CN111737835B - 基于三周期极小曲面的三维多孔散热结构的设计与优化方法 - Google Patents

Abstract

基于三周期极小曲面的三维多孔散热结构的设计与优化方法，属于计算机辅助设计领域。首先，通过三周期极小曲面的隐式函数表示来建立多孔结构。其次，根据稳态热传导方程，将散热问题转化为在给定约束条件下散热弱度的最小化问题。然后，利用全局‑局部插值的方法直接求解参数函数。最后，对建模问题进行周期优化和壁厚优化,得到了具有光滑周期和壁厚变化的优化后的多孔鞘状结构。本发明的多孔结构大大改善了散热性能、热传导的效率和效能。本发明设计的多孔结构具有光滑性、全连通性、可控性、准自支撑性等特性，这些特质确保了该类结构的适用性和可制造性，适用于3D打印制造方法，打印过程的内部结构无需额外支撑，节省打印时间和打印材料。

Description

基于三周期极小曲面的三维多孔散热结构的设计与优化方法

技术领域

本发明属于工程设计与制造领域，涉及一种三维多孔散热结构设计与优化方法，适用于各种大型工程机械的散热结构，汽车等散热器，以及燃具相关部件。

背景技术

如何构造轻质、高效的散热结构在各个工程领域受到了广泛的关注。传统的散热器结构不能达到较高的导热效率。通过对多孔结构的研究，可以有效地提高结构的导热性能，然而，表示和优化方法成为制约其进一步发展的技术瓶颈。

传统的散热结构设计，依靠热学的基本理论和实际经验，难以解决复杂结构的散热问题。随后，出现了利用树状拓扑结构、桁架/框架结构、微结构等多孔结构的拓扑优化方法来处理上述问题，这些多孔结构可用于计算冷却通道的高自由度拓扑结构。然而，这些方法有一个共同的问题，它们需要大量的设计变量，并且由于耗时的重新网格化，优化的代价是昂贵的。

近年来，基于三周期极小曲面的多孔结构在组织工程技术、轻量化制造、生物医学等领域得到了广泛的应用。基于三周期极小曲面的多孔结构具有良好的连通性、易控制、高比强度和刚度等优点。基于三周期极小曲面的多孔结构(特别是对于大型复杂的多孔结构)用多面体网格(四面体或六面体)来表示是非常耗时和耗费内存的，并且传统的基于有限元的多孔结构处理方法几乎都是启发式的，没有有效的优化，因此，基于三周期极小曲面的多孔结构在散热方面的研究较少。

基于上述目的，提出了一种有效的表示和优化方法，来获得适合于散热的三周期极小曲面多孔鞘状结构的周期和壁厚。主要优化过程包括周期优化和壁厚优化。前者是对结构的粗调整，后者是对结构的细调整。首先，用隐函数表示多孔鞘状结构，隐函数由周期参数函数和壁厚参数函数控制；在此基础上，利用函数表达式可以方便地将具有边界条件的稳态热传导方程直接建立为数学模型，然后将模型的优化问题转化为求解上述两个连续参数函数；最后从离散化的角度出发，利用隐函数表示和径向基插值可以有效地计算出这两个参数函数，而不需要重新网格化，最终得到了具有光滑周期和壁厚变化的优化的散热多孔结构。

发明内容

本发明提出了一种基于三周期极小曲面的多孔散热结构的有效表达和优化方法。首先，通过三周期极小曲面的隐式函数表示来建立多孔结构。其次，根据稳态热传导方程，将散热问题转化为在给定约束条件下散热弱度的最小化问题。然后，利用全局-局部插值的方法直接求解参数函数。最后，我们对建模问题进行周期优化和壁厚优化,得到了具有光滑周期和壁厚变化的优化后的多孔鞘状结构。

本发明采用的技术方案是：

基于三周期极小曲面的三维多孔散热结构的设计与优化方法，方法如下：

(一)多孔结构表示方法

常用的三周期极小曲面大都具有隐函数表示，以P极小曲面为例：

其中，r为三维向量，x,y,z分别为其对应坐标。

周期参数函数P(r)>0可以直接加入到三周期极小曲面的函数表示中，为了使周期变化过程中有向距离场的距离尺度基本不变，我们改进了隐函数表示为：

其中，P(r)控制了孔洞周期的连续变化，构造在空间上具有光滑过渡的多孔曲面；其它类型的三周期极小面按照相同的方法进行处理。

基于三周期极小曲面的有厚度的多孔结构可以通过控制壁厚的参数函数W(r)，对上述改进的隐函数曲面

向两侧偏移后得到，两个偏移曲面表示为：

最终由交算子连续函数表示基于三周期极小曲面的多孔鞘状结构：

在上述定义中，引入控制周期的参数函数P(r)>0和控制壁厚的参数函数W(r)>0来实现对多孔结构的形状和周期孔洞的控制，并且通过优化参数函数P(r)和W(r)最终生成满足需求的有壁厚的多孔结构。

上述函数定义的多孔结构继承了三周期极小曲面的优良特性，如高表面积体积比、全连通性、高度光滑和可控性。高的表面体积比和全连通性有利于结构的散热。结构函数基于周期和壁厚的高度可控性提供了可计算的优化方法。良好的光滑性和连通性有利于3D打印制造，保证制造的准确性，并且可以在3D制造中去除多余的材料(如SLA中的多余液体)。

(二)散热问题优化过程

本发明主要关注稳态热传导情况下的散热问题，给定模型热源及边界条件后，利用上述构建的多孔鞘状结构来填充模型内部空间，在给定材料体积约束和周期函数梯度约束情况下，求解多孔结构周期和壁厚的优化分布。

1.问题模型建立

基于上述目的，散热问题模型建立如下：

使得：

其中，C是散热弱度，T是温度场，Ω是给定设计区域，Φ是前面给出的多孔鞘状结构的函数表示，Q是内热源的热流密度，q_s是Neumann边界Γ_Q上沿法线方向的热通量，

是Direchlet边界上的给定温度，λ是导热系数；

是向量微分算子，

X、Y、Z分别表示沿着x、y、z三个坐标轴正方向的单位向量；

是对应的测试函数，

Sob¹是一阶索勃列夫空间，V是多孔结构的体积，

是对应的体积约束，为了避免周期函数的剧烈变化破坏多孔结构，加入了周期变化的梯度约束

并且有梯度的模的计算公式

H(x)是Heaviside函数，当x为负时，H(x)＝0，否则为1，为了使优化问题可微并且避免棋盘格现象，将H(x)定义为连续函数H_η(x)，函数定义为：

其中η是正则化参数，用于控制全局刚度矩阵中非零元素的数量，一般取参数η＝10^-3定义中间值的区间。此外，多孔结构的材料导热系数λ是由结构函数Φ计算得到的，应该设置为：

ξ＝H(Φ)是固体材料的体积比，λ_S和λ_D分别表示固体材料和孔洞部分的导热系数。

2.离散化

离散化过程中采用双尺度网格，设计域的三维设计空间首先被划分为均匀六面体有限元，称为粗单元，粗单元用于生成温度场，粗单元的数量n_s的由设计空间的体积决定；然后，每个粗单元被进一步细分为更小的六面体单元，称为细单元，细单元用于进行体积等更精确的几何计算，这里，每个粗单元中的细单元的数量n_b默认设置为27。得到优化问题(1.6-1.9)的离散形式：

使得：

KT＝Q (1.12)

其中，T是温度场，Q是热源和热通量项，K是刚度矩阵，V是多孔结构的体积，

是对应的体积约束，N_b＝n_b×n_s是细单元的总数，

是第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值，v_b是细网格单元的体积，G是结构的全局梯度约束，‖Ω‖是Ω的体积，n_l是设计域中子区域的数量，

是第i个子区域Ω_i内的细单元的个数，

是周期函数在第s个细单元内第i点的梯度，

是第i个子区域Ω_i内的局部梯度约束值，

是第i个粗网格单元的体积，p>0是全局梯度约束的惩罚因子，并且有：

3.全局-局部插值

采用全局-局部的径向基插值算法，将周期参数函数和厚度参数函数的优化转化为有限数量的设计变量的优化，其关键思想是将大型系数矩阵分解成加权的小型系数矩阵求解。

以周期参数函数为例，首先将Ω分割成n_l个子区域

在局部椭球体(包含相应的子区域)中径向基插值得到局部周期参数函数:

其中，ψ_k(r)是由ω_k(r)定义的权重参数，d_k(r)＝‖r-C_k‖₂是插值点到椭球体中心点C_k的距离，(*)₊是截断函数满足x>0时(x)₊＝x,否则(x)₊＝0,R_k(r)是关于半径的长度函数,P_k(r)是子区域Ω_k对应的局部椭球体内的局部周期参数函数，并定义为：

其中，R_ki(r)＝(r-O_ki)²log(|r-O_ki|)是薄板径向基函数，

是子区域Ω_k对应的局部椭球体内的控制点，q_ki(r)是坐标x、y、z的一次项，a_ki和b_kj分别是二次项和一次项的待求系数，m是一次项的个数(默认为m＝4)。

全局-局部径向基插值可以被简化为如下形式：

其中,n_t是设计域Ω内控制点的总数(一般取值400),N_i(r)是相应的可计算的系数函数,

是控制点的周期函数值。所提出的全局局部插值方法可以提高计算效率，同时使结构平滑变化。

4.建模问题优化

基于上述构建的优化问题提出的三维散热优化方法包括周期优化和壁厚优化两部分。基于三周期极小曲面的多孔结构的周期和壁厚分别由周期函数P(r)和壁厚函数W(r)独立控制，周期优化是对结构的粗调整，壁厚优化是细调整，具体优化流程如下：

步骤1：周期优化；首先，利用径向基插值的方法将函数优化转化为插值基函数参数的优化；在求解域中随机选择n_t个插值基点

则有插值形式：

如此，周期优化问题就转换为了对参数变量

的优化问题；最后，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：

其中，

分别是目标函数、体积约束和梯度约束对参数变量P_i求偏导数的等式，

是梯度求偏导数过程中要计算的中间等式；n_s是粗单元的数量，n_b是每个粗单元内细单元的数量；

是第k个粗单元，第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值；由导热系数公式

知ξ_kj是是第k个粗单元，第j个细单元内的导热系数λ_kj对应的参数因子ξ；K⁰是初始刚度矩阵。在MMA求解器中，通过

就可以获得周期平稳变化的优化多孔结构。由于壁厚函数W(r)是固定的，结构孔隙率整体上随周期函数P(r)的增大而增大，因此易于实现周期优化的收敛性。在我们的实验中，周期优化收敛于70次迭代。

步骤2：壁厚优化；同理，基于W(r)的控制点(变量为

)，采用径向基插值的方法构造壁厚函数W(r)，对应的敏感度分析如下：

其中，

分别是目标函数、体积约束对参数变量W_i求偏导数的等式；

是第k个粗单元，第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值；ξ_kj是是第k个粗单元，第j个细单元内的导热系数λ_kj对应的参数因子。由于壁厚变化比周期变化更平稳，因此不再需要W(r)的梯度约束。最后，在MMA求解器中选择

和

就可以获得同时具有光滑周期和壁厚变化的优化多孔结构。由于优化周期函数P(r)是固定的，结构孔隙率随壁厚函数W(r)的增大而单调增大，因此壁厚优化的收敛性也较好实现。实验中，壁厚优化收敛于30次迭代。

本发明的面向3D打印的多孔鞘状散热结构设计与优化系统，属于计算机辅助设计、工业设计制造领域。所提出的多孔结构以隐函数形式表示，具有良好的连通性、可控性、力学性能、热学性能、较高的表面积体积比和光滑性。将所提出的多孔结构应用于三维散热问题，得到了一个具有连续几何变化和平滑拓扑变化的优化多孔结构。与现有的传统散热结构相比，该多孔结构大大改善了散热性能、热传导的效率和效能。该发明设计的多孔结构具有的光滑性、全连通性、准自支撑性等特性，确保了该类结构的适用性和可制造性，该类多孔结构适用于常用的3D打印制造方法，打印过程的内部结构无需额外支撑，可以节省打印时间和打印材料。

附图说明

图1是基于三周期极小曲面的三维多孔散热结构的设计与优化流程图。

图2是基于三周期极小曲面的三维多孔散热结构的设计与优化结果图，a,b,c是三种不同三周期极小曲面优化结果图。

具体实施方式

以下结合附图和技术方案，进一步说明本发明的具体实施方式。

本发明实施具体可分为多孔鞘状结构函数表示，建立散热问题优化模型及其离散化，优化流程等几个主要步骤：

(一)多孔壳状结构表示方法

首先建立改进的隐含数曲面：

其中，r为三维向量，x,y,z分别为其对应坐标，P(r)控制了孔洞周期的连续变化，构造在空间上具有光滑过渡的孔洞曲面。

进而，构造具有厚度的多尺度多孔鞘状结构：基于三周期极小曲面的有厚度的多孔结构可以通过利用控制壁厚的参数函数W(r)对上述改进隐函数曲面向两侧偏移后得到，两个偏移曲面表示为：

最终得到基于三周期极小曲面的多孔鞘状结构：

综上可知，P(r)(P曲面的取值区间为[0.5,2]，G曲面的取值区间为[0.37,2]，D曲面的取值区间为[0.5,2]，IWP曲面的取值区间为[0.48,2])控制多孔结构的周期，W(r)(P曲面的取值区间为[0.02,0.95],G曲面的取值区间为[0.02,1.35],D曲面的取值区间为[0.02,0.7],IWP曲面的取值区间为[0.02,2.95])控制多孔结构的壁厚。

(二)基于多孔壳状结构的建模及优化

1.散热问题建模

这里使用最小化散热弱度问题来建立多孔结构优化问题。即以结构平均温度最小化为目标，以模型体积、边界条件为约束，利用上述构建的多孔鞘状结构来填充模型内部空间，使得给定材料体积约束情况下，多孔结构的周期和壁厚具有最优化的分布。

基于上述目的，问题模型建立如下：

使得：

其中，C是散热弱度，T是温度场，Ω是给定设计区域，Φ是前面给出的多孔鞘状结构的函数表示，Q是内热源的热流密度，q_s是Neumann边界Γ_Q上沿法线方向的热通量，

是Direchlet边界上的给定温度，λ是导热系数；

是向量微分算子，

X、Y、Z分别表示沿着x、y、z三个坐标轴正方向的单位向量；

是对应的测试函数，

Sob¹是一阶索勃列夫空间，V是多孔结构的体积，

是对应的体积约束，为了避免周期函数的剧烈变化破坏多孔结构，加入了周期变化的梯度约束

并且有梯度的模的计算公式

H(x)是Heaviside函数，当x为负时，H(x)＝0，否则为1，为了使优化问题可微并且避免棋盘格现象，将H(x)定义为连续函数H_η(x)，函数定义为：

其中，η是正则化参数，用于控制全局刚度矩阵中非零元素的数量，一般取参数η＝10^-3定义中间值的区间。此外，多孔结构的材料导热系数λ是由结构函数Φ计算得到的，应该设置为：

ξ＝H(Φ)是固体材料的体积比，λ_S和λ_D分别表示固体材料和孔洞部分的导热系数。

2.优化问题的离散化

离散化过程中将求解区域细分成两套精度不同的均匀网格：用粗网格去插值温度场，用细网格去描述模型和进行积分计算。

得到优化问题的离散形式：

使得：

KT＝Q (2.11)

其中，T是温度场，Q是热源和热通量项，K是刚度矩阵，V是多孔结构的体积，

是对应的体积约束，N_b＝n_b×n_s是细单元的总数，

是第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值，v_b是细网格单元的体积，G是结构的全局梯度约束，‖Ω‖是Ω的体积，n_l是设计域中子区域的数量，

是第i个子区域Ω_i内的细单元的个数，

是周期函数在第s个细单元内第i点的梯度，

是第i个子区域Ω_i内的局部梯度约束值，

是第i个粗网格单元的体积，p>0是全局梯度约束的惩罚因子，并且有：

采用全局-局部的RBF插值算法，将周期参数函数和厚度参数函数的优化转化为有限数量的设计变量的优化，全局-局部径向基插值可以被简化为如下形式：

其中,n_t是设计域Ω内控制点的总数(取值400),N_i(r)是相应的可计算的系数函数,

是控制点的周期函数值，

是控制点的壁厚函数值。由于在优化过程中不改变控制点的位置，所以系数函数N_i(r)可以在优化前提前计算。

3.建模问题优化

这里只需对两个未知参数函数P(r)和W(r)进行优化。具体优化流程如下：

步骤1：周期优化；首先，利用径向基插值的方法将函数优化转化为插值基函数参数的优化；在求解域中随机选择n_t个插值基点

则有(2.14)的插值形式。如此，周期优化问题就转换为了对参数变量

的优化问题；最后，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：

其中，

分别是目标函数、体积约束和梯度约束对参数变量P_i求偏导数的等式，

是梯度求偏导数过程中要计算的中间等式；n_s是粗单元的数量，n_b是每个粗单元内细单元的数量；

是第k个粗单元，第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值；由导热系数公式

知ξ_kj是是第k个粗单元，第j个细单元内的导热系数λ_kj对应的参数因子ξ；K⁰是初始刚度矩阵。给定变量的敏感度分析，优化的周期参数函数可以通过众所周知的MMA方法获得，这样就得到了周期优化后的结构，并且作为壁厚优化的初始结构。

步骤2：壁厚优化；同理，基于W(r)的控制点(变量为

)，采用径向基插值的方法构造壁厚函数W(r)，对应的敏感度分析如下：

其中，

分别是目标函数、体积约束对参数变量W_i求偏导数的等式；

是第k个粗单元，第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值；ξ_kj是是第k个粗单元，第j个细单元内的导热系数λ_kj对应的参数因子。代入MMA算法最终得到优化问题的解。

提出基于三周期极小曲面的多孔结构表示的散热结构设计和优化。多孔结构以隐函数形式表示，具有良好的连通性、可控性、较高的表面体积比、较高的光滑性和良好的力学、热学性能。各种实验表明，所提出的多孔结构大大改善了散热性能、热传导的效率和效能。为了获得较高的导热效率，在给定的体积约束下，周期与壁厚之间存在平衡，且优化后的结构周期和壁厚的变化是平滑的、自然的，这有利于结构应力和制造。优化后的多孔结构与传统的散热结构以及格子结构相比，具有更高的散热效率(较低的散热弱度)。

Claims (1)

1.一种基于三周期极小曲面的三维多孔散热结构的设计与优化方法，其特征在于，步骤如下：

(一)多孔结构表示方法

三周期极小曲面都具有隐函数表示，P极小曲面的隐函数表示如下：

其中，r为三维向量，x,y,z分别为其对应坐标；

周期参数函数P(r)>0直接加入到三周期极小曲面的函数表示中，为了使周期变化过程中有向距离场的距离尺度不变，改进隐函数，表示为：

其中，P(r)控制了孔洞周期的连续变化，构造在空间上具有光滑过渡的多孔曲面；

基于三周期极小曲面的有厚度的多孔结构通过控制壁厚的参数函数W(r)，对上述改进的隐函数曲面

向两侧偏移后得到两个偏移曲面，表示为：

最终由交算子连续函数表示基于三周期极小曲面的多孔鞘状结构：

引入控制周期的参数函数P(r)>0和控制壁厚的参数函数W(r)>0来实现对多孔结构的形状和周期孔洞的控制，并且通过优化参数函数P(r)和W(r)最终生成满足需求的有壁厚的多孔结构；

(二)散热问题优化过程

稳态热传导情况下的散热问题，给定模型热源及边界条件后，利用所述多孔鞘状结构来填充模型内部空间，在给定材料体积约束和周期函数梯度约束情况下，求解多孔结构周期和壁厚的优化分布；

(1)问题模型建立

散热问题模型建立如下：

使得：

其中，C是散热弱度，T是温度场，Ω是给定设计区域，Φ是前面给出的多孔鞘状结构的函数表示，Q是内热源的热流密度，q_s是Neumann边界Γ_Q上沿法线方向的热通量，

是Direchlet边界上的给定温度，λ是导热系数；

是向量微分算子，

X、Y、Z分别表示沿着x、y、z三个坐标轴正方向的单位向量；

是对应的测试函数，

Sob¹是一阶索勃列夫空间，V是多孔结构的体积，

是对应的体积约束，为了避免周期函数的剧烈变化破坏多孔结构，加入了周期变化的梯度约束

并且有梯度的模的计算公式

H(x)是Heaviside函数，当x为负时，H(x)＝0，否则为1，为了使优化问题可微并且避免棋盘格现象，将H(x)定义为连续函数H_η(x)，函数定义为：

其中η是正则化参数，用于控制全局刚度矩阵中非零元素的数量，取参数η＝10^-3定义中间值的区间；此外，多孔结构的材料导热系数λ是由结构函数Φ计算得到的，设置为：

ξ＝H(Φ)是固体材料的体积比，λ_S和λ_D分别表示固体材料和孔洞部分的导热系数；

(2)离散化

离散化过程中将求解区域细分成两套精度不同的均匀网格：用粗网格去插值温度场，用细网格去描述模型和进行积分计算；粗单元的数量为n_s，每个粗单元中的细单元的数量n_b默认设置为27；得到优化问题(1.6-1.9)的离散形式：

使得：

KT＝Q(1.12)

其中，T是温度场，Q是热源和热通量项，K是刚度矩阵，V是多孔结构的体积，

是对应的体积约束，N_b＝n_b×n_s是细单元的总数，

是第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值，v_b是细网格单元的体积，G是结构的全局梯度约束，||Ω||是Ω的体积，n_l是设计域中子区域的数量，

是第i个子区域Ω_i内的细单元的个数，

是周期函数在第s个细单元内第i点的梯度，

是第i个子区域Ω_i内的局部梯度约束值，

是第i个粗网格单元的体积，p>0是全局梯度约束的惩罚因子，并且有：

(3)全局-局部插值

采用全局-局部的径向基插值算法，将周期参数函数和厚度参数函数的优化转化为有限数量的设计变量的优化，其关键思想是将大型系数矩阵分解成加权的小型系数矩阵求解；

周期参数函数，首先将Ω分割成n_l个子区域

在包含相应的子区域的局部椭球体中径向基插值得到局部周期参数函数：

其中，ψ_k(r)是由ω_k(r)定义的权重参数，d_k(r)＝||r-C_k||₂是插值点到椭球体中心点C_k的距离，(*)₊是截断函数满足x>0时(x)₊＝x,否则(x)₊＝0,R_k(r)是关于半径的长度函数，P_k(r)是子区域Ω_k对应的局部椭球体内的局部周期参数函数，并定义为：

其中，R_ki(r)＝(r-O_ki)²log(|r-O_ki|)是薄板径向基函数，

是子区域Ω_k对应的局部椭球体内的控制点，q_ki(r)是坐标x、y、z的一次项，a_ki和b_kj分别是二次项和一次项的待求系数，m是一次项的个数，m＝4；

全局-局部径向基插值被简化为如下形式：

其中,n_t是设计域Ω内控制点的总数，取值400，N_i(r)是相应的系数函数，

是控制点的周期函数值；

(4)建模问题优化

基于上述构建的优化问题提出的三维散热优化方法包括周期优化和壁厚优化两部分；基于三周期极小曲面的多孔结构的周期和壁厚分别由周期函数P(r)和壁厚函数W(r)独立控制，周期优化是对结构的粗调整，壁厚优化是细调整，具体优化流程如下：

步骤1：周期优化；首先，利用径向基插值的方法将函数优化转化为插值基函数参数的优化；在求解域中随机选择n_t个插值基点

则有插值形式：

周期优化问题转换为对参数变量

的优化问题；最后，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：

其中，

分别是目标函数、体积约束和梯度约束对参数变量P_i求偏导数的等式，

是梯度求偏导数过程中要计算的中间等式；n_s是粗单元的数量，n_b是每个粗单元内细单元的数量；

是第k个粗单元，第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值；由导热系数公式

ξ_kj是第k个粗单元，第j个细单元内的导热系数λ_kj对应的参数因子ξ；K⁰是初始刚度矩阵；在MMA求解器中，通过

获得周期平稳变化的优化多孔结构；

步骤2：壁厚优化；同理，基于W(r)的控制点，变量为

采用径向基插值的方法构造壁厚函数W(r)，对应的敏感度分析如下：

其中，

分别是目标函数、体积约束对参数变量W_i求偏导数的等式；

是第k个粗单元，第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值；ξ_kj是第k个粗单元，第j个细单元内的导热系数λ_kj对应的参数因子；由于壁厚变化比周期变化更平稳，因此不再需要W(r)的梯度约束；最后，在MMA求解器中选择

和

获得同时具有光滑周期和壁厚变化的优化多孔结构。

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