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Verfahren zur Bestimmung der Autokorrelationsfunktion von statischen
Schwankungen der Ubertragungseigenschaften von elektrischen Kabeln Zur Bestimmung
der Autokorrelationsfunktion von statistischen Schwankungen der Übertragungseigenschaften,
insbesondeie des Wellenwiderstandes, von elektrischen Kabeln sind verschiedene Verfahren
bekannt.
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Bei einem bekannten Verfahren wird die Annahme zugrunde gelegt, daß
die Autokorrelationsfunktion durch einen einfachen eingliedrigen Ausdruck, insbesondere
der Form ' i f e''oder e 2 r darstellbar ist, der einen noch unbekannten Parameter
r, die sogenannte Korrelationsreichweite, enthält. Dieser Parameter ist definiert
durch
wobei S2 bzw. S'2 die quadiatischen Mittelwerte der Schwankungsfunktion S (x) bzw.
des ersten Differentialquotienten der Schwankungsfunktion bedeuten, und muß experimentell
bestimmt werden, um den Verlauf der hypothetischen Autokorrelationsfunktion endgültig
festzulegen.
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Dies kann beispielsweise--wie bekannt-bei Zugrundelegung der angegebenen
Definitionsgleichung für die Korrelationsreichweite dadurch geschehen, daß die Schwankungsfunktion
S (x) bzw. ihre Ableitung S' (x) mit Hilfe von Rechteckimpulsen bzw. von Nadelimpalsen,
für die auch die Berechnung Dirac-oder 8-Impulse gebräuchlich ist, geometrisch ähnlich
auf dem Leuchtschirm einer Braunschen Röhre abgebildet wird und hiervon die quadratischen
Mittelwerte gebildet werden. Für eine exakte geometrische Abbildung ist es jedoch
notwendig, daß die Rechteckimpulse eine möglichst steile Flanke haben bzw. die b-Dreieckimpulse
extrem kurz sind, zumindest aber dem Meßobjekt so weit angepaßt sein müssen, daß
ihre Anstiegsdauer bzw. Gesamtlänge zur Darstellung der feineren Struktur nicht
größer als die Korrelationsreichweite r sind. Rechteckimpulse mit steilen Flanken
und kurzzeitige 8-Dreieckimpulse lassen sich aber nur schwer erzeugen und erfordern
einen verhältnismäßig großen Aufwand an Geräten.
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Um diesem Mangel abzuhelfen, ist vorgeschlagen worden, die Bestimmung
der Korrelationsreichweite nicht auf Grund der genannten Definitionsgleichung durchzuführen,
sondern auf einem anderen Prinzip aufzubauen.
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Dieses Prinzip drückt sich darin aus, daß das Leistungsspektrum der
Echofunktion von Trägerstromimpulsen, die auf ein Kabel gegeben werden, eine Funktion
der Wellenzahl, d. h. entweder der Impulslänge bei konstanter Wellenlänge oder der
Wellenlänge bei konstanter Impulslänge der Trägerstromimpulse ist. In dieser meßbaren
Funktion tritt die Korrelationsreichweite r als
Parameter auf, so daß diese aus den
bekannten Meßgrößen bestimmt werden kann. Dieses Prinzip hat den Vorteil, daß keine
nur schwer erzeugbaren Rechteckimpulse bzw. b-Dreieckimpulse mehr zur Anwendung
zu kommen brauchen und daß die Messungen unter solchen Bedingungen durchgeführt
werden können, denen das Kabel im Betrieb ausgesetzt ist.
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Wie indessen Versuche gezeigt haben, läßt sich die Autokorrelationsfunktion
z. B. von Wellenwiderstandsschwankungen jedoch nicht durch einen einzigen Parameter
r darstellen, sondern die an Kabeln tatsächlich beobachtete Autokorrelationsfunktion
hat einen mehrgliedrigen Aufbau mit einem gewissen Spektrum von Reichweiten, so
daß die nach den vorstehend angegebenen Verfahren ermittelte Korrelationsreichweite
nur eine hypothetische Bedeutung besitzt.
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Ein direktes Verfahren zur Bestimmung der Autokorrelationsfunktion
von statistischen Schwankungen könnte darin bestehen, mittels sehr kurzer Impulse
die Schwankungsfunktion S (x) auf dem Bildschirm eines Oszillographen so genau wie
möglich darzustellen und aus den abgelesenen Amplitudenwerten S (xi) durch Bildung
des Mittelwertes
die Autokorrelationsfunktion e () punktweise zu ermitteln. Die Bildung des Mittelwertes
kann auch vollautomatisch wie bei den bekannten Korrelatoren bzw.
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Korrelationsanalysatoren mit Hilfe von Modulatoren und Integratoren
geschehen. Dieses direkte Verfahren ist
jedoch wieder mit dem Nachteil
verbunden, daß extrem kurze Impulse benötigt werden, um eine Wiedergabe der Autokorrelationsfunktion
mit feinerer Struktur zu erhalten. Auch mit dem größten Aufwand an den hierzu erforderlichen
Geräten, insbesondere an Breitbandverstärkern und hochwertigen OszilIographen, bleibt
es dennoch nicht aus, daß die Impulse eine endliche Bandbreite besitzen und daß
damit ein Fehler in der Bestimmung der Autokorrelationsfunktion entsteht, der exakt
nicht berechnet werden kann, weil man dazu bereits die Autokorrelationsfunktion
der Schwankungsfunktion S (x) kennen müßte.
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Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren zur Bestimmung der Autokorrelationsfunktion
von statistischen Schwankungen der Übeitragungseigenschaften von elektrischen Kabeln,
insbesondere Fernmeldekabeln oder anderen Leitungskreisen für die Nachrichtenübermittlung,
sind diese Schwierigkeiten und Mängel beseitigt.
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Im Prinzip besteht der zur Erfindung führende Gedanke darin, statt
einer direkten Messung der Autokorrelationsfunktion eine indirekte Bestimmung der
Autokorrelationsfunktion über die Messung des Leistungsspektrums der Antwortfunktion,
d. h. der an den Schwankungen reflektierten Impulse, durchzufiihlen. Auf Grund der
bekannten Tatsache, daß die örtliche Autokorrelationsfunktion einer Schwankung,
z. B. des WeUenwiderstandes, einer Spektralverteilung der Leistung der Autokorrelationsfunktion
entspricht, können die Meßergebnisse zur Bestimmung der Autokorrelationsfunktion
ausgewertet werden. Das Spektrum der die Schwankungen abtastenden Meßimpulse braucht,
wenn man an Stelle der örtlichen Schwankungen selbst ihre Spektralkurve mißt, derselben
nur ungefähr angepaßt zu sein, was erstens eine Einsparung an Bandbreiten bedeutet
und zweitens die Möglichkeit zur vollautomatischen Registrierung der Spektralkurven
bietet. Außerdem ergibt sich unmittelbar noch der weitere Vorteil, daß man zugleich
einen genauen Überblick über das frequenzmäßige Verhalten eines ungleichmäßigen
Kabels gewinnt.
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Im folgenden werden die zur Erfindung führenden Überlegungen näher
erläutert.
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Gemäß der Definition wird die Autokorrelationsfunktion # () einer
Schwankungsfunktion S (x) mit dem Definitionsbereich 0#X#l dargestellt durch
Die Autokorrelationsfunktion n () ist wegen S ? MO für X<0 und X<l definiert
in einem Bereich
Wegen
ist ß (0) gleich dem mittleren Schwankungsquadrat S2.
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Durch Fourier-Transformation der Schwankungsfunktion S (x) aus dem
Längenbereich x in den Frequenzbereich ce) mit dem komplexen Spektrum () erhält
man das bekannte Formelpaar von Wiener und Kintchine :
als spektrale Leistungsdichte der Schwankungsfunktion S (x). Kennt man die spektrale
Leistungsdichte (cl), so ist gemäß der Formel (2a) auch die Autokorrelationsfunktion
ß () grundsätzlich bekannt.
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Es wird zunächst untersucht, wie sich das Echo eines eingeschwungenen
Signals der Kreisfrequenz co und der zugehörigen komplexen Amplitude W (#) auf einem
Kabel darstellt, dessen Wellenwiderstand Z (x) von Ort zu Ort um einen Mittelwert
Zo schwankt. Mit S (x) als statistische Schwankungsfunktion läßt sich dann der Wellenwiderstand
wiedergeben durch Z(x) = Z0 + S(x). (4) Durch Summation der Einzelechos über die
Gesamtlänge l des Kabels erhält man für das Echo einer Sinuswelle mit der Amplitude
W (cv)
mit ß = #/v (v = Phasengeschwindigkeit) bei vernachlässigter Dämpfung. Wird dieser
Ausdruck mit seinem konjugiert komplexen Wert multipliziert, so ergibt sich als
Echoleistung der Sinuswelle
Durch die Substitution g 7 und geeigneter Umformung geht dieser Ausdruck über in
wobei # (<u)*(M)=G(m)(8) gesetzt wurde.
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Nach der Definitionsgleichung (1) ist
mit # (g) als Autokorrelationsfunktion der Wellenwider-
standsschwankungen, so daß
die Gleichung (7) auch geschrieben werden kann :
Unter Berücksichtigung der Formel (2a) von Wiener und Kintchine erhält man hieraus
endgültig die mittlere Echoleistung einer Sinuswelle
Betrachtet man nun keine reine Sinuswelle, sondern einen Impuls mit endlicher Bandbreite,
und greift aus dieser Bandbreite einen Teilbereich X co mit der Mittenfrequenz tu
heraus, so trägt dieser Teil zu der gesamten
Echoleistung des Impulses
offenbar den Anteil bei
wenn man G (co) = W (co) #*(#) nunmehr mit dem Leistungsspektrum und dementsprechend
W (#) bzw. #*(#) mit dem Amplitudenspektrum des Meßimpulses identifiziert. Wird
der unbedeutende konstante Faktor fortgelassen, so erhält man die im Hinblick auf
die Erfindung wichtige Proportionalität zwischen dem Leistungsspektrum'P (cv) !
2 der Echofunktion P (#) und der spektralen Leistungsdichte cp (co) der Schwankungsfunktion
S : p 2 # #2G(#)#(#)##. (12) Gemäß dieser Beziehung kann die spektrale Leistungsdichte
p (cu) der Schwankungsfunktion S (x) dadurch bestimmt werden, daß die Leistung der
Echofunktion P (co) mit einem Empfänger der konstanten Bandbreite ## spektral abgetastet
wird. Mit p (#) ist gemäß der Formel (2b) von Wiener und Kintchine auch die Autokorrelationsfunktion
e () der Schwankungsfunktion S (x) bekannt. Zu bemerken ist noch, daß die Beziehung
(12) allgemeine Gültigkeit besitzt und nicht auf die Bestimmung der Autokorrelationsfunktion
der Wellenwiderstandsschwankungen beschränkt ist. Allgemein lassen sich mit ihrer
Hilfe statistische Schwankungen von beliebigen Übertragungsparametern von Kabeln
bestimmen.
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Dann bedeutet ç) die spektrale Leistungsdichte der Schwankungsfunktion
des betreffenden Parameters und P (co) die Antwortfunktion, die durch die Schwankungen
der betreffenden Parameter hervorgerufen wird.
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Entsprechend den vorstehenden Ausführungen ist soweit das erfindungsgemäße
Verfahren zur Bestimmung der Autokorrelationsfunktion von statistischen Schwankungen
der Übertragungseigenschaften von Kabeln dadurch gekennzeichnet, daß das Kabel mit
Impulsen beaufschlagt und mit einem quadratisch über die Laufzeit integrierenden
Empfänger der konstanten Bandbreite Xcs die Leistung der Antwortfunktion P (co)
spektral abgetastet wird, so daß als Meßwerte die Größen
mit G (co) als Leistungsspektrum der Meßimpulse und #(#) als spektrale Leistungsdichte
der betreffenden Schwankungsfunktion angezeigt werden, aus denen mit Hilfe der Formel
von Wiener und Kintchine die Autokorrelationsfunktion
ermittelt wird. Bei diesem Verfahren erscheint jeder einzelne Meßwert mit einer
bekannten Zahl 02G (co) multipliziert, da das Spektrum des Meßimpulses mit demselben
Empfänger ein für allemal ausgemessen werden kann. Man kann also das Ergebnis auf
konstantes ImpulsspektrumG (eo) = const. (weißes Rauschen) reduzieren und ist damit
von der speziellen Impulsform weitgehend unabhängig. Die Verwendung einer Rauschquelle
ist wegen der geringen angebotenen Leistung praktisch nicht möglich, dagegen kann
die Spitzenspannung des Meßimpulses ohne Schwierigkeiten so groß gemacht werden,
daß eine ausreichende Rückflußleistung der Messung zur Verfügung steht.
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Man muß weiter berücksichtigen, daß der Anzeigeverstärker einen bestimmten
Durchlaßbereich besitzt, innerhalb dessen der Ubertragungsfaktor V (co) einen bestimmten,
durch Messung bekannten Gang hat. Während die Amplituden-und Phasenverzerrung, welche
duich die komplexe Funktion V (o)) beschrieben wird, das Ver-
fahren der affinen
Abbildung von S (x) sehr erschwert, kann bei dem eifindungsgemäß vorgeschlagenen
Spektralmeßverfahren dieser Einfluß vollständig eliminiert werden.
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Die Gleichung (10) hat man sich nämlich bei einem nicht idealen Verstärker,
bei dem V (#) keine Konstante ist, mit V (cv) 2 multipliziert zu denken. Wenn der
Verstärkungsfaktor |V| gemessen vorliegt, kann das gemessene |p(#)|2 durch Division
mit |V|2 korrigiert werden.
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In den Fig. 1 und 2 ist der prinzipielle Meßauflbau zur Durchführung
des Verfahrens gemäß der Erfindung dargestellt.
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In diesen Figuren bedeutet 1 den Impulsgeber, der von einem Taktgeber
2 angestoßen wird. 4 ist der quadratisch über die Laufzeit integrierende Empfänger
der konstanten Bandbreite mit einem Oszillator 5. Am Ausgang des Empfängers ist
ein Anzeigeinstrument 6 oder ein von der Frequenz des Oszillators 5 im Vorschub
gesteuerter Schreiber. Zur Bildung der Bezugsfunktion G (cv) kann der Meßimpuls
mit Hilfe einer Differenzierschaltung 8 differenziert und vor Einlegen des Meßobjektes
auf die Einrichtung gegeben werden.
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In der Fig. 1 ist als Meßobjekt beispielsweise eine koaxiale Leitung
3 dargestellt, deren Wellenwiderstandsschwankungen analysiert werden sollen. In
diesem Falle e wird die Antwortfunktion P (co), deren Leistung von dem Meßempfänger
4 spektral zerlegt wird, von den Echos des Meßimpulses, herrührend von den Wellenwiderstandsschwankungen,
gebildet.
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Wie bereits erwähnt, ist das Verfahren gemäß der Erfindung nicht
auf die Analyse von Wellenwiderstandsschwankungen beschränkt, sondern kann ganz
allgemein zur Analyse von Schwankungserscheinungen beliebiger Art bei Kabeln verwendet
werden.
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Hierfür sei als Beispiel die Untersuchung der Statistik von Nebensprechkopplungen
genannt und auf die Fig. 2 verwiesen. Im Prinzip besteht zu dem Meßaufbau gemäß
der Fig. 1 kein Unterschied. Als Meßobjekt dienen entsprechend der besonderen Untersuchung
zwei Leitungen, z. B. zwei koaxiale Leitungen 31 und 32. die miteinander über die
kapazitiven und/oder magnetischen Kopplungen k (x) bzw. m (x) miteinander gekoppelt
sind, wobei die Kopplungen k (x) und m (x) einen statistisch schwankenden Verlauf
haben.
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Die physikalische und mathematische Grundlage ist in diesem Falle
durch folgende Ansätze gegeben, wobei der Einfachheit halber angenommen sei, daß
nur eine kapazitive Kopplung vorliegt : Eine Spannung Uo (t) werde an die mit ihiem
Wellenwiderstand ZI. abgeschlossene Leitung 31 gelegt. tiber die an der Stellex
gelegene kapazitive Kopplung k (x) entsteht auf der Leitungslänge dx eine Einströmung
in die Leitung 32 : dl (t, x) k (x) e-ylx dU, dx, (13) 2 dt welche in dem am nahen
Ende (x = 0) der Leitung 32 gelegenen Abschlußwiderstand Z2 eine Nebensprechspannung
üg(i')=Z/(i',-(14) hervorruft. Die ganze Kabellänge I ergibt somit die Gesamtspannung
Diese Gleichung transformiert man unter Festhalten von x aus dem Zeitbereich in
den Frequenzbereich. Dann erhält man mit u (o) und Mg (co) als spektrale Funktionen
eines
Sendeimpulses und des entsprechenden Nebensprechimpulses
Unter der Voraussetzung, daß die Übertragungskonstantent γ1 und γ2 der
beiden Leitungengleich groß sind und daß die Dämpfung vernachlässigbar klein ist,
wird γ1 = γ2 = j#/v,so daß man für (16) die der Gleichung (5) entsprechende
Form erhält :
Der weitere Verlauf der Rechnung führt zu einem der Gleichung (12) entsprechenden
Ergebnis ! P(#)2 # #2G(#)#(#)##. (18) In dieser Form hat die Antwortfunktion P (m)
die Bedeutung des Amplitudenspektrums eines Nebensprechimpulses, und damit stellt
IP (cl) ; 2 das Leistungsspektrum dieses Nebensprechimpulses dar, das mit Hilfe
des Empfängers 4 gemessen wird. G(#) ist das Leistungsspektrum des Meßimpulses und
#(#) die spektrale Leistungsdichte der Schwankunge der kapazitiven Kopplungen k
(x). Liegen anstatt kapazitiver magnetische Kopplungen vor, so ändert sich an der
mathematischen Behandlung weiter nichts, als daß in den Gleichungen (15) (16) und
(17) an Stelle von-Z)dieGrößeeinzusetzen ist. Dabei bedeutet m (x) die magnetische
Kopplung und Z1 der Wellenwiderstand der störenden Leitung 31. Leigen kapazitive
und magnetische Kopplungen gleichzeitig vor, so ist die Größek(x) in Gleichung(13)
durch m (x) k1(x) = k(x) + Z1Z2 zu ersetzen.