DE19922311C2

DE19922311C2 - Method and arrangement for determining spatial velocity distributions in electrically conductive liquids

Info

Publication number: DE19922311C2
Application number: DE1999122311
Authority: DE
Inventors: Frank Stefani; Gunter Gerbeth; Andreas Cramer; Sven Eckert; Janis Priede; Andre Thess
Original assignee: Helmholtz Zentrum Dresden Rossendorf eV
Current assignee: Helmholtz Zentrum Dresden Rossendorf eV
Priority date: 1999-05-14
Filing date: 1999-05-14
Publication date: 2001-06-07
Anticipated expiration: 2019-05-15
Also published as: DE19922311A1

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Anordnung zur Bestimmung der räumlichen Ge schwindigkeitsverteilung in elektrisch leitfähigen Flüssigkeiten.The invention relates to a method and an arrangement for determining the spatial Ge speed distribution in electrically conductive liquids.

Ein bevorzugtes Einsatzgebiet der Einrichtung ist die Geschwindigkeitsbestimmung in heißen und/oder chemisch aggressiven Flüssigmetallen und Halbleiterschmelzen.A preferred area of application of the device is to determine the speed in hot and / or chemically aggressive liquid metals and semiconductor melts.

Die Tatsache, daß in einer leitfähigen bewegten Flüssigkeit unter dem Einfluß eines externen Magnetfeldes (Primärfeld) elektrische Ströme induziert werden, die u. a. auch außerhalb der betrachteten Flüssigkeit ein zusätzliches Magnetfeld erzeugen, wurde von Baumgartl, J., Hu bert, A., and Müller, G. in "The use of magnetohydrodynamic effects to investigate fluid flow in electrically conducting melts", Phys. Fluids A5 (12), December 1993, pp. 3280-3289 be schrieben. In dieser Arbeit wurde auch das Problem der räumlichen Geschwindigkeitsrekon struktion aus den im Außengebiet gemessenen induzierten Magnetfeldern besprochen. Das an gegebene Verfahren ist allerdings nicht in der Lage, alle Geschwindigkeitskomponenten zu bestimmen. So ist z. B. für den Fall eines in z-Richtung angelegten externen Magnetfeldes eine Rotation der Flüssigkeit um diese Achse nicht bestimmbar. Auch für jedes andere angelegte Primärfeld lassen sich nicht alle Geschwindigkeitskomponenten bestimmen.The fact that in a conductive moving liquid under the influence of an external Magnetic field (primary field) electrical currents are induced, u. a. also outside of generate an additional magnetic field in the liquid under consideration, was described by Baumgartl, J., Hu bert, A., and Müller, G. in "The use of magnetohydrodynamic effects to investigate fluid flow in electrically conducting melts ", Phys. Fluids A5 (12), December 1993, pp. 3280-3289 wrote. In this work the problem of spatial speed reconstruction was also discussed structure from the induced magnetic fields measured in the external area. That on However, given the method, it is not able to add all the speed components determine. So z. B. in the case of an external magnetic field applied in the z direction Rotation of the liquid around this axis cannot be determined. Also for every other one Primary field cannot determine all speed components.

Es wurde in DE 43 16 344 A1 eine Strömungsmeßeinrichtung beschrieben, in welcher Ge schwindigkeitskomponenten aus Zeitverzögerungen magnetischer Signale zwischen magnet felderzeugenden und magnetfeldmessenden Komponenten bestimmt werden. Dabei wurde vorausgesetzt, daß die Wirkrichtung von Primärfeld und magnetfeldmessenden Komponenten senkrecht zu der zu messenden Geschwindigkeitskomponente stehen, was erfordert, daß für die Bestimmung aller Geschwindigkeitskomponenten drei verschiedene Magnetfelder angelegt werden müßten. Auch in dieser technischen Lösung gibt es Geschwindigkeitskomponenten, die nicht bestimmbar sind.DE 43 16 344 A1 describes a flow measuring device in which Ge Velocity components from time delays of magnetic signals between magnet field-generating and magnetic field-measuring components can be determined. It was provided that the direction of action of the primary field and magnetic field measuring components are perpendicular to the speed component to be measured, which requires that for the determination of all speed components created three different magnetic fields should be. There are also speed components in this technical solution, that cannot be determined.

In US 5 390 548 wurde eine Anordnung zur Bestimmung der Geschwindigkeit in elektrisch leitfähigen Flüssigkeiten aus den durch die Wechselwirkung der bewegten Flüssigkeit mit ei nem statischen Magnetfeld induzierten und an einer Mehrzahl von Erfassungstellen an der Grenzfläche der Flüssigkeit gemessenen elektrischen Potentialen angegeben. Diese An ordnung gestattet jedoch nur eine Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit in der unmittel baren Umgebung der Potentialsonden. Darüberhinaus sind bei dieser Anordnung solche Ge schwindigkeitskomponenten, die paralellel zur Richtung des angelegten statischen Magnetfel des zeigen, nicht bestimmbar. In US 5 390 548 an arrangement for determining the speed in electrical conductive liquids from the interaction of the moving liquid with egg induced a static magnetic field and at a plurality of detection points on the Interface of the liquid measured electrical potentials. This to However, order only allows a determination of the flow velocity in the immediate environment of the potential probes. In addition, such Ge are in this arrangement velocity components that are parallel to the direction of the applied static magnetic field of the show, not determinable.

In DE 92 04 374 U1 wurde eine Vorrichtung zur Messung von Mehrphasenströmungen charakteri sierenden Parametern, unter anderem auch der Strömungsgeschwindigkeit, angegeben. Diese Vorrichtung beruht wesentlich auf Impedanzunterschieden zwischen den verschiedenen Kom ponenten der Mehrphasenströmung. Sie ist deshalb zur Bestimmung von Geschwindigkeits verteilungen in homogenen Flüssigkeiten nicht geeignet.In DE 92 04 374 U1, a device for measuring multiphase flows was characterized parameters, including the flow velocity. This Device is based essentially on impedance differences between the different com components of the multiphase flow. It is therefore used to determine speed distributions in homogeneous liquids are not suitable.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren und eine Anordnung zur Be stimmung von räumlichen Geschwindigkeitsverteilungen in elektrisch leitfähigen Flüssigkei ten vorzuschlagen, die für alle Geschwindigkeitskomponenten reproduzierbare Ergebnisse ga rantieren.The invention has for its object a method and an arrangement for loading tuning of spatial speed distributions in electrically conductive liquids to propose results that are reproducible for all speed components rant.

Erfindungsgemäß wird die Aufgabe mit den in den Patentansprüchen angeführten Merkmalen gelöst.According to the invention, the object is achieved with the features stated in the patent claims solved.

Die Erfindung zur Bestimmung von Geschwindigkeitsfeldern ν in elektrisch leitfähigen Flüs sigkeiten mit der Leitfähigkeit σ geht von der Tatsache aus, daß durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes ₀ (Primärfeld) ein Strom = σ × ₀ induziert wird. Dieser Strom erzeugt seinerseits ein zusätzliches Magnetfeld , welches auch außerhalb der Flüssigkeit gemessen werden kann. Für das vorliegende erfindungsgemäße Verfahren besteht allerdings das Pro blem, daß zusätzlich zu dem Strom = σ × ₀ auch die sogenannten Sekundärströme an der Grenzfläche der Flüssigkeit zu dem außen gemessenen induzierten Magnetfeld beitra gen. Der durch diese Sekundärströme bedingte Magnetfeldanteil kann nach Messung der elek trischen Potentiale an den Grenzflächen durch Anwendung der bekannten Gleichung von Ge selowitz (Geselowitz, D. B., "On the magnetic field generated outside an inhomogeneous volu me conductor by internal current sources", IEEE Transactions on magnetics, Vol. Mag-6, No. 2, June 1970, pp. 346-347) abgespalten werden. Desweiteren wird das an den Grenzflächen gemessene elektrische Potential als weitere Informationsquelle zur Lösung des inversen Pro blems der Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung herangezogen.The invention for determining velocity fields ν in electrically conductive liquids with the conductivity σ is based on the fact that a current = σ × _{0 is} induced by applying an external magnetic field ₀ (primary field). This current in turn creates an additional magnetic field, which can also be measured outside the liquid. For the present method according to the invention, however, there is the problem that, in addition to the current = σ × ₀ , the so-called secondary currents at the interface of the liquid contribute to the induced magnetic field measured externally. The proportion of magnetic field caused by these secondary currents can be measured after measurement of the electrical Potentials at the interfaces by using the known equation by Ge selowitz (Geselowitz, DB, "On the magnetic field generated outside an inhomogeneous volu me conductor by internal current sources", IEEE Transactions on magnetics, Vol. Mag-6, No. 2, June 1970, pp. 346-347). Furthermore, the electrical potential measured at the interfaces is used as a further source of information for solving the inverse problem of determining the speed distribution.

Das elektrische Potential ϕ_i wird an einer Mehrzahl 1 ≦ i ≦ NP von Punkten mit den Koor dinaten _i = (x_i, y_i, z_i) an der Grenzfläche zwischen leitfähiger Flüssigkeit und äußerer Be grenzung (z. B. einer Glas- oder Keramikwand) gemessen. Dabei muß vorausgesetzt werden, daß die elektrische Leitfähigkeit der Wand deutlich unter derjenigen der Flüssigkeit liegt. Die Punkte sollten möglichst gleichmäßig über die Grenzfläche verteilt sein.The electrical potential ϕ _i is determined at a plurality 1 ≦ i ≦ NP of points with the coordinates _i = (x _i , y _i , z _i ) at the interface between the conductive liquid and the external boundary (e.g. a glass or ceramic wall). It must be assumed that the electrical conductivity of the wall is significantly lower than that of the liquid. The points should be distributed as evenly as possible over the interface.

Desweiteren wird an einer Mehrzahl 1 ≦ k ≦ NB von Punkten mit den Koordinaten _k = (x_k, y_k, z_k) im Außengebiet jeweils eine Magnetfeldkomponente B_k = (_0,k + _k) . _k gemessen. Dabei sollte die Richtung des Einheitsvektors _k am Meß punkt k möglichst senkrecht zum nächstliegenden Punkt der Wand stehen. Um den durch die Flüssigkeitsbewegung hervorgerufenen Magnetfeldanteil b_k zu erhalten, ist vom eigentlichen Meßergebnis B_k der Anteil des extern angelegten Magnetfeldes B_0,k abzuziehen. Die Anzahl NB und die Anzahl NP sollten etwa gleich groß sein. Dabei ist zu beachten, daß durch NB und NP die Anzahl der tatsächlichen Informationen festgelegt ist. Damit ist auch eine obere Grenze für die Anzahl der Punkte gegeben, an der im Inneren der Flüssigkeit die Ge schwindigkeit bestimmt werden kann. Für eine geeignete Diskretisierung des Geschwindig keitsfeldes gilt, daß die Anzahl der Punkte in der Schicht, die der Wand am nächsten liegt, kleiner oder gleich dem Minimum von NB und NP sein soll.Furthermore, at a plurality 1 ≦ k ≦ NB of points with the coordinates _k = (x _k , y _k , z _k ) in the outer region there is a magnetic field component B _k = ( _{0, k} + _k ). _k measured. The direction of the unit vector _k at the measuring point k should be as perpendicular as possible to the nearest point on the wall. In order to obtain the magnetic field component b _k caused by the liquid movement, the component of the externally applied magnetic field B _{0, k must be} subtracted from the actual measurement result B _k . The number NB and the number NP should be approximately the same size. It should be noted that the number of actual information is determined by NB and NP. This also gives an upper limit for the number of points at which the speed can be determined inside the liquid. For a suitable discretization of the velocity field, the number of points in the layer closest to the wall should be less than or equal to the minimum of NB and NP.

Aus den gemessenen Daten des elektrischen Potentials an der Grenzfläche und des Magnet feldes im Außengebiet wird unter Nutzung des Biot-Savart-Gesetzes und der Formeln von Ge selowitz, welche den Einfluß von Sekundärströmen an der Grenzfläche beschreiben, das in verse Problem zur Geschwindigkeitsbestimmung gelöst. Dies erfolgt mittels der Methode der kleinsten Quadrate, wobei als zu minimierende Funktionale die mittleren quadratischen Ab weichungen der durch die angenommene Geschwindigkeit induzierten Magnetfelder und elek trischen Potentiale von den jeweils gemessenen Werten benutzt werden. Als weitere Informati on dient die Tatsache, daß das Geschwindigkeitsfeld als divergenzfrei angenommen wird, was im Verfahren durch den Einbau eines entsprechenden Funktionals realisiert wird. Zur Vermei dung unphysikalisch großer Geschwindigkeitsbeträge bei der Lösung des inversen Problems wird eine Regularisierung des Geschwindigkeitsfeldes durch Verwendung eines zusätzlichen Funktionals vorgenommen.From the measured data of the electrical potential at the interface and the magnet field in the external area is used using the Biot-Savart law and the formulas of Ge selowitz, who describe the influence of secondary currents at the interface solved speed determination problem. This is done using the method of least squares, with the mean square Ab deviations of the magnetic fields induced by the assumed speed and elec trical potentials of the measured values are used. As further informat on serves the fact that the velocity field is assumed to be free of divergence, which is implemented in the process by installing an appropriate functional. To avoid of unphysically large amounts of speed in solving the inverse problem is a regularization of the speed field by using an additional Functionals made.

Ein wesentlicher Vorteil der Erfindung besteht darin, daß sie auch zur Geschwindigkeitsbe stimmung in heißen und/oder chemisch aggressiven Flüssigkeiten geeignet ist, da sich der di rekte Kontakt von Teilen der Einrichtung mit der Flüssigkeit auf elektrische Potentialsonden beschränkt, welche durch geeignete Materialwahl als sehr beständig gegenüber hohen Tempe raturen und gegenüber chemischer Zersetzung ausgelegt werden können.A major advantage of the invention is that it can also be used for speed is suitable in hot and / or chemically aggressive liquids, since the di direct contact of parts of the device with the liquid on electrical potential probes limited, which is very resistant to high temperatures due to a suitable choice of materials and against chemical decomposition.

Die Erfindung wird nachstehend an je einem Ausführungsbeispiel für das Verfahren und die Anordnung näher beschrieben.The invention is based on an exemplary embodiment of the method and the Arrangement described in more detail.

Die zugehörige Zeichnung zeigt eine Prinzipdarstellung der erfindungsgemäßen Anordnung.The accompanying drawing shows a schematic diagram of the arrangement according to the invention.

Es wird eine konkrete Ausführungsform des Verfahrens zur räumlichen Geschwindigkeitsbe stimmung beschrieben.It will be a concrete embodiment of the spatial velocity method mood described.

Diese kann in drei Schritte zerlegt werden.This can be broken down into three steps.

Im ersten Schritt wird von den an der Grenzfläche gemessenen Potentialen ϕ_i und im Außen gebiet gemessenen induzierten Magnetfeldern b_k durch Abzug der aus Sekundärströmen an der Flüssigkeitsgrenze resultierenden Oberflächenterme zu modifizierten Potentialen _j und modifizierten Magnetfeldern _k übergegangen. Dabei sind die _k an denselben Koordinaten _k wie die Felder b_k lokalisiert. Die Koordinaten _j = (_j, _j, _j) der modifizierten elek trischen Potentiale _j sind jedoch ebenfalls modifiziert und müssen im Außengebiet der Flüs sigkeit liegen. Die Punkte dieser modifizierten Koordinaten sollen das Flüssigkeitsgebiet möglichst gleichmäßig umschließen. Für den Abstand sowohl der Koordinaten _k, an denen das Magnetfeld gemessen wird, als auch der Koordinaten _j zu der Grenzfläche der Flüssigkeit gilt, daß er etwa in der Größenordnung der linearen Ausdehnung der Oberflächenelemente lie gen sollte, mit denen die Oberflächenintegrale über das Potential approximiert werden. Der Übergang von den ursprünglichen zu den modifizierten Größen erfolgt gemäß der Formeln von Geselowitz, die in diskretisierter Form
In the first step, the potentials ϕ _i measured at the interface and the induced magnetic fields b _k measured in the outside area are converted to modified potentials _j and modified magnetic fields _k by subtracting the surface terms resulting from secondary currents at the liquid boundary. The _{k are located} at the same coordinates _k as the fields b _k . However, the coordinates _j = ( _j, _j , _j ) of the modified electrical potentials _j are also modified and must be in the outer region of the liquid. The points of these modified coordinates should enclose the liquid area as evenly as possible. For the distance between both the coordinates _k , at which the magnetic field is measured, and the coordinates _j to the interface of the liquid, it should be approximately in the order of magnitude of the linear expansion of the surface elements with which the surface integrals approximates the potential become. The transition from the original to the modified sizes takes place according to Geselowitz's formulas, which are in a discretized form

notiert werden können. Unter Δ_i ist dabei ein nach außen gerichtetes vektorielles Oberflä chenelement am Punkt i der Grenzfläche zu verstehen.can be noted. Δ _i is to be understood as an outward vectorial surface element at point i of the interface.

Die modifizierten Magnetfelder sind durch das Biot-Savart-Gesetz linear mit dem gesuchten Geschwindigkeitsfeld in der Flüssigkeit verknüpft. Die modifizierten elektrischen Potentiale sind durch eine ähnliche Beziehung ebenfalls linear mit der Geschwindigkeit verknüpft. Durch Diskretisierung des Flüssigkeitsvolumens kann eine Matrixgleichung aufgestellt werden, in welcher die modifizierten magnetischen Felder und die modifizierten elektrischen Felder als Produkt einer Matrix mit dem Spaltenvektor aller gesuchten Geschwindigkeitskomponenten dargestellt werden. Somit ist ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Geschwin digkeitskomponenten entstanden, welches durch die Methode der kleinsten Quadrate gelöst werden kann.The modified magnetic fields are linear with the one sought by the Biot-Savart law Velocity field linked in the liquid. The modified electrical potentials are also linearly related to speed through a similar relationship. By Discretization of the liquid volume, a matrix equation can be set up in which as the modified magnetic fields and the modified electric fields Product of a matrix with the column vector of all searched speed components being represented. This is a linear system of equations for determining the speed components that were solved by the least squares method can be.

Konkret wird dies folgendermaßen realisiert: das diskretisierte Geschwindigkeitsfeld _m soll an den im Volumen der Flüssigkeit liegenden Stützstellen _m = (x_m, y_m, z_m) mit 1 ≦ m ≦ NV bestmöglich rekonstruiert werden. Bei vielen Anwendungen ist zu gewährleis ten, daß die Relativgeschwindigkeit zwischen Fluid und festen Wänden verschwindet (engl.: no-slip boundary condition). Dieser Forderung kann in natürlicher Weise Rechnung getragen werden, wenn man von den an den NV Stützstellen lokalisierten Geschwindigkeiten _m übergeht zu einer Menge von NVV ≧ NV Geschwindigkeiten _l, welche auf einer gegen über dem System der ursprünglichen Stützstellen versetzten Punktmenge mit den Koordinaten _l = (_l, _l, _l) lokalisiert sind. Diese Geschwindigkeiten an den versetzten Punkten können in geeigneter Weise gemäß
Specifically, this is realized as follows: The discretized velocity field _m should be reconstructed with 1 ≦ m ≦ NV at the support points _m = (x _m , y _m , z _m ) in the volume of the liquid. In many applications it must be ensured that the relative speed between fluid and solid walls disappears (no-slip boundary condition). This requirement can be taken into account in a natural way if one goes from the speeds _m located at the NV support points to a set of NVV ≧ NV speeds _l which are based on a point set with the coordinates _l = (compared to the system of the original support points). _l , _l , _l ) are localized. These speeds at the offset points can be suitably according to

aus den an den ursprünglichen Stützstellen zu bestimmenden Geschwindigkeiten _m interpo liert werden, wobei die no-slip Bedingung an den Grenzen durch entsprechende Einträge in der Matrix M garantiert wird. Desweiteren sei den Geschwindigkeiten an den versetzten Stütz stellen _l ein entsprechendes Volumenelement ΔV_l zugeordnet.are interpolated from the speeds _m to be determined at the original support points, the no-slip condition at the limits being guaranteed by corresponding entries in the matrix M. Furthermore, whether the speeds set to the offset support _l a corresponding volume element associated .DELTA.V _l.

Das Wesen der Geschwindigkeitsrekonstuktion besteht nun darin, eine solche Geschwindig keitsverteilung _m zu finden, durch welche sowohl die diskretisierte Form des Biot-Savart-Ge setzes
The essence of the speed reconstruction is now to find such a speed distribution _m , through which both the discretized form of the Biot-Savart law

als auch die diskretisierte Form des entsprechenden Gesetzes für den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und modifiziertem Potential im Außengebiet
as well as the discretized form of the corresponding law for the connection between speed and modified potential in the outer area

möglichst gut erfüllt ist. Diese Gleichungen können kompakt in der Form
is fulfilled as well as possible. These equations can be compact in form

notiert werden, wobei die Matrixelemente von A und C durch die Gleichungen (4) bzw. (5) eindeutig bestimmt sind. Die Bestimmung der Geschwindigkeiten ergibt sich nun aus dem Prinzip der kleinsten Quadrate durch Minimierung des Funktionals der Geschwindigkeiten
are noted, the matrix elements of A and C being uniquely determined by equations (4) and (5), respectively. The determination of the speeds now results from the principle of the least squares by minimizing the functional of the speeds

und
and

wobei s_B und s_P für die a priori angenommenen Meßfehler der Magnetfelder bzw. elektri schen Potentiale stehen. Die Minimierung des Funktionals in Gleichung (8) führt gemäß der Methode der kleinsten Quadrate (beschrieben z. B. in I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, "Ta schenbuch der Mathematik", Gemeinschaftsausgabe Verlag Nauka, Moskau, BSB B. G. Teub ner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1981, S. 825, durch dieses Zitat wird der Inhalt dieser Ver öffentlichung in die vorliegende Beschreibung übernommen) auf das System der Normalglei chungen zur Bestimmung der Geschwindigkeiten, welches mit einem Standardverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme gelöst werden kann.where s _B and s _P stand for the a priori assumed measurement errors of the magnetic fields or electrical potentials. The minimization of the functional in equation (8) leads according to the least squares method (described, for example, in IN Bronstein, KA Semendjajew, "Pocket Book of Mathematics", joint edition by Nauka publishing house, Moscow, BSB BG Teub ner publishing company, Leipzig, 1981, p. 825, with this quote the content of this publication is taken over into the present description) on the system of normal equations for the determination of the speeds, which can be solved with a standard method for solving systems of linear equations.

Dieses Gleichungssystem erweist sich allerdings im Allgemeinen und für eine größere Anzahl zu bestimmender Geschwindigkeiten im Besonderen als schlecht konditioniert und muß des halb in einem zweiten Verfahrensschritt regularisiert werden. Das mathematische Verfahren der Regularisierung schlecht konditionierter inverser Probleme ist umfassend abgehandelt in Engl, H. W., Hanke, M. and Neubauer, A., "Regularization of Inverse Problems", Kluwer Aca demic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 1996. Im Fall der vorliegenden Erfindung bietet sich als Ausführungsform des Regularisierungsverfahrens die sogenannte Tichonov-Regulari sierung an, in welcher zum Funktional der mittleren quadratischen Restabweichungen ein Funktional addiert wird, welches dafür sorgt, daß eine geeignete Norm der gesuchten Ge schwindigkeit mitminimiert wird. Die Methode der Tichonov-Regularisiserung und die noch im weiteren zu besprechende Methode der L-Kurve wurden z. B. beschrieben in Hansen, P. C., "Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve", SIAM Review, Vol. 34, No. 4, pp. 561-580, December 1992; durch dieses Zitat wird der Inhalt dieser Veröffentlichung in die vorliegende Beschreibung übernommen. Für den Zweck des erfindungsgemäßen Ver fahrens erweist sich als Regularisierungsfunktional geeignet das Funktional des mittleren qua dratischen Geschwindigkeitsbetrags sowie das Funktional der mittleren quadratischen Krüm mung der Geschwindigkeit. Die zweite Variante ist aus physikalischer Sicht vorzuziehen, da das Geschwindigkeitsfeld in vielen hydrodynamischen Anwendungen als relativ glatt ange nommen werden kann. Dieses Funktional wird mit einem zunächst noch freien Regularisie rungsparameter gewichtet. Darüberhinaus wird zur Absicherung der Divergenzfreiheit des ge suchten Geschwindigkeitsfeldes ein Funktional der mittleren quadrierten Geschwindigkeits divergenz hinzugefügt. Zweckmäßigerweise werden als Stützstellen für das Regularisierungs funktional und das Divergenzfunktional die oben angegebenen versetzten Koordinaten _l = (_l, _l _l) verwendet. Analog zu Gleichung (3) kann dabei die Forderung nach ver schwindenden Geschwindigkeiten an Grenzflächen in natürlicher Weise eingebaut werden, wenn man den Krümmungsterm und den Divergenzterm an der Stützstelle l darstellt durch
However, this system of equations generally turns out to be poorly conditioned for a larger number of speeds to be determined and must therefore be regularized in a second method step. The mathematical method of regularizing poorly conditioned inverse problems is comprehensively dealt with in Engl, HW, Hanke, M. and Neubauer, A., "Regularization of Inverse Problems", Kluwer Aca demic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 1996. In the case of The present invention offers itself as an embodiment of the regularization method, the so-called Tichonov regularization, in which a functional is added to the functional of the mean square residual deviations, which ensures that a suitable norm of the sought speed is minimized. The method of Tichonov regularization and the method of the L curve to be discussed in the following have been described e.g. B. described in Hansen, PC, "Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve", SIAM Review, Vol. 34, No. 4, pp. 561-580, December 1992; this quotation transfers the content of this publication to the present description. For the purpose of the method according to the invention, the functional of the mean quadratic speed amount and the functional of the mean quadratic curvature of the speed prove to be suitable as the regularization function. The second variant is preferable from a physical point of view, since the velocity field can be assumed to be relatively smooth in many hydrodynamic applications. This functional is weighted with an initially still free regularization parameter. In addition, a function of the mean squared speed divergence is added to ensure freedom from divergence of the speed field sought. The staggered coordinates _l = ( _l , _l _l ) specified above are expediently used as support points for the regularization functional and the divergence functional. Analogous to equation (3), the demand for ver disappearing velocities at interfaces can be built in in a natural way if the curvature term and the divergence term at the support point l are represented by

Konkret ergibt sich als gesamtes zu minimierendes Funktional somit
Specifically, this results in the entire functional to be minimized

wobei F_B[] und F_P[] durch die Gleichungen (9) bzw. (10) gegeben sind und das Regulari sierungsfunktional F_R[] und das Funktional zur Sicherung der Divergenzfreiheit F_D[] dis kretisiert sind durch
where F _B [] and F _P [] are given by equations (9) and (10) and the regularization function F _R [] and the function to ensure freedom from divergence F _D [] are discretized by

Dabei ist der Parameter s_R zu interpretieren als mittlere zugelassene Krümmung des Ge schwindigkeitsfeldes und s_D als mittlere zugelassene Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes. Während s_D zur Sicherung der Divergenzfreiheit immer sehr klein gewählt werden sollte, ist s_R ein zunächst noch freier Parameter.The parameter s _{R is} to be interpreted as the mean permitted curvature of the speed field and s _D as the mean permitted divergence of the speed field. While s _D should always be chosen very small to ensure freedom from divergence, s _{R is} initially still a free parameter.

In einem dritten und letzten Schritt wird das System der Normalgleichungen für einen Satz von Regularisierungsparametern s_R gelöst, welcher das relative Gewicht des Regularisierungs funktionals im Verhältnis zu den Funktionalen der mittleren quadratischen Restabweichung über einen weiten Bereich skalieren soll. Für jeden der Regularisierungsparameter wird dann die Vorwärtsaufgabe zur Bestimmung der aus der jeweiligen Lösung resultierenden modifi zierten Magnetfelder und Potentiale gemäß (4) und (5) gelöst. Danach werden die mittleren quadratischen Restabweichungen von den tatsächlich vorliegenden Werten _k und _j sowie die mittlere quadratische Krümmung des Geschwindigkeitsfeldes bestimmt. Daraufhin wird der Logarithmus der mittleren quadratischen Krümmung (also log(F_R[]s 2|R)) über dem Lo garithmus der gewichteten mittleren quadratische Restabweichung (also log(F_B[] + F_B[]) aufgetragen. Die entstehende Kurve hat typischerweise eine L-förmige Gestalt (Tichonovsche L-Kurve). Eine physikalisch realistische Lösung des inversen Problems kann erfahrungsgemäß an der Stelle angenommen werden, wo die L-Kurve am stärksten ge krümmt ist. An dieser Stelle wird ein sinnvoller Kompromiß erzielt zwischen Minimierung der mittleren quadratischen Restabweichung und Minimierung der mittleren quadratischen Krümmung.In a third and final step, the system of normal equations is solved for a set of regularization parameters s _R , which is to scale the relative weight of the regularization function in relation to the function of the mean residual squared deviation over a wide range. For each of the regularization parameters, the forward task for determining the modified magnetic fields and potentials resulting from the respective solution is then solved according to ( 4 ) and ( 5 ). The mean square residual deviations from the actually present values _k and _j and the mean square curvature of the speed field are then determined. The logarithm of the mean square curvature (ie log (F _R [] s 2 | R)) is then plotted over the logarithm of the weighted mean residual square deviation (ie log (F _B [] + F _B []). The curve that arises typically has an L-shape (Tichonov L-curve). Experience has shown that a physically realistic solution to the inverse problem can be assumed at the point where the L-curve is most curved. At this point, a reasonable compromise is made between minimization the mean square residual deviation and minimization of the mean square curvature.

Das Vorangegangene beschreibt die bevorzugte Ausführungsform des vorliegenden erfin dungsgemäßen Verfahrens unter der Annahme, daß das Wesentliche dieses Verfahrens ver anschaulicht wird. Da der Fachmann zahlreiche Möglichkeiten der Abwandlung erkennen wird, insbesondere solche der konkreten Ausführungsform der Diskretisierung der Oberflächen- und Volumenintegrale sowie des konkret zu wählenden Regularisierungsfunk tionals, ist es nicht wünschenswert, die Erfindung auf die genaue Konstruktion und die genau en Anwendungen, wie sie beschrieben und gezeigt wurden, zu beschränken.The foregoing describes the preferred embodiment of the present invention method according to the assumption that the essence of this method ver is illustrated. Since the expert recognizes numerous possibilities for modification is, in particular those of the specific embodiment of the discretization of the Surface and volume integrals as well as the specific regularization radio to be selected tionals, it is not desirable to tailor the invention to the precise construction and the precise Limit applications as described and shown.

Die erfindungsgemäße Anordnung zur Geschwindigkeitsrekonstruktion in leitfähigen Fluiden besteht aus einer Mehrzahl von Magnetfeldsensoren 1 außerhalb der Flüssigkeit, aus einer Mehrzahl von elektrischen Potentialsonden 2 an der Grenzfläche von leitfähiger Flüssigkeit und nichtleitendem Außengebiet, aus einem Signalprozessor 3 zur Aufnahme der Meßwerte der Magnetfeldsensoren, aus einem Signalprozessor 4 zur Aufnahme der Meßwerte der elektri schen Potentialsensoren, aus einer Steuer-, Auswerte- und Speichereinheit 5 und einem Aus gabegerät 6.The arrangement according to the invention for speed reconstruction in conductive fluids consists of a plurality of magnetic field sensors 1 outside the liquid, from a plurality of electrical potential probes 2 at the interface of conductive liquid and non-conductive outside area, from a signal processor 3 for recording the measured values of the magnetic field sensors, from a signal processor 4 for recording the measured values of the electrical potential sensors, from a control, evaluation and storage unit 5 and an output device 6 .

Aus Gründen der Übersichtlichkeit der Darstellung werden in der Zeichnung nur die Verbin dungen von jeweils 2 Sensoren zu den jeweiligen Signalprozessoren explizit dargestellt und die restlichen Verbindungen mit unterbrochenen Linien angedeutet.For the sake of clarity of presentation, only the verb in the drawing 2 sensors for the respective signal processors are explicitly shown and the remaining connections are indicated by broken lines.

Das extern erzeugte Magnetfeld kann z. B. durch ein Helmholtzspulenpaar erzeugt werden, welches bei entsprechender Polung innerhalb der Flüssigkeit ein nahezu konstantes axiales Magnetfeld erzeugt. Dies ist allerdings nicht notwendig, da es ein besonderes Merkmal des Verfahrens ist, daß an die räumliche Struktur des extern erzeugten Magnetfeldes keine beson deren Anforderungen in Bezug auf Homogenität oder Isotropie gestellt werden.The externally generated magnetic field can e.g. B. generated by a pair of Helmholtz coils, which with an appropriate polarity within the liquid has an almost constant axial Magnetic field generated. However, this is not necessary as it is a special feature of the The method is that none of the spatial structure of the externally generated magnetic field whose requirements are made in terms of homogeneity or isotropy.

Die Stärke B₀ des extern angelegten Magnetfeldes ₀ an der gegebenen Problemstellung auszurichten. Soll die von Einflüssen durch Magnetfelder möglichst ungestörte Geschwindig keitsverteilung bestimmt werden, so ist die Stärke des Magnetfeldes so zu wählen, daß der Wechselwirkungsparameter N = σB 2|0L/(ρU) viel kleiner als 1 ist (dabei ist σ die elektrische Leitfähigkeit der Flüssigkeit, ρ die Dichte der Flüssigkeit, L eine typische Län genausdehnung und U eine typische Geschwindigkeit der Flüssigkeit). Es ist u. U. auch mög lich, für ₀ Erdmagnetfeld zu verwenden, welches im Meßvolumen als räumlich konstant vorausgesetzt werden kann. In diesem Fall ist für jede Meßaufgabe zu klären, ob die induzierten Magnetfelder und elektrischen Potentiale noch mit ausreichender Genauigkeit gemessen werden können. Für spezielle Anwendungen zur Untersuchung magnetohydrodynamischer Effekte in Magnetfeldern kann das an sich schon vorhandene Magnetfeld für die erfindungs gemäße meßtechnische Anwendung benutzt werden. Hinsichtlich der bestimmbaren Ge schwindigkeitsbeträge muß festgehalten werden, daß die magnetische Rey noldszahl R_m = σµ₀LU (dabei ist µ₀ die Permeabilität des Vakuums) kleiner als 1 sein muß, was allerdings auch für nahezu alle in Frage kommenden technischen und industriellen Anwendungen garantiert ist. Andernfalls werden die durch die Geschwindigkeitsbewegung induzierten Magnetfelder von derselben Größenordnung wie das angelegte externe Magnet feld, und die für das erfindungsgemäße Verfahren implizit zugrundegelegten Näherungen ver sagen.Align the strength B _{0 of} the externally applied magnetic field ₀ with the given problem. If the velocity distribution undisturbed by influences from magnetic fields is to be determined, the strength of the magnetic field should be selected so that the interaction parameter N = σB 2 | 0L / (ρU) is much smaller than 1 (where σ is the electrical conductivity of the liquid , ρ the density of the liquid, L a typical length extension and U a typical speed of the liquid). It is u. U. also possible to use for ₀ geomagnetic field, which can be assumed to be spatially constant in the measuring volume. In this case, it must be clarified for each measuring task whether the induced magnetic fields and electrical potentials can still be measured with sufficient accuracy. For special applications for the investigation of magnetohydrodynamic effects in magnetic fields, the magnetic field which is already present per se can be used for the measurement technology application according to the invention. With regard to the determinable Ge speed amounts it must be noted that the magnetic Rey nolds number R _m = σµ ₀ LU (where µ _{0 is} the permeability of the vacuum) must be less than 1, which, however, guarantees for almost all possible technical and industrial applications is. Otherwise, the magnetic fields induced by the speed movement are of the same order of magnitude as the external magnetic field applied, and the approximations implicitly used for the method according to the invention fail.

Claims

1. A method for determining the spatial velocity distribution in electrically conductive liquids, the magnetic fields induced by the interaction of the moving liquid with a static magnetic field being measured at a plurality of detection points outside the liquid, characterized in that the induced electrical potentials at one A plurality of detection points are measured at the interface of the liquid and that the velocity distribution in the entire volume of the fluid is determined using the principle of least squares, the function to be minimized being the mean square deviation of the induced electrical potentials calculated by the assumed velocity distribution and the mean square deviation of the induced magnetic fields calculated by the assumed speed distribution from the respectively measured induced values can be used ,

2. The method according to claim 1, characterized in that the freedom from divergence of the Velocity field by minimizing the functional of the middle quadrati speed field divergence is used as additional information becomes.

3. The method according to claim 1, characterized in that to avoid unphysical tichonov regularization is used.

4. The method according to claim 3, characterized in that for the Tichonov regulari the mean square speed or the mean square Curvature of the velocity field used as a regularization functional becomes.

5. Arrangement for determining spatial velocity distributions in electrically conductive liquids, consisting of a plurality of magnetic field sensors outside the liquid for measuring the magnetic field induced by the interaction of the moving liquid with an applied static primary field and a downstream signal processor, characterized in that a plurality of electrical potential probes ( 2 ) are arranged at the interface of conductive liquid and non-conductive external area, that a signal processor ( 3 ) for recording the measured values of the magnetic field sensors and a further signal processor ( 4 ) for recording the measured values of the electrical potential probes as well as a control, Evaluation and storage unit ( 5 ) in which the speed distribution in the entire volume of the liquid is determined using the principle of least squares, with the mean quadratisc being the functionals to be minimized he deviation of the electrical potentials calculated by the assumed speed distribution and the mean square deviation of the magnetic fields calculated by the assumed speed distribution in induced magnetic fields from the measured values measured, and an output device ( 6 ) is provided.