CN111855458B - 一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及电子封装纳米力学性能测试技术领域，具体涉及一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法。具体技术方案为：一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法，使用纳米压头在多孔材料基体上进行多次压痕，得到多个位移‑载荷曲线，去除误差大的曲线，将其余的曲线进行平均曲线拟合，得到平均曲线，取平均曲线的平均弹性模量作为实验弹性模量E；然后确定特征应力σ_r，并根据无量纲函数确定硬化指数n；再确定特征应变ε_r和确定屈服应力σ_y；最终根据硬化指数n、屈服应力σ_y和弹性模量E得出本构曲线。本发明解决了现有技术中材料属性与应力应变曲线不是一一对应的关系，以及在仿真时迭代次数较多，所花时间较长的问题。

Description

一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法

技术领域

本发明涉及电子封装纳米力学性能测试技术领域，具体涉及一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法。

背景技术

纳米压痕技术是评价涂层和薄膜材料力学性能的一种有效方法。压痕载荷和位移图作为一种先进的微/纳米尺度力学测试技术，被广泛应用于材料力学性能的研究。纳米压痕响应本质上与弹塑性各向同性材料通过不同压痕类型的纳米压痕的应力-应变曲线有关，材料的弹性模量、硬度和塑性可以通过压痕曲线来确定，通常现有的基于有限元模拟的分析方法可分为正演分析和反演分析两大类。正演分析是指在不借助有限元模拟的情况下，根据材料的一系列已知力学参数，预测材料的P-h曲线。正演分析是相当直接的，因为材料的性质是可用的，通常可以很好地验证有限元模型的计算精度。相反，反演分析是指根据已知的压痕P-h曲线来确定材料的力学性能，通常采用更为复杂的方法来研究。但显然，反演分析的作用更大，因为在工程实践中，一些材料的力学性能一直是未知的。

此外，根据是否采用无量纲分析理论，反演分析方法可以归纳为两类。一是首先将有限元模拟结果与实验结果进行比较，调整参数，直至拟合误差可接受，最终达到材料的力学性能。在纳米压痕研究的早期阶段，这种基于反向分析的方法得到了广泛的应用。但其数值误差可能无法很好地控制，预测材料参数的正确性在很大程度上取决于输入材料参数的正确性，因此经常出现唯一性问题，材料与应力-应变曲线不是一一对应的关系，并且在仿真时迭代次数较多，所花时间较长。二是首先进行无量纲分析，将有限元结果与无量纲函数联系起来，形成一系列非线性拟合方程，通过计算这些无量纲方程，最终确定材料的力学本构关系。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供了一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法，解决了现有技术中经常出现的唯一性问题，即材料属性与应力应变曲线不是一一对应的关系，以及在仿真时迭代次数较多，所花时间较长的问题。

为实现以上目的，本发明通过以下技术方案予以实现：

本发明公开了一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法，包括以下步骤：

(1)使用纳米压头在多孔基体材料上进行多次压痕，得到多个位移-载荷曲线，去除误差大的曲线，将其余的曲线进行平均曲线拟合，得到平均曲线，将平均曲线作为实验曲线，取平均曲线的平均弹性模量作为实验弹性模量E；

(2)特征应力σ_r的确定：假设两个极端特征应力，采用二分法连续进行有限元模拟，直至有限元模拟得到的位移-载荷曲线与步骤(1)得到的实验曲线完全一致，从而确定特征应力；

(3)根据无量纲函数确定硬化指数n；

(4)特征应变ε_r的确定：假设特征应变的范围，采用二分法连续进行有限元模拟，直到有限元模拟的位移-载荷曲线与步骤(1)得到的实验曲线完全一致，从而确定特征应变；

(5)确定屈服应力σ_y；

(6)根据上述步骤计算得到的硬化指数n、屈服应力σ_y和弹性模量E得出本构曲线。

优选的，所述纳米压头为Berkovich压头，压头边缘和中心之间的角线为65.3°和77.05°。

优选的，硬化指数n的公式如下：

式中，A＝0.010100×n²+0.0017639×n-0.0040837，

B＝0.14386×n²+0.018153×n-0.088198，

C＝0.59505×n²+0.03407×n-0.65417，

D＝0.58180×n²-0.088460×n-0.67290；

h_r为步骤(2)中的位移-载荷曲线的残余深度。

优选的，

式中，Ei为纳米压头的杨氏模量；

V为基体材料的泊松比；

Vi为纳米压头的泊松比。

优选的，屈服应力σ_y的公式如下：

式中，R为硬化系数。

优选的，硬化系数R的公式为：

本发明具备以下有益效果：

1.本发明相对与正演分析来说，基于纳米力学相关理论的纳米多孔材料本构关系的求解方法更适用于工程上，并且更适用于未知材料属性的测定，而且方法更加简单。而且，本发明中得到的位移-载荷曲线与实验已知的曲线是完全重合的，从而使得到的未知材料参数是完全一样的，精确性好。

2.本发明面向封装材料，并且不会出现唯一性问题(唯一性问题是指：多种材料的材料属性可能对应同一种应力应变关系)；而且，在仿真中迭代次数少，所用的时间较少；相对于现有的方法拟合的情况更好，材料属性与应力-应变曲线是一一对应的关系。并且，在材料的弹性模量已知的情况下，通过一次压痕就可以得到想要的材料属性。

附图说明

图1为本发明结构示意图；

图2为Sn-Bi合金的压痕响应曲线；

图3为Sn-Bi合金的压痕随深度变化的弹性模量曲线；

图4为实施例中特征应力确定图；

图5为实验曲线Test 002与特征应力为80MPa输出的P-h曲线的对比；

图6为硬化指数确定图；

图7为实验曲线Test 002与特征应变为0.027输出的P-h曲线的对比；

图8为屈服应力的确定；

图9不同参数下反推出的本构曲线；

图10为经过有限元仿真得出的荷载-位移曲线；

图11为材料的应力应变曲线。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

若未特别指明，实施举例中所用的技术手段为本领域技术人员所熟知的常规手段。

本发明公开了一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法，基本原理是根据abaqus软件，先后根据二分法推算出特征应力和特征应变，之后算出屈服应力，最后便可反推出该种材料的本构关系。

具体包括以下步骤：

(1)参考图1所示，使用纳米压头在多孔材料基体上进行多次压痕，得到多个(或一系列)位移-载荷曲线，去除误差较大或有明显偏差的曲线，将其余的曲线进行平均曲线拟合，具体为在origin软件里进行平均曲线拟合，得到平均曲线，将平均曲线作为实验曲线，取平均曲线的平均弹性模量作为实验弹性模量E；其中，纳米压头为Berkovich压头，压头边缘和中心之间的角线为65.3°和77.05°。

(2)特征应力σ_r的确定：假设多孔材料基体为弹塑性材料，初始屈服应力为特征应力，则可以忽略特征应变的大小。假设两个极端特征应力，采用二分法连续进行有限元模拟，直至有限元模拟得到的位移-载荷曲线与步骤(1)得到的实验曲线完全一致，从而确定特征应力；应该理解的是：各种材料的特征应力的大概范围是清楚的，比如0-1000MPa，先假设特征应力为500MPa，放入有限元仿真软件中，导出位移-载荷曲线，将该曲线跟已知的实验曲线进行对比，如有差距，再在0-500MPa或者500MPa-1000MPa选取一个数，反复进行二分法，最终确定特征应力，特征应变的确定也是如此。

(3)根据无量纲函数确定硬化指数n，公式如下：

式中，A＝0.010100×n²+0.0017639×n-0.0040837，

B＝0.14386×n²+0.018153×n-0.088198，

C＝0.59505×n²+0.03407×n-0.65417，

D＝0.58180×n²-0.088460×n-0.67290；

h_r为步骤(2)中导出的位移-载荷曲线的残余深度，根据已知的实验曲线，便可测出残余深度h_r。残余深度是位移-载荷曲线中完全卸载后的位移，如图10所示，图10中，W_e为弹性功，W_p为塑性功，W_total为压痕中的总功，其值等于W_e和W_p之和。最大荷载所对应的位移为最大位移h_m，完全卸载时的位移为残余位移h_r，另外在刚刚进入卸载时(最大荷载处)的斜率为刚度S。

式中，Ei为纳米压头的杨氏模量；

V为基体材料的泊松比；

Vi为纳米压头的泊松比。

上述公式(1)适用于分析由Berkovich压头，并且压头边缘和中心之间的角线是65.3°和77.05°。

(4)特征应变ε_r的确定：特征应变的确定过程与特征应力的确定类似，通过提供特征应变的可能范围，采用二分法连续进行有限元模拟，调整特征应变的值，直到有限元模拟的位移-载荷曲线与步骤(1)得到的实验曲线完全一致，从而确定特征应变；需要注意的是：与理想弹塑性不同，因幂律函数可以用来描绘金属及其合金的塑性行为，所以此步骤中本构特性是基于幂律函数模型进行估计的。

(5)确定屈服应力σ_y，公式如下：

式中，R为硬化系数，公式为：

应理解为：总应变包括两部分ε_p和ε_y，ε_p代表总应变的非线性部分，参考图11所示，而且，ε_y很小，相对于ε_p来说可以忽略不计；图11中，在σ≤σ_y时属于弹性阶段，σ＞σ_y之后为弹塑性阶段，屈服应力σ_y所对应的应变为ε_y，特征应力σ_r对应的应变为特征应变ε_r，ε_p代表总应变的非线性部分。

(6)根据上述步骤计算得到的硬化指数n、屈服应力σ_y和弹性模量E得出本构曲线。

实施例

参考图2和图3，根据桂林电子科技大学提供的关于Sn-Bi合金压痕方法测试的响应曲线和随深度变化的弹性模量曲线，本发明采用了图2实验曲线中的Test 001和Test002进行反演计算，弹性模量通过图3进行平均确定。

在上述基础上，本发明以Test 002压痕结果为例，开展的详细反演分析，具体步骤如下：

(1)先确定特征应力σ_r，如图4所示，假设多孔材料基体为理想弹塑性，给定两个极端特征应力，采用二分法连续进行有限元模拟，直至有限元模拟得到的位移-载荷曲线与实验曲线完全一致，从而确定特征应力σ_r＝80MPa，结果如图5所示。图4中，ε_y为应力去到屈服应力时对应的应变。(σ＝Rεⁿ就是图4所描述的图形，σ_r＝Rε_r ⁿ是当应力为σ_r时(σ_r对应的应变为ε_r)的一个点的关系式，同理，σ＝Eε为前半部分线性的阶段，σ_y＝Eε_y是ε为ε_y时的一个点的关系式)。

(2)根据无量纲函数确定硬化指数n，结果如图6所示，根据上述公式(1)求解，硬化指数n＝0.305。

(3)确定特征应变ε_r，方法与确定特征应力σ_r的方法相同，确定的特征应变ε_r＝0.027，结果如图7所示。

(4)确定屈服应力σ_y，在确定特征应变的值之后，可根据公式(2)推算出屈服应力为20.5MPa，结果如图8所示。

图8中式(2)的右边指的是

这个函数表达式，该表达式的曲线与80MPa的交点就是屈服应力的解。

(5)根据上述步骤计算出的硬化指数n、屈服应力σ_y以及已知的弹性模量E，可画出反推的本构曲线，再根据本构曲线得到材料的屈服应力和弹性模量以及材料的应力应变关系。

对比例

采用图2实验曲线中的Test 001作为对照实验曲线，采用上述实施例的方法得出n＝0.254，特征应力为80MPa，特征应变为0.029，屈服应力为26.8MPa，并且Test001和Test002的曲线差别主要是残余压痕深度和最大压痕深度不同，因此导致本构模型反演计算时参数n的取值不同，参考图9，图9为以Test 002和Test 001为对照试验曲线时所反推的本构曲线。

以上所述的实施例仅是对本发明的优选方式进行描述，并非对本发明的范围进行限定，在不脱离本发明设计精神的前提下，本领域普通技术人员对本发明的技术方案做出的各种变形和改进，均应落入本发明权利要求书确定的保护范围内。

Claims (3)

1.一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)使用纳米压头在多孔基体材料上进行多次压痕，得到多个位移-载荷曲线，去除误差大的曲线，将其余的曲线进行平均曲线拟合，得到平均曲线，将平均曲线作为实验曲线，取平均曲线的平均弹性模量作为实验弹性模量E；所述纳米压头为Berkovich压头，压头边缘和中心之间的角线为65.3°和77.05°；

(2)特征应力σ_r的确定：假设两个极端特征应力，采用二分法连续进行有限元模拟，直至有限元模拟得到的位移-载荷曲线与步骤(1)得到的实验曲线完全一致，从而确定特征应力；

(3)根据无量纲函数确定硬化指数n，硬化指数n的公式如下：

式中，A＝0.010100×n²+0.0017639×n-0.0040837，

B＝0.14386×n²+0.018153×n-0.088198，

C＝0.59505×n²+0.03407×n-0.65417，

D＝0.58180×n²-0.088460×n-0.67290；

hr为步骤(2)中的位移-载荷曲线的残余深度；

hm为最大载荷对应的最大位移；

式中，Ei为纳米压头的杨氏模量；

V为基体材料的泊松比；

Vi为纳米压头的泊松比；

(4)特征应变ε_r的确定：假设特征应变的范围，采用二分法连续进行有限元模拟，直到有限元模拟的位移-载荷曲线与步骤(1)得到的实验曲线完全一致，从而确定特征应变；

(5)确定屈服应力σ_y；

(6)根据上述步骤计算得到的硬化指数n、屈服应力σ_y和弹性模量E得出本构曲线。

2.根据权利要求1所述的一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法，其特征在于：屈服应力σ_y的公式如下：

式中，R为硬化系数；总应变包括两部分ε_p和ε_y，ε_p代表总应变的非线性部分。

3.根据权利要求2所述的一种基于纳米压痕理论的多孔材料本构关系求解方法，其特征在于：硬化系数R的公式为：

式中，ε_y代表屈服应力σ_y所对应的应变。

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