DE102009007808B4 - Verfahren zum Betrieb einer Verbrennungskraftmaschine - Google Patents

Abstract

Verfahren zum Betrieb einer Verbrennungskraftmaschine, wobei ein zur Steuerung und Regelung der Verbrennungskraftmaschine dienendes Modell der Verbrennungskraftmaschine mittels eines numerischen Lösungsverfahrens mit einer festen Schrittweite berechnet wird, wobei sämtliche Eigenwerte (λ) des linearisierten Modells in Arbeitspunkten der Verbrennungskraftmaschine, die hinsichtlich der Stabilität der Berechnung kritisch sind, in einen stabilen Bereich des numerischen Lösungsverfahrens verschoben werden.

Description

• Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zum Betrieb einer Verbrennungskraftmaschine mit den Merkmalen des Patentanspruches 1.
• Es ist allgemein bekannt, der Steuerung und Regelung einer Verbrennungskraftmaschine physikalische Modellansätze zu Grunde zu legen, die mit numerischen Lösungsverfahren berechnet werden. Beispielsweise kann die so genannte Füll- und Entleermethode zur Beschreibung des Ansaug- und Abgassystems einer Verbrennungskraftmaschine herangezogen werden. Bei derartigen physikalischen Ansätzen handelt es sich allgemein um nichtlineare zeitkontinuierliche Modelle. Diese Modelle haben von Arbeitspunkt zu Arbeitspunkt eine verschiedene Dynamik und Bandbreite. Verfügt die zu Grunde liegende Verbrennungskraftmaschine beispielsweise über eine in der Ansauganlage angeordnete Drosselklappe zur Einstellung der den Zylindern zuzuführenden Frischluftmasse und ist die Drosselklappe nahezu geschlossen, ändert sich das Druckverhältnis über der Drosselklappe nur sehr langsam, da sich nur ein geringer Massenstrom über der Drosselklappe ausbildet. Ist dem hingegen die Drosselklappe weit geöffnet, kann sich ein großer Massenstrom über der Drosselklappe ausbilden, wodurch sich das Druckverhältnis sehr schnell ändert. Mit anderen Worten ist bei vollständig geöffneter Drosselklappe das Druckverhältnis über der Drosselklappe praktisch eins und die Behälter vor und hinter der Drosselklappe wirken wie ein einziger Behälter. Derartige Effekte können auch bei einer Verbrennungskraftmaschine auftreten, die über einen Abgasturbolader verfügt, wobei sich ebenfalls große Massenströme über dem Verdichter beziehungsweise der Turbine ausbilden und die Behälter vor und hinter dem Verdichter oder der Turbine wie ein einziger Behälter wirken. Zur Berechnung langsamer Ausgleichsvorgänge genügen große Integrationsschrittweiten, wohingegen schnelle Zustandsänderungen kleine Schrittweiten erfordern. Mit anderen Worten kommt es zwischen den zwei Behältern zu sehr schnellen Druckänderungen, für deren Berechnung eine bestimmte feste Schrittweite unter Umständen nicht genügt. Da die zwei genannten Drosselklappenszenarien beziehungsweise Massenstromänderungen über dem Verdichter und der Turbine im Betrieb der Verbrennungskraftmaschine permanent auftreten, kann zur Berechnung des jeweiligen Modells ein numerisches Lösungsverfahren mit variabler Schrittweite eingesetzt werden. Dieses ist in der Lage, die Integrationsschrittweite während der Berechnung an das zu berechnende Modell anzupassen. Als Alternative kann ein Verfahren mit einer festen Schrittweite eingesetzt werden, wobei diese so klein zu wählen ist, dass die schnellen Ausgleichsvorgänge stabil berechnet werden können. Das bedeutet jedoch, dass die Berechnung des Modells je nach Bandbreite des Modells vergleichsweise viel Rechenzeit konsumiert. Während die Wahl des Berechnungsverfahrens in einer Entwicklungsumgebung noch relativ frei ist, ist sie das bei einer Implementierung in dem Steuergerät einer Verbrennungskraftmaschine nicht. Hier kann nicht gewartet werden, bis das Verfahren eine Lösung in einem sehr steifen Dynamikbereich berechnet hat. Vielmehr muss zu definierten Zeitpunkten die Lösung vorliegen. Aus diesem Grund ist die Integrationsschrittweite im Steuergerät festgelegt. Für die Berechnung des Ansaugsystems ist beispielsweise eine Schrittweite von 10 ms vorgesehen. Unter den Verfahren mit einer festen Schrittweite gibt es zahlreiche Methoden, die sich hinsichtlich ihres Konvergenz- und Stabilitätsverhaltens zum Teil deutlich unterscheiden. Aufwendige Verfahren besitzen bei gleicher Schrittweite häufig ein besseres Stabilitätsverhalten als einfache Ansätze, benötigen dafür jedoch auch mehr Rechenschritte und damit mehr Rechenzeit. Da diese im Steuergerät einer Verbrennungskraftmaschine sehr begrenzt ist, ist es erforderlich, ein einfaches numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung zu nutzen, beispielsweise das so genannte Euler-Verfahren zur numerischen Lösung von Differentialgleichungssystemen. Praktische Versuche haben jedoch gezeigt, dass, wenn bei einem in einer Entwicklungsumgebung implementierten Modell einer Verbrennungskraftmaschine das Lösungsverfahren von einem Verfahren mit variabler Schrittweite auf das Euler-Verfahren mit einer festen Integrationsschrittweite von 10 ms gewechselt wird, die Simulation in den meisten der Arbeitspunkte instabil ist.
• Gemäß der WO 96/32579 A1 ist ein Verfahren zum modellgestützten Bestimmen der in die Zylinder einer Brennkraftmaschine einströmenden Luftmasse Stand der Technik. Dabei erfolgt eine Berechnung der tatsächlich in den Zylinder einströmenden Luftmasse mit Hilfe eines Saugrohrfüllungsmodells. Somit wird eine Lastgröße geliefert, auf deren Grundlage die Einspritzzeit bestimmt wird. Außerdem wird diese Lastgröße für eine Prädiktion herangezogen, um die Lastgröße zu einem Zeitpunkt abzuschätzen, der mindestens einen Abtastschritt später liegt, als die aktuelle Berechnung der Einspritzzeit.
• Aus der DE 697 23 754 T2 ist ein System zum Steuern bzw. Regeln des Luft-Kraftstoff-Verhältnisses eines Verbrennungsmotors bekannt. Zum Bestimmen einer Korrekturgröße zum Korrigieren des Luft-Kraftstoff-Verhältnisses des Verbrennungsmotors mit einer Korrekturgrößen-Berechnungseinrichtung schätzt eine Zustandsvorhersageeinrichtung die von einem zweiten Abgassensor erfasste Konzentration der Komponente des Abgases stromabwärts eines Katalysators nach der im Abgassystem einschließlich des Katalysators vorhandenen Totzeit zwischen einem ersten und dem zweiten Abgassensor. Die Korrekturgrößen-Berechnungseinrichtung bestimmt die Korrekturgröße, um das Luft-Kraftstoff-Verhältnis des Verbrennungsmotors zu korrigieren und um die Konzentration der Komponente mit dem vorbestimmten geeigneten Wert auf der Grundlage der von der Zustandsvorhersageeinrichtung geschätzten Konzentration der Komponente des Abgases stromabwärts des Katalysators abzugleichen. Daher kann die im Abgassystem vorhandene Totzeit kompensiert werden. Folglich kann die Korrekturgrößen-Berechnungseinrichtung die Korrekturgröße bestimmen, um die Konzentration der Komponente des Abgases stromabwärts des Katalysators unabhängig von der Totzeit des Abgassystems stabil mit dem vorbestimmten geeigneten Wert abzugleichen. Das Luft-Kraftstoff-Verhältnis des Verbrennungsmotors wird auf der Grundlage der von der Korrekturgrößen-Berechnungseinrichtung bestimmten Korrekturgröße und der Ausgabe vom ersten Abgassensor gesteuert, um die Konzentration der Komponente des Abgases stromabwärts des Katalysators gegen den vorbestimmten geeigneten Wert zu konvergieren.
• Gemäß der DE 101 58 262 A1 ist ein Verfahren zur Bestimmung der Zusammensetzung des Gasgemisches in einem Brennraum eines Verbrennungsmotors mit Abgasrückführung und ein entsprechend ausgestaltetes Steuersystem für einen Verbrennungsmotor Stand der Technik. In einem Motormanagementsystem werden zur Bestimmung der Zusammensetzung sowie der Masse des von einem Verbrennungsmotor angesaugten Frischluft-/Abgasgemisches physikalisch basierte Modelle angewendet, die jeweils in Bezug auf bestimmte Zustandsgrößen das Verhalten des Verbrennungsmotors bzw. des entsprechenden Motorsystems nachbilden. Die einzelnen physikalisch basierten Modelle sind teilweise eng miteinander gekoppelt und dienen beispielsweise zur Nachbildung der Befüllung des Brennraums des Verbrennungsmotors mit dem angesaugten Frischluft-/Abgasgemisch, zur Nachbildung des über die Abgasrückführung fließenden Abgasrückführmassenstroms, zur Nachbildung des Verhaltens des Abgastrakts des Verbrennungsmotors vor und nach einer Turbine, zur Nachbildung des Speicherverhaltens des Ansaugtrakts des Verbrennungsmotors sowie zur Nachbildung des Verhaltens des Saugrohrs bzw. Einlasskrümmers, worüber das Frischluft-/Abgasgemisch von einer entsprechenden Mischstelle, in der die angesaugte Frischluft mit dem über die Abgasrückführung zurückgeführten Abgas gemischt wird, dem Verbrennungsmotor zugeführt wird. Auf diese Weise kann eine Vielzahl von zusätzlichen Zustandsgrößen ohne zusätzliche Sensoren ermittelt werden.
• Aufgabe
• Es ist Aufgabe der vorliegenden Erfindung, für den Betrieb beziehungsweise die Steuerung und Regelung einer Verbrennungskraftmaschine ein Verfahren zur stabilen Berechnung eines linearisierten Modells einer Verbrennungskraftmaschine mittels eines numerischen Lösungsverfahrens mit einer festen Schrittweite bereitzustellen, so dass auch in Betriebspunkten der Verbrennungskraftmaschine, in denen zwei über eine Trennstelle wie beispielsweise eine Drosselklappe, ein Turbinen- oder ein Verdichterrad miteinander verbundene Behälter wie ein einziger Behälter wirken, das jeweilige Modell sicher mittels eines gängigen Steuergerätes berechnet werden kann.
• Lösung
• Diese Aufgabe wird durch die vorliegende Erfindung dadurch gelöst, dass zur stabilen Berechnung eines zum Betrieb einer Verbrennungskraftmaschine dienenden Modells einer Verbrennungskraftmaschine mittels eines numerischen Lösungsverfahrens mit einer festen Schrittweite sämtliche Eigenwerte des linearisierten Modells in Arbeitspunkten der Verbrennungskraftmaschine, die hinsichtlich der Stabilität der Berechnung kritisch sind, in einen stabilen Bereich des numerischen Lösungsverfahrens verschoben werden. Die Erfindung baut auf der Erkenntnis auf, dass die Eigenwerte eines linearisierten Modells beziehungsweise eines linearisierten Systems, bestehend aus zwei durch eine Trennstelle gekoppelten Behältern insbesondere durch den durch die Trennstelle erzeugten Eigenwertbeitrag bestimmt werden. Eine Trennstelle zwischen zwei Behältern ist dabei bevorzugt eine Drosselklappe oder ein Verdichter in der Ansaugleitung oder eine Turbine in der Abgasleitung einer Verbrennungskraftmaschine. Eine Entscheidung, ob das numerische Lösungsverfahren stabil ist, erfolgt bevorzugt anhand einer Untersuchung des Stabilitätskriteriums für zeitdiskrete Systeme in Zustandsdarstellung, wie im Ausführungsbeispiel näher beschrieben ist. Im Sinne der vorliegenden Erfindung entspricht der insbesondere von dem Massenstrom über eine Trennstelle zwischen zwei Behältern erzeugte Eigenwertbeitrag mindestens einem Eigenwertbeitrag mehrerer möglicher Eigenwertbeiträge der Systemmatrix eines linearen Differentialgleichungssystems, wobei das numerische Lösungsverfahren dann stabil arbeitet, wenn alle Eigenwerte der Systemmatrix eine von der Schrittweite des numerischen Lösungsverfahrens abhängige Bedingung erfüllen. Das Differentialgleichungssystem beschreibt dabei zumindest ein Teilmodell einer Verbrennungskraftmaschine und die Systemmatrix wird durch Linearisierung des zu Grunde liegenden Differentialgleichungssystems gebildet, wie im Ausführungsbeispiel näher beschrieben ist. Die Verschiebung von mindestens einem Eigenwert, der insbesondere durch den Eigenwertbeitrag des Massenstroms über eine Trennstelle zwischen zwei Behältern bestimmt ist, in einen stabilen Bereich erfolgt erfindungsgemäß mittels eines Skalierungsfaktors. Insbesondere beschreibt der Skalierungsfaktor einen Korrekturmassenstrom. In einer Ausführung der vorliegenden Erfindung wird der Skalierungsfaktor als Funktion des Eigenwertbeitrages des Massenstromes über die jeweilige Trennstelle gewählt, wobei in einer besonders vorteilhaften Ausführung der vorliegenden Erfindung das Kriterium dabei ist, dass der Eigenwertbeitrag gleich einem Grenzwert ist, wobei nur dann in das zugrunde liegende Modell eingegriffen wird, wenn der Eigenwertbeitrag des Massenstroms über die jeweilige Trennstelle kleiner als dieser Grenzwert ist.
• Durch die vorliegende Erfindung wird demnach der Vorteil erreicht, dass Modelle zur Beschreibung des Betriebsverhaltens einer Verbrennungskraftmaschine, die insbesondere zur Steuerung und Regelung einer Verbrennungskraftmaschine verwendet werden, mit numerischen Lösungsverfahren, wie dem Euler-Verfahren und einer festen Schrittweite von beispielsweise 10 ms berechnet und in dem Steuergerät einer Verbrennungskraftmaschine echtzeitfähig implementiert werden können. Da kritische Komponenten, wie die Drosselklappe oder der Verdichter in der Ansaugleitung beziehungsweise die Turbine in der Abgasleitung in einigen Arbeitspunkten zu große Eigenwertbeiträge in den umgebenden Zuständen liefern, ist nicht durchgängig eine echtzeitfähige Berechnung der dazugehörigen Modelle, beispielsweise mit dem Euler-Verfahren, möglich. Erfindungsgemäß vorteilhaft wird ein Ansatz zur Beeinflussung der Dynamik in den betreffenden Volumina und Arbeitspunkten angewendet. Dieser Ansatz erzeugt keinen stationären Fehler und insbesondere bei der Drosselklappe nur einen sehr kleinen dynamischen Fehler. Insgesamt wird mit diesen Maßnahmen ein echtzeitfähiges Modell erstellt, welches keinen zusätzlichen stationären Fehler erzeugt.
• Ausführungsbeispiel
• Weitere vorteilhafte Ausgestaltungen der vorliegenden Erfindung sind dem nachfolgenden Ausführungsbeispiel sowie den abhängigen Patentansprüchen zu entnehmen.
• Hierbei zeigen:
• 1: Modell der Ansauganlage einer Verbrennungskraftmaschine,
• 2: Darstellung der Eigenwerte der Systemmatrix,
• 3: Darstellung einer Funktionsstruktur,
• 4: Darstellung eines Details der Funktionsstruktur.
• Ein allgemein bekannter physikalischer Modellansatz zur Steuerung und Regelung einer Verbrennungskraftmaschine beschreibt die Ansauganlage. Wie in 1 dargestellt, beschreibt ein einfaches Modell der Ansauganlage einen ersten Behälter 1 und einen zweiten Behälter 2, die durch eine Drosselklappe 3 voneinander getrennt sind beziehungsweise durch das Schließen der Drosselklappe 3 voneinander getrennt werden können. Dem Behälter 2 fließt über einen Luftfilter 4 Umgebungsluft ṁ_LF zu, wie durch den Pfeil angedeutet. In dem Behälter 2 herrscht die Temperatur T_2i und der Druck p_2i und in dem Behälter 1 die Temperatur T_1i und der Druck p_1i. Vereinfachend wird bei diesem isothermen Modellansatz davon ausgegangen, dass die Temperaturen T_1i und T_2i in den Behältern 1 und 2 sowie die Umgebungstemperatur gleiche Werte haben und konstant sind. Außerdem wird angenommen, dass die Temperatur T_1i, T_2i in beiden Behältern 1 und 2 gleich der Temperatur der einströmenden Umgebungsluft ist und es zu keinem Wärmeaustausch mit der Umgebung kommt. Über die Drosselklappe 3 fließt dem Behälter 1 ein Massenstrom ṁ_DK zu. Aus dem Behälter 1 fließt weiterhin ein Massenstrom ṁ_EV zu den Brennräumen der Verbrennungskraftmaschine aus dem Behälter 1 ab. Aufbauend auf dem allgemeinen Gasgesetz kann unter den genannten Annahmen und definierten Größen die Zustandsdifferentialgleichung des Druckes p_1i im Behälter 1 als Funktion der Massenströme ṁ_DK und ṁ_EV gemäß Gleichung (1) dargestellt werden. $${\dot{p}}_{1i}=\frac{R_{Luft}\cdot T_{1i}}{V_{1i}}\left({\dot{m}}_{DK}-{\dot{m}}_{EV}\right)$$

  
• Der Massenstrom ṁ_DK über die Drosselklappe 3 kann wie allgemein bekannt gemäß Gleichung (2) dargestellt werden, wobei A der durchströmten Fläche als Funktion des Drosselklappenwinkels α_DK und Ψ der Durchflussfunktion entspricht, welche die Wirkung der Drosselklappe 3 in Abhängigkeit des Druckverhältnisses über der Drosselklappe 3 beschreibt. $$\begin{array}{c}{\dot{m}}_{DK}=A\left({\alpha }_{DK}\right)\frac{p_{2i}}{\sqrt{R_{Luft}{T}_{2i}}}\Psi \left(\frac{p_{1i}}{p_{2i}}\right)\\ \psi \left(\frac{p_{1i}}{p_{2i}}\right)=\{\begin{array}{lll}\sqrt{\frac{2\cdot \kappa }{\kappa -1}\cdot \left({\left(\frac{p_{1i}}{p_{2i}}\right)}^{\frac{2}{\kappa }}-{\left(\frac{p_{1i}}{p_{2i}}\right)}^{\frac{\kappa +1}{\kappa }}\right)}\hfill & f\ddot{u}r\hfill & \frac{p_{1i}}{p_{2i}}\ge {\left(\frac{2}{\kappa +1}\right)}^{\frac{\kappa }{\kappa -1}}\hfill \\ \sqrt{\kappa \cdot \left(\frac{2}{\kappa +1}\right)}\hfill & f\ddot{u}r\hfill & \frac{p_{1i}}{p_{2i}}<{\left(\frac{2}{\kappa +1}\right)}^{\frac{\kappa }{\kappa -1}}\hfill \end{array}\end{array}$$

  
• Die Herleitung der Durchflussfunktion Ψ ist beispielsweise der Literaturstelle Merker, G. P. ; Schwarz, C. ; Stiesch, G. : Verbrennungsmotoren. Simulation der Verbrennung und Schadstoffbildung. Teuber, 2004 zu entnehmen.
• Der Massenstrom ṁ_EV , der zu den Brennräumen aus dem Behälter 1 abfließt, kann weiterhin gemäß Gleichung (3) beschrieben werden, wobei K_Mot einer motorspezifischen Konstante mit der Einheit $\frac{min\cdot kg}{\%\cdot s}$

  

  und n_Mot der Drehzahl der Kurbelwelle der Verbrennungskraftmaschine entspricht. Die beiden Koeffizienten c_EV,1 und c_EV,2 beschreiben ferner den im Wesentlichen linearen funktionalen Zusammenhang zwischen dem Druck p_1i im Behälter 1 und einer so genannten relativen Füllung, wobei die relative Füllung als Quotient der aktuellen Luftfüllung zu einer Luftfüllung unter bestimmten Normbedingungen, multipliziert mit 100%, beschrieben wird. $${\dot{m}}_{EV}=K_{Mot}\cdot n_{Mot}\cdot \left(c_{EV\mathrm{,1}}\cdot p_{1i}+c_{EV\mathrm{,2}}\right)$$

  
• Zusätzlich wird der Behälter 2 gemäß Gleichung (4) betrachtet. $${\dot{p}}_{2i}=\frac{R_{Luft}{T}_{2i}}{V_{2i}}\left({\dot{m}}_{LF}-{\dot{m}}_{DK}\right)$$

  
• Der Behälter 2 wird über die Drosselklappe 3 entleert und über einen linearen Strömungswiderstand gegen den Druck der Umgebungsluft p_Umg abgegrenzt, wobei der Strömungswiderstand als linearisierte Darstellung des Luftfilters 4 gemäß Gleichung (5) interpretiert wird. $${\dot{m}}_{LF}=c_{LF}\left(p_{Umg}-p_{2i}\right)$$

  
• Der Koeffizient c_LF beschreibt dabei den Strömungswiderstand, der durch den Luftfilter 4 bedingt ist.
• Zum weiteren Verständnis wird weiterhin vorerst auf das Euler-Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung der Form gemäß Gleichung (5.1) eingegangen, $$\dot{x}\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right),t\in \left[t_0,T\right],x\in {\Re }^n,f\in {\Re }^n$$

  

  das mit der Anfangsbedingung gemäß (5.2) $$x\left(t_0\right)=x_0,x_0\in {\Re }^n$$

  

  beschrieben werden kann. Dafür werden (5.1) und (5.2) zunächst in die Integralform gemäß (5.3) überführt. $$x\left(t\right)=x_0+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(x\left(s\right)\right)ds,t\in \left[t_0,T\right]}$$

  
• Die Lösung von (5.3) zum Zeitpunkt t₀ +Δt entspricht demnach wie (5.4) in dargestellt. $$x\left(t_0+\Delta t\right)=x_0+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_0+\Delta t}f\left(x\left(s\right)\right)ds,t\in \left[t_0,T\right]}$$

  
• Da der Integrand in vielen Fällen nicht numerisch integrierbar ist, wird angenommen, dass dieser im Intervall [t₀, t₀ + Δt] für eine genügend kleine Integrationsschrittweite Δt gemäß (5.5) beziehungsweise (5.6) konstant ist. $$f\left(x\left(s\right)\right)=f\left(x_0\right)$$

  

  $$x\left(t_0+\Delta t\right)=x_0+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_0+\Delta t}f\left(x_0\right)ds=x_0+\Delta t\cdot f\left(x_0\right)}$$

  
• Aus der Gleichung für den ersten Schritt (5.6) wird die Rekursionsgleichung (5.7) für die approximierte Lösung von (5.1) und (5.2) im gesamten Intervall [t₀, T] abgeleitet. $$x\left(t_i+\Delta t\right)=x\left(t_i\right)+\Delta t\cdot f\left(x\left(t_i\right)\right)$$

  
• Für eine bessere Übersicht wird im folgenden die Schreibweise gemäß (5.8) verwendet. $$x^{i+1}=x^i+\Delta t\cdot f\left(x^i\right)$$

  
• Die Konvergenz des Euler-Verfahrens hängt wesentlich von der gewählten Schrittweite Δt ab. Kommt es innerhalb eines Integrationsschrittes zu ausgeprägten Änderungen in den Zuständen x, ist das Euler-Verfahren nicht in der Lage diese abzubilden. Nicht nur die Konvergenz des Verfahrens, sondern auch die Stabilität hängt von der gewählten Schrittweite Δt ab. Ist die Schrittweite zur Berechnung einer bestimmten Eigenbewegung in (5.1), (5.2) zu groß, kommt es zu einem exponentiellen Wachstum des Verfahrensfehlers und das Euler-Verfahren wird instabil. Die Stabilität des Euler-Verfahrens in Verbindung mit dem zu Grunde liegenden Modell der Verbrennungskraftmaschine wird nur in ausgewählten Arbeitspunkten des Systems nachgewiesen. Ist das Euler-Verfahren in allen am Prüfstand gemessenen Arbeitspunkten stabil und sind diese eng genug gewählt, wird angenommen, dass auch alle Arbeitspunktübergänge stabil berechnet werden können und das Verfahren im interessierenden Arbeitsbereich insgesamt stabil arbeitet. Als Arbeitsbereich wird dabei der von den Arbeitspunkten abgedeckte Raum verstanden. Die Verfahrensstabilität selbst wird anhand des Stabilitätskriteriums für zeitdiskrete Systeme in Zustandsdarstellung untersucht.
• Zur Beschreibung der Systemdynamik wird die Änderung der Systemzustände f(x(t)) in (5.1) im Arbeitspunkt x_R linearisiert. Die Bezeichnung Arbeitspunkt meint dabei, dass sich das System in diesem Punkt in einer Ruhelage befindet, die Zustände somit konstant sind. Die Reihenentwicklung von f(x) gemäß (5.9) $$f\left(x\right)=f\left(x_R\right)+\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}|{}_{x=x_R}\left(x-x_R\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x{x}^T}|{}_{x=x_R}\left(x-x_R\right){\left(x-x_R\right)}^T+\dots$$

  

  wird nach dem Linearglied abgebrochen, vergleiche (5.10). $$f\left(x\right)\approx f\left(x_R\right)+\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}|{}_{x=x_R}\left(x-x_R\right)$$

  
• Die Linearisierung von (5.1) soll die Systemdynamik nur in der Umgebung von x_R beschreiben, da x_R eine Ruhelage des Systems (5.1) ist, gilt f(x_R) = 0, wodurch sich (5.10) gemäß (5.11) vereinfacht. $$f\left(x\right)\approx \frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}|{}_{x=x_R}\left(x-x_R\right)$$

  
• Die linearisierte Darstellung von (5.1) im Arbeitspunkt x_R entspricht damit der Darstellung gemäß (5.12). $$\frac{d}{dt}\left(x\left(t\right)-x_R\right)=\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}|{}_{x=x_R}\left(x\left(t\right)-x_R\right)$$

  
• Üblicherweise wird die Verschiebung x(t) - x_R in der Schreibweise vernachlässigt, so dass die im Arbeitspunkt linearisierte Darstellung des Systems (5.12) mit $\frac{d}{dt}{x}_R=0$

  

  gemäß (5.13) $$\dot{x}\left(t\right)=\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}|{}_{x=x_R}x\left(t\right)$$

  

  beziehungsweise gemäß (5.14) $$\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}|{}_{x=x_R}={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right]|}_{x_R}=A|{}_{x_R}$$

  

  lautet. Damit kann die Gleichung des Euler-Verfahrens (5.8) gemäß (5.15) beziehungsweise gemäß (5.16) und mit Φ = (I_n + Δt · A) gemäß (5.17) geschrieben werden. $$x^{i+1}=x^i+\Delta t\cdot A|{}_{x_R}{x}^i$$

  

  $$x^{i+1}=\left(I_n+\Delta t\cdot A\right)x^i$$

  

  $$x^{i+1}=\Phi x^i$$

  
• Das System (5.17) ist stabil, wenn alle Eigenwerte λ_ϕ,k der Matrix Φ die Bedingung gemäß (5.18) erfüllen, wie beispielsweise der Literaturstelle Lunze, D. I. J.: Regelungstechnik 2. Bd. 2. 2. Springer, 2002 zu entnehmen ist. $$\left|{\lambda }_{\Phi ,k}\right|\le 1\left(k=\mathrm{1,2,}\dots ,n\right)$$

  
• Daraus folgt, dass die Eigenwerte λ_A,k der Systemmatrix A für die Stabilität von (5.15) der Bedingung gemäß (5.19) genügen müssen. $$\left|{\lambda }_{A,k}\cdot \Delta t+1\right|\le 1\left(k=\mathrm{1,2,}\dots ,n\right)$$

  
• Mit diesen Ungleichungen (5.18, 5.19) wird der Zusammenhang zwischen der Systemdynamik des Modells und der für eine stabile Berechnung erforderlichen Abtastzeit formuliert. Um eine Aussage zu treffen, ob ein gegebenes System (5.1, 5.2) mit der Abtastzeit Δt im Ruhepunkt x_R beziehungsweise einer gewissen Umgebung um diesen Punkt stabil mit dem Euler-Verfahren berechnet werden kann, wird das System in diesem Arbeitspunkt linearisiert, die Systemmatrix A berechnet und anhand der Eigenwerte λ_A,k der Systemmatrix A entschieden, ob die Ungleichungen aus (5.19) erfüllt sind. Aus (5.19) folgt, dass die reellen Eigenwerte λ_A,k der Systemmatrix A bei einer Abtastzeit von 10 ms im Bereich gemäß (5.20) liegen müssen. $$-200s^{-1}\le {\lambda }_{A,k}\le 0s^{-1}$$

  
• Sind die Eigenwerte komplex, muss (5.19) komplexwertig ausgewertet werden.
• Um den Einfluss des Massenstroms ṁ_DK über die Drosselklappe 3 auf die Dynamik des jeweiligen Modells beispielhaft zu beschreiben, werden alle Prozessgrößen auf Messungen gesetzt, die in einem Arbeitspunkt unter Einsatz eines Motorprüfstandes und geeigneter messtechnischer Mittel bestimmt wurden. Dabei wird bevorzugt ein Arbeitspunkt gewählt, bei dem das Druckverhältnis $\frac{p_{1i}}{p_{2i}}$

  

  über die Drosselklappe 3 nahe eins ist. Die Parameter des Modells und die Prozessgrößen in dem gemessenen Arbeitspunkt sind gemäß Tabelle (a) dargestellt. Tabelle (a)

  P 1i = 1.2921 ·10 5 Pa	T 1i = 300K	V 1i = 2dm 3	$n_{Mot}=1500\frac{1}{min}$
  p 2i =1.3133 . 10 5 Pa	T 2i = 300K	V 2i = 1dm 3	α DK = 34%
  A(α DK ) = 3.5·10 -4 m 2	$R_{Luft}=287\frac{J}{K\cdot kg}$	$c_{LF}=1.5\cdot 10^{-7}\frac{kg}{s\cdot Pa}$	K Mot = 2.155 · 10 -7
  C EV,1 = 7.405·10 -4	C EV,2 = -4.8540	κ= 1.4

• Zur weiteren Beschreibung des Einflusses des Massenstroms ṁ_DK über die Drosselklappe 3 auf die Dynamik des jeweiligen Modells wird im weiteren Verlauf zunächst die Dynamik der Differentialgleichung gemäß (1) untersucht. Dazu wird gemäß (6, 6.1, 6.2) eine Systemmatrix A von Gleichung (1) durch Linearisierung gebildet. $$A=\lambda =\frac{\partial }{\partial p_{1i}}\left(\frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\left({\dot{m}}_{DK}\left(p_{1i}\right)-{\dot{m}}_{EV}\left(p_{1i}\right)\right)\right)$$

  

  $$=\frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\cdot \frac{\partial }{\partial p_{1i}}{\dot{m}}_{DK}\left(p_{1i}\right)-\frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\cdot \frac{\partial }{\partial p_{1i}}{\dot{m}}_{EV}\left(p_{1i}\right)$$

  

  $$={\lambda }_{DK}+{\lambda }_{EV}$$

  
• Der Eigenwertbeitrag λ_EV des Massenstroms ṁ_EV durch die Einlassventile kann daher gemäß (7, 7.1, 7.2) auf Grundlage von Gleichung (3) bestimmt werden. $${\lambda }_{EV}=-\frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\cdot \frac{\partial }{\partial p_{1i}}\left(K_{Mot}\cdot n_{Mot}\left(c_{EV\mathrm{,1}}\cdot p_{1i}+c_{EV\mathrm{,2}}\right)\right)$$

  

  $${\lambda }_{EV}=-\frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\cdot K_{Mot}\cdot n_{Mot}\cdot c_{EV\mathrm{,1}}$$

  

  $${\lambda }_{EV}=-10.31\frac{1}{s}$$

  
• Der Eigenwertbeitrag λ_EV ist betragsmäßig klein und hängt nicht vom Druck p_1i im Behälter 1 oder vom Druck p_2i im Behälter 2 ab.
• Der Eigenwertbeitrag λ_DK des Massenstroms ṁ_DK über die Drosselklappe 3 hängt demgegenüber durch die Durchflusskennlinie $\Psi \left(\frac{p_{1i}}{p_{2i}}\right)$

  

  sehr stark vom Druckverhältnis über die Drosselklappe 3 ab, wie gemäß (8, 8.1, 8.2) dargestellt. $${\lambda }_{DK}=\frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\cdot \frac{\partial }{\partial p_{1i}}{\dot{m}}_{DK}\left(p_{1i}\right)$$

  

  $${\lambda }_{DK}=\frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\cdot \frac{A\left({\alpha }_{DK}\right)}{\sqrt{R_{Luft}{T}_{2i}}}\Psi \text{'}\left(\frac{p_{1i}}{p_{2i}}\right)$$

  

  $${\lambda }_{DK}=-278.32\frac{1}{S}$$

  
• Ursache dafür ist, dass die Ableitung der Durchflusskennlinie $\Psi \text{'}\left(\frac{p_{1i}}{p_{2i}}\right)$

  

  theoretisch für Druckverhältnisse nahe eins gegen minus unendlich geht. Das bedeutet, dass auch der Eigenwertbeitrag λ_DK des Massenstroms ṁ_DK über die Drosselklappe 3 gegen minus unendlich geht.
• Wird das Modell gemäß den Gleichungen (1) und (4) betrachtet, so wird dessen Dynamik durch die Eigenwerte λ₁ und λ₂ der Systemmatrix A gemäß (9, 9.1) charakterisiert. $$A=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial p_{1i}}{\dot{p}}_{1i}& \frac{\partial }{\partial p_{2i}}{\dot{p}}_{1i}\\ \frac{\partial }{\partial p_{1i}}{\dot{p}}_{2i}& \frac{\partial }{\partial p_{2i}}{\dot{p}}_{2i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-288.62& 282.97\\ 556.63& -578.85\end{array}\right]$$

  

  $${\lambda }_1=-856.31\frac{1}{S}{\lambda }_2=-11.16\frac{1}{S}$$

  
• Es wird deutlich, dass das Modell bestehend aus den Behältern 1 und 2 und der Drosselklappe 3 mit dem Euler-Verfahren und einer Schrittweite von 10 ms nicht berechnet werden kann. Dieses Ergebnis kann auf ein übergeordnetes Gesamtmodell übertragen werden.
• Um das Modell gemäß (1) und (4) mit einer Schrittweite von 10 ms berechnen zu können, wird erfindungsgemäß ein Skalierungsfaktor γ eingeführt, Gleichung (10). $${\dot{p}}_{1i}=\gamma \cdot \frac{R_{Luft}\cdot T_{1i}}{V_{1i}}\left({\dot{m}}_{DK}-{\dot{m}}_{EV}\right)$$

  
• Anschließend wird ein zusätzlicher Korrekturmassenstrom ṁ_DKK eingeführt. Weiterhin wird ein Zusammenhang zwischen dem Skalierungsfaktor γ und dem Korrekturmassenstrom ṁ_DKK gesucht, Gleichung (11). $${\dot{p}}_{1i}=\frac{R_{Luft}\cdot T_{1i}}{V_{1i}}\left({\dot{m}}_{DK}+{\dot{m}}_{DKK}-{\dot{m}}_{EV}\right)$$

  
• Werden die Gleichungen (10) und (11) gleichgesetzt, kann ṁ_DKK durch den Skalierungsfaktor γ ausgedrückt werden, Gleichungen (12) und (13). $$\gamma \cdot \frac{R_{Luft}\cdot T_{1i}}{V_{1i}}\left({\dot{m}}_{DK}-{\dot{m}}_{EV}\right)=\frac{R_{Luft}\cdot T_{1i}}{V_{1i}}\left({\dot{m}}_{DK}+{\dot{m}}_{DKK}-{\dot{m}}_{EV}\right)$$

  

  $${\dot{m}}_{DKK}=\left({\dot{m}}_{DK}-{\dot{m}}_{EV}\right)\left(\gamma -1\right)$$

  
• Der Skalierungsfaktor γ wird als Funktion des Eigenwertbeitrages λ_DK, der nach Gleichung (8) definiert sei, gewählt. Kriterium ist dabei, dass der Eigenwertbeitrag λ_DK gleich einem Grenzwert λ_G sein soll, Gleichung (14). $$\gamma \cdot \frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\cdot \frac{A\left({\alpha }_{DK}\right)}{\sqrt{R_{Luft}{T}_{2i}}}\Psi \text{'}\left(\frac{p_{1i}}{p_{2i}}\right)={\lambda }_G$$

  
• Gleichung (14) wird nach dem Skalierungsfaktor γ umgestellt, Gleichung (15). $$\gamma =\frac{{\lambda }_G}{{\lambda }_{DK}}mit{\lambda }_{DK}=\frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\cdot \frac{A\left({\alpha }_{DK}\right)}{\sqrt{R_{Luft}{T}_{2i}}}\Psi \text{'}\left(\frac{p_{1i}}{p_{2i}}\right)$$

  
• Weiterhin wird erfindungsgemäß nur dann in die Dynamik eingegriffen, wenn der Eigenwertbeitrag λ_DK des Drosselklappenmassenstromes ṁ_DK kleiner als der Grenzwert λ_G ist. Die Bestimmungsgleichung für den Skalierungsfaktor γ lautet daher gemäß Gleichung (16). $$\gamma =\{\begin{array}{cc}1& {\lambda }_{DK}\ge {\lambda }_G\\ \frac{{\lambda }_G}{{\lambda }_{DK}}& {\lambda }_{DK}<{\lambda }_G\end{array}$$

  

  Ist also der Eigenwertbeitrag λ_DK des Drosselklappenmassenstromes ṁ_DK größer als der Grenzwert λ_G, bleibt die Dynamik mit γ = 1 unverändert. Erst wenn der Eigenwertbeitrag λ_DK kleiner als der Grenzwert λ_G ist, erfolgt ein Eingriff in die Dynamik des Modells.
• Um einen insgesamt geschlossenen Ansatz zu erhalten, wird der Korrekturmassenstrom ṁ_DKK auch in die Massenbilanz des Behälters 2 aufgenommen. Insgesamt besitzt das gekoppelte System dadurch die Form gemäß Gleichungen (17) bis (20). $${\dot{p}}_{1i}=\frac{R_{Luft}{T}_{1i}}{V_{1i}}\left({\dot{m}}_{DK}+{\dot{m}}_{DKK}-{\dot{m}}_{EV}\right)$$

  

  $${\dot{p}}_{2i}=\frac{R_{Luft}\cdot T_{2i}}{V_{1i}}\left({\dot{m}}_{LF}-{\dot{m}}_{DK}-{\dot{m}}_{DKK}\right)$$

  

  $${\dot{m}}_{DKK}=\left({\dot{m}}_{DK}-{\dot{m}}_{EV}\right)\left(\gamma -1\right)$$

  

  $$\gamma =\{\begin{array}{cc}1& {\lambda }_{DK}\ge {\lambda }_G\\ \frac{{\lambda }_G}{{\lambda }_{DK}}& {\lambda }_{DK}<{\lambda }_G\end{array}$$

  
• Um zu untersuchen, wie der beschriebene Ansatz die Dynamik des Modells im geschlossenen Kreis beeinflusst, wird das System gemäß den Gleichungen (17) und (18) linearisiert und es werden die Eigenwerte λ₁ und λ₂ der Systemmatrix A als Funktion des Grenzwertes λ_G berechnet, Gleichung (21). $$A=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial p_{1i}}{\dot{p}}_{1i}& \frac{\partial }{\partial p_{2i}}{\dot{p}}_{1i}\\ \frac{\partial }{\partial p_{1i}}{\dot{p}}_{2i}& \frac{\partial }{\partial p_{2i}}{\dot{p}}_{2i}\end{array}\right]=\{\begin{array}{ll}\left[\begin{array}{cc}-288.62& 282.97\\ 556.63& -578.85\end{array}\right]\hfill & für-278.32\ge {\lambda }_G\hfill \\ \left[\begin{array}{cc}0.98{\lambda }_G& -0.96{\lambda }_G\\ -20.61-1.96{\lambda }_G& -12.92+1.92{\lambda }_G\end{array}\right]\hfill & für-278.32<{\lambda }_G\hfill \end{array}$$

  
• In 2 sind die beiden Eigenwerte λ₁ und λ₂ der Systemmatrix A über dem Grenzwert λ_G dargestellt. Es ist zu erkennen, dass ein Eigenwert ab ${\lambda }_G=-10\frac{1}{S}$

  

  nähes rungsweise konstant $-10\frac{1}{s}$

  

  ist. Der zweite Eigenwert wird hingegen ab ${\lambda }_G=-10\frac{1}{S}$

  

  s s annähernd linear mit „i“ skaliert. Durch die Kopplung der beiden Teilsysteme (Behälter 2 und 1 über die Drosselklappe 3) legt λ_G keinen Eigenwert direkt fest, sondern wirkt als Skalierungsfaktor auf den kritischen Eigenwert des Systems.
• 3 zeigt weiterhin eine Funktionsstruktur 5, die im Rahmen des Betriebs, also der Steuerung und Regelung einer Verbrennungskraftmaschine, den Massenstrom ṁ_DK' über die Drosselklappe 3 berechnet. Das Hochkomma ' symbolisiert dabei, dass es sich dabei um einen mittels des erfindungsgemäßen Verfahrens ermittelten Wert handelt, da bei dessen Berechnung mittels eines numerischen Lösungsverfahrens in kritischen Arbeitspunkten eine Verschiebung der Eigenwerte der Systemmatrix des linearisierten Systems gemäß Gleichung (1) und (4) in einen stabilen Bereich des numerischen Lösungsverfahrens erfolgt. In einem ersten Block 6 der Funktionsstruktur 5 erfolgt, wie allgemein bekannt, die Berechnung des Massenstroms ṁ_DK über die Drosselklappe 3 gemäß Gleichung (2). Dazu werden Block 6 die in Gleichung (2) einfließenden Größen zugeführt. In einem weiteren Block 7 erfolgt die erfindungsgemäße Berechnung des Korrekturmassenstroms ṁ_DKK. Mit dem Block 7 ist weiterhin ein Block 8 verbunden. In Block 8 erfolgt in Abhängigkeit des jeweils vorliegenden Druckverhältnisses $\frac{p_{1i}}{p_{2i}}$

  

  über die Drosselklappe 3 eine Entscheidung, ob eine Berechnung p_2i des Korrekturmassenstroms ṁ_DKK erfolgen soll oder nicht. Soll keine solche Berechnung erfolgen, wird der Korrekturmassenstrom ṁ_DKK auf null gesetzt. Erfolgt jedoch eine Berechnung des Korrekturmassenstroms ṁ_DKK, werden der gemäß Gleichung (2) berechnete Massenstrom ṁ_DK und der Korrekturmassenstrom ṁ_DKK in Block 9 addiert, so dass der Massenstrom ṁ_DK' über die Drosselklappe 3 einer weiteren Verarbeitung bereitsteht. Das Resultat einer ersten Berechnung des Massenstroms ṁ_DK über die Drosselklappe 3 gemäß Gleichung (2) wird wie in 3 gezeigt, dem Block 7 zugeführt, wie auch weitere Größen, die im folgenden näher beschrieben werden.
• 4 zeigt den Block 7 im Detail. Block 7 umfasst zunächst einen weiteren Block 10, in dem gemäß Gleichung (8.1) die Berechnung des Eigenwertbeitrages λ_DK erfolgt. Dazu werden Block 10 die in Gleichung (8.1) einfließenden Größen zugeführt. Im weiteren Verlauf wird ein Quotient aus dem in Block 10 berechneten Eigenwertbeitrag λ_DK und dem Grenzwert λ_G beziehungsweise der Skalierungsfaktor γ gebildet. Der Skalierungsfaktor γ wird einem Block 11 zugeführt. Dem Block 11 wird außerdem der Zahlenwert 1 zugeführt. Block 11 umfasst eine Funktion, die den Eingang weitergibt, der jeweils der kleinere ist. Ist demnach der Skalierungsfaktor γ kleiner 1, wird der Skalierungsfaktor γ weitergegeben. Ist der Skalierungsfaktor γ größer als 1, wird der Wert 1 weitergegeben. In einem noch weiteren Block 12 wird von dem jeweils von Block 11 weitergegebenen Wert der Wert 1 abgezogen beziehungsweise die Differenz (γ-1) gebildet. In einem noch weiteren Block 13 werden die Differenz (γ - 1) und die Differenz (ṁ_DK -ṁ_EV) multipliziert, so dass Gleichung (19) zur Berechnung des Korrekturmassenstroms ṁ_DKK gebildet wird.
• Bezugszeichenliste

1

Behälter

2

Behälter

3

Drosselklappe

4

Luftfilter

5

Funktionsstruktur

6-13

Blöcke der Funktionsstruktur

Claims (5)

1. Verfahren zum Betrieb einer Verbrennungskraftmaschine, wobei ein zur Steuerung und Regelung der Verbrennungskraftmaschine dienendes Modell der Verbrennungskraftmaschine mittels eines numerischen Lösungsverfahrens mit einer festen Schrittweite berechnet wird, wobei sämtliche Eigenwerte (λ) des linearisierten Modells in Arbeitspunkten der Verbrennungskraftmaschine, die hinsichtlich der Stabilität der Berechnung kritisch sind, in einen stabilen Bereich des numerischen Lösungsverfahrens verschoben werden.
2. Verfahren nach Patentanspruch 1, wobei die Entscheidung, ob das numerische Lösungsverfahren stabil ist, anhand einer Untersuchung des Stabilitätskriteriums für zeitdiskrete Systeme in Zustandsdarstellung erfolgt.
3. Verfahren nach Patentanspruch 1 oder 2, wobei die Verschiebung der Eigenwerte (λ) in einen stabilen Bereich des numerischen Lösungsverfahrens mittels eines Skalierungsfaktors (γ) erfolgt.
4. Verfahren nach Patentanspruch 3, wobei der Skalierungsfaktor (γ) einen Korrekturmassenstrom (ṁ_DKK ) beschreibt.
5. Verfahren nach Patentanspruch 3 oder 4, wobei der Skalierungsfaktor (γ) als Funktion des Eigenwertbeitrages (λ_DK) des Massenstromes (ṁ_DK) über die jeweilige Trennstelle (3) gewählt wird, wobei das Kriterium dabei ist, dass der Eigenwertbeitrag (λ_DK) gleich einem Grenzwert (λ_G) ist, wobei nur dann in die Dynamik eingegriffen wird, wenn der Eigenwertbeitrag ( λ_DK ) kleiner als der Grenzwert (λ_G) ist.

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