DE2232221B2

DE2232221B2 - Verfahren zum Einblasen von Frischgasen in eine Metallschmelze

Info

Publication number: DE2232221B2
Application number: DE2232221A
Authority: DE
Inventors: Basil Uzodinma Nwanne Igwe; Sundaresan Ramachandran
Original assignee: Allegheny Ludlum Industries Inc
Current assignee: Sunbeam Oster Co Inc
Priority date: 1971-07-09
Filing date: 1972-06-30
Publication date: 1979-12-06
Also published as: CA959273A; JPS5610365B1; AU466833B2; ES404697A1; ATA568772A; FR2145505A1; AT327971B; AU4370572A; IT962662B; US3791813A; SE419655B; DE2232221A1; GB1403544A; FR2145505B1; BE786018A

Description

und

L„ = 0,527 + 0,87 P₀ <*o Cos Θ

L_h = 4,16 + 1,526 P₀d₀ Sin θ

eingestellt wird, wobei L_v die senkrechte Eindringtiefe der Bläschen, L_h die waagerechte Eindringtiefe der Bläschen, cfc den Durchmesser der Düse, θ den Neigungswinkel der Düse in bezug auf die Senkrechte und P₀ den Druck des Behandlungsgases vor der Düse bezeichnet.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß bei Verwendung mehrerer Düsen der Ausdruck d₀ den aufsummierten Durchmessern aller Düsen entspricht.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß eine Düse verwendet wird, welche die Seitenwand eines die Metallschmelze enthaltenden Reaktionsgefäßes durchsetzt.

4. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß eine Düse verwendet wird, die am unteren Ende einer in die Metallschmelze eintauchenden Blaslanze angeordnet ist.

Aus der DE-OS 19 53 888 ist ein Verfahren zum Einblasen von Frischgasen in eine Metallschmelze bekannt, bei welchem das Gas aus wenigstens einer Blasdüse in die im Reaktionsgefäß enthaltene Metallschmelze eingeblasen wird. Bei diesem bekannten Verfahren wird die Gas/Metall-Kontaktfläche durch Verminderung der Größe der Frischgasblasen erhöht, um eine größtmögliche Gas-Schmelze-Grenzfläche zu erzielen. Es ist der genannten Offenlegungsschrift jedoch nicht zu entnehmen, auf welche Weise die angestrebte Verkleinerung der Frischgasblasen erreicht wird. Es kann jedoch angenommen werden, daß die Gasblasengröße durch geeignete Abstimmung von Gasblasendurchmesser und Gasdurchfluß gesteuert wird, da bekanntlich der durchschnittliche Gasblasendurchmesser, zumindest im laminaren Strömungsbereich, eine Funktion des Düsenöffnungsdurchmessers ist.

Das bekannte Verfahren hat den Nachteil, daß es keine größtmögliche Reaktionswirksamkeit bei gleichzeitig maximaler Schonung der feuerfesten Auskleidung des Frischgefäßes gestattet.

Aus Brauer: »Grundlagen der Einphasen- und Mehrphasenströmungen«, Aarau (Schweiz), 1971, S. — 284 sind theoretische Grundlagen bezüglich des Durchmessers von am freien Ende einer Düse ausgebildeten Blasen bekannt, wobei herausgestellt wird, daß der auf den Düsendurchmesser bezogene Blasendurchmesser eine Funktion des Quotienten der Weberzahl und der Froudezahl ist Der Durchschnittsfachmann wird imstande sein, aus dieser Druckschrift den Hinweis zu entnehmen, daß für die Verwirbelung und Durchmischung im Bereich des Strahlgases der Düsendurchmesser, der Gasdruck und der Volumen-ο strom die maßgebenden Größen sind.

Aus der DE-PS 8 88 395 ist es ferner bekannt, durch Frischen mit Wind höherer Pressung die Stickstoff aufnahme des gefrischten Stahls herabzusetzen. Um die Windaufnahmefähigkeit des Bades zu erhöhen, wird in der genannten deutschen Patentschrift vorgeschlagen, den Gesamtblasenquerschnitt zu reduzieren, bis ein Zustand der maximalen Windaufnahmefähigkeit des Bades erreicht ist Aus der letztgenannten Druckschrift ist ferner bekannt, daß sich die Haltbarkeit des Windfrischgefäßbodens dadurch verlängern läßt, daß die einzelnen Blaslöscher einen vergleichsweise kleinen Durchmesser aufweisen.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der eingangs genannten Gattung so auszubilden, daß möglichst kleine Bläschen und damit eine maximale Reaktionswirksamkeit erzielt werden und gleichzeitig der Verschleiß der feuerfesten Auskleidung des Frischgefäßes vermindert wird.

Diese Aufgabe wird durch die im Anspruch 1 aufgeführten Merkmale gelöst.

Der mit Hilfe der Erfindung erzielbare technische Fortschritt ist in erster Linie darin zu sehen, daß das Eindüsen des Frischgases nunmehr so erfolgen kann, daß eine maximale Reaktionswirksamkeit als Folge

J5 möglichst kleiner Bläschen gewährleistet ist, wobei als Folge der erfindungsgemäßen Einstellung des Blasdrukkes dafür Sorge getragen ist, daß der Verschleiß der feuerfesten Auskleidung des Frischgefäßes trotz der lebhaften Badbewegung auf ein Minimum herabgesetzt ist.

Diesem Umstand kommt eine besonders große Bedeutung zu, da es äußerst schwierig ist, eine Schonung der feuerfesten Auskleidung und gleichzeitig eine lebhafte Badbewegung zu erzielen. Der mit Hilfe der Erfindung erzielbare technische Fortschritt beruht in erster Linie darauf, daß das Blasen im Bereich turbulenter Strömungsgeschwindigkeiten erfolgt und gleichzeitig der Druck des Frischgases sowie die Neigung des Blasdüsenstrahls gegenüber der Senkrechten berücksichtigt werden.

Die Erfindung wird im folgenden anhand der Zeichnung näher beschrieben. In dieser zeigen

F i g. 1 bis 3 Vertikalschnitte durch Reaktionsgefäße mit unterschiedlichen, die Seitenwände des Reaktionsgefäßes durchsetzenden Blasformen,

F i g. 4 einen Vertikalschnitt durch ein Schmelzgefäß, in welches eine Blaslanze hineintaucht, an deren Ende eine unter einem bestimmten Winkel gegenüber der Senkrechten angeordnete Blasdüse befestigt ist,

F i g. 5 und 6 Vertikalschnitte durch Reaktionsgefäße mit in diese hineinreichenden Blaslanzen mit daran angeordneten Mehrfachdüsen, wobei gemäß F i g. 5 die Gase parallel zur Achse des jeweiligen Auslasses heraustreten und gemäß Fig.6 die Düsenauslässe eine

b5 Biegung besitzen, und

F i g. 7 ein grafisches Schaubild, in welchem der mittlere Blasendurchmesser gegen die Reynoldssche Zahl der Düse aufgetragen ist.

Ein in den Figuren der Zeichnung dargestelltes Reaktionsgefäß hat einen Außemnantel 10 aus Stahl oddgL mit einer feuerfesten inneren Auskleidung 12. Am oberen Ende des Gefäßes ist eine öffnung 14 für den Austritt von Gasen, gewöhnlich über eine oberhalb der öffnung 14 angebrachte Haube, vorhanden. Das Reaktionsgefäß enthält eine Metallschmelze 16, beispielsweise aus Stahl, welcher gefrischt werden soll. Ein Frischgas, wie etwa Sauerstoff, wird über eine die Seitenwandung des Gefäßes zunächst dem Boden durchsetzende feuerfeste Düsen 18 in das Schmelzbad 16 eingeblasen.

Beim Einblasen von Sauerstoff durch die Düse 18 bilden sich in der Schmelze Bläschen, welche in einem Bereich 20 in der Schmelze aufsteigen (F i g. 1). Wie aus der weiteren Beschreibung hervorgeht, gewährleistet die Erfindung die Ausbildung von turbulenten Bläschen mit im wesentlichen konstantem Durchmesser und damit eine vollständige Umsetzung des Reaktionsgases, beispielsweise Sauerstoff, mit den Verunreinigungen im Schmelzbad 16. Ferner schafft die Erfindung die Möglichkeit, die Eindringtiefe bzw. die Verteilung der Bläschen im Schmelzbad zu steuern. Ist nämlich die Eindringtiefe zu groß, so daß die Bläschenbahnen mit der feuerfesten Auskleidung in Berührung kommen, so bewirkt der in den Bläschen erhaltene Sauerstoff die Oxydation und Erosion der Auskleidung.

In F i g. 2 sind der Ausführung nach F i g. 1 entsprechende Teile mit den gleichen Bezugszeichen versehen. In dieser Ausführung sind mehrere Düsen 22 zunächst dem Boden des Reaktionsgefäßes um dessen Umfang herum verteilt, um so mehrere von Blasenbahnen durchzogene Bereiche zu bilden. Durch eine solche Anordnung steigt das geschmolzene Metall im mittleren Bereich des Schmelzbades 16 auf und strömt dann in Richtung der Pfeile entlang den Wandungen des Reaktionsgefäßes wieder abwärts zum Boden, von wo aus es, den Pfeilen 17 folgend, wieder im Mittelbereich aufsteigt. Dadurch ist eine gute Durchmischung des Schmelzbades und eine vollständige Umsetzung der Gasbläschen mit den zu verschlackenden Bestandteilen der Schmelze gewährleistet.

Die in F i g. 3 gezeigte Anordnung hat im wesentlichen die gleiche Wirkungsweise wie die in F i g. 2 dargestellte, wobei jedoch jede der zunächst dem Boden des Reaktionsgefäßes über dessen Umfang verteilten Düsen 24 mehrere Düsenöffnungen 26 hat. Daraus ergibt sich eine weitergehende und vollständigere Vermischung der Bläschen mit der Metallschmelze 16.

Die in F i g. 1 bis 3 gezeigten, seitlich angeordneten Blasformen rufen eine in Fig.2 durch die Pfeile 17 angedeutete Strömungsverteilung im Reaktionsgefäß hervor. Nach dem Aufsteigen sinkt die Schmelze entlang den Gefäßwandungen wieder abwärts zu der oder den Düse(n) hin. Sofern sich also der Bläschenbereich bis wenigstens zur Hälfte des Gefäßdurchmessers erstreckt, stellt sich eine kontinuierliche Zirkulation und Durchmischung der Flüssigkeit ein. Nun sind seitlich angeordnete Düsen der in F i g. 1 bis 3 gezeigten Art erfindungsgemäß zwar verwendbar, sie rufen jedoch bei großen Einblasmengen ein starkes Spritzen und Schwappen der Schmelze aus dem Gefäß hervor. Bei der Verwendung einer einzigen Düse wie im Beispiel nach F i g. 1 oder im Falle einer Anordnung von mehreren Düsen entlang dem Umfang des Gefäßes, bei der sich die durch die Düsenstrahlen entstehenden Reaktionskräfte nicht genau gegenseitig aufheben, ereibt sich ferner eine unerwünschte Vibration des Gefäßes, welche zuweilen so stark werden kann, daß verstärktes Spritzen und Schwappen eintritt

Aus diesen Gründen empfiehlt sich, wenn auch nicht zwangsläufig, die Verwendung einer von oben eintauchenden-Lanze einer in F i g. 4 bis 6 gezeigten Art. In der Ausführung nach F i g. 4 wird das Gas dem Schmelzbad 16 über einen einzigen Auslaß 28 am Ende einer senkrechten Lanze 30 zugeführt. Der Auslaß 28 verläuft zur senkrechten Achse der Lanze 33 in einem Winkel Θ.

Wie aus der weiteren Beschreibung hervorgeht, bestimmt sich der Winkel θ aus der durch Tiefe und Breite gegebenen Größe der Schmelze, die wiederum die senkrechte und waagrechte Komponente der Eindringtiefe des Düsenstrahls bestimmt Die in F i g. 4 gezeigte Anordnung gewährleistet bei Anwendung der erfindungsgemäßen Grundgedanken eine ausreichende Verteilung oder Streuung der Bläschen sowie eine dem Weg der Bläschen eng angenäherte Zirkulation der Schmelze. Um eine optimale Durchmischung der Schmelze zu gewährleisten, sollte die wirksame Eindringtiefe des Düsenstrahls in der Waagerechten wenigstens gleich einem Drittel der Entfernung vom Auslaß zur gegenüberliegenden Gefäß wandung und in der Senkrechten wenigstens gleich einem Drittel der Tiefe des Schmelzbades sein.

Die in F i g. 5 und 6 gezeigten Ausführungen stellen Abwandlungen von von oben eintauchenden Lanzen mit Mehrfachdüsen dar. Eine in F i g. 5 gezeigte Lanze 32 weist an ihrem unteren Ende mehrere entlang ihrem Umfang angeordnete Auslässe oder Düsen 34 auf. Die Ausbildung der einzelnen Auslässe entspricht der des Auslasses von Fig.4, und der Neigungswinkel θ der öffnung beträgt in Abhängigkeit von den vorstehend angeführten Bedingungen zwischen 0 und 180° in bezug auf die senkrechte Aufwärtsrichtung.

Die in F i g. 6 gezeigte Ausführung ist eine Abwandlung die in F i g. 5 dargestellten Ausführungsform mit all deren vorteilhaften Eigenschaften hinsichtlich Spritzvermeidung, Bläschenverteilung und Zirkulation der Schmelze. In dieser Ausführung trägt eine eingetauchte Lanze 38 mehrere seitlich daraus hervorstehende Auslässe oder Düsen 36. Die einzelnen Düsen 36 haben jeweils ein erstes, in einer Ebene mit der Achse der Lanze 38 abwärts geneigt verlaufendes Teilstück 36/4 und ein zweites, in bezug auf die Achse der Lanze schräg abwärts verlaufendes Teilstück 36Ä Durch diese Anordnung erzeugt ein aus den Düsen 36 austretendes Gas eine Umlauf- oder Wirbelbewegung innerhalb der Schmelze und bewirkt so ein sehr gutes Durchmischen und Rühren des Schmelzbades ohne Spritzen.

Wie bereits erwähnt ist es zur Erzielung von möglichst großen Grenzflächen zwischen Gas und Flüssigkeit zweckmäßig, das Reaktionsgas derart in das Schmelzbad einzublasen, daß eine große Anzahl relativ kleiner turbulenter Bläschen entsteht. Der Durchmesser der Bläschen und ihre Turbulenz ist wiederum eine Funktion des Düsendurchmessers und der Reynoldsschen Zahl der Strömung in der Düsenöffnung, welche sich bestimmt aus

Vd₀Q

4W

π do /ι

worin

b5 NRe = die Reynoldssche Zahl,

V = die Austrittsgeschwindigkeit des Düsenstrahls, do = den Durchmesser an der engsten Stelle der Öffnung oder der Düse,

ρ = die Dichte des Gases,

μ = die Viskosität des Gases und

W = die Glasflußmenge

bedeuten.

Änderungen des durchschnittlichen Bläschendurchmessers als Funktion der Reynoldsschen Zahl und des Düsendurchmessers sind in F i g. 7 dargestellt. Bei einer Reynoldsschen Zahl unter 10 000 stellt sich eine laminare Strömung ein, während sich bei Reynoldsschen Zahlen über 10 000 Turbulenz ausbildet. Ferner ist zu erkennen, daß der durchschnittliche Bläschendurchmesser im laminaren Strömungsbereich, also bei einer Reynoldsschen Zahl unter 10 000, bis wenigstens 4000 eine Funktion des Durchmessers der öffnung ist. In jedem Fall ist die Biäschengroße ausschließlich eine Funktion der physikalischen Gegebenheiten und der Gasdurchströmungsbedingungen, unabhängig von den Eigenschaften der Flüssigkeit, in der die Bläschen gebildet werden.

Aus der vorstehenden Gleichung (1) und F i g. 7 ist zu entnehmen, daß sich der Durchschnittsdurchmesser der erzeugten Bläschen zweckmäßig und vorbestimmbar dadurch steuern läßt, daß man die Gasströmung im Bereich der Düse unabhängig von deren Durchmesser im turbulenten Bereich, also bei einer Reynoldsschen Zahl über 10 000 hält. Unter solchen Umständen beträgt der durchschnittliche Durchmesser der Bläschen weniger als etwa 4,6 mm. Der Bläschendurchmesser db bei turbulenter Gasströmung bestimmt sich somit gemäß Gleichung

d„ = 0,28

Bei der Konstruktion eines geeigneten Einblassystems ist zunächst der Gasdurchfluß zu bestimmen, welcher seinerseits vom Volumen und den metallurgischen Eigenschaften des Schmelzbades abhängt. Nach der Bestimmung des Durchflusses läßt sich der richtige Düsendurchmesser unter Ansatz einer Reynoldsschen Zahl von 10 000 oder darüber nach der Gleichung (1) berechnen. Im Falle der Verwendung von mehreren Düsen ist der Durchmesser jeder einzelnen Düse nach der Gleichung (1) zu bestimmen.

Bei den meisten für metallurgische Zwecke verwendbaren Gasen bestehen bei gleichen Strömungsbedingungen nur geringe Unterschiede hinsichtlich Dichte und Viskosität. Damit ist die Reynoldssche Zahl vorwiegend von der Strömungsgeschwindigkeit des Gases, dem Düsendurchmesser und dem Gasdurchfluß abhängig. Der Düsendurchmesser ist durch den gewünschten Durchfluß vorgegeben, welcher seinerseits eine Funktion des hinter dem engsten Düsenquerschnitt vorhandenen Drucks ist Unterschreitet das Verhältnis zwischen den absoluten Drücken P₀ und P unmittelbar vor dem engsten Düsenquerschnitt bzw. am Düsenaustritt einen durch die Gleichung

10

15

20

25

30

35

worin

A = die Fläche des engsten Düsenquerschnitts,

g = die Schwerkraftkonstante,

R = die Gaskonstante und

T = die Gastemperatur ist.

Für die meisten in metallurgischen Verfahren verwendbaren zweiatomigen Gase ist das Verhältnis der spezifischen Wärme gleich 1,404. Bei einer angenommenen Gastemperatur von 15,5° C läßt sich der vorstehende Ausdruck in Gleichung (4) in bezug auf den Gasdurchfluß pro Minute Q und den Durchmesser do des engsten Düsenquerschnitts in Zoll umwandeln in

Q = \3,5P_od_o ² (S)

Ist das Druckverhältnis kleiner als das vorstehend in Gleichung (3) angegebene kritische, so liegt die Strömungsgeschwindigkeit im engsten Düsenquerschnitt im Schallbereich und die Strahlaustrittsgeschwindigkeit wenigstens im Schallbereich, je nach der besonderen Ausbildung der Düse. Düsen mit konstantem Querschnitt oder konvergierende Düsen vermögen keine Austrittsgeschwindigkeiten des Gasstrahls im Oberschallbereich hervorzubringen. Demgemäß läßt sich die Reynoldssche Zahl der Gasströmung durch derart ausgebildete Düsen mittels des Gasdurchflusses und des Düsendurchmessers bestimmen. Unter solchen Bedingungen kann der Düsendurchmesser gemäß vorstehender Gleichung (1) berechnet werden. Demgegenüber ist mit konvergent-divergenten Düsen eine Geschwindigkeit des Gasstrahls im Überschallbereich bei unter den in der Gleichung (3) angegebenen liegenden kritischen Druckverhältnissen erzielbar.

Die Auslegung des divergenten Teilstücks einer Überschalldüse ist durch die folgende Beziehung vorgegeben:

40

d_r	= d₀	"[>-(£)	t^-LT 1/2	i-kV
		( k — 1 \\\i	( 2
( 2 j	*\k +*

1/2

(6)

worin d_c der Austrittsdurchmesser der Düse ist und die anderen Symbole den vorstehend definierten entsprechen. Die bei Unterschallströmung im engsten Düsenquerschnitt theoretisch am Düsenaustritt erzielbare Geschwindigkeit ergibt sich aus

50

P₀

-[ttt]

*■- 1

gegebenen kritischen Wert, wobei Jt das Verhältnis der spezifischen Wärme des Gases bei konstantem Druck und konstantem Volumen ist, dann ergibt sich als theoretisches Maximum für den Gasfluß durch die Düse

W =

\ IRT

(7)

worin Vs gleich der Schallgeschwindigkeit bei der Temperatur und dem Druck des Gases ist

Man erkennt somit, daß die Austrittsgeschwindigkeit V, der Druck des Behandlungsgases vor der Düse Po, die Durchmesser des engsten Düsenquerschnitts und des (3) 60 Düsenaustritts und der Gasfluß durch die Düse ohne Schwierigkeit bestimmbar sind. Somit ist auch der durchschnittliche Bläschendurchmesser sowohl vorhersehbar als auch beeinflußbar, und der Düsendurchmesser do läßt sich anhand der vorstehenden Gleichungen berechnen.

Wie vorstehend erwähnt, muß auch die Eindringtiefe

. pa ^ (4) bzw. der Weg der turbulenten Bläschen im Schmelzbad

bestimmbar sein, um einen Kontakt der Bläschen mit

der feuerfesten Wandung des Reaktionsgefäßes zu vermeiden und durch Zirkulation eine gute Durchmischung der Bläschen mit dem Schmelzbad zu erzielen. In praktischen Versuchen wurde ermittelt, daß sich in einer Metallschmelze die senkrechte Eindringtiefe L_v und die waagerechte Eindringtiefe Lh nach den folgenden Gleichungen bestimmen lassen:

L₁. = 0,527 + 0,87 P₀ d₀ Cos θ, (8)

L_h = 4.16 + 1,526 P₀^₀ Sin (■), (9)

worin

β den Neigungswinke! der Düse in bezug auf die Senkrechte,

P₀ den Druck des Behandlungsgases vor der Düse und do den Düsendurchmesser oder im Falle von Mehrdüsenanordnungen den aufsummierten Durchmesser der Düsen angibt.

Zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens ist zunächst der Gasdurchfluß zu bestimmen, welcher vom Volumen und von den metallurgischen Eigenschaften der zu behandelnden Metallschmelze abhängig ist. Anhand der ermittelten Größe und der gewählten Reynoldsschen Zahl, gewöhnlich 10 000 oder darüber, läßt sich der Düsendurchmesser do im Falle einer geradwandigen Düse nach der Gleichung (1) und im Falle einer divergenten Düse nach der Gleichung (6) bestimmen. Nachdem der Düsendurchmesser festgelegt ist, kann der Druck P₀ des Behandlungsgases vor der Düse im Hinblick auf die in den Gleichungen (8) und (9) definierten waagerechten und senkrechten Eindringtiefen ermittelt und mittels eines der Düse oder der in die Schmelze eintauchenden Lanze vorgeschalteten Druckreglers eingestellt werden. Durch das Einstellen des Drucks läßt sich also die gewünschte Eindringtiefe

ίο steuern. Da ferner der Düsendurchmesser im Hinblick auf turbulente Bläschenbildung und im wesentlichen konstanten Bläschendurchmesser gewählt ist, läßt sich das Frischen oder eine andere Behandlung der Metallschmelze zur Erzielung höchster Wirksamkeit beeinflussen.

Wie man aus vorstehender Beschreibung erkennt, schafft die Erfindung ein Verfahren für die Zufuhr von bestimmten Gasmengen bei einer vorbestimmten Durchflußmenge und einem Druck über eine oder mehrere unterhalb des Spiegels eines zu behandelnden metallischen Schmelzbades angeordnete Düse(n), wobei das Gas in Form eines Strahls mit hoher Geschwindigkeit in das Schmelzbad eintritt. Beim Eintritt in die Schmelze zerfällt der Gasstrahl in Bläschen mit kleinem Durchmesser, welche das Schmelzbad in vorbestimmter bzw. steuerbarer Anordnung durchwandern. Während der Zeitspanne des Kontakts zwischen flüssiger und gasförmiger Phase finden chemische oder andere Wechselwirkungen zur Reinigung der flüssigen Phase statt.

Hierzu 2 Blatt Zeichnungen

Claims

Patentansprüche:

1. Verfahren zum Einblasen von Frischgasen in eine Metallschmelze, bei welchem das Gas aus wenigstens einer unter der Schmelzbadoberfläche angeordneten Blasdüse zwecks Erzielung größtmöglicher Gas-Schmelze-Grenzflächen mit vorbestimmten kleinen Blasengrößen eingeblasen wird, dadurch gekennzeichnet, daß in der Düse eine turbulente Gasströmung mit einer Reynoldsschen Zahl von mehr als 10 000 aufrechterhalten wird und daß der Druck des der Düse zugeführten Gases entsprechend den Gleichungen