DE3726018A1

DE3726018A1 - Verfahren zum einstellen eines reglers

Info

Publication number: DE3726018A1
Application number: DE19873726018
Authority: DE
Inventors: Heinz Prof Dr Kronmueller; Thomas Dipl Ing Schuster
Original assignee: Siemens Corp
Current assignee: Siemens Corp
Priority date: 1987-08-05
Filing date: 1987-08-05
Publication date: 1989-02-16

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Einstellen eines Reglers gemäß dem Oberbegriff des Anspruchs 1.

In der Zeitschrift "Siemens Energie & Automation", 8. Jahrgang (1986), Heft 5, Seiten 339 bis 341 ist ein Verfahren zur Pro zeßidentifikation beschrieben, bei dem als Regelstreckenmodell ein Verzögerungsglied n-ter Ordnung mit gleichen Zeitkonstanten zugrunde gelegt ist. Mit diesem Verfahren können zwar die Parameter eines Verzögerungsgliedes einfach gewonnen werden, jedoch genügt für viele Fälle der einfache Modellansatz nicht, vor allem dann, wenn Zustandsregler entworfen werden sollen, die eine das dynamische Verhalten der Regelstrecke sehr genau wie dergebende mathematische Beschreibung erfordern.

Aus der DE-PS 23 35 788 ist ein selbsteinstellender Regler bekannt, der an beliebige, also auch an nichtlineare und zeit variante Regelstrecken anpaßbar sein soll, deren Parameter zu nächst nicht bekannt sind. Die Ermittlung dieser Parameter (Identifikation der Regelstrecke) ist bei dem bekannten Regler jedoch sehr aufwendig und kompliziert sowie für den Praktiker schwer durchschaubar, was seine Anwendbarkeit beeinträchtigt.

In der deutschen Patentanmeldung P 37 17 559.6 ist ein weiteres Verfahren beschrieben, mit dem die Regelstrecke identifiziert wird, indem die Parameter eines der Regelstrecke zugrunde gelegten Modells ermittelt werden.

Ziel der vorliegenden Erfindung ist es, ein Verfahren anzugeben, mit dem die optimalen Parameter eines Reglers ermittelt werden können.

Erfindungsgemäß wird dieses Ziel mit den im kennzeichnenden Teil des Anspruchs 1 angegebenen Maßnahmen erreicht.

Das neue Verfahren eignet sich zum Bestimmen der Parameter eines PI(D)-Reglers, vor allem dann, wenn ein festes Verhältnis, vorzugsweise von 4 : 1 von Nachstell- zu Vorhaltzeit angenommen werden kann.

Bei den bekannten Verfahren zum Bestimmen der optimalen Parameter von Reglern wird zunächst die Regelstrecke identifiziert, indem für diese ein Modell angenommen wird und die Parameter des Modells bestimmt werden. Danach werden aus der mathematischen Beschreibung des Streckenmodells die Reglerparameter er mittelt. Nach dem neuen Verfahren kann die Regelstrecke ohne Annahme eines Modells identifiziert werden, indem auf deren Eingang ein Testsignal gegeben wird. Während einer Meßzeit, an deren Ende das Ausgangssignal der Regelstrecke einen stationären Zustand erreicht hat, werden zu Meßzeitpunkten t _iM Eingangs signalwerte u _i und Ausgangssignalwerte x _i erfaßt. Aus den Ein- und Ausgangssignalwerten werden Gewichtsfunktionswerte g _i be rechnet, mit denen die Übertragungsfunktion G _s durch numerische Laplace-Transformation ermittelt wird:

Mit einem solchen Verfahren erhält man zwar keine mathematische Beziehung, die die Regelstrecke beschreibt, es liefert aber aus den gemessenen Ein- und Ausgangssignalen der Regelstrecke unmittelbar Werte zur optimalen Reglereinstellung.

Anhand der Zeichnungen werden im folgenden die Erfindung sowie Weiterbildungen und Ergänzungen näher beschrieben und erläutert.

Fig. 1 zeigt das Prinzipschaltbild einer Anordnung zur Durchführung des neuen Verfahrens.

Fig. 2 veranschaulicht in einem Diagramm das neue Verfahren.

In Fig. 1 ist mit RS eine Regelstrecke eines Prozesses bezeichnet, deren Eigenschaften nicht bekannt sind. Über einen Schalter SC kann sie zusammen mit einem Regler R einen geschlossenen Regelkreis bilden. Die Führungsgröße ist mit w bezeichnet. Das Eingangssignal u der Regelstrecke RS und ihr Ausgangssignal x werden über einen Multiplexer MX von einem Analog-Digital-Um setzer ADU erfaßt und in den Speicher einer Steuereinheit CP eingetragen. Ein Bediengerät HD gibt je nach Stellung des Schalters SC ein Testsignal entweder unmittelbar auf den Eingang der Regelstrecke RS oder auf den Sollwerteingang des Reglers R. Darauf werden Ein- und Ausgangssignal zu Zeitpunkten t _k, k = 1, 2 . . . M, vom Analog-Digital-Umsetzer ADU abgetastet; die Ausgangssignalwerte werden mit x _k und die zugehörigen Ein gangssignalwerte mit u _k bezeichnet. Das Übertragungsverhalten der Regelstrecke RS wird daher mit Wertetripeln u _k, x _k, t _k be schrieben. Die Meßperiode muß so lange andauern, bis das Aus gangssignal einen stationären Zustand erreicht hat. Das erste Wertetripel u₁, x₁, t₁ beschreibt daher den stationären Anfangs zustand und das letzte Wertetripel u _M, x _M, t _M den stationären Endzustand. Bei äquidistanten Abtastzeitpunkten t _k brauchen diese nicht gesondert erfaßt zu werden, da sich dann aus der Anzahl der Abtastung der jeweilige Abtastzeitpunkt ergibt.

Zur Bestimmung der Parameter des Reglers R ist die Kenntnis der Übertragungsfunktion G(s) der Regelstrecke erforderlich. Zwischen den Eingangswerten u _k der Strecke und den Ausgangs werten x _k besteht der Zusammenhang

Aus dieser Beziehung können die Gewichtsfunktionswerte g₁, g₂, . . . g _N errechnet werden, mit denen dann durch numerische Laplace-Transformation die Übertragungsfunktion der Regel strecke ermittelt werden kann nach der Gleichung:

Vor allem zum erstmaligen Einstellen des Reglers bei der Inbe triebnahme wird die Regelstrecke im offenen Regelkreis identi fiziert, d. h., der Schalter SC wird in die als durchgezogene Linie gezeichnete Stellung gebracht, so daß das Testsignal un mittelbar der Regelstrecke RS zugeführt wird. Als Testsignal können mehrere aufeinanderfolgende Sprungsignale unterschied licher Polarität der Regelstrecke zugeführt werden. Bei einem einfachen Sprungsignal der Höhe u₀ sind die Sprungantwortwerte

Die Gewichtsfunktionswerte ergeben sich daraus mit der Gleichung:

Daraus läßt sich nach der Gleichung

die Übertragungsfunktion G(s) der Regelstrecke berechnen.

Vor allem, wenn der Regler in Betrieb ist, ist es zweckmäßig, G(s) im geschlossenen Regelkreis zu bestimmen. Es kann dann überwacht werden, ob der Regler noch gut eingestellt ist, und es können die günstigsten Regelparameter gefunden werden. Dazu wird der Schalter SC in die gestrichelt gezeichnete Stellung gebracht und das Testsignal, z. B. ein oder mehrere Sollwert sprünge von z. B. mindestens 5% des maximalen Sollwertes, dem Sollwerteingang des Reglers zugeführt, Ein- und das Ausgangs signal der Regelstrecke werden gemessen; die Meßwerte sind wieder mit u _k und x _k bezeichnet. Der Einfachheit halber sind die Abtastintervalle t _k - t _k-1 = T _a konstant. Für den Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignal gilt dann die Faltungssumme

Zur Bestimmung von N Werten g _i der Gewichtsfunktion sind min destens N Meßwertepaare erforderlich. Zur Vermeidung von Stör einflüssen ist es jedoch zweckmäßig, die Anzahl M der Meßwerte größer als die Anzahl N der Gewichtsfunktionswerte zu wählen und diese nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate zu be stimmen. Es läßt sich ein Gleichungssystem aufstellen, das in Matrizenschreibweise lautet:

x = u g , mit

Die Auflösung dieses Gleichungssystems nach g _i erfolgt mit der Gleichung

g = ( u ^T u ) ^-1 u ^T x

Darin sind u ^T die transportierte Matrix u und ( u ^T u ) ^-1 die inverse Matrix des Matrixproduktes u ^T u .

Nachdem die Übertragungsfunktion G(s) ermittelt ist, werden die Reglerparameter bestimmt, wozu die gewünschte Dämpfung des Re gelkreises vorgegeben werden kann. Damit kann das gewünschte Zeitverhalten gewählt werden. Die komplexe Größe s hat dann die Form

s = -d + j D d

Dem neuen Verfahren zum Bestimmen der Reglerparameter liegt der Gedanke zugrunde, ein dominantes, konjugiert komplexes Polpaar

s₀ = -d₀ ± j D d₀

zu finden, dessen Realteil möglichst klein ist, und damit die Reglerparameter zu bestimmen. Hierzu wird wie folgt vorgegangen:

Mit mehreren Werten s _j werden Werte G(s _j ) der Übertragungs funktion berechnet. Zunächst wird mit gegebenen Parametern P _i,1 der Wert s _0,1 gesucht, für den gilt:

G(s _0,1) R(s ₀₁, P _i,1) = -1

Danach wird dieses Verfahren mit veränderten Parametern P _i,2, P _i,3 usw. so lange wiederholt, bis ein s _0,q gefunden ist, dessen Realteil am kleinsten ist, beziehungsweise es wird der Wert s _0,q ausgesucht, der den kleinsten Realteil hat. Damit sind auch die optimalen Parameter P _i,q gefunden.

Vorwiegend ist das neue Verfahren zum automatischen Bestimmen der Parameter eines PID-Reglers geeignet. Am Beispiel eines PID-Reglers wird daher die Erfindung im folgenden näher erläutert. Das Nyquist-Kriterium macht eine Aussage darüber, ob für s-Werte, deren Realteile größer oder gleich Null sind, Pole des geschlossenen Regelkreises vorhanden sind. Dies läßt sich auch auf andere Gebiete der komplexen Zahlenebene der s-Werte aus dehnen, wie in Fig. 2 veranschaulicht ist. Dort verläuft die Integrationskurve C auch im dritten und vierten Quadranten der komplexen Zahlenebene, begrenzt durch die beiden Geraden

s = -d ± j D d

Die Bedingung dafür, daß der geschlossene Regelkreis keine Pole im schraffierten Gebiet von Fig. 2 hat, ist, daß der Fahrstrahl der Ortskurve G(d) R(d) vom Punkt -1 zum laufenden Punkt die Winkeländerung π - ζ erfahren muß, wenn d von Null bis Unendlich läuft. Es werden also Pole nicht nur in der rechten Halbebene, sondern auch außerhalb des Sektors mit dem Winkel ζ zur negativen reellen Achse ausgeschlossen. Da die Dämpfung D = tan ζ ist, dürfen die Pole nicht schwach gedämpft sein, was in der Praxis regelmäßig der Fall ist.

Wenn die Ortskurve durch den Punkt -1 geht, hat der geschlossene Regelkreis ein konjugiert komplexes Polpaar genau auf der Integrationskurve C, d. h., im Punkt

s₀ = -d₀ ± j D d₀

Dies läßt sich durch geeignete Wahl der Reglerverstärkung er zielen. Das Zeitverhalten des geschlossenen Regelkreises wird dann im wesentlichen von diesem Polpaar s₀ bestimmt. Es muß nur noch geprüft werden, ob keine weiteren Pole innerhalb des Sektors 2ζ existieren, die rechts von s₀ liegen und damit ein langsameres Einschwingen als s₀ bewirken würden. Mit Hilfe der Wurzelortskurve erhält man eine zusätzliche Nebenbedingung zur Lösung dieses Problems. Ein Punkt s _p der komplexen Zahlenebene ist ein Pol des geschlossenen Regelkreises, wenn der Imaginärteil der Ortskurve an diesem Punkt 0 und der Realteil -1 ist.

Das konjugiert komplexe Polpaar s₀ ergibt sich als Schnitt punkte der Geraden

s = -d₀ ± j D d₀

mit dem ersten Astpaar der Wurzelortskurve. Die einzige Möglichkeit, daß ein Pol in einem durch die beiden Geraden und der Verbindungslinie des Polpaares gebildeten kritischen Dreieck liegt, ist auf der negativen reellen Achse. Der durch einen PID-Regler bei s = 0 eingeführte Pol wandert nämlich mit wachsender Verstärkung auf der reellen Achse nach links bis zur ersten Regler-Nullstelle. Im Ursprung hat die Ortsfunktion den Wert - ∞, in der Regler-Nullstelle 0. Dazwischen, und zwar an genau einer Stelle, hat die Ortsfunktion den Wert -1, dort liegt dann der Pol. Um nun festzustellen, ob dieser Pol bei einer bestimmten Reglerverstärkung im kritischen Dreieck liegt oder nicht, muß nur der Wert der Ortsfunktion für den Realteil -d₀ des komplexen Wertes s₀ berechnet werden. Ist dieser Realteil kleiner als -1, so liegt der Pol außerhalb des kritischen Dreiecks. Ist der Wert der Ortsfunktion größer als -1 (aber kleiner als 0), so liegt der Pol im kritischen Dreieck und kann das gewünschte Zeitverhalten des geschlossenen Regelkreises verschlechtern. Ist der Wert der Ortsfunktion für -d₀ = -1, liegt der Pol genau zwischen den beiden konjugiert komplexen Polen s₀. Die zusätzliche Nebenbedingung dafür, daß der Pol nicht im kritischen Dreieck liegt, lautet also:

G(-d₀) R(-d₀) = -1

Zur Verdeutlichung des erfindungsgemäßen Verfahrens wird im folgenden die Bestimmung der Parameter eines vereinfachten PID-Reglers beschrieben. Für diesen Regler wird angenommen, daß die Nachstellzeit T _N gleich der vierfachen Vorhaltzeit T _V ist. Die Übertragungsfunktion eines solchen Reglers lautet:

Ein solcher Regler hat nur noch zwei Parameter, nämlich die Verstärkung K _R und eine Zeitkonstante T, die eine doppelte Nullstelle bei s = -1/T bewirkt. Zunächst wird T klein ge wählt, damit die Regler-Nullstelle sehr weit links in der linken Halbebene liegt. Als Verstärkung wird der Wert K _R = 1 angenommen. Die Übertragungsfunktion G(s) der Regelstrecke ist aus den gemessenen Ein- und Ausgangssignalwerten ermittelt, wie oben beschrieben. Es wird dann der Schnittpunkt der Ortskurve G(s) R(s) mit der negativen reellen Achse gesucht, d. h., es wird die Gleichung gelöst:

Im {G(s _0,1) R(s _0,1)} = 0

Mit dem ermittelten Wert s _0,1 wird die Reglerverstärkung er rechnet mit der Gleichung

Der Wert s _0,1 ist somit ein Pol des geschlossenen Regelkreises, wenn der vereinfachte PID-Regler die Verstärkung K _R,1 und die Zeitkonstante T₁ hat. Es muß dann noch die Nebenbedingung

G(-d₀) R(-d₀) -1

geprüft werden. Wenn diese erfüllt ist, wird für den Regler eine neue Zeitkonstante T₂ angenommen, die größer als die im ersten Schritt angenommene Zeitkonstante T₁ ist, so daß die Nullstelle auf der negativen reellen Achse nach rechts rückt. Die Verstärkung wird wieder mit 1 angenommen und der Schnitt punkt s _0,2 der Ortskurve mit der negativen reellen Achse be stimmt. Daraus ergibt sich eine neue Reglerverstärkung

S _0,2 ist ein Pol des geschlossenen Regelkreises bei den Regler parametern K _R,2 und T₂. Außer der Nebenbedingung

G(-d _0,2) R(-d _0,2) 1

wird jetzt noch geprüft, ob d _0,2 größer als d _0,1 aber kleiner als 1/T₂ ist. Sind beide Bedingungen erfüllt, wird das Verfahren mit einer neuen Zeitkonstante T₃, die größer als T₂ ist, wiederholt, und zwar mit jeweils vergrößerter Zeitkonstante T, bis eine der beiden Bedingungen nicht mehr erfüllt ist. Die Verstärkung K _R,i und die Zeitkonstante T _i, mit denen zum letzten Mal die Bedingungen erfüllt waren, sind die optimalen Reglerparameter.

Das beschriebene Verfahren setzt für die Ermittlung der optimalen Parameter eine genügend feine Stufung der Zeitkonstanten T₁, T₂, T₃ . . . voraus. Man kann selbstverständlich auch so vor gehen, daß die Zeitkonstante zunächst in großen Sprüngen geändert wird, bis eine der beiden Bedingungen nicht mehr erfüllt ist, um dann in immer feineren Schritten die optimalen Parameter zu suchen.

Claims

1. Verfahren zum Einstellen eines Reglers mit der Übertragungs funktion R(s) an eine gegebene beliebige Übertragungsstrecke mit der Übertragungsfunktion G(s) und mit einer minimalen Dämpfung D des geschlossenen Regelkreises mit der Übertragungsfunktion R(s) G(s), gekennzeichnet durch

a) für mehrere Sätze von Reglerparametern werden die Schnitt punkte s _0,1, s _0,2 der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit der negativen reellen Achse bestimmt;
b) mit jedem gefundenen Schnittpunkt s _0,1, s _0,2 . . . wird die Verstärkung des Reglers mit der Gleichung bestimmt:
c) der Regler wird mit dem Parametersatz eingestellt, bei dem die Bedingung G(-d₀) R(-d₀) = -1mit dem kleinsten Betrag von d₀ erfüllt ist.

2. Verfahren nach Anspruch 1, gekennzeichnet durch

a) mit einem ersten Parametersatz, der so gewählt ist, daß die erste Nullstelle der Reglerübertragungsfunktion einen großen negativen Wert hat, wird der Schnittpunkt s _0,1 = d _0,1 + j D d₀ der Ortskurve des geschlossenen Regelkreises mit der negativen reellen Achse bestimmt;
b) mit dem Wert s _0,1 wird ein reeller Korrekturfaktor K _R,1 der Reglerübertragungsfunktion mit der Gleichung bestimmt:
c) falls die Bedingung G(-d _0,2) R(-d _0,2) = 1erfüllt ist, wird ein neuer Parametersatz für den Regler gewählt, derart, daß der Betrag des Realteils der ersten Null stelle kleiner wird als beim ersten Parametersatz, und es wird der Schnittpunkt s _0,2 der Übertragungsfunktion des ge schlossenen Regelkreises mit der negativen reellen Achse bestimmt;
d) mit dem Wert s _0,2 wird ein reeller Korrekturfaktor K _R,2 der Reglerübertragungsfunktion mit der Gleichung bestimmt:
e) falls G(-d _0,2) K _r,2 R(d _0,2) = -1und d _0,2 d _0,1 ist, Wiederholung der Schritte c) und d), bis eine der beiden Bedingungen nicht mehr erfüllt ist;
f) Einstellen des Reglers mit den Parametern, für die zum letzten Mal beide Bedingungen erfüllt waren.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch ge kennzeichnet, daß der Regler ein PID-Regler ist, für den als Parametersatz Vorhaltzeit T _V, Nachstellzeit T _N und Verstärkung K _R gewählt werden.

4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekenn zeichnet, daß die Nachstellzeit in einem festen Ver hältnis zur Vorhaltezeit gewählt ist.

5. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekenn zeichnet, daß die Nachstellzeit gleich der vierfachen Vorhaltezeit gewählt ist.

6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß das Eingangssignal u der Regelstrecke R(s) mit einem Testsignal von einem ersten sta tionären Zustand, in dem auch das Ausgangssignal x stationär ist, auf einen zweiten stationären Zustand geändert wird, und während einer Meßzeit, an deren Ende das Ausgangssignal der Regelstrecke stationär ist, zu Meßzeitpunkten t _i M Eingangssi gnalwerte u _K und Ausgangssignalwerte x _K erfaßt werden, daß aus den Ein- und Ausgangssignalwerten Gewichtsfunktionswerte g _i berechnet werden, mit denen die Übertragungsfunktion G(s) durch numerische Laplace-Transformation ermittelt wird:

7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekenn zeichnet, daß dem Eingang der Regelstrecke R(s) ein Sprungsignal der Höhe u₀ aufgeschaltet wird und aus den Aus gangssignalwerten Sprungantwortwerte k = 1, 2 . . . N und aus diesen die Gewichtsfunktionswerte gebildet werden.

8. Verfahren nach Anspruch 5, gekennzeichnet durch
aus M Meßwerten u _K, x _K werden N Gewichtsfunktionswerte g _i er mittelt, wobei M N ist, indem das Gleichungssystem x = u g gebildet wird mit