DE102004005937A1 - Verfahren zur Berechnung der Temperatur eines Festkörpers - Google Patents

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Berechnung der Temperatur T eines Festkörpers oder der Zeit t, die für eine Änderung der Temperatur T des Festkörpers benötigt wird. Erfindungsgemäß wird dazu die folgende Differenzialgleichung verwendet: dT/dt = b - aT⁴ - cT, wobei eine Lösungsfunktion aus der dimensionsfreien Differenzialgleichung zum Erstellen einer Matrix

ermittelt wird.

Description

• Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Berechnung der Temperatur eines Festkörpers oder der Zeit, die für eine Änderung der Temperatur des Festkörpers benötigt wird. Insbesondere ein Verfahren, bei dem der Festkörper eine Anode einer Röntgenröhre ist.
• Die Erfindung ist insbesondere für Gleitlagerröhren geeignet, wie sie z.B. in DE 196 30 351 A1 und DE 195 23 162 A1 beschrieben sind.
• Aus DE 198 11 041 ist ein Verfahren und Lastrechner zur Berechnung der raumzeitlichen Temperaturverteilung einer Anode einer Röntgenröhre bekannt. Mit dem bekannten Rechenverfahren ist es möglich, die Röntgeneinrichtung vor Überlastung zu schützen und gleichzeitig optimal auszulasten. Ein Nachteil des Verfahrens besteht darin, dass die Berechnung der raumzeitlichen Temperaturverteilung wegen des hohen Rechenaufwands zeitaufwändig ist. Das Verfahren ist nicht universell anwendbar. Das Rechenverfahren muss an die Gegebenheiten der Röntgenröhre und an die physikalische Beschaffenheit der Anode angepasst werden. Das ist zeit- und kostenaufwändig.
• Aufgabe der Erfindung ist es, die Nachteile nach dem Stand der Technik zu beseitigen. Es soll insbesondere ein schnelles, einfaches und möglichst genaues Verfahren bereitgestellt werden, welches ein Berechnen der Temperatur der Anode einer Röntgenröhre ermöglicht. Des Weiteren soll ein ein schnelles, einfaches und möglichst genaues Verfahren bereitgestellt werden, welches ein Berechnen der für eine Änderung der Temperatur der Anode benötigten Zeit ermöglicht. Nach einem weiteren Ziel der Erfindung soll ein Verfahren bereitgestellt werden, das in einfacher Weise angepasst werden kann an unterschiedliche physikalische Eigenschaften der Anode, an unterschied liche Röntgenröhrengeometrien, Ausführungsarten von Röntgenröhren sowie verschiedene Lastfälle der jeweiligen Röntgenröhre.
• Diese Aufgabe wird durch das in Anspruch 1 beschriebene Verfahren gelöst. Zweckmäßige Ausgestaltungen der Erfindung ergeben sich aus den Ansprüchen 2 bis 9.
• Nach Maßgabe der Erfindung ist ein Verfahren zur Berechnung der Temperatur T eines Festkörpers oder der für eine Änderung der Temperatur T des Festkörpers benötigten Zeit t mit folgenden Schritten vorgesehen:
• i) Verwendung der Differenzialgleichung dT/dt = b – aT4 – cT,wobei

  T

  die Temperatur des Festkörpers,

  t

  die Zeit,

  b

  die pro Zeiteinheit durch Energieaufnahme verursachte Temperaturänderung ΔT_EA,

  aT⁴

  die pro Zeiteinheit durch Wärmeabstrahlung verursachte Temperaturänderung ΔT_ES und

  cT

  die pro Zeiteinheit durch Ableitung von Wärme verursachte Temperaturänderung ΔT_WA ist,

• ii) Umformen der Differenzialgleichung in die folgende dimensionsfreie Differenzialgleichung dϑ/dτ = 1 – Πϑ – ϑ4,wobei

  ϑ

  eine dimensionsfreie Temperatur,

  τ

  eine dimensionsfreie Zeit und

  Π

  eine dimensionsfreie Wärmeleitfähigkeit ist,

• iii) Ermitteln einer Lösungsfunktion ϑ(τ) oder deren Umkehrfunktion τ(ϑ) aus der dimensionsfreien Differenzialgleichung zum Erstellen einer Matrix A = (a_ij), mit i = 1, 2; j ∊ N⁺; a_1j = τ_j und a_2j = ϑ_j, wobei bei Verwenden einer Lösungsfunktion ϑ(τ) und vorgegebenen Werten τ_j gilt : ϑ_j = ϑ(τ_j) und bei Verwenden einer Umkehrfunktion und vorgegebenen Werten ϑ_j gilt: τ_j = τ(ϑ_j),
• iv) computergestützte Ermittlung der Temperatur T bei vorgegebener Zeit t oder der Zeit t bei vorgegebener Temperatur T, jeweils durch a) Berechnen von τ oder ϑ für t oder T; b) Berechnen von ϑ oder τ mittels der in A enthaltenen Werte; c) Berechnen von T oder t für die in lit. b) berechneten Werte von ϑ oder τ.
• Nach dem erfindungsgemäßen Verfahren basiert die Ermittlung von T oder t im Schritt lit. iv) auf den bekannten Werten a_ij der in Schritt lit. iii) erstellten Matrix A. Die Schritte lit. iv) a) bis c) sind rechnerisch nicht aufwändig. Sie können schnell durchgeführt werden. Insbesondere können die Berechnungen in lit. iv) a), c) und b) durch Multiplikationen mit einfachen Skalierungsfaktoren und linearer Interpolation zwischen Werten in A durchgeführt werden. Insbesondere verringert sich der Rechenaufwand und die Rechenzeit bei wiederholter Berechnung von T oder t. Die Größe von A, gegeben durch j ∊ N⁺, ist frei wählbar. Infolge dessen kann T oder t beliebig genau berechnet werden. Eine Anpassung des Verfahrens an verschiedene physikalische Eigenschaften des Festkörpers, Unterschiede in der Energieaufnahme, Wärmeabstrahlung und Ableitung von Wärme kann in einfacher Weise durch einen Austausch der Matrix A oder der Skalierungsfaktoren erreicht werden. Eine Änderung des Rechenverfahrens in Schritt lit. iv) ist nicht nötig. Des Weiteren genügt zur Berechnung der Werte a_ij der Matrix A die Auswertung von entweder ϑ(τ) oder τ(ϑ). Das Verfahren ist selbst dann durchführbar, wenn die Umkehrfunktion ϑ(τ) von τ(ϑ) oder τ(ϑ) von ϑ(τ) unbekannt oder nicht existent oder sehr aufwändig zu berechnen ist.
• Nach einer Ausgestaltung der Erfindung wird die durch Ableitung von Wärme verursachte Temperaturänderung ΔT_WA vernachlässigt. Dann ist wegen Π=0 die Temperaturabnahme des Festkörpers ausschließlich durch Wärmeabstrahlung verursacht. Da Π in diesem Fall konstant ist, hängen die Lösungsfunktionen ϑ(τ) und τ(ϑ) sowie die Werte a_ij der Matrix A ausschließlich von τ und ϑ ab. Sie sind unabhängig von einer Änderung der physikalischen Eigenschaften des Festkörpers, der Energieaufnahme oder der Wärmeabstrahlung. Lediglich die Skalierungsfaktoren müssen angepasst werden. Es kann die identische Matrix A verwendet werden. Das Gleiche gilt für die Näherung, nach der Π als konstant betrachtet wird. Eine Anpassung des Verfahrens an geänderte Werte von a, b, und c ist somit in einfacher Weise möglich.
• In einer weiteren Ausgestaltung der Erfindung wird Π als unabhängig von der Energieaufnahme betrachtet. Eine Anpassung der Berechnung an unterschiedliche Werte von ΔT_EA erfordert jeweils nur einen Austausch der Skalierungsfaktoren.
• Bei dem Festkörper kann es sich um die Anode einer Röntgenröhre handeln und ΔT_EA kann durch eine Absorption von Elektronen verursacht werden. Bei Vernachlässigung von ΔT_WA kann das Verfahren auf eine konventionelle, strahlungsgekühlte Röntgenröhre angewendet werden. Zur Berücksichtigung verschiedener Lastfälle genügt ein Wechsel der Skalierungsfaktore. Die Matrix A muss nicht ausgetauscht werden. Des Weiteren kann die Anode der Röntgenröhre drehbar in einem Gleitlager aufgenommen sein. Für eine solche Röntgenröhre wird die Wär meableitung ins Gleitlager durch die Temperaturänderung ΔT_WA berücksichtigt. ΔT_WA kann auch einen Term enthalten, der eine Wärmeableitung von der Anode in ein Kühlmittel beschreibt. Das ermöglicht eine genaue Berechnung von T oder t.
• Nach einer weiteren Ausgestaltung der Erfindung wird die Energieaufnahme des Festkörpers durch Vergleich der Temperatur T oder der Zeit t mit jeweils mindestens einem vorgegebenen oder berechneten Grenzwert für T oder t gesteuert. Die Grenzwerte können aus den jeweiligen Betriebsparametern einer Röntgeneinrichtung ermittelt werden. In dieser Ausgestaltung der Erfindung kann die von der Anode aufgenommene Leistung oder die von einer Kathode freigegebene Leistung überwacht und begrenzt werden. Die Röntgenröhre und das Kühlsystem können vor Überhitzung, Ausfall und Beschädigung geschützt werden. Zur Durchführung des Verfahrens kann zweckmäßigerweise ein ohnehin vorhandener Computer des Röntgen-Computertomographen verwendet werden. Das erfindungsgemäße Verfahren verursacht keine große Rechenbelastung für den Computer.
• Nachfolgend wird das Verfahren anhand eines Ausführungsbeispiels beschrieben. Die einzige Figur zeigt schematisch eine allgemein mit dem Bezugszeichen 1 bezeichnete Anode. Von einem Anodenteller 2 erstreckt sich eine Lagerwelle 3. Die Lagerwelle 3 ist in einem (hier nicht gezeigten) Gleitlager drehbar gelagert. Auf einer der Lagerwelle 3 abgewandten Oberseite der Anode 1 befindet sich eine kreisförmige Brennbahn 4, die durch einen auf den Anodenteller 2 auftreffenden Elektronenstrahl 5 gebildet wird. Mit dem Bezugszeichen 6 ist die Wärmeabstrahlung vom Anodenteller 2 und mit dem Bezugszeichen 7 die Wärmeableitung von der Lagerwelle 3 in das (hier nicht gezeigte) Gleitlager bezeichnet. Zweckmäßig wird die zeitliche Temperaturänderung dT_A/dt der Anode durch folgende Differenzialgleichung beschrieben: dTA/dt = P/cPm – σεF/cpm(TA 4 – TU 4) – λQ/cpml(TA – TL)
• Es bezeichnen:

t

die Zeit,

T_A, T_L, T_U

die Temperatur von Anode 1, Lager und Umgebung,

P

die der Anode 1 zugeführte Leistung,

λ

die Wärmeleitfähigkeit des Materials der Lagerwelle 3 der Anode 1,

σ

die Stefan-Boltzmann-Konstante,

ε

die Emissivität des Anodenmaterials,

F

wärmeabstrahlende Oberfläche des Anodentellers 2,

Q

die Querschnittsfläche der Lagerwelle 3 der Anode 1,

c_p

die spezifische Wärmekapazität des Anodenmaterials,

m

die Anodenmasse,

l

die Länge der Lagerwelle 3.

• In dieser Differenzialgleichung beschreibt der erste Term die zeitliche Temperaturänderung, welche durch die Absorption von Elektronen des Elektronenstrahls 5 auf der Brennbahn 4 verursacht wird. Der zweite und dritte Term der Differenzialgleichung beschreiben die Temperaturänderungen, welche durch die Abstrahlung 6 von Energie an die Umgebung und durch die Wärmeableitung 7 von der Lagerwelle 3 ins Gleitlager verursacht werden. Die Abhängigkeit der dimensionsfreien Temperatur ϑ von der dimensionsfreien Zeit τ ist gegeben durch folgende dimensionsfreie Differenzialgleichung: dϑ/dτ = 1 – Πϑ – ϑ4.
• Es gilt:
  τ = t/t_k, ϑ = T/T_K, Π = (λQ/c_pml)t_K, mit
  T_K = (P/σεF + T_U ⁴ + λQT_L/σεFl)^1/4 und
  t_K = c_pm/[σεF(P/σεF + T_U ⁴ + λQT_L/σεFl)^3/4].
• Eine allgemeine Lösung τ(ϑ) lautet: τ = A1ln|ϑ – ϑ1| + A2ln|ϑ – ϑ2| + + [(2A3 + A4(ϑ3 + ϑ4)/(ϑ3 – ϑ4)i]arctan[(2ϑ – ϑ3 – ϑ4)/(ϑ3 – ϑ4)i] + + (A4/2)ln|ϑ2 – (ϑ3 + ϑ4)ϑ + ϑ3ϑ4| +C,wobei ϑ₁, ϑ₂, ϑ₃, und ϑ₄ die Nullstellen des Polynoms der rechten Seite der dimensionsfreien Differenzialgleichung, i die imaginäre Einheit und C die Integrationskonstante sind. Zweckmäßig gilt für eine Anfangstemperatur ϑ₀: τ(ϑ₀) = 0: ϑ₁ und ϑ₂ sind reelle, ϑ₃ und ϑ₄ zueinander konjugiert komplexe Nullstellen. Diese sind gegeben durch: ϑ1 = –1/2{(u + v)1/2 + [2(u2 – uv + v2)1/2 – u – v]1/2} ϑ2 = –1/2{(u + v)1/2 – [2(u2 – uv + v2)1/2 – u – v]1/2} ϑ3 = 1/2{(u + v)1/2 – i[2(u2 – uv + v2)1/2 + u + v]1/2} ϑ4 = 1/2{(u + v)1/2 + i[2(u2 – uv + v2)1/2 + u + v]1/2},wobei u = {Π2/2 + [Π4/4 + (4/3)3]1/2}1/3 und v = {Π2/2 – [Π4/4 + (4/3)3]1/2}1/3 ist.
• Mit der Lösungsfunktion τ(ϑ) kann die Matrix A = (a_ij), mit i = 1,2 und j ∊ N⁺ erstellt werden, indem fest vorgegebene Werte a_2j = ϑ_j in die Lösungsfunktion eingesetzt und diese ausgerechnet wird. Für die zu berechnenden Werte a_1j der Matrix gilt: a_1j = τ(ϑ_j). Mittels dieser Matrix kann die Temperatur T einer zu einem Zeitpunkt t gemäß Schritt lit. iv) des Verfahrens berechnet werden:
• a) Berechnen von τ: τ = t/t_K,
• b) Berechnen von ϑ: – Auswahl von Werten a_1j, a_1(j+1) der Matrix A mit a_1j ≤ τ < a_1(j+1) – Lineare Interpolation: ϑ = a_2j + Δϑ/Δτ(t – a_1j), wobei gilt : Δϑ = a_2(j+1) – a_2j und Δτ = a_1(j+1) – a_1j,
• c) Berechnen von T: T = ϑ/T_K.
• Die Berechnung der Zeit, bei der die Anode 1 eine vorgegebene Temperatur besitzt, erfolgt analog zu dem oben ausgeführten Schritt lit. iv). Die Durchführung der obigen Schritte lit. iv) a) bis c) zeigt, dass der benötigte Rechenaufwand und die damit verbundene Rechenzeit gering sind, insbesondere bei wiederholten Berechnungen von T oder t. Dieses Ausführungsbeispiel zeigt, dass eine einfache Anpassung des Verfahrens an veränderte Werte an die Parameter der Röntgeneinrichtung möglich ist. Es müssen lediglich die Matrix A sowie die Skalierungsfaktoren T_K und t_k neu berechnet werden. Das Rechenverfahren des Schrittes lit iv) bleibt gleich. Die Genauigkeit des Verfahrens kann durch eine geeignete Auswahl der Werten von Δϑ oder Δτ sowie durch Wahl eines geeigneten Näherungsverfahren beliebig eingestellt werden.

Claims (9)

1. Verfahren zur Berechnung der Temperatur T eines Festkörpers oder der Zeit t, die für eine Änderung der Temperatur des Festkörpers benötigt wird, mit folgenden Schritten: i) Verwendung der Differenzialgleichung dT/dt = b – aT4 – cT,wobei T die Temperatur des Festkörpers, t die Zeit, b die pro Zeiteinheit durch Energieaufnahme verursachte Temperaturänderung ΔT_EA, aT⁴ die pro Zeiteinheit durch Wärmeabstrahlung verursachte Temperaturänderung ΔT_ES und cT die pro Zeiteinheit durch Ableitung von Wärme verursachte Temperaturänderung ΔT_WA ist, ii) Umformen der Differenzialgleichung in die folgende dimensionsfreie Differenzialgleichung dϑ/dτ = 1 – Πϑ – ϑ4,wobei ϑ eine dimensionsfreie Temperatur, τ eine dimensionsfreie Zeit und Π eine dimensionsfreie Wärmeleitfähigkeit ist, iii) Ermitteln einer Lösungsfunktion ϑ(τ) oder deren Umkehrfunktion τ(ϑ) aus der dimensionsfreien Differenzialgleichung zum Erstellen einer Matrix A = (a_ij), mit i = 1,2; j ∊ N⁺; a_1j = τ_j und a_2j = ϑ_j, wobei bei Verwenden einer Lösungsfunktion ϑ(τ) und vorgegebenen Werten τ_j gilt: ϑ_j = ϑ(τ_j) und bei Verwenden einer Umkehrfunktion und vorgegebenen Werten ϑ_j gilt: τ_j = τ(ϑ_j), iv) computergestützte Ermittlung der Temperatur T bei vorgegebener Zeit t oder der Zeit t bei vorgegebener Temperatur T jeweils durch a) Berechnen von τ oder ϑ für t oder T; b) Berechnen von ϑ oder τ mittels der in A enthaltenen Werte; c) Berechnen von T oder t für die in lit. b) berechneten Werte von ϑ oder τ.
2. Verfahren nach Anspruch 1, wobei ΔT_WA vernachlässigt wird.
3. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei Π als unabhängig von der Energieaufnahme des Festkörpers betrachtet wird.
4. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei der Festkörper die Anode einer Röntgenröhre ist.
5. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei die Anode drehbar in einem Gleitlager aufgenommen ist.
6. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei ΔT_WA durch Wärmeableitung in das Gleitlager verursacht wird.
7. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei ΔT_EA durch eine Absorption von Elektronen verursacht wird.
8. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei ΔT_WA zusätzlich durch Wärmeableitung an ein gasförmiges, flüssiges oder festes Kühlmittel verursacht wird.
9. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, wobei die Energieaufnahme des Festkörpers durch Vergleich der Temperatur T oder der Zeit t mit jeweils mindestens einem vorgegebenen oder berechneten Grenzwert für T oder t gesteuert wird.