CN1290065C - 在n维空间产生m次图形的方法和设备 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于在n维空间产生m次图形的方法和设备。一个构架被用于产生该图形。该构架包括限定数量的截面，线和控制点，取决于将产生的图形的复杂程度。然后为了至少用相关于控制点的数据提供该m次图形的代数系数，应用一个互相作用的求解过程。

Description

在N维空间产生M次图形的方法和设备

技术领域

本发明涉及计算机图形制作的领域，更具体地说，本发明涉及模制图形的领域。

背景技术

对空间中的物体的描绘不是一个新技术。很多世纪以来，人们为了各种目的尝试描绘空间中的图形或形状，其范围从建筑一直到艺术。最现代的计算机图形制作系统用很简单的描绘图形，即大量组合的多边形来构成复杂的三维图形。多边形在数学上表达式很简单并被应用在显示输出的产生上。

一个图形可以通过两种不同方式的表面来描绘。

第一种描绘图形的方式通过应用一个参数表面。参数表面包括例如Bezier曲线，Splines，非均匀有理B-splines(NURBS)等。该描绘图形的第一种方式被计算机广泛使用，实际上，参数表面被联系到图形的基础多边形结构。但是，可以理解的是这些表面是近似的。为了克服这样的局限，可能要结合大量的参数表面以描绘更复杂的图形。

所属领域的技术人员将会意识到这样一个事实，即这种方法是资源密集的。用这样经简化的“原始图形”去构建复杂物体的描绘需要大量对于该物体的说明，还需要进行大量的数据处理以产生和显示图形。还可以理解的是，这样的方法经常只能提供近似的图形。尤其当必须产生一个复杂的图形时更是如此。当这样的图形被放大时，原始图形之间的边界线往往很明显。

第二种描绘图形的方式通过应用隐含的表面。隐含的表面可以是代数形式，或者是几何形式，如在Chandrajit Bajaj等人的“隐含表面导论(Introduction to Implicit Surfaces)”一文中所解释的那样，该文由MorganKaufmann出版商(Publishers，Inc)出版，文章的内容通过引用结合在本文中。

例如，一个中心在原点的球可以用其代数方程x²+y²+z²＝r²定义为一个代数形式，球的尺寸由设定其半径‘r’来确定。其中心坐标为(a，b，c)的球的代数方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²＝r²。用几何特性可将球定义为几何形式。在该特定情况下，半径和中心被用以唯一地定义该表面。当通过代数表达式描绘一个图形的基本部分时，图形用高放大率显示，其细节也不会丢失。在球的情况下，还可以理解的是，该图形用四个值，即a，b，c，r描绘，而基于Bezier原始图形的参数表述则需要数量大得多的元素来定义该图形。

本领域技术人员将会注意到，实际上难以提供一个对于用来总体描绘一个复杂图形的高次表面的方程。虽然一个普通的方程能用来描绘一个球，但提供一个普通的系统，该系统能如用其诸如中心和半径的几何特性来定义一样提供一个图形的代数表达式将仍是一个挑战。在大多数情况下，相应于由几何特性定义的图形的代数方程的推导不仅计算复杂且费时，而且不可预言并且不稳定，即各种算法会导致不可解的方程。虽然更简单的代数形式的组合可用来产生描绘图形的形状，可以理解，这样的方法没有效率，因为其还是高资源密集性的。结果，有关描绘一个图形的形状的数据转换需要大的带宽。还可以理解，当使用代数形式时，通常不可能有该形状的想象。

申请人Jean Francois Rotge在其论文“L’Arithmetique des Forms：UneIntroduction a la Logique de l’Espace”第五章指出怎样通过其几何特性定义二次三维表面。该论文提出的方法基本上还未为人所知并未应用到计算机制图的技术中去，而且是基于一种数学运算，该数学运算不能推广到更高次的图形中去。和更高次的图形相比，二次图形，诸如球，椭球，双曲面等还是相对简单的。通过结合这样的二次表面就可以产生一个描绘复杂图形的形状。不幸的是，因为该方法限于二次图形，其模制复杂物体的价值受到限制。

有鉴于此，就存在对于能克服上述欠缺的方法和设备的需要。

发明内容

本发明的一个目的是提供一种确定n维空间中固定的m次图形的代数系数，用于改进计算机制图系统的显示的方法和设备。最好m大于2，n通常为3。在四维图形的情况下，第四维最好是时间，这样，显示的图形就是动态的。

本发明的另一个目的是提供一种确定n维空间中多个m次图形的代数系数以产生一个复杂图形，用于改进计算机制图系统的复杂图形显示的方法和设备。

本发明的另一个目的是提供一种确定n维空间中固定的m次图形的代数系数，用于改进计算机制图系统的显示的方法和设备，该方法和设备将用整数运算来运行。

本发明的还有一个目的是提供一个用于产生一个m次图形的构架。

本发明的还有一个目的是提供一种使操作者能以受控的方式修改一个互动方式下的形状的方法和设备，并且提供识别该经修改的形状的数据。

本发明的还有一个目的是提供一种使使用者能以灵活的方式修改n维空间中的m次图形的方法和设备。

根据本发明的一个广泛的实施例提供一种计算机制图设计系统，该系统具有一个通过几何特性定义所需要的3维图形的界面，用于将几何特性转换成描绘所需要图形的次数大于2的代数表达式的装置，以及用于用代数表达式提供图形的制图输出的装置，其中用于转换的装置对于所有可能的几何特性都是稳定的。根据本发明的另一个广泛的实施例提供一种计算机制图设计系统，该系统具有一个通过几何特性定义所需要的3维图形的用户界面，该用户界面使用一个参考单体将限制施加到定义几何特性的数值上，该系统还包括一个用于将几何特性转换成描绘所需要图形的次数大于2的代数表达式的装置，用于用代数表达式提供图形的制图输出的装置，一个通过使用上述代数表达式来提供该图形输出的装置，以及用于相对于所需要的图形调整参考单体以进一步有助于用经调整的参考单体来定义该图形提供便利的装置。

根据本发明的一个实施例提供一种用定义一个n维空间中的m次图形的方程的代数系数产生一个m次图形的方法，该n维空间采用了多个定义该图形的点，该方法包括提供一个构架的步骤，该构架包括多于一个的几何表面，该多于一个的几何表面中的每一个都包括至少一条线，该至少一条的线中的每一条都包括该多个点中的至少一个点；该方法还包括用定义该m次图形的方程提供一个解方程的步骤，求解该方程取决于至少三个点，该方法包括通过将该求解方程应用到该多个点中的每一个点以及位于多于一个的几何表面中的一个几何表面之上的两个点而使该多个点中的每一个点产生一个相应的方程的步骤，该两个经选择的点定义该构架的线，多个点中的每一个点都在该线上；包括以互相作用的方式解所产生的相应方程的步骤以提供该m次图形的代数系数，该互相作用的方式存在于用该多个点中的每一个点按一定的顺序处理所产生的方程之中，该一定的顺序存在于选择所产生的相应方程之中，该相应方程相应于位于线上的一个点，该线具有最高数量的在其上的点，而该线位于该构架的至少一个几何表面上，几何表面上有该最高数量的线，以及该方法包括用提供的该m次图形的代数系数产生m次图形的步骤。

根据本发明的另一个实施例提供一种用定义一个n维空间中的m次图形的方程的代数系数产生一个m次图形的设备，该n维空间采用了多个定义该图形的点，该设备包括一个物体存储器，该物体包括多于一个的几何表面，该多于一个的几何表面中的每一个都包括至少一条线，该至少一条的线中的每一条都包括该多个点中的至少一个点，该设备包括一个控制点到代数系数转换器单元，该控制点到代数系数转换器单元接收该多个点中的每一个点以及一个用定义该m次图形的方程定义的并取决于至少三个点的解方程，该控制点到代数系数转换器单元通过将该解方程应用到该多个点中的每一个点以及位于多于一个的几何表面中的一个之上的两个点而产生一个相应的方程，该两个经选择的点定义该构架的线，多个点中的每一个点都在该线上，以及以互相作用的方式解所产生的相应方程以提供该m次图形的代数系数；该互相作用的方式存在于用该多个点中的每一个点按一定的顺序处理所产生的方程之中，该一定的顺序存在于选择所产生的相应方程之中，该相应方程相应于位于线上的一个点，该线具有最高数量的在其上的点，而该线位于该构架的至少一个几何表面上，几何表面上有该最高数量的线，该设备还包括一个输出单元，出单元接收所提供的m次图形的代数系数并形成该m次图形。

根据本发明的另一个实施例提供一种用定义一个n维空间中的m次图形的方程的代数系数监视m次图形变形的方法，该n维空间采用了多个定义该图形的点，该方法包括根据计划的图形的修改提供一个构架的步骤，该构架包括多于一个的几何表面，该多于一个的几何表面中的每一个都包括至少一条线，该至少一条的线中的每一条都包括该多个点中的至少一个点，该方法包括根据计划的图形的修改修改提供的构架的至少一个部分的步骤，该方法包括用定义该m次图形的方程提供一个解方程的步骤，该解方程取决于至少三个点，该方法包括对于该多个点中的每一个点通过将该解方程应用到该每一个点以及位于多于一个的几何表面中的一个之上的两个点而产生一个相应的方程的步骤，该两个经选择的点定义该构架的线，多个点中的每一个点都在该线上，该方法包括以互相作用的方式解所产生的相应方程的步骤以提供该m次图形的代数系数；该互相作用的方式存在于用该多个点中的每一个点按一定的顺序处理所产生的方程之中，该一定的顺序存在于选择所产生的相应方程之中，该相应方程相应于位于线上的一个点，该线具有最高数量的在其上的点，而该线位于该构架的至少一个几何表面上，几何表面上有该最高数量的线，以及该方法包括输出该经修改的图形的代数系数的步骤。

附图说明

通过下文结合附图的对本发明的详尽叙述，本发明的进一步的特征和优点对于在本技术领域熟练的普通人员都将是显而易见的。

图1a是显示笛卡儿几何中的一个点的图；

图1b是用投影几何中的参考单体显示一个点的图；

图2是用参考单体显示二维空间的二次曲线的图；完全定义该二次曲线必须四个交点；

图3显示在一个实施例中怎样用一个相关的非极点产生一个极点；

图4a显示在3维空间内一个二次曲面必须的几何条件的数量；在本发明的该实施例中定义了三个截面，为每个被定义的截面引入固定数量的线和点；

图4b显示在3维空间内一个三次曲面必须的几何条件的数量；在本发明的该实施例中定义了四个截面，为每个被定义的截面引入固定数量的线和点；

图4c显示在3维空间内一个四次曲面必须的几何条件的数量；在本发明的该实施例中定义了五个截面，为每个被定义的截面引入固定数量的线和点；

图5a显示用一个四次曲面定义一个四次圆纹曲面的截面的第一实施例；在该实施例中，定义该四次圆纹曲面的所有截面相交在一条垂直于该四次圆纹曲面的水平平面的线上；

图5b显示用一个四次曲面定义一个四次圆纹曲面的截面的第二实施例；在该实施例中，定义该四次圆纹曲面的所有截面相交在一条包括在该四次圆纹曲面的水平平面中的平行线上；

图6是显示本发明的优选实施例的每个元素的框图；

图7是显示本发明的优选实施例中进行的各个步骤的流程图；根据第一步，提供有关一个图形的数据；然后根据第二步，修改该图形的控制点；然后根据第三步，计算经修改的图形的代数系数；

图8是显示有关一个图形的数据是怎样提供的另一个实施例的流程图；在该实施例中用现存的控制点提供数据；

图9是显示有关一个图形的数据是怎样提供的另一个替代实施例的流程图；在该另一个替代实施例中用现存的代数方程提供数据，然后该现存的代数方程被转换成控制点；

图10是显示有关一个图形的数据是怎样提供的另一个替代实施例的流程图；在该另一个替代实施例中用一个现存的图形提供数据；

图11是显示有关一个图形的数据是怎样提供的另一个替代实施例的流程图；在该另一个替代实施例中以用代数信息和几何信息两者的混合方式提供数据；

图12是显示有关一个图形的数据是怎样提供的另一个实施例的流程图；在该实施例中用在使用各个截面的本发明的优选实施例中输入的控制点提供数据；

图13是显示定义图形的代数系数是怎样用图形的控制点计算的流程图；

图14是显示极点是怎样用至少的非极点计算的流程图；

图15是显示控制点怎样在一条线上移动的流程图；

图16是显示线怎样移动的流程图；

图17是第一二次曲面的屏幕照片，该第一二次曲面是一个卵形面；

图18是显示定义第一二次曲面，控制点和参考单体的三个截面的屏幕照片；

图19是显示二次曲面及其三个定义截面，控制点和参考单体的屏幕照片；

图20是第二二次曲面的屏幕照片，该第二二次曲面是一个卵形面；

图21是显示第二二次曲面的三个截面，控制点和参考单体的屏幕照片；

图22是显示第二二次曲面，该第二二次曲面的三个截面，控制点和参考单体的屏幕照片；

图23是第三二次曲面的屏幕照片，该第三二次曲面是一个卵形面；

图24是显示第三二次曲面的三个截面，控制点和参考单体的屏幕照片；

图25是显示第三二次曲面，该第三二次曲面的三个截面，控制点和参考单体的屏幕照片；

图26是第四二次曲面的屏幕照片，该第四二次曲面是一个球面；

图27是显示第四二次曲面的三个截面，控制点和参考单体的屏幕照片；

图28是显示第四二次曲面，该第四二次曲面的三个截面，控制点和参考单体的屏幕照片；

图29是显示当系数的表达式已知时顺序进行的产生代数系数的步骤流程图；

图30是显示用λ，μ和ρ，σ的由来的图；

图31是显示在本发明的优选实施例中的用于一个四次曲面的不同的截面以及所用的截面怎样相对于参考单体定位的图；

图32是方程如何得出的流程图；

图33是为了得出系数表达式的步骤流程图；

图34a是提供一个二次曲面的代数方程的表；

图34b是提供一个四次曲面的代数方程的表；

图35是显示四次曲面的5个截面的屏幕照片，所有五个截面都相交在参考单体的一个边缘上；

图36是显示带有15条线的四次曲面；15条线中的5条线定义一个第一截面，15条线中的4条线定义一个第二截面，15条线中的3条线定义一个第三截面，15条线中的2条线定义一个第四截面，15条线中的1条线定义一个第五截面；

图37是显示四次曲面的一个第一截面的屏幕照片，该第一截面包括5条线，第一截面的所有线相交在xI；

图38是显示四次曲面的一个第二截面的屏幕照片，该第二截面包括4条线，第二截面的所有线相交在xII；

图39是显示四次曲面的一个第三截面的屏幕照片，该第三截面包括3条线，第三截面的所有线相交在xIII；

图40是显示四次曲面的一个第四截面的屏幕照片，该第四截面包括2条线，第四截面的所有线相交在xIV；

图41是显示四次曲面的一个第五截面的屏幕照片，该第五截面包括1条线，该线和参考单体相交在xV；

图42显示方程系统Eq.2；

图43显示方程系统Eq.3；

图44显示方程系统Eq.5；

图45显示方程系统Eq.7；

图46显示方程系统Eq.8；

图47显示方程系统Eq.10；

图48显示方程系统Eq.11；

图49显示方程系统Eq.14；

图50显示方程系统Eq.17；

图51显示方程系统Eq.19；

图52显示方程系统Eq.21；

图53显示方程系统Eq.23；

图54显示方程系统Eq.24；

图55显示方程系统Eq.27；

图56A显示方程系统Eq.29；

图56B显示方程系统Eq.31；

图56C显示方程系统Eq.33；

图56D显示方程系统Eq.35；

图57显示方程系统Eq.36；

图58显示方程系统Eq.38；

图59显示方程系统Eq.40；

图60显示方程系统Eq.42；

图61A显示方程系统Eq.44；

图61B显示方程系统Eq.46；

图61C显示方程系统Eq.48；

图62显示方程系统Eq.49；

图63显示方程系统Eq.53；

图64A显示方程系统Eq.55；

图64B显示方程系统Eq.57；

图65显示方程系统Eq.60；

图66是显示各个参数的表，该各个参数显示了2，3和4次代数表面的1，2和3次极性的线的特征；

图67是显示一个四次曲面以及一个位于一个1次极表面上的极点和一个非极点的屏幕照片；

图68是显示一个四次曲面以及两个位于一个2次极表面上的极点和一个非极点的屏幕照片；

图69是显示一个四次曲面以及三个位于一个3次极表面上的极点和一个非极点的屏幕照片；

图70显示一个行列式分解为小行列式的和；

图71显示在一个四次曲面的情况下一个行列式分解为小行列式的和；

图72显示10个2×2小行列式；

图73显示10个3×3小行列式；和

图74显示5个4×4小行列式。

具体实施方式

                   对投影几何的简介

投影几何由Pappus和Gerard Desargue的工作起源，由J.V.Poncelet(1822)的工作创建了该学说的准则，并由K.G.C.Von Staudt(1847)建立其公理基础。数学家采用了该纯净的或演绎的方法，在这样的方法中避免代数的和解析的方法，处理方法是纯几何的。

本技术领域的熟练人员众所周知，n维空间的m次表面有一个代数系数N_C的数字，该系数等于：

$N_C={\∏}_{i=1}^N\frac{(m+i)}{i}=\left(\begin{array}{c}m+n\\ n\end{array}\right)$

定义该表面的几何条件的数字N_G等于：

$N_G={\∏}_{i=1}^n\frac{(m+i)}{i}-1=\left(\begin{array}{c}m+n\\ n\end{array}\right)-1$

3维空间的m次表面有代数系数的数字N_C，因此该系数等于：

$N_C=\frac{(m+1)\·(m+2)\·(m+3)}{1\·2\·3}$

对于一个二次曲面，m＝2，N_C＝10，而在四次曲面的情况下，m＝4，N_C＝35。所需要的几何条件的数字N_G等于：

$N_G=\frac{(m+1)\·(m+2)\·(m+3)}{1\·2\·3}-1.$

因此，对于3维空间的二次曲面需要9个几何条件，对于3维空间的四次曲面需要34个几何条件。所需要的几何条件将以一定的方式输入本发明的优选实施例，将如下所述。

现在参考图1a，图中显示了一个欧氏几何中的参考点M。点M由三个坐标例如(2，1，1)表征，分别为参考点的x，y和z坐标。现在参考图1b，图中显示了带有其参考单体的点M。在投影几何中，3维的参考单体包括4个点。点M在这样的参考单体中有4个坐标。

可以用一个转移矩阵表述在来自欧氏空间的投影空间中的点的坐标。可以用一个该转移矩阵的逆矩阵表述在来自投影空间中的欧氏空间的点的坐标。

在2维欧氏空间中，如果一个点有在欧氏空间的坐标x和y(M(x，y))，M在投影平面中将有一个第三坐标。更具体地说，一个在n维欧氏空间中的点被描绘为在(n+1)维投影空间的点。M(x，y，l)是点M在投影空间的表述。在投影空间中，所有的比例都是不重要的，因此(x，y，l)＝(a·x，a·y，a·l)。但是要避免a＝0。因为比例不重要，(x，y，z)被称为点的齐次坐标。为了将在投影空间表达的点的表述转换回欧氏空间，对坐标进行一次比例因子的除法。在这点上，重要的是注意投影平面包括比欧氏空间更多的点。例如其在投影空间的最后坐标为零的点。这些点被称为理想点或无穷点。所有的理想点都处在一条被称为理想线或无穷线的线上。在二维空间，该线用(0，0，1)代表。

现在参考图2，图中显示在2维空间的圆锥。该圆锥用5个几何条件定义；

$N_G=\left(\begin{array}{c}2+2\\ 2\end{array}\right)-1=5$

首先选择一个参考单体。然后用一个被定义为控制点的实体输入该几何条件。如本领域技术人员将理解的那样，几何条件可用其他类型的信息输入。一个点通常被定义为一条曲线和另一条线的交点，在这种情况下，该另一条线是线束。

为了扩展点的概念，在本发明的优选实施例中，控制点可被分为非极点和极点。可以理解，诸如Lama曲线的曲线不能用常规的交点定义。

现在参考图3，图中显示了在2维空间中的一个圆锥的一个极点和一个相关的非极点。

根据第一步，在线束上选择一个非极点。根据第二步，该非极点成为两条切线到该表面的交点。根据第三步，由该两条切线产生的两个接触的交点成为极点。极点被定义为极线和线束的交点。在本技术领域熟练的人员将理解，当线束和该形状相切时，极点和非极点将合二为一。因此，交点的全部概念将在极点和非极点的使用中概括出来。因此在本发明的优选实施例中不使用虚构的点。

一个极点和一个相关的非极点定义一个几何条件。在2维空间的二次曲面的情况下必须5个几何条件。10个控制点可用来提供该5个几何条件。该10个控制点包括5个非极点及其5个相关的极点。或者，为了满足5个几何条件的要求可提供5个交点。

在3维二次曲面的情况下，几何条件数等于：

$N_G=\left(\begin{array}{c}2+3\\ 3\end{array}\right)-1=9$

在本发明的优选实施例中提供18个控制点，其中9个点是非极点，其他9个点是9个第一非极点的相关的极点。可以理解，非极点和极点允许使用者在研究的地方设定线束。在如上所述的技术中将利用该优点。

在3维空间的四次曲面的情况下，几何条件数等于：

$N_G=\left(\begin{array}{c}4+3\\ 3\end{array}\right)-1=34$

在本发明的优选实施例中提供68个控制点，其中34个控制点是非极点，其他34个点是34个第一非极点的相关的极点。

本领域技术人员将会理解到，如果形状是n次的，则定义极平面的表面为n-1次的形状。

为了能用由控制点提供的信息识别一个形状的代数系数，重要的是要组合由控制点提供的信息。

在本发明的优选实施例中，为了实现用所提供的几何条件的互相作用的解答过程，定义截面来组合控制点。

在这点上，重要的是理解在本发明的优选实施例中怎样确定截面的数目。几何条件的数目确定了截面的数目。

现在参考Pascal三角形，已知：

$\underset{S=0}{\overset{S=m}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}n-1+s\\ n-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m+n\\ n\end{array}\right)$

式中m是表面的次数，n是空间的维数。

最好截面数由下式定义：

$\mathrm{Card}\left(\underset{S=0}{\overset{S=m}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}n-1+s\\ n-1\end{array}\right)\right)=m+1$

现在回头参考下面的等式：

$\underset{S=0}{\overset{S=m}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}n-1+s\\ n-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m+n\\ n\end{array}\right),$

可以识别m+1个截面并将它们分解成其他的元素。在本发明的优选实施例中，每个截面被进一步分解为线。

$\left(\begin{array}{c}n-1\\ n-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-1+1\\ n-1\end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c}n+m-1\\ n-1\end{array}\right)=\underset{S=0}{\overset{S=m}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}n-1+s\\ n-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m+n\\ n\end{array}\right)$

$1+\underset{S=0}{\overset{S=1}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}n-2+s\\ n-2\end{array}\right)+...+\underset{S=0}{\overset{S=m}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}n-2+s\\ n-2\end{array}\right)=\underset{S=0}{\overset{S=m}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}n-1+s\\ n-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m+n\\ n\end{array}\right)$

最后一个等式显示，每个截面可以被分解成线。每条线包括一定数量的控制点。例如，第一截面S₁由下式定义：

$S_1:\left(\begin{array}{c}n-1\\ n-1\end{array}\right)$

该截面包括1条线，该线有2个控制点，其中一个点是非极点，另一个点是该非极点的相关的极点。

第二截面S₂由下式定义：

$S_2:\underset{S=0}{\overset{S=1}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}n-2+s\\ n-2\end{array}\right)$

该截面包括2条线。第一条线将提供

$\left(\begin{array}{c}n-2\\ n-2\end{array}\right)$ 个几何条件，即其将包括 $2\·\left(\begin{array}{c}n-2\\ n-2\end{array}\right)$ 个控制点；其中的一半为非极点，另一半为该第一一半的相关的极点。

第二条线将提供

$\left(\begin{array}{c}n-2+1\\ n-2\end{array}\right)$ 个几何条件，即其将包括 $2\·\left(\begin{array}{c}n-2+1\\ n-2\end{array}\right)$ 个控制点；其中的一半为非极点，另一半为该第一一半的相关的极点。

S_m+1截面由下式定义：

$S_{m+1}=\underset{S=0}{\overset{S=m}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}n-2+s\\ n-2\end{array}\right)$

该截面包括m+1条线。截面S_m+1的第一线将提供 $\left(\begin{array}{c}n-2+0\\ n-2\end{array}\right)$ 个几何条件，即其将包括 $2\·\left(\begin{array}{c}n-2+0\\ n-2\end{array}\right)$ 个控制点；其中的一半为非极点，另一半为该第一一半的相关的极点。

截面S_m+1的第二线将提供 $\left(\begin{array}{c}n-2+1\\ n-2\end{array}\right)$ 个几何条件，即其将包括 $2\·\left(\begin{array}{c}n-2+1\\ n-2\end{array}\right)$ 个控制点；其中的一半为非极点，另一半为该第一一半的相关的极点。

截面S_m+1的第m+1线将提供 $\left(\begin{array}{c}n-2+m\\ n-2\end{array}\right)-1$ 个几何条件。可以理解，将1个几何条件从总数中减去。其将提供 $2\·(\left(\begin{array}{c}n-2+m\\ n-2\end{array}\right)-1)$ 个控制点；其中的一半为非极点，另一半为该第一一半的相关的极点。

在本发明的优选实施例中，以一定的方式向每个截面提供控制点。更具体地说，控制点被首先提供到截面S_m+1，然后被提供到S_m，直至S₁，最后提供到S₀。

现在参考图4a，图中显示对于3维空间的二次曲面的将每个截面分解成线。例如，截面S₃包括3条线，第一线用4个控制点提供2个几何条件。截面S₃的第二线用4个控制点提供2个几何条件。截面S₃的第三线用2个控制点提供1个几何条件。

现在参考图4b，图中显示对于3维空间的三次曲面的将每个截面分解成线。例如，截面S₄包括4条线，第一线用6个控制点提供3个几何条件。截面S₄的第二线用6个控制点提供3个几何条件。截面S₄的第三线用4个控制点提供2个几何条件。截面S₄的第四线用2个控制点提供1个几何条件。

现在参考图4c，图中显示对于3维空间的四次曲面的将每个截面分解成线。

在优选实施例中，使用者可以用制图用户界面提供控制点。制图用户界面位于计算机上。

使用者通过使用鼠标或任何允许在屏幕上选择像素的装置选择一个像素。被选择的点用被选择的像素的坐标表征，在优选实施例中，像素坐标包括两个整数元素。在本发明的优选实施例中然后将像素的坐标转换成本领域技术人员已知的世界坐标。

将像素的坐标转换成世界坐标由矩阵用乘法进行。在优选实施例中，世界坐标包括三个“浮动”值。还是在该优选实施例中，然后被转换成投影齐次坐标。投影齐次坐标通过加上一个为1的新坐标获得。在新坐标希望被表述为“无穷数”的情况下，该新坐标可以是0。

极平面可以通过对该表面的方程相对于参考单体的每个坐标的求导来表述。

现在参考图5a，图中显示用四次曲面定义定义四次圆纹曲面的截面的第一实施例。

更具体地说，如图4c的解释定义5个截面。

可以理解，如图4b的解释，定义一个三次曲面必须4个截面。

现在参考图6，图中显示了本发明的优选实施例。本发明的该优选实施例包括一个方程的数据库12，一个图形数据库14，一个基础图形选择单元10，一个图形到控制点转换器16，一个代数系数到控制点转换器18，一个截面管理单元20，一个投影空间物体存储器22，一个控制点编辑器24，一个控制点到代数系数转换器26，一个输出界面28，一个射线跟踪单元30和一个制图显示器32。

方程数据库12包括各种图形的方程。方程数据库包括图形的代数方程的代数系数以及图形的识别符。图形用识别符选择。可以理解，定义图形的代数方程的次数如下文解释的那样不局限于一定的值，因此，这样可以实现任何类型的图形的产生。

图形数据库14对每个图形包括一个图形的识别符和有关该图形的信息。有关一个图形的信息包括定义该图形的控制点。有关该图形的信息进一步包括参考单体。在另一个实施例中，该信息可以是有关该图形的几何信息，诸如在一个球的图形的情况下的半径和中心。

基础图形选择单元10能让使用者至少从方程数据库12和图形数据库14中选择数据，并且如果选择的数据包括控制点和参考单体，则将选择的数据提供到投影空间物体存储器22，如果选择的数据包括物体的图形定义，则将选择的数据提供到图形到控制点转换器16，如果选择的数据包括代数系数，则将选择的数据提供到代数系数到控制点转换器18。

图形到控制点转换器16进行所定义的图形到控制点的转换。转换器致力于将所定义的每种类型的图形转换到控制点。例如，对于球，由半径以及中心的坐标定义该图形。图形到控制点转换器16将这些信息转换成一组控制点。

在优选实施例中，为了产生控制点，使用者提供一个参考单体。在另一个实施例中，参考单体由图形到控制点转换器16自动产生。

代数系数到控制点转换器18进行定义一个图形的代数系数到一组将定义投影空间中的图形的控制点的转换。在优选实施例中，使用者可以提供一个参考单体。参考单体将通过对该单体的参考而产生。在本发明的另一个实施例中，参考单体由代数系数到控制点转换器18自动产生。

截面管理单元20允许使用者产生，编辑或删除投影空间物体存储器22的一个截面。当使用者希望重新定义一个新截面时，该截面管理单元20也可以使用代数系数。投影空间物体存储器22储存投影空间中的图形的数据。

在本发明的优选实施例中，投影空间物体存储器22中图形的数据包括图形的控制点以及参考单体。控制点包括极点和相关的非极点。控制点位于一个线束的线上，至少一条线的一个次集如前所述定义一个截面。

控制点编辑器24使使用者能产生，编辑或删除控制点。在本发明的优选实施例中，如上所述，控制点包括极点和相关的非极点。

控制点到代数系数转换器26进行定义一个图形的控制点到定义该图形的代数系数的转换。因为控制点相关于参考单体，参考单体最好也被用于进行该转换。

输出界面接收代数系数并为输出定义该图形的代数系数提供一个界面。

射线跟踪单元30接收代数系数并向制图显示器32提供数据。

射线跟踪单元30在由James D.Foley.Andries van Dam，Steven K.Feiner和John F.Hughes的论文“Computer Graphics Principles and Practices”，由Addison-Wesley出版的第二版第710和702页上叙述的原理下工作，该论文的内容通过引用结合在本文中。

制图显示器32使使用者能用制图界面观察几何图形。最好，射线跟踪单元30进一步接收一个视图信号点。在本发明的一个实施例中，制图显示器在i386操作系统下工作，在另一个实施例中，制图显示器在MAC操作系统下工作。

现在参考图7，图中显示了本发明的优选实施例。

根据本发明的36步，数据围绕一个图形提供。在优选实施例中，提供的数据包括一个参考单体和控制点。该图形用参考单体和控制点在投影空间中定义。再参考本申请的图7并根据本发明的38步，定义该图形的控制点被修改。可以理解，使用者可以仅通过修改参考单体而修改控制点。

根据40步，由经修改的控制点定义的图形的代数系数用经修改的控制点以及参考单体进行计算。图形的代数系数可以被用于提供一个物体的欧氏视图。

现在参考图8，图中显示了数据怎样根据本发明的36步提供的一个实施例。在该实施例中以及根据42步，在图形数据库14中选择一个图形。该图形由基础图形选择单元10用识别符选择。如上所述，附属于该识别符的信息包括控制点和参考单体。根据本发明的44步提供控制点和参考单体。

现在参考图9，图中显示了数据怎样根据本发明的36步提供的另一个实施例。在该实施例中以及根据46步选择一个代数方程。代数方程依赖于所需要的图形选择。代数方程由基础图形选择单元10在方程数据库12中选择。根据48步，代数方程被转换成控制点。代数方程用代数系数到控制点转换器14转换。在优选实施例中，由使用者提供参考单体。在另一个实施例中，参考单体自动产生。

现在参考图10，图中显示了数据怎样根据本发明的36步提供的另一个实施例。根据本实施例的50步选择一个几何图形。该几何图形用基础图形选择单元10和图形数据库14选择。根据图10的52步，用图形到控制点转换器16将选择的几何图形转换成控制点。在优选实施例中，由使用者提供参考单体。在另一个实施例中，参考单体自动产生。所产生的控制点将相对于该参考单体而产生。

现在参考图11，图中显示了数据怎样根据本发明的36步提供的另一个实施例。

根据54步提供有关第一几何截面54的信息。该信息用基础图形选择单元10提供。该信息可以是第一几何截面的代数方程，在该情况下，该代数方程被储存在方程数据库12中。

根据56步产生其他的几何截面及其控制点。在优选实施例中，用控制点编辑器24产生控制点。还是在该优选实施例中，其他的几何截面用截面管理单元20产生。在优选实施例中，由使用者提供参考单体。在另一个实施例中，参考单体自动产生。

根据58步，每个截面的控制点被提供参考单体。

现在参考图12，图中显示了数据怎样根据本发明的36步提供的另一个实施例。在该实施例中数据由使用者产生。根据60步产生一个几何截面。在优选实施例中，由使用者提供参考单体。在另一个实施例中，参考单体自动产生。几何截面用截面管理单元20产生。根据62步，用控制点编辑器24放置和该截面相关的非极点。根据64步，用控制点编辑器24放置和该截面相关的极点。本领域技术人员将会理解到，在所产生的截面中极点可以被放置在非极点前面。

取决于图形的次数，为了描绘如上所述的图形，对每个截面必须一定数量的控制点。根据本发明的66步进行一次检查，其目的是检查所有必须的截面是否已经全部产生。如上所述，为了完整定义一个图形必须一定数量的截面。如果必须的截面还未全部产生，将在另外的时间到达步骤6062和64。

如果所有必须的截面都已产生，根据68步提供控制点。控制点包括每个截面的极点和非极点。也提供参考单体，因为控制点用该参考单体定义。

现在参考图13，图中显示定义图形的控制点怎样转换成代数系数。

根据78步提供控制点和参考单体。根据80步进行一次检查，其目的是检查所有控制点是否已经全部可得到。如果所有控制点都可得到，根据图13的92步计算代数系数。根据图13的94步提供代数系数。

根据84步经选择的控制点的坐标用控制点所被定位的节段的极值转换成一维的。该步骤下文将更详尽地叙述。

根据86步，储存经选择的控制点的一维表达式。

对每个可得到的控制点进行82，84和86步。现在参考图14以及根据96步，由使用者提供参考单体。在另一个实施例中，参考单体自动产生。根据98步由使用者提供非极点。在优选实施例中，非极点用控制点编辑器24提供。

根据100步计算极平面的表达式，该极平面的表达式用所解释的图形的代数方程计算。

根据102步进行一次试验，其目的是找出多于一个的非极点中的至少一个是否可得到。如果该多于一个的非极点中的至少一个可得到，根据104步选择可得到的非极点。

根据106步，至少用极平面的表达式计算所选择的非极点的极点。

如果没有非极点可得到以及根据108步，提供控制点以及参考单体。

现在参考图15，图中显示控制点编辑器怎样工作。根据140步选择一个控制点。可以选择一个极点以及一个非极点。

在本发明的优选实施例中用鼠标在用户界面上选择控制点。

根据本发明的142步，在本发明的优选实施例中用鼠标的光标在模板线上移动经选择的控制点。

根据146步提供新的控制点。该新控制点可以是一个极点以及非极点。

根据图16，图中显示截面管理单元怎样工作。在本发明的优选实施例中，根据本发明的148步选择一条线。该线用鼠标及点击键选择。根据150步，用鼠标以及最好是预先确定的键移动该经选择的线。根据152步，位于该线上的控制点以及如果有的话的任何其他从属的控制点被更新。

根据154步提供新控制点。

现在参考图17，图中显示了3维空间中的二此曲面。

现在参考图18，图中显示了怎样用本发明的优选实施例产生二次曲面。该二次曲面用一个参考单体，三个定义的截面以及在一个线束的每条线上的控制点产生。如上所述地定义三个截面。第一截面156用线159，160和161定义。第二截面157用线162和163定义。第三截面158用线164定义。控制点被插入在三个截面的每条线上。如上所述，以及在本发明的优选实施例中，第一截面156包括三条线，第一线159包括4个控制点(因为必须2个几何条件)，第一截面156的第二线161包括4个控制点(因为必须2个几何条件)，以及第一截面156的第三线160包括2个控制点(因为必须1个几何条件)。

第二截面157的第一线162包括4个控制点(因为必须2个几何条件)，第二截面157的第二线163包括2个控制点(因为必须1个几何条件)。

第三截面158的第一线164包括2个控制点(因为必须1个几何条件)。

图19显示了如图18中显示的二次曲面，该二次曲面和参考单体以及控制点套叠在起。

图20显示一个第二二次曲面。

现在参考图21，图中显示了定义该第二二次曲面的参考单体和控制点。在该实施例中也定义了三个截面。读者可以理解，在该实施例中7个非极控制点和其各自的极控制点结合在一起。

现在参考图22，使用者将理解，当极控制点和其相关的非极控制点结合时，结果点位于该二次曲面的表面上。

现在参考图23，图中显示了一个第三二次曲面。在该二次曲面的第三实例中，定义参考单体的一个点被发送到“无穷远”，如图24所示。必须同样数量的截面，线和控制点。发送一个点到无穷远使使用者能有接近新类型的二次曲面的可能。图25显示了带有控制点和参考单体的第三二次曲面。

图26显示一个第四二次曲面。在该二次曲面的第四实例中，定义参考单体的2个点被发送到“无穷远”，如图27所示。该实施例允许例如产生一个球。

图28显示了带有控制点和参考单体的第四二次曲面。

                 控制点到代数系数转换器

现在参考图29，图中显示了控制点到代数系数转换器26怎样工作。更具体地说，图中显示了怎样用由使用者输入的控制点确定来自代数方程的系数。如上所述，在本发明的优选实施例中，控制点包括极点和非极点。

根据图29的200步，单体以及控制点被提供到控制点到代数系数转换器26。如上所述，单体以及控制点产生自投影空间物体存储器22。

根据图29的202步以及在本发明的优选实施例中，为控制点计算λ，μ以及ρ，σ。λ，μ用于指定一个非极点，而ρ，σ用于指定一个极点。现在参考图30，图中显示了使用λ，μ以及ρ，σ的由来。到这个程度，每个控制点可以用其参考单体上的四个坐标(即x₀，x₁，x₂，x₃)引进。用下文将解释的机制，每个点将用两个坐标引进，λ，μ或者ρ，σ，取决于控制点是如上所述的极点或非极点。通过进行下面的可变化的改变：

x₀＝μ·π₀

x₁＝μ·π₁

就可以达到目的。

x₂＝μ·π₂

x₃＝μ·π₃

为了达到该目的，必须要提供两个将定义一条线的点，因此而提供π₀，π₁，π₂，π₃。因此，当定义形成控制点在其上的线的两个点时，可以用两个坐标在一维中表达每个控制点。在本技术领域熟练的人员将注意到，这样的方案将为简化该机制提供方便的方式，因为在任何维上的一个点总是位于一条线上。

现在参考图31，图中显示了在本发明的优选实施例中在第一和第二截面(即S₅和S₄)的情况下使用的线。本领域技术人员可以用其他的方式定义控制点的支撑线，但是将注意，通过引进有利的简化，图31叙述的方案可实现代数系数的方便的计算。例如，对所有位于截面S₅上的点，坐标π₃将等于零，而对所有位于截面S₄上的点，坐标π₂将等于零。

现在，往回参考图29并根据204步选择一个截面。该被选择的截面是在本发明的优选实施例中有最大数量的控制点的地方的余留截面。例如，在四次曲面的情况下，被选择的第一截面是截面S₅，该截面包括14个控制点，如图4b所示。

根据206步选择一条线以及在该经选择的线上的相应控制点。在本发明的优选实施例中，该选择的线是在有最大数量的控制点的地方的余留线。例如，线1在截面S₅中被首先选择。

根据208步进行一次检查，其目的是找出奇点的位置是否和位于经选择的线上的点在一起。奇点被定义为有同样空间位置的多于一个的控制点。如果这样的奇点被探测到，根据210步使用一个相应的方程；如果没有奇点被探测到，根据212步使用标准的方程。

根据214步，然后进行一次检查，其目的是找出是否控制点在其上的所有的线都已经过处理。如果是这种情况，并且根据216步，则提供经计算的系数和/或信息。该提供的信息在某些情况下可以是方程。

根据218步进行一次检查，其目的是找出是否所有截面都已经处理。如果是这种情况并且根据220步，则将提供经计算的系数。如果一个截面未经过处理，则根据204步选择一个新截面。

例如，在四次曲面的情况下，经处理的第一截面是名为S₅的截面，经处理的第二截面是名为S₄的截面，经处理的第三截面是截面S₃，经处理的第四截面是S₂，经处理的最后一个截面是名为S₁的截面。当处理第一截面S₅时，经处理的第一线是线1，经处理的第二线是线2，经处理的第三线是线3，经处理的第四线是线4，经处理的第五线是线5。当处理第二截面S₄时，经处理的第一线是线1，经处理的第二线是线2，经处理的第三线是线3，经处理的第四线是线4。当处理第三截面S₃时，经处理的第一线是线1，经处理的第二线是线2，经处理的第三线是线3。当处理第四截面S₂时，经处理的第一线是线1，经处理的第二线是线2。最后当处理第五截面S₁时，经处理的第一线是线1。

还是在四次曲面的情况下，第一截面将提供16个系数；第一截面将提供16个系数；第二截面将提供10个系数；第三截面将提供3个系数和三个将在后面使用的方程；第四截面将提供4个系数和一个方程并且第五截面将提供最后3个方程的系数。

本领域技术人员将注意到，上述该开发的方法允许以任何类型的维数工作，因为包括在每个控制点中的信息都在线的水平上进行处理。但是现在重要的是理解在210步和212步中用以找出系数的标准方程和相应的方程是怎样产生的。然后在本技术领域熟练的人员将能找出在210步和212步中使用的标准方程和相应的方程以及因此而能确定任何维数中的代数系数。

有关用于找出标准方程和相应的方程的方法的通用原理

通过用户界面使用者可如上所述在一个线上提供控制点，以及如上所述，每个控制点包括一个极点和一个非极点。

为了找出标准方程和相应的方程将使用叠代法。可以理解，叠代法能使在本技术领域熟练的人员找出在n维空间的代数系数。也可以理解，下文叙述的方法是优选的方法；本领域技术人员将能找出其他的变量。现在参考图32，图中显示通用方程是怎样产生的。

根据230步提供代数方程。该代数方程取决于x₀，x₁，x₂，x₃。现在参考图34a和34b，图中显示了一个二次曲面和一个四次曲面的代数方程。根据232步计算极平面的每个元素。极平面的元素通过求代数方程的相关于该元素的变量的导数而计算。例如，极平面的x₀元素等于相关于x₀的代数方程的导数。

根据234步表述了极性的条件。更具体地说，该条件被表达为：

F_x0·z₀+F_x1·z₁+F_x2·z₂＝0(Eq.0)

式中F_x0，F_x1，F_x2，F_x3为极平面相对于x₀，x₁，x₂，x₃的元素，z₀，z₁，z₂，z₃为极点的坐标。

根据236步进行变量的改变。变量的改变用λ，μ和ρ，σ进行。

更具体地说，所进行的变量改变为：

x₀＝μ·π₀

x₁＝μ·π₁

x₂＝μ·π₂

x₃＝μ·π₃

z₀＝ρ·π₀

z₁＝ρ·π₁

z₂＝σ·π₂

z₃＝σ·π₃

有关在236步中进行的变量的改变的Eq.0现在取决于λ，μ，ρ，σ以及x₀，x₁，x₂，x₃。新方程可以和位于任何截面的任何线上的任何控制点一起使用。新方程提供了一种通用工具以提供由控制点提供的代数系数和几何信息之间的相应关系。

根据238步提供所获得的通用方程。

但是，如下文所述，将用一个特定的解方程来用该应用到每个控制点的通用方程确定系数。

本领域技术人员可以通过将该通用方程应用到每个控制点和反演所产生的方程系统而提出简单地解该产生的方程系统。但是，该反演运算太费时，而且对于高次系统这样的运算还不可能，最后，一个奇点将使运算变得不可能。因此就存在对于求导方法解该方程系统的需要。

为了揭示优选实施例的义务，图33提供滥用于解238步提供的方程的机制。

根据240步提供通用方程。

根据242步选择一个截面，在优选实施例中，截面的选择根据如上所述的方案进行。通过选择一个截面而设定π₂和π₃的值。

根据244步选择一条线；在优选实施例中，线的选择在选择的截面中根据如上所述的方案进行。通过选择一条线而设定π₀和π₁的值。

根据246步，在选择的截面的选择的线上选择一个非极点及其相关的极点。根据248步，选择的非极点及其相关的极点被输入到所提供的通用方程中。通过选择一个非极点及其相关的极点而设定λ，μ和ρ，σ的值。

根据248步，由选择的一对点提供的信息被用于计算系数。

更具体地说，该通用方程和λ，μ和ρ，σ的值一起使用，一个方程系统在线的水平上产生。可以理解，对于每个截面，π₂和π₃是固定的。因此，在同一个截面中产生的方程系统的每一个方程中进行通过π₂和π₃的或π₂和π₃的任何线性组合进行的因子分解。也进行通过代数系数及其线性组合的因子分解。这将导致第二方程系统，在该第二方程系统中，未知的变量现在是多项式，该多项式取决于系数的组合，而不是取决于依赖该系数的初始的方程系统。然后这些第二方程系统用Kramer解方程方案来解，在优选实施例中，允许解初始的方程系统。

可以理解，每次解一个初始的或第二类型的方程系统，都用一个为齐次因子的新的未知的变量提供解方程的结果。齐次因子将在解方程过程的末端解出，并且这将允许经常性地找到在解方程过程中引进的每个齐次因子。

当产生初始类型的和第二类型的方程系统时进行一次检查，其目的是找出由一个取决于λ，μ和ρ，σ的已知的多项式进行因子分解是否可能。已知的多项式是描绘一个具体的几何构型的多项式；这样的具体构型可以是两个控制点位于同一个物理位置(意思为λ₁＝λ₂，μ₁＝μ₂)的构型。在最后提到的情况下，多项式将是λ₁·μ₂-λ₂·μ₁。在四次曲面的情况下，所搜索的具体的几何构型是双点的情况，双双点的情况以及三点的情况。如果探测到这样的多项式，在行列式中通过这些多项式进行一个除法，为的是避免这些将使解方程方案失败的特定的情况，因为该行列式将等于零。因此在该水平上小心谨慎是重要的。在探测一个奇点的情况下，将提供一个对于该系数的新方程。

更具体地说，图71显示一个行列式，对于该行列式，在至少两个点位于同一处地方的情况下进行一个解方程方案。

如图70所示，可以通过任何行或列扩大一个行列式。这样的扩大在Erwin Kreyszig的论文Seventh Edition of Advanced Engineering Mathematics的373页中有解释，该文通过引用而结合在本文中。

现在参考图71，图中显示了一个行列式扩大成小行列式总和的扩大解法。

在简并的情况下，完全相同的行以及因此的互补的小行列式将消失。最好进行一次行列式的分解以在多重性m的情况下提供小行列式。

在例如多重性为2的情况下，其中λ₃＝k·λ₂，μ₃＝k·μ₂，图72显示图71显示的行列式分解为有尺寸2的小行列式。如果在图72显示的小行列式中λ₃＝k·λ₂，μ₃＝k·μ₂被取代，就可以理解σ₃·ρ₂-σ₂·ρ₃将是这些小行列式的共同消失的因子。然后该行列式将用其他的小行列式进行计算。

在两个其他双点的情况下，上文揭示的方法将被应用到其他的两个完全相同的行中，为的是提取一个共同消失的因子。

现在参考图73，图中显示了一个将图71中显示的行列式分解成具有尺寸3的小行列式。这样的分解在三个点被置于同一个位置的情况下进行。例如，如果λ₃＝k·λ₂，μ₃＝k·μ₂，λ₃＝l·λ₂，μ₃＝l·μ₂，图73显示的小行列式将有(λ₂·μ₁-λ₁·μ₂)，(σ₂·ρ₁-σ₁·ρ₂)作为共同消失因子。通过从图73显示的小行列式消除这样的消失因子，就可以计算和x₁，x₂，x₃，x₄相关的每个系数。

现在参考图74，图中显示了图71显示的行列式分解为有尺寸4的小行列式。这样的分解在四点的情况，即四点被置于同一个位置的情况下进行。通过从图74显示的小行列式消除共同的消失因子，就可以计算和x₁，x₂，x₃，x₄相关的每个系数。

根据250步进行一个检查，为的是找出在选择的截面的选择的线上其他控制点是否可得到。

根据252步进行一个检查，为的是找出在选择的截面上其他线是否可得到。

根据254步进行一个检查，为的是找出其他截面是否可得到。如果没有其他截面可得到，将提供经计算的系数。

        根据本发明的优选实施例确定四次曲面的系数

本领域技术人员可以理解到，本实施例显示了根据本发明的优选实施例确定四次曲面的系数的一个实例。

如上所述以及在本发明的优选实施例中，由5个截面定义一个四次曲面。该定义四次曲面的5个截面显示在图35上。

图36显示15条线l_a，l_b，l_c，l_d，l_e，l_f，l_g，l_h，l_i，l_j，l_k，l_l，l_m，l_n，l_o。

第一截面包括在第一截面中选择的5条线l_a，l_b，l_c，l_d，l_e，如图37所示。第一截面的第一线包括4个极点及其相关的4个非极点。第一截面的第二线包括4个极点及其相关的4个非极点。第一截面的第三线包括3个极点及其相关的3个非极点。第一截面的第四线包括2个极点及其相关的2个非极点。第一截面的第五线包括1个极点及其相关的1个非极点。

第二截面包括在第二截面中选择的4条线l_f，l_g，l_h，l_i，如图38所示。第二截面的第一线包括4个极点及其相关的4个非极点。第二截面的第二线包括3个极点及其相关的3个非极点。第二截面的第三线包括2个极点及其相关的2个非极点。第二截面的第四线包括1个极点及其相关的1个非极点。

第三截面包括在第三截面中选择的3条线l_j，l_k，l_l，如图39所示。第三截面的第一线包括3个极点及其相关的3个非极点。第三截面的第二线包括2个极点及其相关的2个非极点。第三截面的第三线包括1个极点及其相关的1个非极点。

第四截面包括在第四截面中选择的2条线l_m，l_n，如图40所示。第四截面的第一线包括2个极点及其相关的2个非极点。第四截面的第二线包括1个极点及其相关的1个非极点。

第五截面包括在第五截面中选择的1条线l_o，如图41所示。第五截面的线包括1个极点及其相关的1个非极点。

根据图32的230步提供四次曲面的通用方程。

Z4＝z434x2x3³+z43x0²x1²+z49x1³x2+z414x1x2³+z416x0³x3+z431x2²x3²+z419x1³x3+z413x0x2³+z41²x1²x2²+z410x0²x2²+z46x0³x2+z428x1²x3²+z432x0x3³+z44x0x1³+z415x2⁴+z433x1x3³+z42x0³x1+z426x0²x3²+z425x+z41x0⁴+z435x3⁴+z47x0²x1x2+z45x1⁴+z48x0x1²x2+z411x0x1x2²+z417x0²x1x3+z418x0x1²+z420x0²x2x3+z422x1²x2x3+z423x0x2²x3+z424x1x2²x3+z427x0x1x3²+z429x0x2x3²+z430x1x2x3²+z421x0x1x2x3

根据232步计算极平面的表达式。极平面的表达式用如上所述的四次曲面的通用方程计算。

根据234步表述极性条件。极性表述如上所述地表达。

根据236步用λ，μ和ρ，σ进行变量的改变。

根据图32的238步计算四次曲面的极平面的表达式。极平面的结果表达式为：

4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0

式中：

α＝ρλ³；

β＝λ²(λσ+3μρ)；

γ＝λμ(λσ+μρ)；

δ＝μ²(3λσ+μρ)；

ε＝σμ³；

t₀＝z₄₃₅π₃ ⁴+z₄₃₄π₃ ³π₂+z₄₃₁π₃ ²π₂ ²+z₄₂₅π₃π₂ ³+z₄₁₅π₂ ⁴；

t₁＝(z₄₃₃π₃ ³+z₄₃₀π₃ ²π₂+z₄₃₁π₃ ²π₂ ²+z4₁₄π₂ ³)π₁+(z₄₃₂π₃ ³+z₄₂₉π₃ ²π₂+z₄₂₃π₃π₂ ²+z₄₁₃π₂ ³)π₀

t₂＝(z₄₂₈π₃ ²+z₄₂₂π₃π₂+z₄₁₂π₂ ²)π₁ ²+(z₄₂₇π₃ ²+z₄₂₁π₃π₂+z₄₁₁π₂ ²)π₀π₁+(z₄₂₆π₃ ²+z₄₂₀π₃π₂+z₄₁₀π₂ ²)π₀ ²

t₃＝(z₄₁₉π₃+z₄₉π₂)π₁ ³+(z₄₁₈π₃+z₄₈π₂)π₁ ²π0+(z₄₁₇π₃+z₄₇π₂)π₁π₀ ²+(z₄₁₆π₃+z₄₆π₂)π₀ ³；和

t₄＝z₄₅π₁ ⁴+z₄₄π₁ ³π₀+z₄₃π₁ ²π₀ ²+z₄₂π₁π₀ ³+z₄₁π₀ ⁴

在本发明的优选实施例中，Ψ_i，i＝0....14被定义为：

Ψ₀＝z₄₃₅π₃ ⁴+z₄₃₄π₃ ³π₂+z₄₃₁π₃ ²π₂ ²+z₄₂₅π₃π₂ ³+z₄₁₅π₂ ⁴；

Ψ₁＝z₄₃₃π₃ ³+z₄₃₀π₃ ²π2+z₄₂₄π₃π₂ ²+z₄₁₄π₂ ³；

Ψ₂＝z₄₃₂π₃ ³+z₄₂₉π₃ ²π₂+z₄₂₃π₃π₂ ²+z₄₁₃π₂ ³；

Ψ₃＝z₄₂₈π₃ ²+z₄₂₂π₃π₂+z₄₁₂π₂ ²；

Ψ₄＝z₄₂₇π₃ ²+z₄₂₁π₃π₂+z₄₁₁π₂ ²；

Ψ₅＝z₄₂₆π₃ ²+z₄₂₀π₃π₂+z₄₁₀π₂ ²；

Ψ₆＝z₄₁₉π₃+z₄₉π₂；

Ψ₇＝z₄₁₈π₃+z₄₈π₂；

Ψ₈＝z₄₁₇π₃+z₄₇π₂；

Ψ₉＝z₄₁₆π₃+z₄₆π₂；

Ψ₁₀＝z₄₅；

Ψ₁₁＝z₄₄；

Ψ₁₂＝z₄₃；

Ψ₁₃＝z₄₂；和

Ψ₁₄＝z₄₁。

本领域技术人员将理解，Ψ_i，i＝0....14表征了一个被选择的截面，因为它们仅取决于π₂和π₃；对于被选择的截面它们是固定的，而t_i，i＝0...14表征了特定截面的线，因为它们仅取决于π₀和π₁。

Ψ_i，i＝0....14相关于i＝0...14如下：

t₀＝Ψ₀；

t₁＝Ψ₁π₁+Ψ₂π₀＝Ψ₃π₁ ²+Ψ₄π₀π₁+Ψ₅π₀ ²；

t₃＝Ψ₆π₁ ³+Ψ₇π₁ ²π₀+Ψ₈π₁π₀ ²+Ψ₉π₀ ³；

t₄＝Ψ₁₀π₁ ⁴+Ψ₁₁π₁ ³π₀+Ψ₁₂π₁ ²π₀ ²+Ψ₁₃π₁π₀ ³+Ψ₁₄π₀ ⁴。

在下文中，Ψ_i ^J将指截面J的Ψ_i，t_ia将指线a的t_i。

根据图33的242步选择一个截面。在本发明的优选实施例中，选择第一截面。

第一截面的第一线(线a)

根据图33的244步选择一条线。在本发明的优选实施例中选择第一截面([a₀:a₁:0:0])的第一线。

根据246步选择一对点。通过将方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0应用到第一截面的第一线的所有极点和非极点，产生一个方程系统，Eq.1，该方程系统有t_i，i＝0...4，作为未知数。

分别相关于在方程系统Eq.1中添加行的每个元素的余因子x₀，x₁，x₂，x₃，x₄的线被添加到通用的方程系统Eq.2。

方程系统Eq.2显示在图42中。

从方程系统Eq.2，t_ia，i＝0...4被表达为Ψ_i ^I，i＝0...14的函数。

因此可以提供由Ψ_i ^I，i＝1...14满足的Ψ₀ ^I和方程。

第一截面的第二线(线b)

根据图33的244步选择第一截面的第二线。

根据246步选择一对点。通过将方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0应用到第一截面的第二线的所有极点和非极点，产生一个方程系统，Eq.3，该方程系统有t_ib，i＝0...4，作为未知数。

分别相关于在方程系统Eq.3中添加行的每个元素的余因子x₅，x₆，x₇，x₈，x₉的线被添加到该方程系统。

方程系统Eq.3显示在图43中。

从方程系统Eq.3，t_ib，i＝0...4被表达为Ψ_i ^I，i＝0...14的函数。用t_1a和t_1b的表达式产生方程系统Eq.4。

添加分别相关于在方程系统Eq.4中添加行的每个元素的余因子x₁₀，x₁₁，x₁₂的线以产生方程系统Eq.5。方程系统Eq.5显示在图44中。

用方程系统Eq.5可以提供Ψ₁ ^I和Ψ₂ ^I。

第一截面的第三线(线c)

根据图33的244步选择第一截面的第三线。

根据246步选择一对点。通过将方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0应用到第一截面的第三线的所有极点和非极点，产生一个方程系统Eq.6，该方程系统有t_ic，i＝0...4，作为未知数。

通过由t_ic，i＝0，1的依赖于Ψ_i ^I，i＝0...2的计算值替代t_ic，i＝0，1，以及通过添加分别相关于在方程系统中添加行的每个元素的余因子x₁₃，x₁₄，x₁₅，x₁₆的线产生方程系统Eq.7。方程系统Eq.7显示在图45中。然后可以提供t_ic，i＝2...4的表达式。

应用用第一截面的第一线，第二线和第三线产生的t_2i，i＝a...c的表达式，产生依赖于Ψ_i ^I，i＝3...5的方程系统Eq.8。在本发明的优选实施例中，余因子x₁₇，x₁₈，x₁₉，x₂₀的线添加到方程系统Eq.8，每个余因子分别相关于在方程系统Eq.8中添加行的每个元素。

方程系统Eq.8显示在图46中。

通过解方程系统Eq.8提供Ψ_i ^I，i＝3...5。

第一截面的第四线(线d)

根据图33的244步选择第一截面的第四线。

根据246步选择一对点。通过将方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0应用到第一截面的第四线的所有极点和非极点，产生一个方程系统Eq.9，该方程系统有t_ic，i＝0...4，作为未知数。

通过由t_id，i＝0...2的依赖于Ψ_i ^I，i＝0...5的计算值替代t_id，i＝0...2，以及通过添加分别相关于在方程系统Eq.9中添加行的每个元素的余因子x₂₁，x₂₂，x₂₃的线产生方程系统Eq.10。方程系统Eq.10显示在图47中。然后可以通过解方程系统Eq.10提供t_id，i＝3，4的表达式。

应用由第一截面的第一线，第二线，第三线和第四线产生的t_3i，i＝a...d的表达式，可以产生相关于Ψ_i ^I，i＝6...9的方程系统Eq.11

在本发明的优选实施例中，余因子x₂₄，x₂₅，x₂₆，x₂₇，x₂₈的线添加到方程系统Eq.11，每个余因子分别相关于在方程系统Eq.11中添加行的每个元素。所产生的方程系统Eq.11显示在图48中。

通过解方程系统Eq.11可以计算Ψ_i ^I，i＝6...9。

第一截面的第五线(线e)

根据图33的244步选择第一截面的第五线。

根据246步选择一对点。通过将方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0应用到第一截面的第五线的极点和非极点，产生方程系统Eq.12。

应用由第一截面的第一线，第二线，第三线和第四线产生的Ψ_i ^I，i＝0...9可以引进y_i，i＝3...5。在应用到第五线的方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0中替代y_i，i＝3...5以及应用t_4i，i＝a...d的表达式，可以在Ψ_i ^I，i＝0...9上产生方程系统Eq.13。

分别相关于添加行的每个元素的余因子x₂₉，x₃₀，x₃₁，x₃₂，x₃₃，x₃₄的线被添加到方程系统Eq.13。结果的方程系统Eq.14显示在图49中。

解方程系统Eq.14提供Ψ_i ^I，i＝10...14。

因此可以理解，现在Ψ_i ^I，i＝0...14被全部定义。然后本领域技术人员将理解到，在第一截面中提供系数z₄₅，z₄₆，z₄₇，z₄₈。

根据图33的254步选择一个新截面，因为在当前的截面中没有其他的线可得到。在优选实施例中以及如上所述，在处理第一截面以后选择第二截面。

第二截面的第一线(线f)

根据图33的244步选择第二截面的第一线。

根据246步选择一对点。通过将方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0应用到第二截面的第一线的所有极点和非极点，产生一个方程系统Eq.15，该方程系统有t_if，i＝0...4，作为未知数。T_4f用来自第一截面的结果计算，如本领域技术人员注意的那样。

然后定义y₆。

因此用方程系统Eq.15产生一个新方程系统Eq.16。

分别和添加行的每个元素相关的余因子x₃₅，x₃₆，x₃₇，x₃₈，x₃₉的线被添加到方程系统Eq.16。结果的方程系统Eq.17显示在图50中。

通过解图50中显示的方程系统Eq.17可以计算Ψ₀ ^II。t_if，i＝1...3的表达式也可以得到。

第二截面的第二线(线g)

根据图33的244步选择第二截面的第二线。

根据246步选择一对点。

通过将方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0应用到第二截面的第二线的所有极点和非极点，产生一个方程系统Eq.18，该方程系统有t_if，i＝0...4，作为未知数。引进y₇以提供t_4g。

然后在方程系统Eq.18中替代t_0g和t_4g。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₄₀，x₄₁，x₄₂，x₄₃的线被添加到方程系统Eq.18。结果的方程系统Eq.19显示在图51中。

通过解图51中显示的方程系统Eq.19可以提供t_ig，i＝1...3的表达式。

t_1g和t_if的表达式被用于产生一个新的方程系统Eq.20。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₄₄，x₄₅，x₄₆的线被添加到方程系统Eq.20。结果的方程系统Eq.21显示在图52中。

通过解方程系统Eq.21可以提供Ψ_i ^II，i＝1...2。

第二截面的第三线(线h)

根据图33的244步选择第二截面的第三线。

根据246步选择一对点。

通过将方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0应用到第二截面的第三线的所有极点和非极点，产生一个方程系统Eq.22，该方程系统有t_ih，i＝0...4，作为未知数。

t_ih，i＝0，1用先前计算的Ψ_i ^II，i＝1，2计算。t_4h用先前的截面计算进行计算。用t_4h引进y₈。还引进y₉。

然后在方程系统Eq.22中替代y₈和y₉。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₄₇，x₄₈，x₄₉的线被添加到方程系统Eq.22。结果的方程系统Eq.23显示在图53中。

然后得到t_ih，i＝2，3的表达式。

然后用t_2i，i＝f，g，h产生方程系统Eq.23。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₅₀，x₅₁，x₅₂，x₅₃的线被添加到方程系统Eq.23。结果的方程系统Eq.24显示在图54中。解结果的方程系统Eq.24提供Ψ_i ^II，i＝3...5。

第二截面的第四线(线i)

根据图33的244步选择第二截面的第四线。

根据246步选择一对点。

通过将方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0应用到第二截面的第四线的极点和非极点，产生一个方程系统Eq.25。

引进y_i，i＝10...12。然后Ψ_i ^II，i＝0...2被注入方程Eq.25。

然后t_3i，i＝f，g，h，i被用于产生方程系统Eq.26。

然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₅₄，x₅₅，x₅₆，x₅₇，x₅₈的线被添加到方程系统Eq.26。结果的方程系统Eq.27显示在图55中。

解方程系统Eq.27提供Ψ_i ^II，i＝6...9。

然后Ψ₆ ⁱ，i＝I...II被用于产生方程系统Eq.28，该方程系统有z₄₁₉，z₄₉作为未知数。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₅₉，x₆₀，x₆₁的线被添加到方程系统Eq.28。结果的方程系统Eq.29显示在图56A中。解方程系统Eq.29提供z₄₁₉，z₄₉。

然后Ψ₇ ⁱ，i＝I...II被用于产生方程系统Eq.30，该方程系统有z₄₁₈，z₄₈作为未知数。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₆₂，x₆₃，x₆₁的线被添加到方程系统Eq.30。结果的方程系统Eq.31显示在图56B中。解方程系统Eq.31提供z₄₁₈，z₄₈。

然后Ψ₈ ⁱ，i＝I...II被用于产生方程系统Eq.32，该方程系统有z₄₁₇，z₄₇作为未知数。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₆₄，x₆₅，x₆₁的线被添加到方程系统Eq.32。结果的方程系统Eq.33显示在图56C中。解方程系统Eq.33提供z₄₁₇，z₄₇。

然后Ψ₉ ⁱ，i＝I...II被用于产生方程系统Eq.34，该方程系统有z₄₁₆，z₄₆作为未知数。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₆₆，x₆₇，x₆₁的线被添加到方程系统Eq.34。结果的方程系统Eq.35显示在图56D中。解方程系统Eq.35提供z₄₁₆，z₄₆。

从第二截面的前述的方程可以提供Ψ_i ^II，i＝1...14。

根据图33的254步选择一个新截面，因为在当前的截面中没有其他的线可得到。在解该第二截面以后选择第三截面。

第三截面的第一线(线j)

本领域技术人员将会理解到，已知Ψ_i ^II，i＝6...14，因为它们取决于先前计算的系数。

根据图33的244步选择第三截面的第一线。

根据246步选择一对点。

然后计算t_3j，t_4j并在方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0中将其替代。

然后引进y_i，i＝13...16。

然后用第三截面的第一线的极点和非极点产生方程系统Eq.36。

然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₆₈，x₆₉，x₇₀，x₇₁的线被添加到方程系统Eq.36。结果的方程系统显示在图57中。

然后用结果的方程系统提供t_ij，i＝0...2的表达式。

第三截面的第二线(线k)

根据图33的244步选择第三截面的第二线。

根据246步选择一对点。

然后和方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0一起用第三截面的第二线的极点和非极点产生方程系统Eq.37。然后用t_ik，i＝0，3，4引进y_i，i＝17...20。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₇₂，x₇₃，x₇₄的线被添加到方程系统Eq.37。结果的方程系统Eq.38显示在图58中。

然后用方程系统Eq.38提供t_ik，i＝1...2的表达式。

用t_Ii，i＝j，k可以产生一个方程系统Eq.39，该方程系统有Ψ_i ^III，i＝1，2，作为未知数。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₇₅，x₇₆，x₇₇的线被添加到方程系统Eq.39。结果的方程系统Eq.40显示在图59中。解方程系统Eq.40可以提供Ψ_i ^III，i＝1，2。

第三截面的第三线(线l)

根据图33的244步选择第三截面的第三线。

根据246步选择一对点。

然后和方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0一起应用第三截面的第三线的极点和非极点。

然后将t_il，i＝0...4注入该方程。

用t_2i，i＝j，k和该方程产生方程系统Eq.41。

然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₇₈，x₇₉，x₈₀，x₈₁的线被添加到方程系统Eq.41。结果的方程系统Eq.42显示在图60中。

用方程系统Eq.42可以产生Ψ_i ^III，i＝3...5。

用Ψ₃ ⁱ，i＝I...III可以产生方程系统Eq.43，该方程系统将被用于计算z₄₂₂，z₄₂₈，z₄₁₂。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₈₂，x₈₃，x₈₄，x₈₅的线被添加到方程系统Eq.43。结果的方程系统Eq.44显示在图61A中。解方程系统Eq.44提供z₄₂₂，z₄₂₈，z₄₁₂的表达式。

用Ψ₄ ⁱ，i＝I...III可以产生方程系统Eq.45，该方程系统将被用于计算z₄₂₇，z₄₂₁，z₄₁₁。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₈₅，x₈₇，x₈₈，x₈₅的线被添加到方程系统Eq.45。结果的方程系统Eq.46显示在图61B中。解方程系统Eq.46提供z₄₂₇，z₄₂₁，z₄₁₁的表达式。

用Ψ₅ ⁱ，i＝I...III可以产生方程系统Eq.47，该方程系统将被用于计算z₄₂₆，z₄₂₀，z₄₁₀。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₈₉，x₉₀，x₉₁，x₈₅的线被添加到方程系统Eq.47。结果的方程系统Eq.48显示在图61C中。解方程系统Eq.48提供z₄₂₆，z₄₂₀，z₄₁₀的表达式。

根据图33的254步选择一个新截面，因为在当前的截面没有其他线可以得到。在优选实施例中以及如上所述，在解第三截面以后选择第四截面。

第四截面的第一线(线m)

本领域技术人员将理解到，从先前的计算已知Ψ_i ^IV，i＝3...14。

根据图33的244步选择第四截面的第一线。

根据246步选择一对点。

然后将极点和非极点应用到方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0中产生方程系统Eq.49，该方程系统有t_im，i＝0，1作为未知数。

然后引进y_i，i＝33...35。

然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₉₂，x₉₃，x₉₄的线被添加到方程系统Eq.49。结果的方程系统Eq.50显示在图62中。

解方程系统Eq.50提供t_im，i＝0，1

第四截面的第二线(线n)

根据图33的244步选择第四截面的第二线。

根据246步选择一对点。

然后将第四截面的第二线的极点和非极点应用到方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0中产生新方程Eq.51。

该新方程Eq.51和先前的方程t_2m组合而产生方程系统Eq.52，该方程系统有Ψ_i ^IV，i＝1，2作为未知数。

然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₉₅，x₉₆，x₉₇的线被添加到方程系统Eq.52。结果的方程系统Eq.53显示在图63中。

用结果的方程系统Eq.53提供Ψ_i ^IV，i＝1，2的表达式。

然后可以用Ψ₁ ⁱ，i＝I...IV和Ψ₂ ^j，j＝I...IV计算z₄₃₃，z₄₃₀，z₄₂₄，z₄₁₄，z₄₃₂，z₄₂₉，z₄₂₃，z₄₁₃。

用Ψ₁ ⁱ，i＝I...IV产生方程系统Eq.54。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₉₈，x₉₉，x₁₀₀，x₁₀₁，x₁₀₂的线被添加到方程系统Eq.54。结果的方程系统Eq.55显示在图64A中。

解方程系统Eq.55提供z₄₃₃，z₄₃₀，z₄₂₄，z₄₁₄。

用Ψ₂ ⁱ，i＝I...IV产生方程系统Eq.56。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₁₀₃，x₁₀₄，x₁₀₅，x₁₀₆，x₁₀₇的线被添加到方程系统Eq.56。结果的方程系统Eq.57显示在图64B中。

解方程系统Eq.57提供x₁₀₃，x₁₀₄，x₁₀₅，x₁₀₆，x₁₀₇，z₄₃₂，z₄₂₉，z₄₂₃，z₄₁₃。

根据图33的254步选择一个新截面，因为在当前的截面没有其他线可以得到。在优选实施例中以及如上所述，在解第四截面以后选择第五截面。

第五截面的第一线(线o)

本领域技术人员将会理解到，现在已知Ψ_i ^V，i＝1...14。

根据246步选择一对点。

然后将极点和非极点应用到方程4αt₀+βt₁+2γt₂+δt₃+4εt₄＝0中产生新方程Eq.58。

现在引进y_i，i＝48...51。

用t_0o的表达式和Ψ₀ ⁱ，i＝I...IV可以产生方程系统Eq.59，该方程系统有z₄₃₅，z₄₃₄，z₄₃₁，z₄₂₅，z₄₁₅作为未知数。然后分别和添加行的每个元素相关的余因子x₁₀₇，x₁₀₈，x₁₀₉，x₁₁₀，x₁₁₁，x₁₁₂的线被添加到方程系统Eq.59。结果的方程系统Eq.60显示在图65中。

解该方程系统提供z₄₃₅，z₄₃₄，z₄₃₁，z₄₂₅，z₄₁₅的表达式。

现在本领域技术人员将理解到，现在四次曲面的所有系数都已确定。

极性关系

可以理解，由方程0表述的极性条件可以另外表述。

如上所述，代数表达式取决于x₀，x₁，x₂，x₃，即F(x₀，x₁，x₂，x₃)＝0。可以理解，通过首先计算F(λY+μZ)，其中Z是另一个点，然后在结果的方程中进行由λ^n-1·μ_i(i＝0...n)进行的因子分解而可以获得有关第一点Y的代数表面的Taylor展开。R＝λY+μZ被定义为一个非极点。

有关第一点Y的代数表面的Taylor展开为

$F(\mathrm{\λY}+\mathrm{\μZ})=\underset{i=0}{\overset{i=n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{i!}{\mathrm{\λ}}^{n-i}{\mathrm{\μ}}^i{\mathrm{\Δ}}^i\mathrm{zF}\left(Y\right)$

然后：

${\mathrm{\Δ}}^i\mathrm{zF}\left(Y\right)=\underset{l+m+n+l=i}{\mathrm{\Σ}}\frac{i!}{l!m!n!k!}{z}_0^l{z}_1^m{z}_2^n{z}_3^k\frac{{\∂}^{i}F\left(Y\right)}{{\∂x}_0^l{\∂x}_1^m{\∂x}_2^n{\∂x}_3^k}$

极点可以由C＝ρY+σZ定义。

通过在后一个方程中用R替代Y，用C替代Z，可以确定Δ^pcF(R)。通过将Δ^pcF(R)识别为 $\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}^{p}n,{\mathrm{it}}_i,$ 其中 $t_i=\frac{1}{i!}{\mathrm{\Δ}}^i\mathrm{zF}\left(Y\right),$ 可以提供α^p _n，i，其中p是极性的次数。然后可以产生极点和非极点之间的关系。

现在参考图66，图66中显示了对于z^pn的α^p _n，1，α^p _n，2，α^p _n，3，α^p _n，4，该图表示表征对于p次极性的一条直线的方程。在本技术领域熟练的人员将理解，因此可以用极性的很多表达式。

现在参考图67，图中显示了一个1次极表面的一个视图。更具体地说，图中显示了一个和一个位于极表面上的极点和一个非极点在一起的四次曲面。

现在参考图68，图中显示了一个2次极平面的一个视图。更具体地说，图中显示了一个和两个极点和一个非极点在一起的四次曲面，该两个极点中的每一个都位于该2次极平面上。

现在参考图69，图中显示了一个3次极平面的一个视图。更具体地说，图中显示了一个和三个位于3次极平面上的极点和一个非极点在一起的四次曲面。

一个现存表面的变形

在另一个实施例中，本发明被用于由操作者进行一个现存物体的变形。该物体已经用本发明产生或未产生。

根据第一步，操作者选择一个描绘该物体或该物体的被研究部分的图形的次数。根据所选择的次数，必须放置如上所述的用于定义描绘该物体或该物体的被研究部分的图形的若干数量的控制点。

根据第二步，操作者提供一个参考单体。该参考单体被放置在有利的位置，取决于操作者希望在该物体上产生的变形的类型。

根据第三步，操作者将至少一个控制点放置在一个有利的位置，取决于操作者希望在该物体上产生的变形的类型。

根据第四步，操作者进行用该控制点产生的图形的变形。

在一个替代的实施例中，操作者通过将参考单体放置在一个有利的位置以及放置物体的控制点，并且通过根据所需要的变形操纵至少一个控制点而在物体上直接进行变形。

Claims (12)

1.一种用一个方程的代数系数产生一个m次图形的方法，该方程用多个定义该图形的点定义在一个n维空间中的该m次图形，该方法包括以下步骤：

提供一个构架，该构架包括多于一个的几何表面，该多于一个的几何表面中的每一个都包括至少一条线，该至少一条的线中的每一条都包括该多个点中的至少一个点；

用定义该m次图形的方程提供一个解方程，该解方程取决于至少三个点；

对于多个点中的每一个点，通过将所述解方程应用到多个点中的每个点和两个选定的点，产生一个相应的方程，所述两个选定的点位于多个几何表面中的一个表面上，所述两个选定的点定义该构架的线，多个点中的每一个点都在该线上；

以互相作用的方式解所产生的相应方程以提供该m次图形的代数系数，该互相作用的方式存在于用该多个点中的每一个点按一定的顺序处理所产生的方程之中，该一定的顺序存在于选择所产生的相应方程之中，该相应方程相应于位于线上的一个点，该线具有最高数量的在其上的点，而该线位于该构架的至少一个几何表面上，几何表面上有该最高数量的线；

用提供的该m次图形的代数系数产生m次图形。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于：其中，一个点可以是一个极点或一个非极点，该解方程用定义该m次图形和一个极性关系的方程产生，该解方程取决于四个点，四个点中的两个点为一个极点及其相关的非极点，四个点中的另两个点定义该架构的线，极点及其相关的非极点在该线上。

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于：其中，多于一个的几何表面是平面。

4.如权利要求1所述的方法，其特征在于：其中，n维空间是一个投影空间。

5.如权利要求1所述的方法，其特征在于：其中，几何空间是一个(n+1)维欧氏空间。

6.如权利要求1所述的方法，其特征在于：进一步包括将m次图形的代数系数和一个识别符一起储存的步骤。

7.如权利要求4所述的方法，其特征在于：其中，投影空间是一个4维空间，其中所述图形在3维几何空间中。

8.如权利要求1所述的方法，其特征在于：其中，用所提供的m次图形的代数系数产生m次图形用一种射线跟踪技术进行。

9.一种用一个方程的代数系数产生一个m次图形的设备，该方程用多个定义该图形的点定义该在一个n维空间中的m次图形，该设备包括：

一个物体存储器，该物体包括多于一个的几何表面，该多于一个的几何表面中的每一个都包括至少一条线，该至少一条的线中的每一条都包括该多个点中的至少一个点；

一个控制点到代数系数转换器单元，该控制点到代数系数转换器单元接收该多个点中的每一个点以及一个用定义该m次图形的方程定义的并取决于至少三个点的解方程，该控制点到代数系数转换器单元通过将该解方程应用到该多个点中的每一个点以及位于多于一个的几何表面中的一个之上的两个点而产生一个相应的方程，该两个经选择的点定义该构架的线，多个点中的每一个点都在该线上，以及以互相作用的方式解所产生的相应方程以提供该m次图形的代数系数；该互相作用的方式存在于用该多个点中的每一个点按一定的顺序处理所产生的方程之中，该一定的顺序存在于选择所产生的相应方程之中，该相应方程相应于位于线上的一个点，该线具有最高数量的在其上的点，而该线位于该构架的至少一个几何表面上，几何表面上有该最高数量的线；和

一个输出单元，出单元接收所提供的m次图形的代数系数并形成该m次图形。

10.如权利要求9所述的设备，其特征在于：其中，输出单元包括一个射线跟踪单元，该射线跟踪单元进一步接收一个视图信号点。

11.一种用一个方程的代数系数监视一个m次图形的变形的方法，该方程用多个定义该图形的点定义该在一个n维空间中的m次图形，该方法包括步骤如下：

根据计划的图形的修改提供一个构架，该构架包括多于一个的几何表面，该多于一个的几何表面中的每一个都包括至少一条线，该至少一条的线中的每一条都包括该多个点中的至少一个点；

根据计划的图形的修改修改提供的构架的至少一个部分；

用定义该m次图形的方程提供一个解方程，该解方程取决于至少三个点；

对于该多个点中的每一个点通过将该解方程应用到该多个点中的每一个点以及位于多于一个的几何表面中的一个之上的两个点而产生一个相应的方程，该两个经选择的点定义该构架的线，多个点中的每一个点都在该线上；

以互相作用的方式解所产生的相应方程以提供该m次图形的代数系数；该互相作用的方式存在于用该多个点中的每一个点按一定的顺序处理所产生的方程之中，该一定的顺序存在于选择所产生的相应方程之中，该相应方程相应于位于线上的一个点，该线具有最高数量的在其上的点，而该线位于该构架的至少一个几何表面上，几何表面上有该最高数量的线；

输出该经修改的图形的代数系数。

12.如权利要求11所述的方法，进一步包括用输出的经修改的m次图形的代数系数产生经修改的m次图形的步骤。

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