der geschlossenen Kette in Abb. 39, durch die Umstülpungsbewegung nach außen, erhält man die Polyederkonfiguration in Abb. 40. Starting from the closed chain in Fig. 39, by turning inside out, you get the polyhedron configuration in Fig. 40.

bibliography

Paul Schatz - Patent CH 216 760 (Schweiz)
Klaus Ernhofer - Gebrm. G 91 01 549.9 (Deutschland)Paul Schatz - Patent CH 216 760 (Switzerland)
Klaus Ernhofer - Gebrm. G 91 01 549.9 (Germany)

Claims

1. method for generating elementary, deformable swivel chains,

- which emanates from the Platonic bodies
- which in a first phase divides the body with the help of sectional planes, which contain both the center of the body's incubation and certain edges or heights of surfaces of the body
- That thus divides the body into an even number of unit components that are congruent and mirror-symmetric in pairs
- The in the second phase by adding, possibly by omitting the required number of unit components, so that the swivel chain to be formed has the minimum number that allows a complete inverting movement, and thus becomes an "elementary" swivel chain
- which in the third phase closes the unit components to form a swivel chain by always taking two skewed edges as connecting edges of a unit component to the two neighboring ones
- which results in a "deformable" swivel chain, in that an "elementary" swivel chain has the property, in addition to the inverting movement, of also allowing folding movements around all the connecting edges, and thus allows the formation of a variety of configurations, ranging from different chain forms to numerous mixed forms between polyhedron and chain - up to polyhedral structures.

2. Method for generating elementary, deformable swivel chains, according to claim 1, characterized in that

- that the applicability can be transferred to the Archimedean bodies by introducing a preparatory phase in which the corners of the corresponding Platonic bodies are removed by cuts so that the resulting body has the following characteristics: the edges are congruent; As surfaces, two types of regular polygons appear in equal numbers - one has a number of sides equal to twice the number of sides of a surface of the original body, the other a number of sides equal to the number of edges that meet in a tip of the original body.

3. Method for generating elementary, deformable swivel chains, according to claim 1 and 2, characterized in that

- That in the case of the octahedron, two types of sectional planes are used, one containing both the center of the body's in-ball, and the height of a surface of the body, the other the center of the body of the ink and an edge of the body
- That in the case of the octahedron with cut corners, two types of cutting planes are used, one containing both the center of the body's in-ball as well as an edge, the other the center of the body's in-ball and a distance that can be considered a partial section the height of a surface of the original body.

4. Method for generating elementary, deformable swivel chains, according to claim 1 and 2, characterized in that

- That in the case of the tetrahedron, cutting planes (a total of six) are placed through all heights of the tetrahedral surfaces, so that these also go through the center of the tetrahedron's sphere
- That in the case of the tetrahedron with cut corners, cutting planes (a total of six) through all routes - which can now be referred to as partial routes of the heights of the original tetrahedral surfaces - so that these also go through the center of the sphere of the tetrahedron.

5. Method for generating elementary, deformable swivel chains, according to claim 1 and 2, characterized in that

- That in the case of the cube, tetrahedron and octahedron, the two edges that connect each unit component with the two neighboring ones are skewed and perpendicular to each other (the angle of rotation between two successive axes of rotation is 90 °).

6. Method for generating elementary, deformable swivel chains, according to claim 1 to 5, characterized in that

- That the swivel chains can no longer be inscribed in the bodies from which they originated.

7. craft sheets, models, toys, machines, display objects, furniture, partitions, buildings according to claims 1 to 6, characterized in

- That they represent elementary, deformable swivel chains, which have the characteristics according to claims 1 to 6
- And that their components (chain links and joints) of solid material of all kinds - in particular paper, cardboard, fabric, wood, wire, metal, stone, concrete and all plastics - are made.