https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1.
-небудь три позначення цього чотирикутника.
сторони: MK і KE, KE і EF, EF і FM, FM і MK.
Протилежні
MKEF, KEFM, EFMK.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Позначення чотирикутника: MKCA, KCAM, CAMK.
1) M, K, C, A;
2) MK, KC, CA, AM; 3) M і K, K і C, C і A, A і M;
4) M і C, K і A;
5) MK і KC, KC і CA, CA і AM, AM і MK;
6) MK і AC, MA і KC;
7) MC і KA.
MKEF, STOP, QLNR.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ∠A = x,
B = 2x,
C = x + 20°, ∠D = x − 40°.
x + 2x + x + 20° + x − 40° = 360°;
5x − 20° = 360°;
5x = 380°; x = 76°.
Отже, ∠A = 76°,
тоді ∠B = 2 ⋅ 76° = 152°,
∠C = 76° + 20° = 96°, ∠D = 76° − 40° = 36°.
Відповідь: 76°, 152°, 96°, 36°.
A
теоремою
x + 21x + 2x + 3x = 360°; 36x = 360°; x = 10°.
Тоді ∠A = 10 ⋅ 10° = 100°,
∠B = 21 ⋅ 10° = 210°,
∠C = 2 ⋅ 10° = 20°,
∠D = 3 ⋅ 10° = 30°. Оскільки
x + 5x + 7x + 8x = 360°,
x = 360°,
= 15°. Тоді ∠A = 4 ⋅ 15° = 60°,
B = 5 ⋅ 15° = 75°, ∠C = 7 ⋅ 15° = 105°, ∠D = 8 ⋅ 15° = 120°.
6
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
CD і AD теж рівні. Нехай у чотирикутнику
ABCD:
AB = BC, ∠ABD = ∠CBD, BD діагональ.
Розглянемо трикутники ABD і CBD. У них:
1) AB = BC за умовою;
2) ∠ABD = ∠CBD за умовою;
3) BD спільна сторона.
Отже, △ABD = △CBD за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників).
Тому AD = BC = 6 см як відповідні елементи рівних трикутників.
Відповідь: 6 см.
у чотирикутнику ABCD: AO = OC, BO = OD, BC = 6 см. Розглянемо трикутники AOD і COD.
1) AO = OC за умовою; 2) BO = OD за умовою;
3) ∠AOD = ∠COB як вертикальні.
Отже, △AOD = △COB за
сторонами
(за I ознакою рівності трикутників).
Тому AD = BC = 6 см як відповідні елементи рівних трикутників.
Відповідь: 6 см.
MNKP
відомо, що MN = NK, MP = PK, ∠M = 100°.
Нехай у чотирикутнику MNKP: MN = NK, MP = PK, ∠M = 100°.
Добудовуємо діагональ PN. Розглянемо трикутники NMP і NKP. У них:
1) MN = NK за умовою; 2) MP = PK за умовою; 3) PN спільна сторона. Отже, △NMP = △NMP за трьома сторонами (за III
трикутників). Тому ∠K = ∠M = 100° як відповідні елементи рівних трикутників. Відповідь: 100°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
ABCD.
AB = 8 см, BC = 10 см.
Нехай у чотирикутнику ABCD:
∠BAC = ∠CAD, ∠BCA = ∠ACD, AB = 8 см, BC = 10 см.
Розглянемо трикутники ABC і ADC. У них:
1) ∠BAC = ∠CAD за умовою; 2) ∠BCA = ∠ACD за умовою;
3) AC спільна сторона.
Отже, △ABC = △ADC за стороною і двома прилеглими до
неї кутами (за I ознакою рівності трикутників).
Тому AB = CD = 8 см, BC = AD = 10 см як відповідні
елементи рівних трикутників.
Тоді PABCD = AB + BC + CD + AD = 8 + 10 + 8 + 10 = 36 (см).
Відповідь: 36 см.
20. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 44°, ∠B = 56°. Бісектриси
CAB,
= 44° : 2 = 22°.
Аналогічно ∠KBO = ∠OBA = 56° : 2 = 28°.
Розглянемо трикутник AOB. У ньому
∠AOB = 180° − (∠OAB + ∠OBA);
OAB + ∠AOB + ∠OBA = 180°;
∠AOB =180° − (22° + 28°) = 180° − 50° = 130°.
∠AOB і ∠MOK вертикальні, тому ∠AOB = ∠MOK = 130°.
Розглянемо трикутник AKC.
У ньому ∠CAK + ∠AKC + ∠KAC = 180°;
∠AKC = 180° − (∠CAK + ∠KCA);
∠AKC = 180° − (22° + 80°) = 180° − 102° = 78°.
Розглянемо чотирикутник MOKC.
∠OMC + ∠MCK + ∠CKO + ∠KOM = 360°;
∠OMC = 360° − (∠MCK + ∠CKO + ∠KOM);
∠OMC = 360° − (80° + 78° + 130°) = 360° − 288° = 72°.
Відповідь: 72°, 80°, 78°, 130°.
2) розглянемо чотирикутник AOBC. За
∠AOB + ∠OBC + ∠BCA = 360°;
∠AOB = 360° − (∠CAO + ∠OBC + ∠BCA);
∠AOB = 360° − (22° + 28° + 80°) = 360° − 130° = 230°;
Відповідь: 22°, 230°, 28°, 80°.
CAO +
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1) CFHE; 2) ACBH.
1) Нехай у трикутнику ABC ∠A=36°, ∠B=72°. AE і BF висоти, проведені відповідно
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠C = 180° − (∠A + ∠B); 180° − (36° + 72°) = 180° − 108° = 72°.
Оскільки AE висота, то
∠CEA = ∠BEA = 90°.
Аналогічно ∠CFB = ∠BFA = 90°.
Розглянемо чотирикутник CFHE.
За теоремою про суму кутів чотирикутника:
∠CFH + ∠FHE + ∠HEC + ∠ECF = 360°;
∠FHE = 360° − (90° + 90° + 72°) = 360° − 252° = 108°.
Відповідь: 90°, 108°, 90°, 72°.
2) Розглянемо прямокутний трикутник CEA (∠CEA=90°).
Тоді маємо:
∠CAE + ∠ECA = 90°;
∠CAE = 90° − ∠ECA;
∠CAE = 90° − 72° = 18°.
Розглянемо прямокутний трикутник CFB (∠CFB = 90°).
Тоді маємо:
∠FBC + ∠FCB = 90°;
∠FBC = 90° − ∠FCB;
∠FBC = 90° − 72° = 18°.
Розглянемо чотирикутник ACBH.
∠CAH + ∠AHB + ∠HBC + ∠BCA = 360°;
∠AHB = 360° − (∠CAH + ∠HBC + ∠BCA);
∠AHB = 360° − (18° + 18° + 72°) = 360° − 108° = 252°.
Відповідь: 18°, 72°, 18°, 252°.
22.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD заданий чотирикутник, AC його діагональ.
PABC = 36, PADC = 64 см, PABCD = см.
PABCD = AB + BC + CD + AD,
PABC = AB + BC + AC,
PADC = AD + DC + AC,
звідки PABC + PADC = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC) = (AB + BC + CD + AD) + AC +
AC = PABCD + 2AC;
36 + 64 = 80 + 2AC;
2AC = 20;
AC = 10 (см).
Відповідь: 10 см.
23. Чи можуть сторони чотирикутника дорівнювати:
1) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 9 дм; 2) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 10 дм?
1) Проведемо у чотирикутнику ABCD діагональ AC.
Розглянемо трикутник ABC.
За нерівністю трикутника маємо: AB < AC + CB.
Аналогічно для трикутника ADC маємо: AC < AD + DC.
Тоді AB < AC + CB < (AD + DC) + CB < AD + DC + CB.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1) Нехай ABCD заданий чотирикутник, ∠A=90°, ∠C=90°, BN і DK бісектриси кутів B і D. Якщо BN бісектриса ∠ABC, то за означенням
бісектриси:
∠ABN = ∠NBC = 1 2 ∠ABC.
Нехай ∠ABN = x, тоді ∠NBC = x, ∠ABC = 2x.
Розглянемо прямокутний трикутник BAN (∠A=90°).
За властивістю
∠ANB + ∠ABN = 90°,
звідки ∠ANB = 90° − ∠ABN = 90° − x.
Розглянемо чотирикутник ABCD.
За теоремою
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°;
∠D = 360° − (∠A + ∠B + ∠C) = 360° − (90° + 2x + 90°) = 180° − 2x
Оскільки DK бісектриса ∠ADC, то
∠ADK = ∠CDK = 1 2 ∠ADC.
Так як ∠D = ∠ADC = 180° − 2x,
то ∠ADK = ∠CDK = 1 2(180° − 2x) = 90° − x.
Розглянемо прямокутний трикутник KCD (
∠KDC + ∠DKC = 90°, звідки ∠KDC = 90° − ∠DKC = 90°
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC.
Розглянемо прямокутні трикутники BAD (∠A=90°) і BCD (∠C=90°).
У них ∠ABD = ∠CBD, BD спільна сторона (гіпотенуза), тому за ознакою рівності
гострим кутом. Тому ∠ADB = ∠CDB як
1) Нехай у чотирикутнику ABCD, BN і DK
∠ABN = ∠NBC = 1 2 ∠ABC.
Нехай ∠ABN = ∠DKC = x.
Якщо DK бісектриса ∠ADC, то за
Розглянемо паралельні прямі BN і DK та січну AD.
За ознакою паралельних прямих
Тоді ∠ANB = ∠KDC.
Нехай ∠ANB = ∠KDC = y.
Розглянемо трикутник △ANB. За теоремою про суму
A + ∠ANB + ∠ABN = 180°;
A = 180° − (∠ABN + ∠ANB) = 180° − (x + y).
∠A = ∠C = 180° − (x + y),
кути A і C рівні;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC.
Аналогічно за
∠ADB = ∠CDB = 1 2 ∠ADC.
Розглянемо трикутники △BAD і △BCD.
У них ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB за доведенням, BD спільна сторона.
Отже, △BAD = △BCD за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II
рівності трикутників).
Тому ∠A = ∠C як відповідні елементи рівних трикутників.
26. Побудуйте чотирикутник
Дано:
AB = a, BC = b, CD = c, AD = d
Побудувати: чотирикутник ABCD.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Дано:
AB = a, BC = b, AD = c сторони чотирикутника ABCD, AC = d, BD = e діагоналі чотирикутника.
Побудувати: чотирикутник ABCD.
Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку A. З точки A проводжу коло радіуса AB = a, яке перетне пряму m у точці B. З точки A проводжу коло радіуса AD = c, а з точки B коло радіуса BD = e, які
перетнуться у точці D
Сполучаю відрізком точки A і D.
радіуса AC = d, які перетнуться у точці C.
Сполучаю відрізком точки B і C.
Проводжу відрізок DC. Отже, побудований чотирикутник ABCD
AB = a, BC = b, AD = c, AC = d, BD = e за побудовою.
Дано: AB = a, BC = b, CD = c, AD = d
A
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Дано:
AB = a, BC = b, AD + CD = c, ∠P1A1K1 = α і ∠N1B1M1 = β кути чотирикутника.
Побудувати: чотирикутник ABCD.
Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку B. З точки B
сторони кута, наприклад у точках M1 і N1
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠1 і ∠4, ∠2 і ∠3 внутрішні різносторонні;
∠1 і ∠3, ∠2 і ∠4 внутрішні односторонні.
1) Якщо ∠1 = ∠4, то оскільки ці кути
прямих маємо,
паралельні.
31. У чотирикутнику ABCD ∠C = 110°, ∠D = 70°. Доведіть, що BC || AD.
Нехай ABCD чотирикутник,
1)
2)
3) BD спільна
ADB
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB
і ∠ABD = ∠CDB. За
що прямі AB і CD паралельні.
34. Відрізок BK бісектриса трикутника ABC. Пряма DK паралельна стороні AB і перетинає сторону BC у точці D, ∠BDK = 116°. Знайдіть кут BKD.
Нехай ABC заданий трикутник, BK бісектриса ∠ABC, KD ∥ AB, D ∈ BC, ∠BDK=116°.
Розглянемо паралельні прямі AB і KD та січну BD. За ознакою паралельних прямих маємо, що ∠ABD + ∠BDK = 180° як внутрішні
односторонні, звідки ∠ABD = 180° − ∠BDK = 180° − 116° = 64°.
Оскільки BK бісектриса, ∠ABC, то
∠ABC, звідки ∠KBC = 64° : 2 = 32°.
Розглянемо трикутник KBD.
За теоремою
KBD + ∠BDK + ∠BKD = 180°;
BKD = 180° − (∠KBD + ∠BDK) = 180° − (32° + 116°) = 180° − 148° = 32°.
Відповідь: 32°.
35. Білу площину
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
3. BP ⟂ AD, MN ⟂ AD, KS ⟂ AB.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
а. Неправильні довжини сторін, бо в паралелограма протилежні сторони рівні;
б. неправильні величини кутів, бо при паралельних прямих і січній внутрішні
різносторонні кути мають бути рівними;
в. неправильні величини протилежних кутів, вони
неправильні
неправильні
і 7.
39. Чи вистачить 40 см
і 8 см ; 2. 16 см і 4 см ; 3. 12 см і 6 см ?
1. P = 2(a + b);
P = 2·(14 + 8) = 2·22 = 44 см;
44 см > 40 см не вистачить.
2. P = 2(a + b);
P = 2·(16 + 4) = 2·20 = 40 см;
40 см = 40 см вистачить.
3. P = 2(q + b);
P = 2·(12 + 6) = 2·18 = 36 см;
36 см < 40 см вистачить.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
28x = 112; x = 4.
Отже, одна сторона паралелограма дорівнює
5·4 = 20 см,
а інша 9·4 = 36 см.
Відповідь: 1. 22 см; 34 см; 2. 20 см; 36 см.
41. Знайдіть сторони паралелограма, якщо
периметр паралелограма дорівнює 96 см .
Нехай одна сторона паралелограма дорівнює x см, тоді інша 5x см.
Периметр паралелограма дорівнює
2(x + 5x) = 12x (см), що за умовою
Рівняння: 12x = 96; x = 8.
Отже, одна сторона паралелограма
8 см, а інша 5·8 = 40 см.
Відповідь: 8 см; 40 см.
42. У паралелограмі ABCD дано: AB = 6 см,
Оскільки ABCD паралелограм, то
Діагоналі паралелограма перетинаються
AC = 10 см ⇒ AO = OC = 10 : 2 = 5 см; BD = 8 см ⇒ BO = OD = 8 : 2 = 4 см.
Розглянемо трикутник COD:
PCOD = CO + CD + DO = 5 + 6 + 4 = 15 см.
Відповідь: 15 см.
43. Доведіть, що
96 см.
сторони рівні: AB = CD = 6 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. Нехай дано паралелограм ABCD, ∠A = 70°.
Тоді ∠A = ∠C = 70° як протилежні кути
∠A + ∠B = 180° як сума сусідніх
∠B = 180° − ∠A; ∠B = 180° − 70° = 110°.
Тоді ∠B = ∠D = 110° як
2. Нехай дано паралелограм ABCD, у якому сума
можуть бути сусідніми, оскільки їх сума дорівнює 180°. Тому ці
кутами паралелограма: ∠A + ∠C = 100°; ∠A = ∠C = 100° : 2 = 50°. ∠A і ∠B
сусідні кути, тому їх сума дорівнює 180°: ∠A + ∠B = 180°; ∠B =
∠B = ∠D = 130°.
3. Нехай
кутами паралелограма: ∠B − ∠A = 20°; ∠B = 20° + ∠A.
180°:
протилежні. 4. Нехай дано паралелограм ABCD, у якому
D
відносяться як 3:7. Ці кути не можуть бути протилежними, оскільки
кутами паралелограма: нехай ∠A = 3x, ∠B = 7x.
3x + 7x = 180°; 10x = 180°; x = 18°. Тоді ∠A = 3·18° = 54°; ∠B = 7·18° = 126°.
Тоді ∠A = ∠C = 54°, ∠B = ∠D = 126° як
Відповідь:
1. 70°, 110°, 70°, 110°; 2. 50°, 130°, 50°, 130°; 3. 80°, 100°, 80°, 100°; 4. 54°, 126°, 54°, 126°.
45. Знайдіть
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ∠A = x, ∠B = x + 24°.
Рівняння: x + x + 24° = 180°; 2x = 156°; x = 78°.
Тоді ∠A = 78°; ∠B = 78° + 24° = 102°.
Тоді ∠A = ∠C = 78°, ∠B = ∠D = 102° як протилежні.
Відповідь:
1. 60°, 120°, 60°, 120°; 2. 78°, 102°, 78°, 102°.
46. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 35°. Через довільну точку,
BC, проведено дві прямі, паралельні сторонам AB і AC трикутника.
чотирикутника, що утворився,
Нехай дано паралелограм ABCD, ∠A = 35°, K ∈ BC, KM ∥ AC, KN ∥ AB.
Розглянемо чотирикутник AMKN.
Оскільки KM ∥ AC, KN ∥ AB, то за
є паралелограмом. Тоді ∠A = ∠MKN = 35° як
∠A + ∠ANK = 180° як
звідки ∠ANK = 180° − ∠A = 180° − 35° = 145°.
Тоді ∠ANK = ∠AMK = 145° як протилежні
паралелограма.
Знайдіть кути паралелограма ABCD (рис. 27), якщо ∠ABD = 68°, ∠ADB = 47°.
Нехай дано паралелограм ABCD, ∠ABD = 68°, ∠ADB = 47°.
трикутник ABD.
A + ∠ABD + ∠ADB = 180°, звідки ∠A = 180° − (∠ABD + ∠ADB) = 180° − (68° + 47°) = 180° − 115° = 65°.
∠A = ∠
B = 180° − ∠A = 180° − 65° = 115°.
∠B = ∠D = 115°
65°, 115°, 65°, 115°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано паралелограм ABCD, AC діагональ, ∠BAC = 32°, ∠BCD = 56°.
∠A = ∠C = 56° як протилежні кути паралелограма.
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD;
∠CAD = ∠BAD − ∠BAC;
∠CAD = 56° − 32° = 24°.
∠C + ∠D = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки
∠D = 180° − ∠C = 180° − 56° = 124°.
Відповідь: 24°, 124°.
49. Бісектриси кутів A і B паралелограма ABCD перетинаються в точці M.
величину кута M трикутника ABM.
Нехай дано паралелограм ABCD, AM і BM
A і B. Оскільки AM бісектриса ∠A, то
∠ABM = ∠MBC = 1 2 ∠ABC.
∠A + ∠B = 180° як сума сусідніх
∠ABM + ∠BAM + ∠BMA = 180°; ∠BMA = 180° − ∠ABM − ∠BAM;
BMA = 180° −
90°.
бісектриси ∠BAM =
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB = CD = 6 см, BC = AD = 10 см, тому
16 см.
не може.
51. Висота BK паралелограма ABCD
що AK = 4 см, KD = 6 см.
Нехай дано паралелограм ABCD, BK – висота, AK = 4 см, KD = 6 см, ∠ABK = 30°.
Розглянемо прямокутний трикутник AKB (∠K = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.
Тому AK = 1 2 AB, звідки AB = 2AK = 2·4 = 8 см.
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ∠A + ∠ABK = 90°; ∠A = 90°
∠ABK = 90° − 30° = 60°.
∠A = ∠C = 60° як протилежні кути паралелограма.
∠A + ∠D = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма,
60° = 120°.
∠B = ∠D = 120° як протилежні кути паралелограма.
AD = AK + KD = 4 + 6 = 10 см.
Оскільки ABCD паралелограм, то
AB = DC = 8 см,
AD = BC = 10 см.
Тоді PABCD = 2(AB + BC) = 2(8 + 10) = 2·18 = 36 см.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°; 36 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Маємо: ∠ABD = ∠BDC = 90° як
Відповідь: 6 см; 45°, 90°.
У
Нехай дано паралелограм ABCD, ∠C = 30°, BH висота, BH = 7 см, периметр паралелограма = 46 см. Розглянемо прямокутний трикутник BHC (∠H = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.
Тому BH = 1 2BC, звідки BC = 2·BH = 2·7 = 14 см.
AD = BC = 14 см як протилежні сторони паралелограма.
Периметр паралелограма: P = 2(AB + BC);
AB + BC = 46 : 2 = 23 см.
AB = 23 − BC = 23 − 14 = 9 см.
DC = AB = 9 см як протилежні сторони паралелограма.
Відповідь: AD = BC = 14 см, DC = AB = 9 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано паралелограм ABCD, AC і BD діагоналі, O точка їх перетину.
Розглянемо трикутники MOC і NOA. У них:
1. AO = OC за властивістю діагоналей паралелограма;
2. ∠AON = ∠COM як вертикальні;
3. ∠OCM = ∠OAN як внутрішні різносторонні при паралельних
AC.
Отже, △MOC = △NOA за стороною і двома
рівності трикутників).
Тому MO = ON як
трикутник ABC.
10°) = 10°.
Оскільки ∠BAC = ∠BCA = 10°, то трикутник ABC рівнобедрений, тому AB =
то AB = BC = CD = AD = 24 : 4 = 6 см. Відповідь: AB = BC = CD = AD = 6 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
звідки ∠BDA = 180° − (∠A + ∠ABD) = 180° − (50° + 65°) = 65°.
Оскільки ∠ABD = ∠BDA, то трикутник ABD рівнобедрений, звідки AB = AD = 8 см.
PABCD = 2(AB + AD) = 2(8 + 8) = 2·16 = 32 см.
Відповідь: 32 см.
59. Знайдіть кути паралелограма ABCD, якщо BD ⟂ AB і BD = AB.
Нехай дано паралелограм ABCD, BD діагональ, BD ⟂ AB, BD = AB.
Розглянемо прямокутний рівнобедрений трикутник ABD (∠ABD = 90°, AB = BD).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:
∠BAD = ∠BDA;
∠BAD + ∠BDA = 90°,
звідки ∠BAD = ∠BDA = 90° : 2 = 45°.
∠A = ∠C = 45° як протилежні кути паралелограма.
∠A + ∠B = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки
∠B = 180° − ∠A = 180° − 45° = 135°.
Тоді ∠B = ∠D = 135° як протилежні кути паралелограма.
Відповідь: 45°, 135°, 45°, 135°.
60. Діагональ паралелограма утворює
паралелограм ABCD, BD − діагональ, ∠ADB = 30°, ∠ABD = 90°, PABCD = 36
BDC = ∠ABD = 90°
DC та січній BD.
Розглянемо прямокутний трикутник ABD (∠ABD = 90°).
За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить
гіпотенузи. Тому AB = 1 2 AD.
Нехай AB = x см, тоді AD = 2x см.
Рівняння: PABCD = 2(x + 2x); 36 = 6x; x = 6.
Отже, AB = 6 см, AD = 2·6 = 12 см. CD = AB = 6 см і BC = AD = 12 см як
Відповідь: CD = AB = 6 см; BC = AD = 12 см. 61.
MK = EF.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано паралелограм ABCD, BD діагональ, BD ∥ EK.
Чотирикутник BEFD паралелограм, бо BE ∥ DF, EF ∥ BD.
Тоді BD = EF як протилежні сторони паралелограма.
Чотирикутник BMKD паралелограм, бо BD ∥ MK, BM ∥ DK.
Тоді BD = MK як протилежні сторони паралелограма.
Оскільки BD = EF і BD = MK, то MK = EF.
62. Паралельно діагоналі AC паралелограма ABCD проведено пряму, яка перетинає
відрізки AB і BC у точках M і N, а прямі AD і CD у
PM = NK.
Нехай дано паралелограм ABCD, BD − діагональ, PK∥AC.
Чотирикутник AMKC − паралелограм, бо
AM∥CK, MK∥AC.
Тоді MK = AC як протилежні сторони
паралелограм, бо AP∥CN, PN∥AC.
Тоді PN = AC як протилежні
P і K
APNC −
Звідси MK = PN.
Оскільки PN = PM + MN, MK = MN + NK, то PM = NK.
63. Один із кутів, утворених
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано паралелограм ABCD, AM бісектриса, AB = 12 см, MC = 16 см.
Розглянемо паралельні прямі BC і AD та січну AM.
Тоді ∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні.
Якщо AM бісектриса ∠BAD, то за означенням бісектриси ∠BAM = ∠MAD = 1 2 ∠BAD.
Тоді ∠BAM = ∠BMA, звідси трикутник ABM рівнобедрений, тому AB = BM = 12 см.
BC = BM + MC;
BC = 12 + 16 = 28 см.
PABCD = 2(AB + BC) = 2(12 + 28) = 2·40 = 80 см.
Відповідь: 80 см.
65. Бісектриса
паралельні прямі BC і AD та січну AM.
Тоді ∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні.
Якщо AM бісектриса ∠BAD, то за означенням бісектриси
∠BAM = ∠MAD = 1 2 ∠BAD.
Тоді ∠BAM = ∠BMA, звідси випливає, що трикутник ABM рівнобедрений (AB = BM).
Нехай BM = 3x см, тоді MC = 5x см.
BC = BM + MC; BC = 3x + 5x = 8x см. AB = BM = 3x см.
Рівняння:
2(3x + 8x) = 66; 22x = 66; x = 3.
Тому AB = 3·3 = 9 см, BC = 8·3 = 24 см.
Отже, AB = CD = 9 см, BC = AD = 24 см.
Відповідь: AB = CD = 9 см, BC = AD = 24 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
88 см.
Нехай дано паралелограм ABCD, BK бісектриса, CK = 5KD, PABCD = 88 см.
Розглянемо паралельні прямі AB і CD та січну BK.
Тоді ∠ABK = ∠BKC як внутрішні різносторонні.
Якщо BK бісектриса ∠ABC, то за означенням бісектриси ∠CBK = ∠KBA = 1 2 ∠ABC.
Тоді ∠CBK = ∠BKC, звідси випливає, що трикутник BCK рівнобедрений (BC = CK).
Нехай KD = x см, тоді CK = 5x см.
CD = CK + KD = 5x + x = 6x см.
CK = BC = 5x см.
Рівняння:
2(5x + 6x) = 88;
22x = 88; x = 4.
Тому BC = 5·4 = 20 см,
CD = 6·4 = 24 см.
Отже, AB = CD = 24 см, BC = AD = 20 см.
Відповідь: AB = CD = 24 см, BC = AD = 20 см.
67. Бісектриси
KD; 3)
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
3) MD = MK + KD = 4 + 6 = 10 см. (Ч)
4) ВС = АD = АК + КD = 10 + 6 = 16 см. (К)
5) РАВСD = 2 • (6 + 16) = 44 см. (О)
Відповідь: Дичко Людмила.
68. Кут між висотою BH паралелограма ABCD
24°. Знайдіть кути паралелограма.
Нехай дано паралелограм ABCD, BH − висота, BM − бісектриса ∠ABC, ∠HBM = 24°.
Розглянемо прямокутний трикутник BHM (∠BHM = 90°).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠BMH + ∠HBM = 90°,
звідки ∠BMH = 90° − ∠HBM;
∠BMH = 90° − 24° = 66°.
Розглянемо паралельні прямі BC і AD та січну BM.
Тоді ∠CBM = ∠AMB = 66° як внутрішні різносторонні.
Якщо BM − бісектриса ∠ABC, то за означенням бісектриси ∠ABM = ∠MBC = 1
звідки
∠ABC = 2∠ABM = 2·66° = 132°.
∠B = ∠D = 132° як протилежні кути паралелограма.
∠A + ∠B = 180° як сума сусідніх
∠A = 180° − ∠B;
∠A = 180° − 132° = 48°.
Тоді ∠A = ∠C = 48° як протилежні
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ABC = (90° − x) + ∠NBM + (90° − x);
∠ABC = 180° − 2x + ∠NBM.
∠A + ∠ABC = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма,
звідки
x + 180° − 2x + ∠NBM = 180°;
∠NBM = x.
Отже, кут між висотами паралелограма дорівнює його гострому куту.
70. Доведіть, що кут між висотами паралелограма, проведеними
кута, дорівнює тупому куту паралелограма.
прямокутного трикутника маємо: ∠NBA + ∠BAN = 90°,
звідки ∠BAN = 90° − ∠
∠ADC + ∠ADM = 180° як суміжні,
∠ADM = 180° − ∠ADC;
∠ADM = 180° − x.
Розглянемо прямокутний трикутник AMD (∠M = 90°). За
трикутника маємо:
∠MAD + ∠ADM = 90°,
звідки ∠MAD = 90° − ∠ADM; ∠MAD = 90° − (180° − x) = x − 90°.
∠BAD + ∠ABC = 180°
∠NAM = ∠NAB + ∠BAD + ∠DAM; ∠NAM = (x − 90°) + 180° − x + (x − 90°);
∠NAM = x.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
(див. № 69), тому ∠BAN = ∠BCM = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник ANB (∠N = 90°).
BN = 1/2 AB, звідки AB = 2BN; AB = 2·4 = 8 см.
Розглянемо прямокутний трикутник BMC (∠M = 90°).
Тому BM = 1 2 BC, звідки BC = 2BM; BC = 2·6 = 12 см.
Тоді PABCD = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 2·20 = 40 см.
Відповідь: 40 см.
72. Висоти паралелограма, проведені з вершини
Нехай дано
∠NBA + ∠ABC = 180° як
∠NBA = 180° − ∠ABC;
NBA = 180° − 150° = 30°.
Тому AN = 1 2 AB, звідки AN = 10 : 2 = 5 см. ∠ABC = ∠ADC = 150°
ADC + ∠ADM = 180° як
∠ADM = 180° −
ADM = 180° − 150° = 30°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано рівнобедрений трикутник ABC (AB = BC), DM ∥ AB, DM ∥ BC.
Оскільки DM ∥ AB, DN ∥ BC, то чотирикутник BMDN паралелограм, звідки ND = BM, DM = NB як протилежні сторони паралелограма.
Тоді PBMDN = BM + MD + DN + BN = 2(BN + ND).
Розглянемо паралельні прямі BC і ND та січну AC. Маємо: ∠NDA = ∠BCA як відповідні.
∠BAC = ∠BCA як кути при основі рівнобедреного трикутника.
Тому ∠NDA = ∠BAC, звідки слідує, що трикутник NDA рівнобедрений (NA = ND).
BN + ND = BN + NA = BA.
Тоді PBMDN = 2(BN + ND) = 2AB.
ABC.
Нехай дано трикутник ABC, MN ∥ AC, MP ∥ BC, PN ∥ AB.
результаті
PAMBC = 2(AC + BC), PBNCA = 2(AB + AC), PABCP = 2(AB + BC).
Тоді
AMBC, BNCA і ABCP.
PAMBC + PBNCA + PABCP = 2(AC + BC) + 2(AB + AC) + 2(AB + BC) = 4(AB + BC + AC).
PABC = AB + BC + AC.
Тоді PABC = 100 : 4 = 25 см.
Biдповідь: 25 см .
75.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
паралельні прямі AD і BC та січну AM.
різносторонні. Якщо AM − бісектриса ∠BAD, то
A та D.
бісектриси ∠BAM = ∠MAD = 1 2 ∠BAD, звідки ∠BMA = ∠BAM, тому трикутник ABM − рівнобедрений (AB = BM). Розглянемо паралельні прямі AD і BC та січну DM. Тоді ∠CMD = ∠MDA як внутрішні різносторонні. Якщо DM − бісектриса ∠CDA, то за означенням бісектриси
∠CDM = ∠MDA = 1 2 ∠CDA, звідки ∠CDM = ∠CMD, тому трикутник CMD − рівнобедрений (CD = CM). Так як AB = CD, BC = AD, то CM = AB, BC = AD = 2AB.
Отже, AB : AD = AB : 2AB = 1 : 2.
Відповідь: 1 : 2.
77. На стороні BC паралелограма ABCD існує така точка M, що BM = MD = CD.
Знайдіть кути паралелограма, якщо AD = BD.
Нехай дано паралелограм ABCD, BM = MD = CD, AD = BD. Нехай ∠C = x, ∠MBD = y.
Тоді ∠A = ∠C = x як протилежні кути паралелограма.
різносторонні.
BAD + ∠BDA + ∠ABD = 180°, x + y + x = 180°, 2x + y = 180°.
∠ABC = ∠ABD + ∠CBD; ∠ABC = x + y. ∠ADC = ∠ADB + ∠BDM + ∠MDC;
BD. Маємо: ∠MBD = ∠BDA = y як
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ADC = y + y + 180° − 2x = 3y.
Оскільки ∠ABC = ∠ADC як
x + y = 3y; x = 2y.
Звідки 2·2y + y = 180°; 5y = 180°; y = 36°; x = 2·36° = 72°.
Отже, ∠A = ∠C = 72°; ∠B = ∠D = 180° − 72° = 108°, бо сума
паралелограма дорівнює 180°.
Відповідь: ∠A = ∠C = 72°; ∠B = ∠D = 108°.
78. Iз вершини B паралелограма ABCD опустили перпендикуляр
точку A проведено пряму m, перпендикулярну
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
ABM і BCK.
дорівнюють по 60°. Розглянемо паралельні прямі AD і BC та січну AB.
Тоді ∠KBC = ∠BAD = 60° як відповідні.
∠BAC = ∠BCD = 60° як протилежні кути паралелограма.
Тоді ∠ABC = ∠ADC = (360° − 2·60°) : 2 = 240° : 2 = 120°.
Звідси слідує, що ∠KBC + ∠CBA = 60° + 120° = 180°, тобто ∠ABK розгорнутий.
Тому ∠ABC = ∠MBK = 120° як вертикальні.
∠MAD = ∠MAB + ∠BAD = 60° + 60° = 120°;
∠DCK = ∠DCB + ∠BCK = 60° + 60° = 120°.
3. ∠MAD = ∠DCK = ∠KBM = 120°
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
C
AB,
BC = 5AC. На відрізку AB позначено
1.
дано відрізок AB = 24 см, C ∈ AB, BC = 5AC, AB = 4BD. Нехай точка C лежить
AB = 4BD, 4BD = 24 ⇒ BD = 6 см.
AB = AC + CB;
AB = AC + 5AC; AB = 6AC;
6AC = 24 ⇒ AC = 4 см.
CD = AB − (AC + DB);
CD = 24 − (4 + 6) = 24 − 10 = 14 см.
2. Нехай
AB = BC − AC; AB = 5AC − AC; AB = 4AC;
4AC = 24 ⇒ AC = 6 см.
AD = AB − DB;
AD = 24 − 6 = 18 см.
CD = CA + AD;
CD = 6 + 18 = 24 см.
14 см
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
кола, то AC = BD.
діаметри перетнуться в точці O центрі кола, тоді AO = OC = BO = OD як
цього кола.
Розглянемо трикутники AOB і COD. У них:
1. AO = OC як радіуси; 2. BO = OD як радіуси;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, у чотирикутнику BCKM BC ∥ MK і BC = MK, звідки слідує, що BCKM −
паралелограм.
88. Відрізок AO - медіана трикутника ABD, відрізок BO - медіана трикутника ABC. Доведіть, що чотирикутник ABCD - паралелограм.
Нехай ABCD − чотирикутник, AO − медіана трикутника ABD, BO − медіана трикутника ABC.
Оскільки AO − медіана, то за означенням медіани BO = OD.
Аналогічно, оскільки BO − медіана, то AO = OC.
Тоді в чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD перетинаються в точці O й діляться точкою перетину навпіл, а звідси слідує, що ABCD − паралелограм. 89. Два кола мають спільний
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − паралелограм, AM = CK.
Оскільки ABCD − паралелограм, то AB ∥ DC і AB = DC як протилежні сторони
паралелограма.
Тоді MB ∥ DK.
AB = AM + MB; DC = DK + KC.
Так як AM = CK, то MB = DK.
Отже, у чотирикутнику MBKD MB ∥ DK і MB = DK, тому він є паралелограмом.
92. На діагоналі AC паралелограма ABCD позначили точки M і K так, що AM = CK.
Доведіть, що чотирикутник MBKD паралелограм.
Нехай ABCD − паралелограм, M ∈ AC, K ∈ AC, AM = KC.
Оскільки ABCD − паралелограм, то його
Тому BO = OD, AO = OC.
AO = AM + MO, OC = OK + KC.
Так як за умовою AM = KC, то маємо, що MO = OK.
Розглянемо чотирикутник MBKD.
У ньому діагоналі MK і BD перетинаються і точкою перетину
тому MBKD − паралелограм. 93. На сторонах паралелограма ABCD (рис. 39) відклали рівні відрізки AM, BK, CE і DF.
Доведіть, що чотирикутник MKEF - паралелограм.
Нехай ABCD − паралелограм, AM = BK = CE = DF.
Оскільки ABCD − паралелограм, то KC = AF і MB = DE як різниці
трикутники KCE і FAM. У
1. KC = AF (за доведеним
2. CE = AM (за умовою);
3. ∠C = ∠A (як протилежні
KE = MF
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Розглянемо трикутники MBK і EDF. У них:
1. MB = DE (за доведеним вище);
2. BK = DF (за умовою);
3. ∠B = ∠D (як протилежні кути паралелограма).
Отже, ΔMBK = ΔEDF за двома сторонами і кутом
трикутників).
Тому MK = FE як відповідні елементи рівних трикутників. Отже, у чотирикутнику MKEF маємо KE = MF і MK = FE, тому він є паралелограмом. 94. У трикутнику ABC на продовженні медіани AM за точку M відклали відрізок MK, який дорівнює відрізку AM. Визначте вид чотирикутника ABKC.
Нехай ABC − заданий трикутник, AM − його медіана. Оскільки
MK. Отже, в чотирикутнику ABKC діагоналі AK і BC перетинаються в точці M
ABKC − паралелограм.
95. У чотирикутнику ABCD відомо, що AB ∥ CD, ∠A = ∠C. Доведіть,
ABCD - паралелограм. Нехай ABCD − чотирикутник, AB ∥ CD, ∠A = ∠C. Розглянемо паралельні прямі AB і CD та січну BD.
Тоді ∠ABD = ∠CDB як
трикутник ABD.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠A + ∠ABD + ∠BDA = 180°; ∠BDA = 180° − (∠A + ∠ABD).
Аналогічно розглянемо трикутник BCD.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠C + ∠CDB + ∠DBC = 180°; ∠DBC = 180° − (∠C + ∠CDB). Оскільки ∠A = ∠C і ∠ABD
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − паралелограм, AM − бісектриса кута A, CK − бісектриса кута C.
Тоді AB = CD як протилежні сторони паралелограма, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D як протилежні
кути паралелограма. Крім того, AB ∥ CD, BC ∥ AD.
Оскільки AM − бісектриса, то за означенням бісектриси ∠BAM = ∠MAK = 1 2 ∠BAD.
Розглянемо паралельні прямі BC і AD та січну AM.
Тоді ∠KAM = ∠BMA як внутрішні різносторонні.
Тоді ∠BAM = ∠MAK і ∠KAM = ∠BMA, звідки ∠BAM = ∠BMA.
Аналогічно, якщо CK − бісектриса, то за означенням
∠DCB.
Якщо ∠BAD = ∠BCD, то ∠BMA = ∠MCK.
Розглянемо паралельні прямі AM і CK та січну MC.
∠DCK = ∠KCM = 1 2
маємо: ∠BMA = ∠MCK як відповідні, звідки AM ∥ CK, MC ∥ AK. Тоді одержимо, що
чотирикутник AMCK − паралелограм. 97. На рисунку чотирикутник ABCD
4.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − паралелограм, ∠BEC = ∠DFA.
Оскільки AB ∥ CD як протилежні сторони паралелограма, то AE ∥ CF.
Розглянемо паралельні прямі AB і CD та січну AF.
Тоді ∠BAF = ∠AFD як внутрішні різносторонні кути. Оскільки ∠BEC = ∠DFA за
умовою, то ∠BAF = ∠BEC. Але вони є відповідними кутами при прямих EC і AF та
січній AB, звідки EC ∥ AF. Отже, у чотирикутнику AECF AE ∥ CF і CE ∥ AF, тому
чотирикутник − паралелограм. 99. Побудуйте паралелограм:
1. за двома сторонами та кутом між ними;
1.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AO = OC = 1 2 AC; BO = OD = 1 2 BD.
промінь BO та на його продовженні відкладаю OD = BO, одержую вершину D паралелограма. Сполучаю відрізками точки B і C, точки A і D та точки D і C. Отже, побудований паралелограм ABCD − шуканий, бо в ньому AB = a, AC = b, BD = c за
побудовою.
3. Дано: AB = a − сторона паралелограма ABCD, AC = b − діагональ паралелограма ABCD, ∠P1A1K1 = α − кут між стороною AB і діагоналлю AC паралелограма.
Побудувати: паралелограм ABCD.
Будую довільну пряму m і позначаю
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AD і BC та січну BD.
Маємо: ∠ADB = ∠CBD як внутрішні різносторонні. Розглянемо трикутники AED і CFB. У них:
1. BC = AD як протилежні сторони паралелограма ABCD;
2. ∠EAD = ∠FCB як половини
3. ∠ADB = ∠CBD за доведеним вище. Отже, трикутник AED = трикутник CFB за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників).
Тому AE = CF як відповідні елементи рівних трикутників.
Розглянемо трикутники BAE і DCF. У них:
1. AB = CD як протилежні сторони паралелограма ABCD;
2. AE = CF за доведеним вище;
3. ∠BAE = ∠DCF як половини рівних протилежних кутів паралелограма. Отже, трикутник BAE = трикутник DCF за двома сторонами і кутом
рівності трикутників).
Тому FD = BE як відповідні елементи рівних трикутників.
Розглянемо паралельні прямі AD і BC та січну BD. Маємо: ∠CBE = ∠ADF як
різносторонні.
Розглянемо трикутники BEC і DFA. У них:
1. BC = AD як протилежні сторони паралелограма ABCD;
2. FD = BE за доведеним вище;
3. ∠CBE = ∠ADF за доведеним вище. Отже, трикутник BEC = трикутник DFA
Тому AF = EC як відповідні
паралельні сторони AB і CD та січну AC.
∠BAC = ∠ACD як
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай MNKP − паралелограм, NP − діагональ, O − середина NP, A ∈ MN, B ∈ KP.
Розглянемо паралельні прямі MN і KP (як сторони паралелограма) та січну NP. Маємо:
∠MNO = ∠KPO як внутрішні різносторонні.
Розглянемо трикутники AON і BOP. У них:
1. NO = PO за умовою;
2. ∠NOA = ∠POB як вертикальні;
3. ∠ANO = ∠BPO за доведеним вище. Отже, трикутник AON = трикутник BOP
стороною і двома прилеглими
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AO = OB,
паралелограм.
105. Точки M,N,K і P - середини сторін AB,BC,CD і AD паралелограма ABCD відповідно. Доведіть, що чотирикутник,
AN,BK,CP і DM, - паралелограм.
Нехай ABCD − паралелограм, точки M, N, K і P − середини сторін AB, BC, CD і AD відповідно. Оскільки ABCD − паралелограм, то AB ∥ CD, BC ∥ AD, AB = CD, BC = AD як протилежні сторони, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D як протилежні кути паралелограма.
Розглянемо трикутники ABN і CDP. У них:
1. AB = CD за доведеним вище;
2. BN = PD як половини рівних сторін паралелограма;
3. ∠B = ∠D за доведеним вище. Отже, трикутник ABN = трикутник CDP за двома
сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників). Тому
елементи рівних трикутників.
1)
2)
3)
Отже, трикутник BCK = трикутник
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. Дано: BP = a, BF = b − висоти паралелограма ABCD, BD = c
Побудувати: паралелограм ABCD. Будую довільну пряму
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, AK і BM − бісектриси, які перетинаються під
AK − бісектриса кута A, то за означенням ∠BAK = ∠KAC = 1 2 ∠BAC. Якщо BM −
бісектриса кута B, то за означенням ∠ABM = ∠MBK = 1 2 ∠ABC. Кут BOK − зовнішній кут
трикутника ABO, тому ∠OBA + ∠BAO = 74°.
Розглянемо трикутник ABC. За теоремою про суму
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°;
∠BCA = 180° − (∠ABC + ∠CAB);
∠BCA = 180° − (2∠OBA + 2∠BAO) = 180° − 2(∠OBA + ∠BAO) = = 180° − 2·74° = 180° − 148° = 32°.
Відповідь: 32°.
109. Кут, протилежний
Нехай ABC − рівнобедрений трикутник (AB =
120°.
AC = 2 AM; AC = 2 · 8 = 16 (см).
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
111. Накресліть прямокутник.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − прямокутник, діагоналі AC і BD перетинаються в точці O, ∠ABD = 64°.
Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину поділяються навпіл: AO = OC = BO = OD.
Тому трикутник AOB − рівнобедрений (AO = BO). За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠ABO = ∠OAB = 64°.
∠AOD − зовнішній кут при вершині O трикутника AOB, тому ∠AOD = ∠ABO + ∠BAO;
∠AOD = 64° + 64° = 128°.
∠AOD + ∠COD = 180° як суміжні, звідки ∠COD = 180° − ∠AOD;
∠COD = 180° − 128° = 52°.
Відповідь: 52°, 128°.
115. Діагоналі прямокутника ABCD (рис. 46) перетинаються в точці O, ∠ADB = 30°, BD = 10 см. Знайдіть периметр трикутника AOB.
Нехай ABCD − прямокутник, діагоналі AC і BD перетинаються
який лежить
Тоді PAOB = AO + OB + AB; PAOB = 5 + 5 + 5 =
15 см.
AB = AO = BO = 8 см. BD = 2BO; BD = 2 · 8 = 16 см.
16 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − прямокутник, AC − діагональ, M ∈ AC, K ∈ AC, AM = KC. Розглянемо
паралельні прямі BC і AD (як протилежні сторони прямокутника) та січну AC.
Маємо: ∠BCK = ∠DAM як внутрішні різносторонні.
Розглянемо трикутники BKC і DMA. У них:
1. BC = DA як протилежні сторони прямокутника;
2. KC = MA за умовою;
3. ∠BCK = ∠DAM за доведеним вище.
Отже, трикутник BKC = трикутник DMA за двома сторонами і кутом
ознакою рівності трикутників). Тому BK = MD як
рівних трикутників. Розглянемо паралельні прямі AB і CD (як протилежні сторони
прямокутника) та січну AC.
Маємо: ∠DCK = ∠BAM як внутрішні різносторонні.
Розглянемо трикутники CKD і AMB. У них:
1. CD = AB як протилежні сторони прямокутника;
2. KC = MA за умовою;
3. ∠DCK = ∠BAM за доведеним вище.
Отже, трикутник CKD = трикутник AMB за двома сторонами
ознакою рівності трикутників).
трикутників.
I
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
сторони прямокутника) та січну BD. Маємо: ∠ABD = ∠CDB як
внутрішні різносторонні. Звідси ∠ABE = ∠CDF як
Розглянемо трикутники ABE і CDF. У них:
1. AB = CD як протилежні сторони прямокутника;
2. BE = DF за умовою;
3. ∠ABE = ∠CDF за доведеним вище.
рівними кутами.
Отже, трикутник ABE = трикутник CDF за двома сторонами і кутом між
(за I
ознакою рівності трикутників). Тому AE = CF як відповідні елементи рівних трикутників. Оскільки в чотирикутнику AECF EC = AF і AE = CF, то цей чотирикутник –
паралелограм. 119. Точка M – середина сторони BC прямокутника ABCD, MA ⟂
Нехай ABCD − прямокутник, BM = MC, MA ⟂ MD, PABCD = 36 см.
Розглянемо прямокутні трикутники ABM і DCM (∠B = ∠C = 90°). У них:
1. BM = MC за умовою; 2. AB = DC як протилежні сторони прямокутника. Отже, трикутник ABM = трикутник
DCM за двома катетами. Тому AM = MD як відповідні
Оскільки трикутник
Далі ∠BAD = ∠BAM + ∠MAD; ∠BAM =
Розглянемо прямокутний
BAD − ∠MAD; ∠BAM = 90° − 45° = 45°.
прямокутного трикутника ∠BAM + ∠BMA = 90°; ∠BMA = 90° − ∠BAM; ∠BMA = 90° − 45° = 45°, тому
(AB = BM).
Тоді BC = 2BM = 2AB. PABCD = 2(AB + BC); 36 = 2(AB + 2AB); 36 = 6AB; AB = 6 см.
BC = 2 · 6 = 12 см.
6 см, 12 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Якщо AM − бісектриса ∠BAD, то за
∠BAM = ∠MAD = 1 2 ∠BAD = 90° : 2 = 45°; якщо DM − бісектриса ∠CDA, то
бісектриси ∠CDM = ∠MDA = 1 2 ∠CDA = 90° : 2 = 45°.
Розглянемо прямокутні трикутники ABM (∠ABM = 90°) і DCM (∠DCM = 90°). У них: 1. AB = CD як протилежні сторони прямокутника; 2. ∠BAM = ∠CDM = 45° за доведеним вище.
Отже, трикутник ABM = трикутник DCM за катетом і гострим кутом. Тому BM = MC як
відповідні елементи рівних трикутників.
Розглянемо прямокутний трикутник ABM (∠B = 90°).
За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника ∠BAM + ∠BMA = 90°; ∠BMA = 90° − ∠BAM; ∠BMA = 90° − 45° = 45°, тому трикутник ABM − рівнобедрений (AB = BM).
BC = 2BM = 2AB. PABCD = 2(AB + BC); 30 = 2(AB + 2AB); 30 = 6AB; AB = 5 см.
Тоді BC = 2 · 5 = 10 см.
Відповідь: 5 см, 10 см.
121. Побудуйте прямокутник:
1. за двома сторонами; 2.
1. Дано: AB = a, AD = b - сторони
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. ∠P = ∠K
2. AB = DC
трикутник BAP = трикутник CDK
PA = DK як
BAP.
∠ABP + ∠APB = 90°; ∠ABP = 90° − ∠APB; ∠ABP = 90° − 45° = 45°, тому трикутник BAP − рівнобедрений (PA = BA).
Оскільки PA = BA і PA = DK, то DK = BA.
Нехай AB = 3x см, тоді BC = 5x см.
PK = PA + AD + DK; PK = BA + AD + BA = 2BA + AD.
AD = BC = 5x см як протилежні сторони прямокутника.
Рівняння: 55 = 2·3x + 5x; 55 = 11x; x = 5.
Тоді AB = 3·5 = 15 см, BC = 5·5 = 25 см.
Відповідь: 15 см, 25 см.
125. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = BC = 6 см. Прямокутник CMKN
побудовано так, що точка M належить катету AC, точка N
AB. Знайдіть
прямокутного трикутника ∠NKB + ∠NBK = 90°; ∠NKB = 90° − ∠NBK; ∠NKB =
PCMKN = 2(CM + MK) = 2(CM + MA) = 2CA.
PCMKN = 2 · 6 = 12 см.
Відповідь: 12 см.
126. Серединний перпендикуляр
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
BM:AM = 1:2.
трикутника маємо, що ∠BMA = 90° − ∠BAM = 90° − 30° = 60°.
∠BMA − зовнішній кут трикутника AMC, тому ∠BMA = ∠MAC + ∠MCA.
Проте ∠MAC = ∠MCA як кути при основі рівнобедреного трикутника, тому
∠MAC = ∠MCA = 30°.
∠BAC = ∠BAM + ∠MAC; ∠BAC = 30° + 30° = 60°.
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD; ∠CAD = ∠BAD − ∠BAC; ∠CAD = 90° − 60° = 30°.
Відповідь: 60°, 30°.
127. У прямокутнику ABCD відомо, що ∠BCA : ∠DCA = 1 : 5, AC = 18 см. Знайдіть відстань від точки C до діагоналі BD.
Нехай ABCD − прямокутник, ∠BCA : ∠DCA = 1 : 5, AC = 18 см. ∠BCA + ∠DCA = 90°.
Нехай ∠BCA = x, тоді ∠DCA = 5x.
Рівняння: x + 5x = 90°; 6x = 90°; x = 15°.
Отже, ∠BCA = 15°, а ∠DCA = 5 · 15° = 75°. Розглянемо рівнобедрений трикутник COD (CO = DO як половини рівних діагоналей прямокутника). ∠OCD = ∠ODC = 75° як кути
при основі рівнобедреного трикутника.
∠COD + ∠OCD + ∠ODC = 180°; ∠COD = 180° − (∠OCD + ∠ODC);
∠COD = 180° − (75° + 75°) = 30°.
OC = 1 2 AC; OC = 1 2 · 18 = 9 см як
Розглянемо прямокутний трикутник OKC (∠OKC = 90°). За властивістю
лежить проти кута 30°, маємо: CK = 1 2 OC; CK = 1 2 · 9 = 4,5 см.
Відповідь: 4,5 см. 128. Доведіть, що бісектриси
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠CDT = ∠TDA = 1 2 ∠D.
Але оскільки ∠A = ∠C і ∠B = ∠D як протилежні кути паралелограма, то
∠BAE = ∠EAD = ∠BCF = ∠FCD;
∠ABO = ∠OBC = ∠CDT = ∠TDA.
Розглянемо паралельні прямі BC і AD (як сторони паралелограма) та січну AB.
Маємо: ∠BAD + ∠ABC = 180° як внутрішні односторонні,
звідки 2∠BAE + 2∠ABO = 180°; ∠BAE + ∠ABO = 90°.
Розглянемо трикутник ABK.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∠BAK + ∠ABK + ∠AKB = 180°;
∠AKB = 180° − (∠BAK + ∠ABK);
∠AKB = 180° − 90° = 90°.
Тоді ∠MKP = ∠AKB = 90° як вертикальні. Аналогічно можна довести, що ∠MNP = 90°.
Розглянемо трикутник AMD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∠AMD + ∠MDA + ∠MAD = 180°;
∠AMD = 180° − (∠MDA + ∠MAD);
∠AMD = 180° − 90° = 90°, тому ∠KMN = 90°.
Аналогічно можна довести, що ∠KPN = 90°. Отже,
прямі, тому цей чотирикутник − прямокутник.
даній стороні.
Дано: AB = a − сторона
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
сітки?
1) P = 2(a + b) = 2(80 + 65) = 2 ∙ 145 = 290 (м)
2) 2 ∙ 2 + 1 = 5 (м) загальна довжина проходів;
Отже, довжина, яку треба огородити:
3) 290 – 5 = 285 (м) довжина, яку треба
4) 285 : 10 = 28,5 ≈ 29 (шт) необхідна кількість рулонів;
5) 29 ∙ 850 = 24,650 (грн) мінімальна
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, ∠C = 48°, AK і BM
трикутник CMB (∠CMB = 90°).
∠MCB + ∠MBC = 90°; ∠MBC = 90° − ∠MCB; ∠MBC = 90° − 48° = 42°.
Розглянемо
трикутник OKB (∠OKB = 90°).
прямокутного трикутника ∠KOB + ∠KBO = 90°; ∠KOB = 90° − ∠KBO; ∠KOB = 90° − 42° = 48°.
Відповідь: 48°.
134. Відрізок AD- бісектриса трикутника ABC. Через точку C
AB у точці E. Визначте вид трикутника ACE. Нехай ABC − трикутник, AD − бісектриса, CE ∥ AD. Розглянемо
138.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − ромб, AC − діагональ, ∠CAD = 42°. Оскільки діагональ AC ромба є бісектрисою його кутів, то ∠CAB = ∠CAD = 42°.
Тоді ∠BAD = 2∠CAD; ∠BAD = 2·42° = 84°. За властивістю кутів ромба, прилеглих до однієї сторони, маємо: ∠BAD + ∠D = 180°; ∠D = 180° − ∠BAD; ∠D = 180° − 84° = 96°.
Протилежні кути ромба рівні, тому ∠BCD = ∠BAD = 84°, ∠B = ∠D = 96°.
Відповідь: 84°, 96°, 84°, 96°. 140. У ромбі ABCD відомо, що кут C = 140°,
AOB.
тому
∠OBA + ∠BAO = 90°; ∠OBA = 90° − 70° =
20°, 70°, 90°.
Розв’язання простими міркуваннями:
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
то AB = BC = CD = AD = 24 : 4 = 6 см.
трикутник AED (∠AED = 90°).
AD, тому ∠ADE = 30°. За властивістю
сторони, маємо, що ∠D + ∠C = 180°; ∠C = 180° − ∠D; ∠C = 180° − 30° = 150°.
Відповідь: 30°, 150°, 30°, 150°.
143. Знайдіть периметр ромба ABCD, якщо кут A = 60°, діагональ BD = 9 см.
Нехай ABCD − ромб, BD = 9 см, ∠A = 60°. Розглянемо рівнобедрений трикутник BAD (AB = AD як сторони ромба). Оскільки кут при вершині рівнобедреного трикутника
дорівнює 60°, то цей трикутник − рівносторонній,
∠ABD = ∠ADB = 60° і AB = AD = BD = 9 см.
Тоді PABCD = 4AB; PABCD = 4 · 9 = 36 см.
Відповідь: 36 см.
144. Кут D ромба ABCD у 8 разів
ABCD − ромб,
ADC (AD = DC
∠CAD = x, тоді ∠D = 8x.
теоремою про суму
x + x + 8x = 180°; 10x = 180°; x = 18°. Отже, ∠CAD = 18°. Оскільки AC −
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Розглянемо прямокутний трикутник BOA (∠BOA = 90°, бо діагоналі ромба
перпендикулярні).
Нехай ∠OAB = 2x, тоді ∠OBA = 7x. За властивістю гострих кутів прямокутного
трикутника маємо: ∠OAB + ∠OBA = 90°; 2x + 7x = 90°; 9x = 90°; x = 10°.
Отже, ∠OAD = 2·10° = 20°, ∠OBA = 7·10° = 70°.
Тоді ∠A = ∠C = 2·20° = 40°, ∠B = ∠D = 2·70° = 140°.
Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.
146. Точки M і K - відповідно середини сторін AB і BC ромба ABCD. Доведіть, що MD = KD.
Нехай ABCD − ромб, точки M і K − відповідно середини сторін AB і BC.
Оскільки в ромба всі сторони рівні, то AB = BC = CD = AD.
Так як M і K − відповідно середини сторін AB і BC, то AM = MB = BK = KC як половини рівних відрізків. ∠A = ∠C як протилежні кути ромба.
Розглянемо трикутники AMD і CKD. У них:
1. AD = CD як сторони ромба;
2. ∠A = ∠C як протилежні кути ромба;
3. AM = KC як половини рівних сторін ромба.
Отже, трикутник AMD = трикутник CKD за
147. Точки E і F - відповідно
і
між ними (за I
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − ромб, BM і BN − відповідно висоти, проведені до сторін AD і CD.
Оскільки в ромба всі сторони рівні, то AB = BC = CD = AD. Так як BM і BN − висоти, то ∠BMA = ∠BNC = 90°. ∠A = ∠C як протилежні кути ромба. Розглянемо прямокутні трикутники AMB і CNB. У них:
1. ∠A = ∠C як протилежні кути ромба;
2. AB = BC як сторони ромба. Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників △AMB = △CNB за гіпотенузою
кутом. Тому BM = BN як відповідні елементи
Нехай ABCD − ромб, BM − висота, проведена
як AM = MD і BM
AB = BD = 4 см.
сторони AD, AM = MD,
ABD.
ABCD
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
кутів, тому ∠BDM = ∠BDN = 1 2 ∠ADC.
Так як BM і BN − висоти, то ∠BMD = ∠BND = 90°. Розглянемо
BMD і BND. У них:
1. ∠BDM = ∠BDN за доведеним вище;
2. BD − спільна сторона.
Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників △BMD = △BND
гострим кутом.
Тому ∠MBD = ∠NBD як відповідні елементи рівних трикутників.
151. На сторонах AB і AD ромба ABCD відкладено рівні
Доведіть, що ∠CEF = ∠CFE.
Нехай ABCD − ромб, E ∈ AB, F ∈ AD, AE = AF.
Оскільки в ромба всі сторони рівні, то AB = BC = CD = AD. Так як AE = AF, то BE = DF як різниці
Розглянемо трикутники CBE і CDF. У них:
1. CB = CD як сторони ромба;
2. BE = DF за раніше доведеним;
3. ∠B = ∠D як протилежні
Отже, △CBE = △CDF
трикутників). Тому CE = CF як
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
154. Побудуйте ромб:
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
точках D і B. Сполучаю відрізками точки
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠KBO = ∠PBO.
Розглянемо прямокутні трикутники POB і KOB (∠POB = ∠KOB = 90°). У них:
1. BO − спільна сторона;
2. ∠KBO = ∠PBO за доведеним вище.
Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників △POB = △KOB за катетом і
гострим кутом. Тому KO = OP і KB = PB як відповідні елементи рівних трикутників.
Розглянемо прямокутні трикутники BOP і DOK (∠BOP = ∠DOK = 90°). У них:
1. BO = OD, бо KP − серединний перпендикуляр BD;
2. OP = KO за доведеним вище.
Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників △BOP = △DOK за двома катетами.
Тому KD = BP як відповідні елементи рівних трикутників. Аналогічно з рівності трикутників BOK і DOP можна довести, що KB = DP. Оскільки в чотирикутнику BKDP всі сторони рівні, то цей
= 9 см, ∠BDA = 30°. На сторонах BC і AD позначено відповідно точки
KD = x см, тоді KC = 2x см. AK = KC як сторони ромба. AD = AK + KD.
Рівняння: x + 2x = 9; 3x = 9; x = 3. Отже, KD = 3 см, тоді KC = 2·3 = 6 см. Відповідь: 6 см.
AC = a
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
OD =
Аналогічно на прямій m відкладаю OC = AO.
Сполучаю точки A і D, B і C та C і D.
ромб ABCD
2. Дано: a = d1 − d2
Побудувати: ромб ABCD.
Схема побудови.
Будую довільну пряму r і позначаю
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
5. Дано: a = d1 + d2 − сума діагоналей ромба ABCD, ∠P1A1K1
прямій AK будую
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
161. Дано точки M, N і K. Побудуйте ромб ABCD
AB, а
D до сторони BC відповідно.
M середина сторони AB ромба ABCD, N і K
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − заданий трикутник, AD = AB, CE = BC, DE = 18 см, ∠BDA = 15°, ∠BEC = 36°.
Розглянемо рівнобедрений трикутник DAB (AD = AB). За
трикутника маємо: ∠ABD = ∠ADB = 15°. Кут BAC зовнішній
вершині A трикутника DAB, тому ∠BAC = ∠ADB + ∠ABD = 15° + 15° = 30°.
Розглянемо рівнобедрений трикутник ECB (CE = BC). За властивістю
маємо: ∠CBE = ∠BEC = 36°. Кут BCA зовнішній
C трикутника BCE, тому ∠BCA = ∠CBE + ∠BEC = 36° + 36° = 72°.
У трикутнику ABC: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°; ∠ABC = 180° − (30° + 72°) = 78°.
Оскільки AD = AB і CE = BC, то AB + AC + BC = AD + AC + CE = DE = 18 см.
Відповідь: 30°, 78°, 72°; 18 см. 164. На
Розглянемо «найгірший»
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD - прямокутник, AB = AD. У прямокутнику AB = CD і AD = BC як протилежні сторони. Оскільки AB = AD, то AB = BC = CB = AD, а якщо в прямокутника всі сторони рівні, то він ϵ квадратом. 167. Діагональ BD квадрата ABCD
5 см . Яка довжина діагоналі AC ?
дорівнюють кути трикутника AOB,
ABCD − квадрат, AC −
∠BCD = 90°
AKB і ∠AKC суміжні, тому ∠AKB + ∠AKC = 180°; ∠AKC = 180° − 74° = 106°. Розглянемо трикутник AKC.
AKC + ∠KCA + ∠CAK = 180°;
CAK = 180° − (106° + 45°) = 29°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тоді ∠BAD = ∠BAK + ∠KAD; ∠KAD = ∠BAD − ∠BAK; ∠KAD = 90° − 30° = 60°.
Відповідь: 60°.
170. Чи є правильним твердження:
1. будь-який квадрат є паралелограмом;
Так;
2. будь-який ромб є квадратом;
Ні, бо у ромба не завжди кути дорівнюють по 90°;
3. будь-який прямокутник є квадратом;
Ні, бо не в будь-якого прямокутника всі сторони рівні;
4. будь-який квадрат є прямокутником; Так;
5. будь-який квадрат є ромбом;
Так;
6. якщо діагоналі чотирикутника рівні, то він є прямокутником; Ні;
7. якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні, то він є ромбом; Ні;
8. існує ромб, який є прямокутником; Так;
9.
10. якщо діагоналі
11.
Так.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
утворився, є квадратом.
Нехай ABC − прямокутний трикутник, ∠ABC = 90°, BN − бісектриса ∠ABC, MN ∥ BC, NK ∥ AB. Оскільки MN ∥ BC і NK ∥ AB, то MNKB − паралелограм. Так як ∠ABC = 90°, то MNKB є прямокутником. Оскільки BN − бісектриса ∠ABC і водночас діагональ прямокутника MNKB, то цей прямокутник є квадратом. 173. Точки M, K, N, P є відповідно серединами сторін AB, BC, CD і AD квадрата ABCD. Доведіть, що чотирикутник MKNP квадрат.
Нехай ABCD − квадрат, M ∈ AB, AM = MB, K ∈ BC, BK = KC, N ∈ CD, CN = ND, P ∈
AD, AP = PD. Оскільки ABCD − квадрат, то AB = BC = CD = AD як сторони квадрата.
Тоді AM = MB = BK = KC = CN = ND = AP = PD як
Розглянемо прямокутні трикутники MAP, MBK, NCK, NDP (∠MAP = ∠MBK = ∠NCK = ∠NDP = 90°). У них:
1. AM = MB = CN = ND
2. BK = KC = AP = PD за доведеним
Отже, за ознакою рівності
трикутників △MAP = △MBK
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
ABC
CAB = ∠CBA = 45°. Розглянемо трикутник EFB. У ньому ∠EFB = 90° як
квадрата) EFC, ∠FBE = 45°.
∠BEF + ∠FBE = 90°; ∠BEF = 90° − 45° = 45°.
Тому трикутник EFB − прямокутний і рівнобедрений (FE = FB). CF = DE як сторони
квадрата.
Тоді CF + FE = CF + FB = CB.
Аналогічно CD + DE = AC.
Тому PCDEF = CF + FE + CD + DE = CB + AC = 2AC = 2 · 14 = 28 см.
Відповідь: 28 см.
175. У квадраті ABCD позначено точку M так, що трикутник AMB рівносторонній.
Доведіть, що трикутник CMD рівнобедрений.
Оскільки трикутник AMB − рівносторонній, то
∠CBM + ∠MBA = ∠ABC; ∠CBM = ∠ABC − ∠MBA; ∠CBM = 90° − 60° = 30°.
Аналогічно ∠DAM = 30°.
Розглянемо трикутники BMC і AMD. У них:
1. BC = AD як сторони квадрата;
2. BM = AM як сторони рівностороннього трикутника;
3. ∠CBM = ∠DAM за доведеним вище.
Отже, △BMC = △AMD
трикутників). Тому MC = MD
CMD − рівнобедрений.
176. Доведіть,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AV = AD + DM + ML + LS + SV.
Оскільки сторони
AB + BC + CD = 3AD;
DE + EF + FM = 3DM; MN + NK + KL = 3ML; LP + PO + OS = 3LS;
SQ + QT + TV = 3SV.
Тоді 3(AD + DM + ML + LS + SV) = 3AV = 3 · 16 = 48 см. 178.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠BAM + ∠MAB + ∠AMB = 180°;
∠AMB = 180° − (45° + 45°) = 90°.
∠KMN = ∠AMB = 90° як вертикальні. Аналогічно можна показати, що ∠NPK = 90°.
Розглянемо трикутник AND.
∠NAD + ∠NDA + ∠AND = 180°;
∠AND = 180° − (45° + 45°) = 90°.
Аналогічно можна показати, що ∠BKC = 90°.
Отже, в чотирикутнику MNPK всі кути прямі, тобто він є прямокутником.
Розглянемо прямокутні трикутники BMA і CPD. У них:
1. AB = CD як сторони прямокутника;
2. ∠BAM = ∠CDP за доведеним вище.
Отже, △BMA = △CPD за гіпотенузою і гострим кутом. Тому AM = DP як
елементи рівних трикутників.
У рівнобедреному трикутнику AND AN = DN, тому AN = AM + MN → MN = AN − AM;
DN = DP + PN → PN = DN − DP,
звідки MN = PN як різниці рівних відрізків.
ABCD. Доведіть, що
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − квадрат, точка O лежить у квадраті, ∠OAD = ∠ODA = 15°. Припустимо, що твердження доведене, тобто трикутник BOC − рівносторонній. Тоді виконуються
співвідношення BO = OC = BC і ∠BOC = ∠OCB = ∠OBC = 60°.
Тоді за аксіомою вимірювання кутів ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC; ∠ABO = ∠ABC − ∠OBC,
∠ABO = 90° − 60° = 30°.
Аналогічно ∠DCO = 30°.
Розглянемо трикутники AOB і DOC. У них:
1. ∠ABO = ∠DCO за доведеним вище;
2. BO = CO як сторони рівнобедреного трикутника;
3. AB = DC як сторони квадрата.
Отже, трикутник AOB = трикутнику DOC за
ознакою рівності трикутників). Тому AB = BO = CO = CD як відповідні
рівних трикутників. Тоді трикутники ABO і DCO − рівнобедрені
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ∠BAM = ∠KAD = x, тоді
∠AMB = ∠AKD = 90° − x.
∠BAD = ∠BAM + ∠MAE + ∠EAD;
∠EAD = ∠BAD − (∠BAM + ∠MAE);
∠EAD = 90° − 2x.
∠EAK = ∠EAD + ∠DAK;
∠EAK = 90° − 2x + x = 90° − x.
Розглянемо трикутник EAK.
У ньому ∠EAK = ∠EKA = 90° − x. Тому він рівнобедрений (AE = EK).
Тоді AE = ED + DK = ED + BM = BM + DE.
186. Підлога кімнати
CDE як
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
CED =
CDE = y. ∠BAE = ∠DCM
∠BAE + ∠ABE + ∠BEA = 180°;
∠BAE = 180° − (∠ABE + ∠BEA);
∠BAE = 180° − (x + x) = 180° − 2x.
Розглянемо трикутник CDE. За
маємо:
∠DCM = ∠CED + ∠CDE;
∠DCM = y + y = 2y.
Тому 180° − 2x = 2y; 2x + 2y = 180°;
x + y = 90°.
За аксіомою вимірювання кутів
∠AEC = ∠BEA + ∠BED + ∠DEC;
∠BED = ∠AEC − (∠BEA + ∠DEC);
∠BED = 180° − (x + y) = 180° − 90° = 90°.
Отже, ∠BED = 90°, тому BE ⟂ DE.
188. На рисунку EF∥AD, BF = KF, CF = DF.
Розглянемо трикутники BCF і KDF. У них:
1. BF = KF за умовою;
2. CF = DF за умовою;
3. ∠CFB = ∠DFK як вертикальні.
Отже, трикутник BCF = трикутнику KDF
I ознакою рівності трикутників). Тому ∠CBF = ∠DKF
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Так,
Ні,
Так.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = 1 2 ⋅ 12 =6( см).
Відповідь: 3 см, 4 см, 6 см.
194. Точки M і K - середини сторін AB і AC трикутника ABC відповідно. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо периметр трикутника MAK дорівнює 17 см .
Нехай ABC − трикутник, PMAK = 17 см, точки M і K − середини сторін AB і AC.
M − середина AB, то AB = 2AM, аналогічно AC = 2AK. За теоремою
трикутника MK = 1 2BC; BC = 2MK.
PABC = AB + BC + AC = 2AM + 2MK + 2AK = 2(AM + MK + AK) = 2PMAK = 2·17 =
Відповідь: 34 см .
Нехай ABC − трикутник, MN, MP і
DE ∥ AC, DE = 1 2 AC DF ∥ AB, DF = 1 2 AB
EF ∥ BC, EF = 1 2 BC
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
DE = DF = EF
Тоді:
1
2 AC = 1 2 AB = 1 2 BC ⇒ AC = AB = BC
Отже, такий
трикутнику.
197. Доведіть, що
трикутники.
Нехай ABC − трикутник, MN, MP і NP − середні
лінії, то AM = MB, BN = NC, AP = PC.
теоремою
MN = 1 2 AC; MP = 1 2 BC; NP = 1 2 AB.
Тоді AM = MB = NP, BN = NC = MP, AP = PC = MN.
Тоді △MBN = △PNC = △NPM = △AMP
трикутників).
198. Точки E і F - відповідно
ABC − трикутник,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
трикутника маємо, що EF ∥ BC. Якщо BC ⟂ AM і EF ∥ BC, то AM ⟂ EF.
AB = BC = (46 − 12) : 2 = 34 : 2 = 17 см.
17 см, 17 см, 12 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − чотирикутник, AC + BD = 28 см.
PMNKP = MN + NK + KP + MP. За теоремою
MN = 1 2 AC; NK = 1 2 BD; KP = 1 2 AC; MP = 1 2 BD.
Тоді
PMNKP = 1 2 AC + 1 2 BD + 1 2 AC + 1 2 BD = AC + BD = 28 см.
Відповідь: 28 см. 204.
вид чотирикутника
Нехай ABCD − ромб, AC і BD − діагоналі, AC = 14 см, BD = 8 см, M, N, P і K −
відповідно середини сторін ромба AB, BC, CD і AD. MN − середня лінія трикутника ABC, тому MN ∥ AC і MN = 1 2 AC; MN = 14 : 2 = 7 см.
Аналогічно:
NP ∥ BD і NP = 1 2 BD; NP = 8 : 2 = 4 см;
PK ∥ AC і PK = 1 2 AC; PK = 14 : 2 = 7 см; MK ∥ BD і MK = 1 2 BD; MK = 8 : 2 = 4 см.
з того,
MNP = 90°, тому він є
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − прямокутник, AC і BD − діагоналі, AC = BD = 12 см, M, N, P і K −
відповідно середини сторін прямокутника AB, BC, CD і AD. MN − середня лінія трикутника ABC, тому MN ∥ AC і MN = 1 2 AC; MN = 12 : 2 = 6 см.
Аналогічно NP ∥ BD і NP = 1 2 BD; NP = 12 : 2 = 6 см; PK ∥ AC і PK = 1 2 AC; PK = 12 : 2 = 6 см;
MK ∥ BD і MK = 1 2 BD; MK = 12 : 2 = 6 см.
Отже, з того, що MN ∥ AC, NP ∥ BD, PK ∥ AC і MK ∥ BD, випливає, що MN ∥ PK, NP ∥ MK, тому чотирикутник MNPK − паралелограм. Оскільки MN = NP = PK = MK = 6 см, паралелограм MNPK є ромбом.
Відповідь: Ромб; 6 см, 6 см, 6 см, 6 см.
206. Доведіть, що вершини трикутника рівновіддалені
лінія.
2. ∠PMA = ∠OMB як вертикальні. Отже, △APM = △MOB за гіпотенузою
рівних трикутників.
прямокутні трикутники BON
1. BN = NC,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, M ∈ AB, AM = 3BM, K ∈ BC, CK = 3BK, AC = 16 см.
BNP.
∥ NP, то MK ∥ AC. 208. Кути BAD і BCE - зовнішні
Нехай ABC − трикутник, PABC = 18 см, AM і CK − бісектриси, BD ⟂ AM, BE ⟂ CK.
Розглянемо прямокутні трикутники AMD і AMB (∠AMD = ∠AMB = 90°). У них:
1. MA − спільна сторона;
2. ∠DAM = ∠MAB, бо AM − бісектриса кута BAD.
Отже, △AMD = △AMB за катетом і гострим кутом. Тому DM = MB і DA = AB як
відповідні елементи рівних трикутників.
Розглянемо прямокутні трикутники CKB і CKE (∠CKB = ∠CKE = 90°). У них:
1. CK − спільна сторона;
2. ∠ECK = ∠KCB, бо CK − бісектриса кута BCE. Отже, △CKB = △CKE
рівних трикутників.
DM = MB і BK = KE, то MK − середня
трикутника DBE. DE = DA + AC + CE = AB + AC + BC = PABC.
9 см.
209. Побудуйте
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
аналогічно описаному вище, побудувати DO ⟂ k. Проводжу коло з центром у точці K радіуса MN. У результаті
DO одержую точки A і C.
Будую промені AM і CN, які
Отже, трикутник ABC − шуканий за побудовою.
210. Побудуйте паралелограм
Дано: M, N і K − середини сторін паралелограма
Побудувати: паралелограм ABCD. Схема побудови. Сполучаю
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тоді ∠CQR = ∠CBD. Отже, BD ∥ QR за властивістю
BD, то AC ⟂ QR.
AC ⟂
Нехай AC ∩ QR = G. Так як точки M і N − відповідно середини сторін AB і AD, то MN − середня лінія трикутника ABD, звідки MN ∥ BD. Але BD ∥ QR, тому MN ∥ QR.
Тоді ∠LNM = ∠LRQ як відповідні кути при паралельних прямих MN і QR та січній LR. У той же час NL ⟂ BC, тому RL ⟂ QC. Отже, RL − висота трикутника QCR. Таким чином, QK ⟂ CR, CG ⟂ QR, RL ⟂ QC, тобто QK, CG і RL − висоти трикутника QCR, тому
перетинаються в одній точці − точці O, звідки випливає, що O ∈ CR, тобто O ∈ AC. 212. Сторони AB і CD опуклого чотирикутника ABCD рівні. Через середини діагоналей AC і BD проведено пряму, яка перетинає сторони AB і CD у точках
Доведіть, що ∠BMN = ∠CNM. Нехай ABCD − опуклий чотирикутник,
середини діагоналей AC і BD, M ∈ AB, N ∈ CD, AB = CD. Виконаємо добудову: позначимо точку K як середину сторони BC і сполучимо
точками E і F. Тоді EK − середня лінія трикутника ABC, FK
трикутника BCD. Оскільки AB = CD за умовою, то EK = FK, тому трикутник EKF − рівнобедрений. За властивістю кутів
AB
Аналогічно ∠CNF = ∠KFE.
Тоді ∠BMN = ∠CNM.
213. До кола
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
214. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, ∠B = 32°, AK - бісектриса
M. Знайдіть кут AKM.
Нехай ABC − рівнобедрений трикутник, AB = BC, ∠B = 32°, AK − бісектриса, KM ∥ AB. За властивістю кутів при основі
BAC = ∠BCA = (180° − 32°) : 2 = 74°.
AK − бісектриса, то ∠BAK = ∠KAC = 74° : 2 = 37°.
Розглянемо паралельні прямі AB і KM та січну
внутрішні різносторонні.
Відповідь: 37°.
215. Діагональ BD паралелограма
прямокутний трикутник CMB (∠CMB = 90°). У ньому
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
=
=
AM = MB = BN = NC = AK = KC = 0,5 см.
цих трикутників міститься
більша
Висоти: 1. BE, MN, PK, FD; 2. DF, KC, EM, PB.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
трапеція DBAE (основи: DB і EA,
трапеція ABCK (основи: AK і BC,
a. Так; основи: AD і BC, бічні сторони: AB і CD; б. Ні,
в. Так, основи: AD і BC, бічні сторони: AB і CD. 221. Периметр рівнобічної трапеції
Нехай ABCD − рівнобічна
PABCD = AB + BC + CD + AD;
AB = CD = PABCD (BC + AD) 2
AB = CD = 52 − (13 + 21) 2 =9(см)
Відповідь: 9 см.
222. Периметр
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), PABCD = 49 см, AB = 5,6 см, CD = 7,8 см.
PABCD = AB + BC + CD + AD.
Нехай менша основа BC = x см, тоді AD = (x + 7,4) см.
Рівняння:
5,6 + x + 7,8 + x + 7,4 = 49; 2x = 28,2; x = 14,1.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, BC = 14,1 см, тоді AD = 14,1 + 7,4 = 21,5 см.
Відповідь: 14,1 см, 21,5 см.
223. Доведіть, що сума
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC). Розглянемо паралельні прямі AD і BC та січну AB. ∠DAB + ∠ABC = 180°,
224. 1. Знайдіть
A і C трапеції ABCD
∠A = 180° − 132° = 48°; ∠C + ∠D =
∠C = 180° − ∠D; ∠C = 180° − 24° = 156°;
2. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 38°. ∠A +
Рівняння: x + x + 38° = 180°; 2x = 142°; x = 71°.
Отже, ∠A = 71°, ∠B = 71° + 38° = 109°.
Відповідь: 1. 48°, 156°; 2. 71°, 109°.
225. Знайдіть кути трапеції ABCD,
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC).
∠C : ∠D = 8 : 7.
Нехай ∠C = 8x, тоді ∠D = 7x.
∠C +
8x + 7x = 180°; 15x = 180°; x = 12°.
Отже, ∠C = 8·12° = 96°,
∠D = 7·12° = 84°.
Відповідь: 96°, 84°.
226.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD), ∠A = 46°.
∠A + ∠B = 180° як кути трапеції,
∠B = 180° − ∠A; ∠B = 180° − 46° = 134°; ∠D = ∠A = 46°
трапеції.
Відповідь: 134°, 46°, 134°.
227. Знайдіть
Нехай ABCD
Нехай ∠A = x, тоді ∠C = x + 20°.
∠B = ∠C як
прилеглі
бічної сторони. Рівняння: x + x + 20° = 180°; 2x = 160°; x = 80°.
Отже, ∠A = ∠D = 80°, ∠B = ∠C = 80° + 20° = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.
з ∠B і
CFD (∠BEA = ∠CAB = 90°). У них:
1. ∠A = ∠D за умовою; 2. BE = CF як висоти трапеції.
Отже, △BEA = △CFD
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Перевіримо
Нехай ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.
Оскільки ∠A + ∠B = 180° і ∠C + ∠D = 180° як
∠D і ∠B = ∠C.
BEA і CFD (∠BEA = ∠CFD = 90°). У них:
1. ∠A = ∠D за доведеним вище; 2. BE = CF як висоти трапеції. Отже, △BEA = △CFD
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція
(AD ∥ BC, AB = CD), ∠BAF = 60°, AB = CD = 18 см, AD + BC = 50 см.
Добудуємо висоти BF і CK. Розглянемо прямокутний трикутник AFB. За властивістю
гострих кутів прямокутного трикутника
∠BAF + ∠ABF = 90°;
∠ABF = 90° − ∠BAF;
∠ABF = 90° − 60° = 30°.
Тоді за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:
AF = 1 2 AB;
AF = 1 2 · 18 = 9 см.
Розглянемо прямокутні трикутники BFA і CKD (∠BFA = ∠CKD = 90°). У них:
1. ∠A = ∠D як кути при основі рівнобічної трапеції;
2. AB = CD як бічні сторони рівнобічної трапеції.
Отже, трикутник BFA = трикутнику CKD за гіпотенузою і гострим кутом. Тому AF = KD = 9 см як відповідні елементи рівних трикутників.
За аксіомою вимірювання відрізків
BC + AD = BC + AF + FK + KD.
Чотирикутник FBCK − прямокутник, тому BC = FK. Тоді
BC = FK = BC+AD−(AF+KD) 2 = 50−(9+9) 2 = 16 см.
Отже, BC = 16 см, AD = 2AF + FK; AD = 2 · 9 + 16 = 34 см.
Відповідь: 16 см, 34 см.
236. Основи
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
KD = AD − AK;
KD = 24 − 10 = 14 см.
Тоді AB = 14 см.
Відповідь: 14 см .
237. Основи
Нехай ABCD − прямокутна трапеція (AD ∥ BC), BC = 7 см, AD = 15 см, ∠KDC = 60°.
Добудуємо висоту CK. Чотирикутник ABCK − прямокутник, тому AB = KC і BC = AK.
Розглянемо прямокутний трикутник CKD (∠CKD = 90°).
∠KCD + ∠KDC = 90°;
∠KCD = 90° − ∠KDC;
∠KCD = 90° − 60° = 30°.
За аксіомою вимірювання
AD = AK + KD;
KD = AD − AK;
KD = 15 − 7 = 8 см. За властивістю
KD = 1 2 CD;
CD = 2KD;
CD = 2·8 = 16 см.
Відповідь: 16 см.
MN
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), BC = 5 см, MN = 8 см.
MN = AD + BC 2 ⇒ AD = 2MN BC =2 ⋅ 8 5= 11 (см)
Відповідь: 11 см. 240. Одна
основи трапеції.
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), AD > BC на 8 см, MN = 17 см.
середньої лінії трапеції MN = AD+BC 2 . Нехай BC = ���� см, тоді AD =(���� +8)(см).
Рівняния: 17 = ���� +8+ ���� 2 ⇒ 2���� +8= 34 ⇒ 2����
Oтже, BC = 13 см, AD = 13 + 8 = 21 (см).
Відповідь: 13 см, 21 см . 241. Основи трапеції
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), BC:AD = 3:4, MN = 14 см. За
трапеції MN = AD+BC 2 .
Нехай BC =3���� см, тоді AD =4���� см.
Рівняння: 14 = 3���� +4���� 2 ⇒ 7���� = 28; ���� =4 Отже, BC = 3⋅4 = 12 (см), AD = 4⋅4 = 16 (см).
12 см, 16 см. 242.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD - прямокутна трапеція (AD∥BC, AB⊥AD), CK - висота, AK = 7 см, KD = 5 см.
Оскільки BC∥AK, BA⊥AK, CK⊥AK, то чотирикутник ABCK - прямокутник.
Тоді BC = AK = 7 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AK + KD = 7 + 5 = 12 (см).
За властивістю середньої лінії трапеції MN = AD + BC 2 = 12 +7 2 =9,5(см)
Відповідь: 9,5 см 243. Середня
Нехай ABCD − прямокутна трапеція (AD
BC, AB⊥AD), MN − середня
MN = 9 см, AK:KD = 2:1. Оскільки BC∥AK, BA⊥AK, CK⊥AK, то чотирикутник ABCK −
прямокутник. Тоді BC = AK.
За аксіомою вимірювання відрізків AD = AK + KD.
Нехай KD = x см, тоді BC = AK = 2x см, AD = 2x + x = 3x см.
За властивістю середньої лінії трапеції MN = AD+BC 2 .
Рівняння: 9 = 3����+2���� 2 ; 5x = 18; x = 3,6.
Тоді BC = 2·3,6 = 7,2 см, AD = 3·3,6 = 10,8 см.
Відповідь: 7,2 см, 10,8 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD;
∠BAD = 20° + 50° = 70°.
∠A = ∠D = 70° як кути
Розглянемо трикутник ACD.
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°;
∠ACD = 180° − (∠CAD + ∠ADC);
∠ACD = 180° − (50° + 70°) = 60°.
Відповідь: 50°, 60°.
245. У трапеції ABCD відомо, що BC ∥ AD, AB ⟂ AD, BC = CD, ∠ABD = 80°. Знайдіть кути трапеції.
Нехай ABCD − прямокутна трапеція (AD ∥ BC, AB ⟂ AD), BC = CD, ∠ABD = 80°.
За аксіомою вимірювання кутів ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC;
∠DBC = ∠ABC − ∠ABD = 90° − 80° = 10°.
∠ADB = ∠DBC = 10° як внутрішні різносторонні
BD. Трикутник BCD − рівнобедрений з основою BD, тоді ∠
∠ADC = ∠ADB + ∠BDC;
∠ADC = 10° + 10° = 20°.
Відповідь: 90°, 90°, 160°, 20°.
якщо
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), BC = 6 см, BM ∥ CD, PABM = 16 см.
Оскільки BC ∥ MD і BM ∥ CD, то чотирикутник BCDM − паралелограм.
Тому MD = BC = 6 см, BM = CD.
PABCD = AB + BC + CD + AM + MD = AB + BC + BM + AM + MD; PABM = AB + BM + AM,
тому PABCD = PABM + BC + MD;
PABCD = 16 + 6 + 6 = 28 см.
Відповідь: 28 см.
247. Через
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), CE ∥ AB, ∠D = 35°, ∠DCE = 65°.
∠D + ∠C = 180° як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції, тому ∠C = 180° − ∠D;
∠C = 180° − 35° = 145°.
Розглянемо трикутник ECD. За теоремою про суму кутів трикутника
∠CED + ∠ECD + ∠CDE = 180°;
∠CED = 180° − (∠ECD + ∠CDE);
∠CED = 180° − (65° + 35°) = 80°.
Оскільки AB ∥ EC за побудовою, то ∠A = ∠CED = 80° як відповідні
паралельних прямих AB і CE та січній AE.
∠AEC + ∠CED = 180°;
∠AEC = 180° − ∠CED;
∠AEC = 180° − 80° = 100°, тому ∠B = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 145°, 35°.
248. Діагоналі рівнобічної трапеції ABCD (AB = CD)
що AO = OD і BO = OC.
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD), AC і BD − діагоналі,
Отже, трикутник ABD = трикутнику ACD за двома сторонами і
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD), AC і BD − діагоналі, AC ∩ BD = O, ∠COD = 60°, BF − висота, BF = h.
Кути COD і DOA − суміжні, тому
∠COD + ∠DOA = 180°;
∠DOA = 180° − ∠COD;
∠DOA = 180° − 60° = 120°.
Трикутник AOD − рівнобедрений, бо AO = DO як частини діагоналей рівнобічної
трапеції, які перетинаються в точці O.
Тоді ∠OAD = ∠ODA як кути при основі рівнобедреного трикутника, звідки
∠OAD = ∠ODA = (180° − 120°) : 2 = 30°.
Розглянемо прямокутний трикутник BFD (∠BFD = 90°).
За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:
BF = 1 2 BD; BD = 2BF = 2h.
Отже, діагоналі рівнобічної трапеції дорівнюють 2h. 250. Сторони трапеції дорівнюють a, a, a
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥
трапеція рівнобічна.
Нехай AB = BC = CD = a, тоді AD = 2a.
∠BAF + ∠ABF = 90°;
∠BAF = 90° − ∠ABF;
∠BAF = 90° − 30° = 60°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Пояснення:
1.
2.
(позначимо його x).
3. Оскільки трапеція рівнобічна,
4. Якщо
5. Отже, у прямокутному
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
254. Побудуйте рівнобічну
та діагоналлю. Дано: AD = a − основа рівнобедреної трапеції ABCD, AC = b − діагональ, AB = CD = c − бічна сторона. Побудувати: рівнобедрену трапецію ABCD. Схема побудови. Будую довільну
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тому AF = AD−BC 2 ; BC = AD − 2AF; BC = 10 − 2·3 = 4 см.
MN = AD + BC 2 = 10 +4 2 =7 (см)
Відповідь: 7 см.
256. Діагональ рівнобічної трапеції
середню лінію трапеції.
Нехай ABCD – рівнобічна трапеція (AD∥BC, AB=CD), AC=14 см, ∠CAF=60°. Проведемо висоту CF. Розглянемо
ACF=90°−∠CAF; ∠ACF=90°−60°=30°.
Тоді за
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AE = EF = FK = KB, DN = NM = MP = PC.
EN, FM і KP, якщо AD = 19 см, BC = 11 см.
Нехай ABCD - трапеція (AD∥BC), AE = EF = FK = KB, DN = NM = MP = PC, AD = 19cм, BC = 11cм.
AF = AE + EF; FB = FK + KB, звідки AF = FB, тобто точка
Аналогічно можна показати, що M - середина
трапеції ABCD.
�������� = �������� +��������
2 = 19+11 2 = 15 (см).
AE = EF, тобто точка E − середина
= �������� +��������
2 = 19+15 2 = 17 (см).
FK = KB, тобто
KP - середня
= ��������+��������
2 = 15+11
2 = 13 (см).
Відповідь: 17 см,15 см, 13 см.
AC.
AC (AD = CD).
BC = 2x см,
68 = AB + BC + CD + AD. Рівняння: 68 = 5x + 2x + 5x + 5x 17x = 68 x = 4
Тоді:
AF.
AB = CD = AD = 5x см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
BC = 2·4 = 8 см
AB = CD = AD = 5·4 = 20 см
Відповідь: BC = 8 см, AB = CD = AD = 20 см.
260. У трапеції ����������������
60 см .
що �������� = �������� , �������� = 24 см,
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD∥BC, AB = CD), BD − діагональ, ∠ADB = ∠CDB, AD = 24 см, PABCD = 60 см.
∠ADB = ∠CBD як внутрішні різносторонні при паралельних
BD.
Тому ∠CDB = ∠ADB = ∠CBD,
звідки випливає, що трикутник BCD − рівнобедрений
Тоді AB = BC = CD.
PABCD = AB + BC + CD + AD.
Рівняння:
60 = AB + BC + CD + 24
AB + BC + CD = 36
AB = BC = CD = 36 : 3 = 12 см
Відповідь: AB = BC = CD = 12 см.
261. Діагональ рівнобічної
стороні.
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD∥BC, AB = CD), AC −
BCA
∠BCA = ∠CAD = ∠BAC = x.
∠A = ∠
∠CAD + ∠CDA = 90°
x + 2x = 90°
3x = 90° x = 30°
∠A = ∠D = 2·30° = 60°. ∠A + ∠B = 180°
BD (BC = CD).
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠B = 180° − ∠A
∠B = 180° − 60° = 120°.
∠B = ∠C = 120° як кути
Відповідь: ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°.
відрізок CM - висота трапеції, AB = 8 см, ∠D = 60°. Знайдіть: 1. основу AD; 2. відрізок MD; 3. середню лінію трапеції; 4. основу BC; 5. периметр трапеції. Використовуючи
= 60°, тоді ∠A = 90° - 60° = 30°.
лежить проти кута 30°: AD = CD ∙ 2 = 8 ∙ 2 = 16 см. (Л)
2. У трикутнику CMD кут M = 90°,
∠D = 60°, тоді ∠C = 90° - 60° = 30°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD∥BC, AB = CD), AC і BD − діагоналі, AC ⟂ BD.
Розглянемо трикутники ABD і DCA. У них:
1. AD − спільна сторона;
2. AB = CD як бічні сторони рівнобічної трапеції;
3. ∠BAD = ∠CDA як кути при основі рівнобедреної трапеції.
Отже, △ABD = △DCA за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності
трикутників).
Тому ∠BDA = ∠CAD як відповідні елементи рівних трикутників.
Розглянемо прямокутний трикутник AOD (∠AOD = 90°).
Оскільки ∠ODA = ∠OAD за раніше доведеним,
трикутника
∠ODA = ∠OAD = 45°.
Проведемо висоту BF.
За властивістю гострих кутів
∠BDF + ∠FBD = 90°
∠FBD = 90° − ∠BDF
∠FBD = 90° − 45° = 45°
Тому BF = FD як
BDF.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
3. ∠BAD = ∠CDA
△ABD = △DCA
AOD
∠ODA + ∠OAD + ∠AOD = 180°;
∠AOD = 180° − (∠ODA + ∠OAD);
∠AOD = 180° − (45° + 45°) = 90°,
тобто AO ⟂ OD, або AC ⟂ BD.
265. Діагональ прямокутної
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠CAD + ∠D + ∠ACD = 180°; x + 2x + 2x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
Тому ∠A = ∠D = 2·36° = 72°.
∠DAB + ∠ABC = 180° як кути, прилеглі
∠ABC = 180° − ∠DAB;
∠ABC = 180° − 72° = 108°.
Тому ∠B = ∠C = 108°.
Відповідь: ∠A = ∠D = 72°, ∠B = ∠C = 108°.
267. У трапеції ABCD (BC∥AD) відомо, що AC⊥BD, ∠CAD = 30°, BD = 8 см. Знайдіть
середню лінію трапеції.
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), AC ⟂ BD, ∠CAD = 30°, BD = 8 см.
Розглянемо прямокутний трикутник AOD (∠AOD = 90°). У ньому катет OD лежить
проти кута 30°, тому DO = 1 2 AD; AD = 2DO.
∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при паралельних
AC, звідки випливає, що ∠BCA = ∠CAD = 30°.
Розглянемо прямокутний трикутник BOC (∠BOC = 90°).
кута 30°, тому BO = 1 2 BC; BC = 2BO.
За властивістю середньої
MN = AD+BC 2 = 2DO+2BO 2 = DO + BO = BD.
Отже, MN = BD =8 см.
Відповідь: 8 см.
268. Доведіть, що
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Умова. У трапеції ABCD з основами AD∥BC діагоналі рівні: AC = BD. Довести, що
трапеція рівнобічна (AB = CD).
Доведення.
Опустимо перпендикуляри з C і D на пряму AD: CF⊥AD, BE⊥AD.
Розглянемо два прямокутні трикутники: ∆ACF та ∆DBE.
Їхні гіпотенузи рівні: AC = BD (за умовою).
Один катет у них теж рівний: CF = BE це спільна
AD і BC.
Отже, ∆ACF = ∆DBE за гіпотенузою і катетом. Звідси AF = DE.
Тепер розглянемо прямокутні трикутники ∆ABE і
З рівності AF = DE випливає AE = DF, бо AE = AF − FE і DF = DE − FE.
Отже, у
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
та C і D. Отже, побудована трапеція ABCD − шукана, бо в ній AD = a, LR = h, AC = b, BD = c за
побудовою.
3. Дано: AD−BC = a − різниця основ трапеції ABCD,
= d − діагональ. Побудувати: трапецію ABCD.
Схема побудови. Будую довільну пряму m
коло радіуса AD−BC = a, яке
K.
K
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
272. Побудуйте трапецію:
1. за основами та діагоналями; 2. за бічними сторонами, середньою лінією та висотою; 3. за бічними сторонами, висотою та однією з діагоналей.
1. Дано: AD = a, BC = b − основи трапеції ABCD, AC = c, BD = d − діагоналі.
Побудувати: трапецію ABCD. Схема побудови. Будую довільну
коло радіуса AD = a, яке
E радіуса BD = d і коло
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
3. Дано: AB = a, CD = b − бічні сторони трапеції ABCD, RL = h
− діагональ. Побудувати: трапецію ABCD. Схема побудови. Будую довільну пряму
m, яка проходить через точку R.
трапеції,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, AB і CD − діаметри. Розглянемо трикутники AOC і BOD. У них:
1. AO = BO як радіуси;
2. CO = DO як радіуси;
3. ∠AOC = ∠BOD як вертикальні. Отже, трикутник AOC = трикутнику BOD за двома сторонами і
першою ознакою рівності трикутників). Тому AC = BD і ∠CAO = ∠DBO як відповідні
елементи рівних трикутників. Оскільки ∠CAO = ∠DBO і вони є внутрішніми
AOC − рівнобедрений,
∠COB = 2∠CAO = 2∠BAC. 276. Пряма AB дотикається
OB. Нехай (O; R) − коло, AC = BC.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, AB ⟂ OC, CK = KO. Оскільки OB = OC як радіуси, то трикутник OCB − рівнобедрений з основою CB. У ньому BK − висота та медіана, бо BK ⟂ OC і CK = KO. Тоді OB = BC, отже OC = OB = BC, тому трикутник OCB − рівносторонній, звідки ∠COB = ∠BCO = 60°. Аналогічно можна показати, що трикутник OCA − рівносторонній, звідки ∠AOC = ∠OCK = 60°. За аксіомою вимірювання кутів:
1. ∠AOB = ∠AOC + ∠COB; ∠AOB = 60° + 60° = 120°;
2. ∠ACB = ∠BCO + ∠OCK; ∠ACB = 60° + 60° = 120°.
Відповідь: 1. 120°; 2. 120°. 278. Многокутник розбито
x + x + 80° = 360°; 2x = 280°; x = 140°.
ACB = 140° + 80° = 220°.
140°, 220°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ∪AB = 7x, тоді ∪ACB = 11x. Градусна
∪AB + ∪ACB = 360°.
Рівняння:
7x + 11x = 360°; 18x = 360°; x = 20°.
Отже, ∪AB = 7·20° = 140°, тоді ∪ACB = 11·20° = 220°.
Відповідь: 140°, 220°.
282. Знайдіть градусну міру дуги,
год; 3) за 8 год; 4) за 30 хв; 5) за 12 год.
1. 360° : 12 · 2 = 60°;
2. 360° : 12 · 5 = 150°;
3. 360° : 12 · 8 = 240°;
4. 360° : 12 · 0,5 = 15°;
5. 360° : 12 · 12 = 360°.
Відповідь: 1. 60°; 2. 150°; 3. 240°; 4. 15°; 5. 360°.
283. Які з кутів,
1.
360°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠DBA = 1 2 · 60° = 30°.
Відповідь: 1. 40°; 2. 35°; 3. 160°; 4. 30°.
285. Обговоріть
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
рисунку ∪AB = 70°, ∠ABC = 60°.
∠ABC − вписаний у коло кут, що спирається
BC.
Тоді ∠ABC = 1 2 ∪AC, звідки ∪AC = 2∠ABC; ∪AC = 2·60° = 120°.
Градусна міра всього кола дорівнює 360°.
∪AB + ∪BC + ∪AC = 360°;
∪BC = 360° − (∪AB + ∪AC);
∪BC = 360° − (70° + 120°) = 170°.
Відповідь: 170°.
288. На рисунку ∪AB = 64°, ∪BC = 92°.
Градусна міра всього кола дорівнює 360°.
∪AB + ∪BC + ∪AC = 360°;
∪AC = 360° − (∪AB + ∪BC);
∪AC = 360° − (64° + 92°) = 204°.
ABC −
∠ABC = 1 2 ∪AC; ∠ABC = 1 2 · 204° = 102°.
Відповідь: 102°.
289. Центральний
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, ∠ABC = 25°,
тоді ∠AOC = 25° + 25° = 50°.
Відповідь: 50°, 25°.
290.
∪AKB : ∪AMB = 3 : 7.
Нехай ∪AKB = 3x, тоді ∪AMB = 7x.
Градусна
всього
360°. ∪AKB + ∪AMB = 360°.
Рівняння: 3x + 7x = 360°; 10x = 360°; x = 36°.
Отже, ∪AKB = 3·36° = 108°,
тоді ∪AMB = 7·36° = 252°.
∠AMB − вписаний у коло кут, що
∠AMB = 1 2 · 108° = 54°.
Аналогічно ∠AKB = 1 2 ∪AMB;
∠AKB = 1 2 · 252° = 126°.
Відповідь: 54°, 126°.
На
∠AMB = 1 2
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
УМАНЬ.
Нехай (O; R) − коло, AB = CD. Розглянемо трикутники AOB і COD. У них:
1. AO = CO як радіуси; 2. BO = DO як радіуси;
3. AB = CD за умовою.
Отже, ΔAOB = ΔCOD за трьома сторонами (за III
∠AOB = ∠COD як відповідні
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
x + 2x + 3x = 360°; 6x = 360°; x = 60°.
Отже, ∪AB = 60°, тоді ∪BC = 2·60° = 120°; ∪AC = 3·60° = 180°.
∠BCA − вписаний у
∠BCA = 1 2 ∪AB; ∠BCA = 1 2 · 60° = 30°.
Аналогічно
∠BAC = 1 2 ∪BC; ∠BAC = 1 2 · 120° = 60°;
∠ABC = 1 2 ∪AC; ∠ABC = 1 2 · 180° = 90°.
Відповідь: 30°, 60°, 90°.
295. Вершини рівнобедреного трикутника ABC(AB = BC) ділять описане навколо
ABC.
Нехай (O; R) − коло, ABC − рівнобедрений трикутник (AB = BC), ∪AB
Тому ∠BCA = 1 2 ∪AB; ∠BCA = 1 2 · 70° = 35°.
Аналогічно ∠BAC = 1 2 · 70° = 35°. За теоремою про суму кутів трикутника
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠B = 180° − (∠A + ∠C);
∠B = 180° − (35° + 35°) = 110°.
Відповідь: 35°, 35°, 110°.
296. Кінці діаметрів AC і BD кола послідовно сполучили так, що утворився
чотирикутник ABCD.
1. Визначте вид чотирикутника ABCD.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. ∠ABD − вписаний у
AD. ∪AD = ∠AOD.
Тому ∠ABD = 1 2 ∠AOD; ∠AOD = 2∠ABD; ∠AOD = 2·80° = 160°.
Тоді ∪AD = 160°.
∠BOC = ∠AOD = 160° як вертикальні.
Тому аналогічно ∪BC = 160°.
∠BOC і ∠COD − суміжні, тому
∠BOC + ∠COD = 180°;
∠COD = 180° − ∠BOC;
∠COD = 180° − 160° = 20°.
∠AOB = ∠COD = 20° як вертикальні.
Тому ∪CD = ∪AB = 20°.
Відповідь: 20°, 160°, 20°, 160°.
297. Гострий кут прямокутного трикутника
Нехай
= 180°.
∠CAB − вписаний у коло кут, що
∪CB = 2∠CAB; ∪CB = 2·32° = 64°.
За властивістю
∠A + ∠C = 90°;
∠C = 90° − ∠A;
∠C = 90° − 32° = 58°.
∠ACB − вписаний у
∪AB = 2∠ACB; ∪AB = 2·58° = 116°.
R = 1 2 AC; R = 1 2 · 12 = 6 см.
Biдповідь: 64°, 180°, 116°; 6 см.
298.
CB.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, ∠ABC = 90°. ∠ABC − вписаний у коло кут, що спирається
AC, ∠AOC −
Тоді ∠ABC = 1 2 ∠AOC; ∠AOC = 2∠ABC; ∠AOC = 2·90° = 180°.
Отже, ∠AOC є розгорнутим, тому AB − діаметр. 299. Хорди AB і CD
∪BD).
що ∠AMC = 1 2 (∪AC +
Нехай (O; R) − коло, AB і CD − хорди, AB ∩ CD = M. Розглянемо
∠AMC = ∠MBC + ∠MCB. ∠MBC −
MBC = 1 2 ∪AC,
∠AMC = 1 2 (∪AC + ∪BD).
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
BAC.
Нехай (O; R) − коло, ∪BMC = 100°. Проведемо радіус OB. Оскільки OB − радіус,
проведений у точку дотику прямої AB до кола, то OB ⟂ AB, ∠OBA = 90°.
Так як ∪BMC = 100°, то ∠BOC = 100°.
Розглянемо прямокутний трикутник ABO. За властивістю зовнішнього
маємо:
∠BOC = ∠A + ∠ABO; ∠A = ∠BOC − ∠ABO; ∠A = 100° − 90° = 10°.
Відповідь: 10°.
∠ABD = ∠ACD = 40°. ∠DBC і
∠DBC = ∠DAC = 40°.
Розглянемо трикутник ADC. За
∠DAC + ∠ACD + ∠ADC = 180°;
∠ADC = 180° − (∠DAC + ∠ACD);
∠ADC = 180° − (40° + 40°) = 100°.
Відповідь: 40°, 40°, 100°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O;R) − коло, ABC − вписаний рівносторонній трикутник, ∪AM = 2∪CM.
Оскільки ABC − рівносторонній трикутник, то ∠ABC = ∠BCA = ∠BAC = 60°.
∠BMA і ∠BCA − вписані в
∠BMA = ∠BCA = 60°.
∠BAC і ∠BMC − вписані
∠BAC = ∠BMC = 60°.
∠CAM і ∠CBM − вписані в коло кути, що
∠CAM = ∠CBM = 60°.
За аксіомою
Оскільки ∠ABC = 60°, то ∪AMC = 2·60° = 120°.
∪AMC = ∪AM + ∪MC.
Нехай ∪CM = x, тоді ∪AM = 2x.
Рівняння: x + 2x = 120°; 3x = 120°; x = 40°.
Отже, ∪CM = 40°, тоді ∪AM = 2·40° = 80°.
Тоді ∠MAC = 40° : 2 = 20°, ∠ACM = 80° : 2 = 40°.
Відповідь: 120°, 20°, 40°.
304. Коло, побудоване
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, AC − діаметр, ∠ACK = ∠BCK. ∠AKC − вписаний
спирається на діаметр, тому ∠AKC = 90°, CK ⟂ AB, CK − висота трикутника ABC.
Оскільки ∠ACK = ∠BCK, то CK − бісектриса трикутника ABC. Якщо CK є
бісектрисою, то трикутник ABC − рівнобедрений з основою AB, тому CK є й медіаною, звідки AK = KB.
306. Доведіть, що
∠ACD = 1 2 ∪AD; ∪AD = 2∠ACD.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠CMD = 1 2 ∪CD;
∠CMB = 1 2 ∪BC.
Тому ∠AMD = ∠CMD = ∠CMB.
308. Кут
Нехай (O; R) − коло, трикутник ABC − рівнобедрений,
− рівнобедрений, то
∠BAC = ∠BCA = (180° − 56°) : 2 = 62°.
∠ABM − вписаний у коло кут, що спирається
AM.
Тоді ∠ABM = 1 2 ∪ANM, ∪ANM = 2∠ABM; ∪ANM = 2·56° = 112°.
Так як AB − діаметр, то
∪ANB = ∪ANM + ∪BM = 180°;
∪BM = 180° − ∪ANM;
∪BM = 180° − 112° = 68°.
∠BAN − вписаний у коло
Тоді ∠BAN = 1 2 ∪BMN, ∪BMN = 2∠BAN;
∪BMN = 2·62° = 124°.
∪BMN = ∪BM + ∪MN;
∪MN = ∪BMN − ∪BM;
∪MN = 124° − 68° = 56°.
∪AN + ∪BMN = 180°;
∪AN = 180° − 124° = 56°.
Відповідь: ∪AN = 56°; ∪MN = 56°; ∪BM = 68°.
309.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O;R) − коло, AB − діаметр. Проводжу відрізок AC, який
BC, який перетне коло в точці N. ∠AMB і ∠ANB −
на діаметр, тому ∠AMB = ∠ANB = 90°, звідки випливає, що AN і
трикутника ABC, AN ∩ BM = P. Оскільки висоти трикутника перетинаються
точці, то
CP, який у
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O;R) − коло, ABC − вписаний трикутник, DB − дотична, BM − бісектриса.
Оскільки BM − бісектриса, то ∠ABM = ∠MBC = 1 2 ∠ABC. ∠DBA = 1 2 ∪AB за властивістю
кута між дотичною і хордою, проведеною в точку
що спирається на дугу AB.
Тоді ∠BCA = 1 2 ∪AB. Отже, ∠DBA = ∠BCA.
За аксіомою вимірювання кутів маємо:
∠DBM = ∠DBA + ∠ABM.
∠BMD − зовнішній кут трикутника BMC, тому
∠BMD = ∠CBM + ∠BCM.
Отже, ∠DBM = ∠BMD, звідки
BM. Тому DB = DM.
313. Дано відрізок
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
BC = a,
PMQ =
BAC = ∠BA1C = α, BK = b за побудовою. 315. Побудуйте трикутник
до даної сторони.
Дано: BC = a − сторона трикутника ABC, ∠P1M1Q1
кут, AE = b − медіана, проведена до сторони BC.
побудови. Будую
трикутник ABC.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC прямокутний трикутник (∠ACB = 90°), (O; R) коло, AC діаметр, ED дотична до кола, D ∈ BC. Нехай ∠A = α, ∠B = β, α + β = 90°. Оскільки AC діаметр
кола, то трикутник AEC прямокутний, у якого ∠AEC = 90°, ∠A = α, тому за
властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ∠ACE = 90° − α = β. Отже, ∠ECB = 90° − β = α. Оскільки OA = OC = OE, то трикутник COE рівнобедрений з основою EC.
Тому ∠OEC = ∠OCE = β як кути при основі рівнобедреного трикутника. Оскільки ED
дотична до кола в точці E, то OE ⟂ ED. Тому ∠OED = 90°. За аксіомою вимірювання кутів ∠OED = ∠OEC + ∠CED,
∠CED = ∠OED − ∠OEC = 90° − β = α. Оскільки
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
дуги. Розглянемо трикутник BDC, у якого BD = DC, тому трикутник BDC рівнобедрений
DBC
як кути, що спираються на одну й ту саму дугу DC. Тому ∠DAC = ∠BAD = α. BO
бісектриса кута B, тому нехай ∠CBA = 2β. За аксіомою вимірювання кутів ∠DBO = ∠DBC + ∠CBO; ∠DBO = α + β. ∠DOB
AOB, тому за властивістю зовнішнього кута ∠DOB = ∠BAO + ∠OBA; ∠DOB = α + β. Тому ∠DOB = ∠DBO, звідки маємо, що трикутник BDO рівнобедрений. Отже, DB = DO, звідки DO = DB = DC.
321. Бісектриси кутів A, B і C
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
ODB
Тому A1B1 ⟂ CC1. 322. Побудуйте трикутник:
1. Дано: BC = a сторона трикутника ABC, ∠P1M1Q1 =
BC кут, OX = b радіус вписаного кола. Побудувати: трикутник ABC. Центр
в трикутник кола міститься в точці перетину бісектрис.
Нехай ∠BAO = ∠OAC = ∠1, ∠ABO = ∠OBC = ∠2, ∠ACO = ∠OCB = ∠3,
∠BOD = ∠5.
Оскільки ∠5 зовнішній кут трикутника AOB, то ∠5 = ∠1 + ∠2.
Аналогічно ∠4 = ∠1 + ∠3. Додавши почастинно
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
4 + 5 + 4 + 6 = 19 шт. = 100%; 360° : 100% = 3,6° – 1%.
4 19 • 100% = 21%; 21% • 3,6° = 75,6°.
Фізика: 5 19 • 100% = 26%; 26% • 3,6° = 93,6°.
Хімія: 4 19 • 100% = 21%; 21% • 3,6° = 75,6°.
Математика: 6 • 100% = 32%; 32% • 3,6° = 115,2°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, PABC = 30 см, (O; R) − вписане у нього коло,
AM:MB = 3:2, CN = 5 см.
Нехай AM = 3x см, тоді MB = 2x см. За властивістю дотичних, проведених до кола з
однієї точки, BM = BN = 2x см; AM = AK = 3x см, CN = CK = 5 см.
За аксіомою вимірювання відрізків маємо:
AB = AM + MB; AB = 3x + 2x = 5x см; BC = BN + NC; BC = (2x + 5) см; AC = AK + KC; AC = (3x + 5) см.
PABC = AB + BC + AC.
Рівняння: 5x + 2x + 5 + 3x + 5 = 30; 10x = 20; x = 2 см.
Отже, AB = 5·2 = 10 см; BC = 2·2 + 5 = 9 см; AC = 3·2 + 5 = 11 см.
Відповідь: 10 см, 9 см, 11 см.
326. До
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, (O; R) − вписане у нього коло, P1, P2 і P3 − периметри
трикутників. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, XY = XM, ZY = ZN, EN = EF, PF = PK, HK = HG, DG = DM.
PABC = AD + DM + MX + XB + BZ + ZN + NE + EC + CP + PK + KH + HA = = (AD + DG + GH + AH) + (XB + BZ + ZY + XY) + (EC + CP + PE + EF) = P1 + P2 + P3
Відповідь: P1 + P2 + P3
327. Установіть вид трикутника,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. 90°, 90°, 80°, 100°; Не можна. Навколо чотирикутника
кутів дорівнює 180°.
∠A + ∠C = 90° + 80° ≠ 180°;
∠B + ∠D = 90° + 100° ≠ 180°;
2. 90°, 80°, 90°, 100°; Можна.
дорівнює 180°.
∠A + ∠C = 90° + 90° = 180°;
∠B + ∠D = 80° + 100° = 180°;
3. 50°, 70°, 130°, 110°?
180°.
∠A + ∠C = 50° + 130° = 180°;
∠B + ∠D = 70° + 110° = 180°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. 3, 8, 11, 6;
Нехай ∠A = 3x, тоді ∠B = 8x, ∠C = 11x, ∠D = 6x.
3x + 11x = 8x + 6x; 14x = 14x.
Отже, навколо такого чотирикутника
2. 4, 5, 4, 2?
Нехай ∠A = 4x, тоді ∠B = 5x, ∠C = 4x, ∠D = 2x.
4x + 4x ≠ 5x + 2x; 8x ≠ 7x.
Отже, навколо такого чотирикутника
335. Доведіть, що можна описати коло навколо:
1. будь-якого прямокутника;
прямокутнику всі
по 180°.
2. будь-якої рівнобічної трапеції.
рівнобічній
перетину діагоналей.
337. Чи можна описати
описати коло.
по 90°, тому суми протилежних
діляться навпіл, тому OA = OB = OC = OD. Розглянемо прямокутний
= 1 2 AC; AC = 2CD; AC = 2·12 = 24 см. Тоді AO = 1 2 AC; AO = 1 2 ·24 = 12 см.
12 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тоді 7x + 12x = 8x + 11x; 19x = 19x.
Отже, вписати коло можна;
2. Нехай AB = 7x см, BC = 12x см, CD = 8x см, AD = 11x см.
Тоді 7x + 8x ≠ 12x + 11x; 15x ≠ 23x.
Отже, вписати коло не можна.
340. Сума двох протилежних сторін чотирикутника, описаного навколо кола, дорівнює 18 см . Знайдіть периметр даного чотирикутника.
Нехай ABCD − чотирикутник, який описано навколо кола. Оскільки чотирикутник описано навколо кола, то AB + CD = BC + AD = 18 см.
PABCD = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD);
PABCD = 18 + 18 = 36 см.
Відповідь: 36 см.
Нехай ABCD - рівнобічна трапеція, AB = CD = 7 см.
коло, то AB + CD = BC + AD = 7 + 7 = 14 (см).
PABCD = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD);
PABCD = 14 + 14 = 28 см.
Відповідь: 28 см.
342. У чотирикутнику CDEF, у який
CD = 6 см, DE = 8 см, EF = 12 см. Знайдіть сторону CF.
Нехай CDEF − чотирикутник, у
CD + EF = CF + DE; CF = CD + EF − DE; CF = 6 + 12 − 8 = 10 см.
CD = 6 см, DE = 8 см, EF = 12 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − чотирикутник, навколо якого описано коло, AD − діаметр, ∠ABC = 108°,
∠BCD = 132°.
Оскільки коло описане навколо чотирикутника, то ∠BAD + ∠BCD = 180°;
∠BAD = 180° − ∠BCD; ∠BAD = 180° − 132° = 48°; ∠ABC + ∠ADC = 180°;
∠ADC = 180° − ∠ABC; ∠ADC = 180° − 108° = 72°.
Розглянемо прямокутний трикутник ACD (∠ACD = 90° як вписаний у коло кут, що
спирається на діаметр). За властивістю гострих
∠CAD + ∠ADC = 90°; ∠CAD = 90° − ∠ADC; ∠CAD = 90° − 72° = 18°.
Розглянемо прямокутний трикутник ABD (∠ABD = 90° як
спирається на діаметр). За властивістю
∠BDA + ∠BAD = 90°; ∠BDA = 90° − ∠BAD; ∠BDA = 90° − 48° = 42°.
Відповідь: 48°, 72°, 18°, 42°.
350. Знайдіть кути чотирикутника MNKP,
MKP = 58°,
MPN = 34°, ∠KMP = 16°.
MNKP − чотирикутник,
KMP = 16°.
= 34°,
∠MKP = ∠MNP = 58°, ∠MPN = ∠MKN = 34°, ∠KMP = ∠KNP = 16° як вписані в коло кути,
кутів ∠MNK = ∠MNP + ∠PNK; ∠MNK = 58° + 16° = 74°;
∠NKP = ∠NKM + ∠MKP; ∠NKP = 34° + 58° = 92°.
MPK = 180° − ∠MNK;
MPK = 180° − 74° =
NMP + ∠NKP = 180°; ∠NMK = 180° − ∠NKP; ∠NMK = 180° − 92° = 88°.
88°, 74°, 92°, 106°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція, навколо якої описано коло (BC ∥ AD, AB = CD), AD
− діаметр, ∠CED = 56°.
Трикутник ACD − прямокутний (∠ACD = 90°), бо ∠ACD − вписаний у коло й спирається
на діаметр.
Розглянемо трикутник CED.
За теоремою про суму кутів трикутника ∠CED + ∠ECD + ∠EDC = 180°;
∠EDC = 180° − (∠CED + ∠ECD); ∠EDC = 180° − (56° + 90°) = 34°.
Оскільки трапеція рівнобічна, то ∠EAD = ∠EDA.
Кут CED − зовнішній кут трикутника AED, тому ∠CED = ∠EAD + ∠EDA;
∠CED = 2∠EAD; ∠EAD = ∠CED : 2; ∠EAD = 56° : 2 = 28°.
За аксіомою вимірювання кутів ∠CDA = ∠CDE + ∠EDA; ∠CDA = 34° + 28° = 62°.
Оскільки трапеція рівнобічна, то ∠CDA = ∠BAD = 62°.
∠CDA + ∠DCB = 180° як кути, прилеглі
∠DCB = 180° − ∠CDA; ∠DCB = 180° − 62° = 118°.
Тоді ∠ABC = ∠DCB = 118° як
62°, 118°, 62°, 118°. 352. Висоти BM і CK
точки A, K, H і M
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − прямокутна трапеція, CM = 8 см, MD = 50 см,
ON = OK = OP = OM = 20 см.
За аксіомою вимірювання відрізків
CD = CM + MD;
CD = 8 + 50 = 58 см.
NP = AB = 2r = 2·20 = 40 см.
AB + CD = 40 + 58 = 98 см.
Оскільки в трапецію вписано коло, то
AB + CD = BC + AD = 98 см.
Тоді PABCD = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD);
PABCD = 98 + 98 = 196 см.
Відповідь: 196 см.
354. У прямокутну
3 см і 12 см .
54 см . Нехай ABCD − прямокутна трапеція, CM = 3 см, MD = 12 см, PABCD = 54 см.
CD = CM + MD; CD = 3 + 12 = 15 см. PABCD = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD).
трапецію
то AB + CD = BC + AD. NP = AB = 2r.
PABCD = 2(AB + CD); AB = 1 2 PABCD − CD; AB = 1 2 ∙ 54 − 15 = 27 − 15 = 12 см,
r = AB : 2; r = 12 : 2 = 6 см.
6 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − трапеція, вписана в коло, O ∈ AD, AB = BC.
Оскільки навколо трапеції описано коло, то вона є рівнобічною, тому AB = CD = BC.
Розглянемо трикутники AOB, BOC і COD. У них:
1. AB = BC = CD за умовою;
2. AO = BO = CO як радіуси;
3. BO = CO = DO як радіуси.
Отже, △AOB = △BOC = △COD за трьома сторонами (за III ознакою рівності трикутників).
Тому ∠AOB = ∠BOC = ∠COD як відповідні елементи рівних трикутників.
Але ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 180°,
звідки ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 180° : 3 = 60°.
Оскільки трикутники AOB, BOC і COD − рівнобедрені
AB, BC і CD (AO = BO, BO = CO, CO = DO) і ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 60°, то вони рівносторонні. За аксіомою
кутів ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC; ∠
Аналогічно ∠BCD = 120°.
Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°.
356. Діагональ
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, MN = 1 2 d.
Відповідь: 1 2 d.
357.
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція,
Розглянемо трикутник AOB. Він
∠BAO = ∠ABO = 60° як кути
основі рівнобедреного трикутника.
Тоді ∠AOB + ∠BAO + ∠ABO = 180°; ∠AOB = 180° − (∠BAO + ∠ABO);
∠AOB = 180° − (60° + 60°) = 60°.
Отже, трикутник AOB − рівносторонній.
Тому r = AO = AB = 6 см.
Відповідь: 6 см.
358. 3 довільної точки M катета AC прямокутного трикутника ABC опущено
перпендикуляр MK на гіпотенузу AB. Доведіть, що ∠MKC = ∠MBC.
Нехай ABC − прямокутний
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай CAB − кут, O ∈ ∠CAB, OC ⟂ AC, OB ⟂ AB. Розглянемо чотирикутник ACOB.
У ньому ∠ACO + ∠OBA = 90° + 90° = 180°.
Тоді ∠ACO + ∠COB + ∠OBA + ∠BAC = 360°, звідки ∠COB + ∠BAC = 180°.
навколо цього
коло, що спираються на одну й ту саму ∪OB, тому ∠OAB = ∠OCB. 360. Бісектриси BK
кут CMK.
Нехай ABC − трикутник, BK і CM − бісектриси, BK∩CM = O, ∠A = 60°.
∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°; ∠ABC + ∠BCA = 180° − ∠BAC;
∠ABC + ∠BCA = 180° − 60° = 120°.
Оскільки BK і CM − бісектриси, то ∠ABK = ∠KBC = 1 2 ∠ABC;
∠BCM = ∠MCA = 1 2 ∠BCA.
Розглянемо трикутник OBC.
∠OBC + ∠BCO = 1 2 ∠ABC + 1 2 ∠BCA = 1 2 (∠ABC + ∠BCA);
∠OBC + ∠BCO = 1 2 · 120° = 60°. Кут MOB зовнішній
MOB суміжний
MOK = 180° − 60° = 120°.
MOK,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠OMK = 1 2 ∪OK; ∠CMK = ∠OMK = 1 2 · 60° = 30°.
Відповідь: 30°.
361. Бісектриси MA і KB трикутника MNK перетинаються в точці O, точки A, N, B і O
на одному колі. Знайдіть кут N.
Нехай MNK − трикутник, MA і KB − бісектриси, MA∩KB = O. Оскільки MA і KB −
бісектриси, то
Розглянемо трикутник MOK.
За теоремою про суму кутів трикутника ∠MOK + ∠MKO + ∠BOM = 180°;
колі, то ∠N + ∠BOA = 180°; ∠N = 180° − ∠
Розглянемо трикутник MNK.
У ньому ∠M = ∠NMA + ∠AMK = x + x = 2x; ∠K = ∠NKB + ∠BKM = y + y = 2y.
За теоремою
K = 180°;
N = 180° − (∠M + ∠K); ∠N = 180° − (2x + 2y), звідки x + y = 180° − (2x + 2y); 180° = 3(x + y); x + y = 60°.
Відповідь:
ABFD. Доведіть, що ∠ACO = ∠OCB, де O
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − прямокутний трикутник, ∠C = 90°, ∠APB = 90°.
Розглянемо чотирикутник ACBP. ∠ACB + ∠APB = 90° + 90° = 180°.
Тоді ∠PAC + ∠PBC = 180°, тобто навколо чотирикутника
пряму, яка
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AE = CF.
Нехай ABC − трикутник, AD − бісектриса, ED ∥ AC, EF ∥ BC.
Оскільки AD − бісектриса, то ∠EAD = ∠DAC.
∠DAC = ∠EDA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ED і AC та січній AD.
Тоді ∠EAD = ∠EDA і трикутник AED рівнобедрений, звідки AE = DE.
Чотирикутник EDCF − паралелограм (ED ∥ AC, EF ∥ BC), звідки DE = CF.
Так як AE = DE і DE = CF, то AE = CF. 367.
BM ромба ABCD,
А. MPQN; Б. QMNP; В. NPMQ; Г. QNPM.
Відповідь: Б.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. Які кути може мати чотирикутник?
А. Чотири тупих кути; Б. чотири гострих кути; В. два тупих і два прямих кути; Г. два прямих кути, один гострий кут і один тупий кут.
Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Можливий варіант Г, наприклад:
90° + 90° + 60° + 120° = 360°.
Відповідь: Г.
3. У чотирикутнику кожна сторона
дорівнюють кути чотирикутника?
А. 60°, 60°, 120°, 120°;
Б. 60°, 120°, 90°, 90°;
В. 90°, 90°, 90°, 90°;
Г. 150°, 30°, 150°, 30°.
Якщо у чотирикутнику
А.
4. Бісектриса
А. 5 см,10 см;
Б. 6 см,4 см;
В. 7 см,8 см;
Г. 3 см,12 см.
(BE = AB). Отже, BC = BE + EC = 2AB Нехай коротша сторона x, довша 2x. Периметр: 2(x + 2x) = 6x = 30 x = 5 см, 2x = 10 см. Відповідь: А.
сторін чотирикутника.
Отже, за цією ознакою чотирикутник є паралелограмом.
Відповідь: В.
6. Яке з даних тверджень неправильне?
А. Чотирикутник, який одночасно є і ромбом, і прямокутником, − квадрат;
Б. паралелограм, у якого діагоналі рівні й перпендикулярні, квадрат;
В. паралелограм,
Б. MN = 1 2 AC;
В. MN = 1 2 AC, ∠BNM = ∠BAC;
Г. MN = 1 2 AC, ∠BNM = ∠BCA. За означенням, середня
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
70°; Г. 90°.
За теоремою вписані кути є рівними, якщо вони спираються
∠CED = ∠CFD = 30°, так як спирається на дугу ∪СD.
Розглянемо трикутник ΔCDF. За теоремою
∠DCF + ∠CFD + ∠CDF = 180°
∠DCF = 180° − ∠CFD
Відповідь: В.
Готуємося до тематичного
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1.
2. Периметр
значення у формулу:
2(2x + 3x) = 20
2·5x = 20
10x = 20
x = 20 : 10 x = 2
3. Отже,
довжину більшої сторони: 3·2 = 6 см.
Відповідь: 6 см.
3. Діагоналі прямокутника ABCD
Обчисліть периметр трикутника AOD.
Дано: ABCD прямокутник. AC ∩ BD = O. BC = 8 см. BD = 12 см.
Знайти: PΔAOD (периметр трикутника AOD).
Розв'язання:
1.
AD = BC = 8 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1.
між стороною AB і діагоналлю AC дорівнює половині кута A:
∠BAC = 1 2 ∠A = 1 2 ∙ 40° = 20°.
2. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, становить
∠B = 180° − ∠A = 180° − 40° = 140°.
3. Аналогічно, діагональ BD ділить
діагоналлю BD дорівнює:
∠ABD = 1 2 ∠B = 1 2 ∙ 140° = 70°.
Відповідь: 20° і 70°.
5.
Дано: △ABC заданий
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
PABC = 2·PMNK = 2·25 = 50 см Відповідь: 50 см.
6. Одна з
трапеції. Дано: ABCD трапеція (AD∥BC). AD = 20 см (одна з основ). EF = 16 см (середня
BC другу основу. Розв'язання:
�������� = �������� + �������� 2 ⇒ 16 = 20 + �������� 2 ⇒
16 ∙ 2 = 20 + BC ⇒ 32 = 20 + BC ⇒ BC = 12 (см)
Відповідь: 12 см. 7.
точками A і K ). Доведіть, що BM = DK.
Дано: ABCD паралелограм. M∈AC, K∈AC (точки M і K
на діагоналі AC). AM = CK.
Довести: BM = DK.
Доведення:
Для доведення рівності відрізків BM і DK розглянемо △ABM та △CDK. AB = CD, оскільки це
Оскільки ABCD паралелограм, то AB ∥ CD. Діагональ AC є січною.
∠BAC і ∠ACD є внутрішніми різносторонніми кутами, утвореними при перетині паралельних прямих AB і CD січною AC. Отже, ∠BAC = ∠ACD. Оскільки точки M і K лежать на діагоналі AC, то ∠BAM = ∠DCK. AM = CK за умовою задачі.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Для розв'язання задачі використаємо ключову властивість кутів, вписаних
вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні між собою.
Знаходимо складові кутів:
Кут ∠CAD і кут ∠CBD спираються на
∠CAD = ∠CBD = 48° Кут ∠BAC і кут ∠BDC спираються
∠BAC = ∠BDC = 34°
Кут ∠ABD і кут ∠ACD спираються
∠ABD = ∠ACD = 52°
Обчислюємо повні кути A і B:
∠A = ∠BAC + ∠CAD = 34° + 48° = 82°
∠B = ∠ABD + ∠CBD = 52° + 48° = 100°
Обчислюємо
C і D (використовуємо
За властивістю чотирикутника, вписаного
180° (∠A + ∠C = 180° та ∠B + ∠D = 180°).
∠C = 180° − ∠A = 180° − 82° = 98°
∠D = 180° − ∠B = 180° − 100°
AD. Отже:
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
4.
PABCD = AD + BC + AB + CD = 18 + 8 + 18 + 18 = 26 + 36 = 62 см
Відповідь: 62 см.
10. Знайдіть радіус кола, вписаного в прямокутну трапецію, основи якої
см і 20 см , а більша бічна сторона − 26 см .
Дано: ABCD прямокутна трапеція (∠A = ∠B = 90°). Основи: AD = 30 см, BC = 20 см. Більша бічна сторона: CD = 26 см.
Знайти: r радіус вписаного кола.
Розв'язання:
Якщо
чотирикутник
AD + BC = AB + CD
цій прямокутній трапеції
30 + 20 = AB + 26
50 = AB + 26
AB = 50 – 26 = 24 (см)
Отже, висота трапеції h = 24 см.
Оскільки коло вписано
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Оскільки △ABC рівнобедрений, то кути при основі AC рівні:
∠A = ∠C = 180° −∠B 2 =
Розглядаємо трикутник △AOM: O центр півкола, M лежить на колі. Отже, OA і OM радіуси, і OA = OM.
Це означає, що △AOM є рівнобедреним. Кут ∠OAM = ∠A = 70°.
Кути при основі AM рівні: ∠AMO = ∠OAM = 70°.
Знайдемо центральний кут ∠AOM:
∠AOM = 180° − (∠OAM + ∠AMO) = 180° − (70° + 70°) = 40°
Розглядаємо трикутник △CON:
Аналогічно, OC і ON радіуси, тому OC = ON, і △CON є рівнобедреним.
Кут ∠OCN = ∠C = 70°.
Знайдемо центральний кут ∠CON:
∠CON = 180° − (70° + 70°) = 40°
Знаходимо градусну міру ∪MN:
Точки A, O, C лежать
MN відповідає центральному
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AD: h1 = AD 2 У прямокутному △BOC висота h2
C1C2, C2C3, C3C4, C4C
AB1 = B1B2 = B
AC1, C1C2, C2C3, C3C4, C4C5, C5C6, C6C7.
C7
B.
C1, C2, C3, C4, C5 і C6 проводжу
паралельні C7B: C1B1, C2B2, C3B3, C4B4, C5B5, C6B6 ∥ C7B. Тоді AB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 = B5B6 = B6B.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тоді B1B2 = 3 см, OB3 = 3 · OB1; OB3 = 3 · 3 = 9 см; B1B4 = 3 · OB1; B1B4 = 3 · 3 = 9 см.
Відповідь: 3 см, 9 см, 9 см.
374. На рисунку AB = BC, EF = 5 см.
ED.
Оскільки CF ⟂ FD, BE ⟂ FD, AD ⟂ FD, то CF ∥ BE ∥ AD. Якщо AB = BC, то за теоремою
Фалеса ED = EF = 5 см.
Відповідь: 5 см.
375. Знайдіть відношення
12 см і 18 см . Чи зміниться це
у міліметрах?
AB
AB : CD = 12 см : 18 см = 2 : 3. Відношення
одиниці вимірювання, але однакові
Відповідь: 2 : 3; не зміниться. 376. Чи пропорційні відрізки AB і CD відповідно
1. AB = 16 см, CD = 6 см, EF = 24 см, MK = 9 см;
2. AB = 8 см, CD = 20 см, EF = 10 см, MK = 35 см?
1. �������� �������� = �������� �������� ; 16 6 = 24 9 ; 8 3 = 8 3. Оскільки
2. �������� �������� = �������� �������� ; 8 20 = 10 35 ; 2 5 ≠ 2 7
EF і MK.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
За теоремою про пропорційні
����2 ����3 = 6⋅15 9 = 10( см).
Відповідь: 10 см.
380. На рисунку DE ∥ AC, BE = 10 см, відрізок BD у
Знайдіть відрізок BC.
За теоремою
Нехай AD = x см, тоді BD = 2x см.
Тоді �������� = ����⋅10 2���� =5 (см).
За аксіомою вимірювання відрізків
BC = BE + EC;
BC = 10 + 5 = 15. (см).
Відповідь: 15 см .
381. Пряма, паралельна стороні BC трикутника ABC, перетинає його сторону AB у точці M, а сторону AC − у точці K, AM = 9 см, BM = 6 см, KC =
16 см.
AB = 40 см, AD = 30 см, CD = 12 см.
Відрізок AM – бісектриса трикутника ABC, AB = 48 см, AC = 32 см,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай відрізок AB не перетинає пряму a, M – середина AB. Відстань
BD ⟂ a, AC = 8 см,
11 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − ромб, BM − висота, AM = 8 см, ∠A = 45°. Проведемо ON ⟂ AD.
Розглянемо прямокутний трикутник AMB (∠AMB = 90°).
прямокутного трикутника ∠BAM + ∠ABM = 90°; ∠ABM = 90° − ∠BAM; ∠ABM = 90° − 45° = 45°.
Отже, трикутник AMB − прямокутний рівнобедрений, тому AM = BM = 8 см. Оскільки
BM ⟂ AD і ON ⟂ AD, то BM ∥ ON. BO = OD, оскільки O − точка перетину діагоналей ромба; BD = 2OD.
Тоді за теоремою про пропорційні відрізки маємо: �������� �������� = �������� �������� ; �������� = �������� �������� �������� ; �������� = ��������⋅8 2�������� =4 (см).
Відповідь: 4 см. 391. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, AC = 8 см, AD
BE –
BE = 12 см. Із точки D опущено
ADF.
Нехай ABC − трикутник, AB = BC, AC = 8 см, AD − медіана, BE − висота, BE = 12 см.
Оскільки AB = BC, то трикутник ABC
трикутнику висота, проведена
Так як BE ⟂ AC і DF ⟂ AC, то BE ∥ DF.
медіаною, тому AE = EC = 8 : 2 = 4 см.
Оскільки AD − медіана, то BD = DC, тому за теоремою Фалеса EF = FC = 1 2 EC = 1 2 · 4 = 2 см. DF − середня лінія трикутника BEC, тому DF = 1 2 BE; DF = 1 2 · 12 = 6 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC – трикутник, AC = 24 см. Оскільки AA1 = A1A2 = A2A3 = A3B і AC ∥ A1C1 ∥
A2C2 ∥ A3C3, то за теоремою Фалеса CC1 = C1C2 = C2C3 = C3B.
За аксіомою вимірювання відрізків AA2 = AA1 + A1A2, A2B = A2A3 + A3B, тому AA2 = A2B і A2 – середина AB.
Аналогічно C2 – середина BC.
Тому A2C2 – середня лінія трикутника ABC.
A2C2 = 1 2 AC; A2C2 = 1 2 · 24 = 12 см.
Аналогічно можна показати, що A3C3 – середня лінія трикутника A2BC2
Тому A3C3 = 1 2 A2C2; A3C3 = 1 2 · 12 = 6 см.
Аналогічно маємо, що A1C1 – середня
Тому ����1 ����1 = ����2 ����2 +�������� 2 ; ����1 ����1 = 12+24 2 = 18( см).
Відповідь: 18 см, 12 см, 6 см. 393. Основи трапеції
+ 16 =2
+ 28 =2���� ; �−���� +2���� = 16; ∣⋅ 2 2����−���� = 28; � 2���� +4���� = 32; 2����−���� = 28; �3���� = 60; 2����−���� = 28; ����� = 20; 2����− 20 = 28; ����� = 24; ���� = 20. Отже, A1D1 = 24 см, A2D2 = 20 см.
24 см, 20 см.
A2C2.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай DEF – трикутник, DF = 15 см. Оскільки DD1 = D1D
теоремою Фалеса FF1 = F1F2 = F2E. Оскільки D1D2 = D2E, то D2 – середина D1E.
Аналогічно F2 – середина F1E.
Крім того, D2F2 ∥ D1F1, тому D2F2 – середня лінія трикутника D1EF1.
Тому D2F2 = 1 2 D1F1; 2 · D2F2 = D1F1.
Аналогічно можна одержати, що D1F1 – середня лінія трапеції DD2F2F, звідки
����1 ����1 = ����2 ����2 +�������� 2 ; D2F2 + DF = 2 · D1F1.
Тоді D2F2 + DF = 4 · D2F2; 3 · D2F2 = DF; 3 · D2F2 = 15; D2F2 = 5 см,
звідки D1F1 = 2 · 5 = 10 см.
Відповідь: 10 см, 5 см.
395. Доведіть, що середня
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
ME = KF.
Нехай ABCD – трапеція (AD ∥ BC), AC і BD
BCD. Тому ME = 1 2 BC; FN = 1 2 BC, звідки ME = FN.
398. Основи трапеції
то AM = MB, CN = ND, MN ∥ BC ∥ AD. За теоремою Фалеса AE = EC. Тоді ME – середня лінія
лінія трикутника DBC. Тому ME = 1 2
=
2
звідки ME = 1 2 · 12 = 6 см, FN = 1 2 · 12 = 6 см. �������� = ��������+�������� 2 ; �������� = 22+12 2 = 17 (см). За
MN = ME + EF +
EF = MN − (ME + FN); EF = 17 − (6 + 6) = 5 см.
6 см, 5 см, 6 см.
AB : BC : CD = 20 : 25 : 35 = 4 : 5 : 7,
EF : FM : MK = 4 : 5 : 7.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай EF = 4x см, тоді FM = 5x см, MK = 7x см.
Рівняння: 4x + 5x + 7x = 48; 16x = 48; x = 3.
Отже, EF = 4 · 3 = 12 см, FM = 5 · 3 = 15 см, MK = 7 · 3 = 21 см.
Відповідь: 12 см, 15 см, 21 см.
400. Через точку D, позначену на стороні AC трикутника ABC, проведено пряму, яка паралельна стороні AB і перетинає сторону BC у точці E.
BE, якщо AD : DC = 5 : 7, BC = 36 см.
Нехай ABC – трикутник, D ∈ AC, DE ∥ AB, BC = 36 см, AD : DC = 5 : 7. За теоремою
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тому AO = 2 3 AN, CO = 2 3 CM. Якщо AN = CM, то AO = CO, тому трикутник AOC
рівнобедрений, звідки ∠OAC = ∠OCA.
Розглянемо трикутники ANC і CMA. У них:
1. AC – спільна сторона;
2. AN = CM за умовою;
3. ∠NAC = ∠MCA за доведеним вище.
Отже, трикутник ANC = трикутнику CMA за двома сторонами і
першою ознакою рівності трикутників). Тому ∠MAC = ∠NCA як
рівних трикутників, звідки слідує, що трикутник ABC – рівнобедрений. 403. У трикутнику ABC (AB = BC) проведено
BH, якщо AM = 45 см, ∠CAM = 30°.
Нехай ABC – рівнобедрений трикутник (AB = BC),
∠CAM = 30°. Оскільки трикутник ABC – рівнобедрений, то висота BH є також його медіаною. Медіани трикутника
відношенні 2 : 1.
Нехай AO = 2x см, тоді OM =
2x + x = 45; 3x = 45; x = 15.
Отже, OM = 15 см, AO = 2 · 15 = 30 см.
Розглянемо прямокутний
BH = BO + OH; BH = 3 · OH; BH = 3 · 15 = 45 см.
45 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
відрізок OX = BP. Проводжу
AX і BY, які
побудований трикутник ABC – шуканий,
за побудовою. 405. Відрізок BD – бісектриса трикутника
AB = a,
O
точка
AD і CD. Нехай ABC – трикутник, BD – бісектриса, AB = 28 см, BC = 20 см, AC = 36 см. За
властивістю
AC = AD + DC; DC = AC − AD.
Нехай AD = x см, тоді DC = (36 − x) см.
28
20 = ���� 36 −���� ; 28(36 − x) = 20x; 7(36 − x) = 5x; 252 − 7x = 5x; 12x = 252; x = 21.
Отже, AD = 21 см, тоді DC = 36 − 21 = 15 см.
Відповідь: 21 см, 15 см. 406. У трикутник ABC
BC, якщо AE = 30 см, BE = 12
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC – трикутник, CDEF – ромб, AE = 30 см, BE = 12 см, PABC = 105 см.
є
Нехай BC = 2x см, тоді AC = 5x см. За аксіомою
AB = AE + BE;
AB = 30 + 12 = 42 см.
PABC = AB + BC + AC.
Рівняння:
42 + 2x + 5x = 105;
7x = 63; x = 9.
Отже, BC = 2 · 9 = 18 см, тоді AC = 5 · 9 = 45 см.
Відповідь: 45 см, 18 см. 407. Сторони трикутника дорівнюють
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
бісектрисою і медіаною.
AD = DC = 1 2 AC.
Нехай AC = 6x см, тоді AB = 11x см. За властивістю
Нехай OD = y см, тоді BO = (42 − y)см.
42−���� ���� = 11 3 ;
11y = 3(42 − y); 11y = 126 − 3y; 14y = 126; y = 9.
Отже, OD = 9 см.
Відповідь: 9 см.
409.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = 60⋅5���� 12���� = 25( см).
Тоді AC = 2AD;
AC = 2 · 25 = 50 см.
Відповідь: 50 см.
410. Точка D – середина основи AC
ABC.
стороні AB позначили точку M так, що AM : MB = 2 : 7. У якому відношенні пряма BD
відрізок CM?
Нехай ������������ − рівнобедрений трикутник (AB = BC), AD = DC, M ∈ AB, AM : MB = 2 : 7. Оскільки D – середина AC, то BD − медіана. Так
рівнобедреного трикутника, то є
відрізків BC = AB = AM + MB.
Нехай AM = 2x см, тоді MB = 7x см, AB = BC = 2x + 7x = 9x (см).
�������� �������� = 7���� 9���� = 7 9 . Відповідь: 7 : 9.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC – трикутник, M ∈ BC, BM : MC = 3 : 10. Проведемо через точку K
KN таку, що KN ∥ AM. Оскільки BK – медіана, то AK = KC, звідки за теоремою
MN = NC.
За аксіомою вимірювання відрізків MC = MN + NC; MN = 1 2 MC.
Нехай BM = 3x см, тоді MC = 10x см.
За теоремою
3
. Відповідь: 3 : 5. 413. На стороні AB трикутника ABC позначено точку M так, що AM:MB=4:3.
відношенні медіана BK: 1. ділить відрізок CM; 2. ділиться відрізком CM ?
1. Нехай ABC – трикутник, M
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD – трапеція (AD ‖ BC), AC і BD – діагоналі, AP = PC, DK = KB. Нехай M –
середина сторони AB, N – середина сторони CD
Розглянемо трикутник ACD. У ньому AP = PC і CN = ND, тому PN – середня лінія,
звідки PN ‖ AD.
Розглянемо трикутник BDC. У ньому BK = KD і CN = ND, тому KN – середня лінія,
звідки KN ‖ BC.
Оскільки AD ‖ BC як основи, то PN і KN лежать
Отже, PK ‖ AD, PK ‖ BC.
PN = 1 2 AD; KN = 1 2 BC.
За аксіомою вимірювання відрізків
PN = PK + KN;
PK = PN − KN;
PK = 1 2 AD − 1 2 BC = 1 2 (AD − BC).
415. Дано відрізки a, b, c. Побудуйте
Дано: AB = a, AC = b, BD = c
Побудувати: відрізок x, що a : x = b : c.
Схема побудови.
Будую довільну
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
: 1, то OK = 1 3 BK.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB2 = AB1 + B1B2;
B1B2 = AB2 − AB1;
AC2 = AC1 + C1C2;
C1C2 = AC2 − AC1.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, BD
∠MBD = ∠DBC, бо BD −
Побудуємо CN ∥ DB.
Тоді ∠MBD = ∠BNC як
∠DBC = ∠BCN як
BC.
Тоді маємо, що ∠BNC = ∠BCN,
За теоремою про пропорційні
Оскільки BN = BC, то �������� �������� = �������� �������� ; AB : BC = AD : CD. 421. Сторона квадрата ABCD дорівнює a. На дузі AC
a, позначено
Нехай ABCD − квадрат, AB = a, ∠BEC = 75°.
Розглянемо трикутник BEC. Він рівнобедрений,
основі рівнобедреного трикутника ∠BEC = ∠BCE = 75°.
Тоді за теоремою про суму кутів
∠BEC + ∠BCE + ∠CBE = 180°;
∠CBE = 180° − (∠BEC + ∠BCE);
∠CBE = 180° − (75° + 75°) = 30°.
За аксіомою вимірювання кутів:
∠ABC = ∠ABE + ∠CBE;
∠ABE = ∠ABC − ∠CBE;
∠ABE = 90° − 30° = 60°.
Розглянемо трикутник BEA.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), ∠ADC = 120°, AD = 16 см, DC = 12 см.
�������� = ��������+��������
2 .
∠ADC = ∠ADB + ∠BDC;
∠BDC = ∠ADC − ∠ADB;
∠BDC = 120° − 90° = 30°.
Розглянемо прямокутний трикутник DBC (∠DBC = 90°).
За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:
BC = 1 2 DC;
BC = 1 2 · 12 = 6 см.
Тоді MN = (16 + 6) 2 = 11 см.
Відповідь: 11 см.
423. Рівносторонній трикутник покрито п'ятьма
рівносторонніми трикутниками.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠C = 180° − (∠A + ∠B);
∠C = 180° − (40° + 82°) = 58°.
∠M + ∠N + ∠K = 180°;
∠N = 180° − (∠M + ∠K);
∠N = 180° − (40° + 58°) = 82°.
Отже,
∠A = ∠M = 40°;
∠B = ∠N = 82°;
∠C = ∠K = 58°. �������� �������� = �������� �������� = ��������
MP, MC = 12 см, MP = 8 см, EF = 4,5 см. Знайдіть
трикутник DEF подібний трикутнику MCP, MC = 12 см, MP = 8 см, EF = 4,5 см. Тоді одержимо:
Далі
=0,3; DE = 0,3 MC; DE = 0,3 · 12 = 3,6 см;
=0,3; DF = 0,3 MP; DF = 0,3 · 8 = 2,4 см; �������� �������� =0,3; �������� = �������� 0,3 ; �������� = 4,5 0,3 = 15( см).
Відповідь: 3,6 см; 15 см; 2,4 см.
427. Відомо, що трикутник ABC ~ трикутнику
����1 ����1 = �������� ⋅����1 ����1 �������� ;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
����1 ����1 = 10⋅9 6 = 15( см).
Відповідь: 10,5 см; 15 см.
428. Знайдіть
стороні AB
= 70°.
Нехай трикутник ABC ~ трикутнику A1B1C1, ∠A = 25°, ∠B = 70°.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠C = 180° − (∠A + ∠B);
∠C = 180° − (25° + 70°) = 85°.
Тоді
∠A1 = ∠A = 25°;
∠B1 = ∠B = 70°;
∠C1 = ∠C = 85°.
Відповідь: 25°, 70°, 85°.
429. Сторони MK і DE, KT і EF −
MK = 20 см, KT = 16 см, MT = 28 см, MK : DE = 4 : 5.
MKT і
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. відрізок BD, якщо AB = 16 см, AC = 20 см, DE = 15 см; 2. відрізок AD, якщо AB = 28 см, BC = 63 см, BE = 27 см.
Нехай ABC заданий трикутник, D ∈ AB, E ∈ BC, DE ∥ AC.
ΔABC ~ ΔDBE.
Тоді ��������
1.
; �������� = �������� �������� �������� ; �������� = 16⋅15 20 = 12( см);
2. �������� �������� = �������� �������� ; �������� = �������� �������� �������� ; �������� = 28⋅27 63 = 12 (см).
За аксіомою вимірювання відрізків
AB = AD + DB;
AD = AB − DB;
AD = 28 − 12 = 16 см.
Відповідь: 1. 12 см; 2. 16 см.
432. У трикутнику ABC відомо, що AB = 6 см. Через точку M сторони AB проведено пряму, яка паралельна стороні BC і перетинає сторону AC у точці K.
сторони трикутника ABC, якщо AM = 4 см, MK = 8 см, AK = 9 см.
AB = 6 см, AM
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), AB ∩ CD = E, DE = 40 см, BC:AD = 4:5. ΔAED ~ ΔBEC.
Нехай BC = 4x см, AD = 5x см.
Тоді �������� �������� = �������� �������� ; �������� = �������� ⋅ �������� �������� ; �������� = 40⋅4���� 5���� = 32 (см).
Відповідь: 32 см.
434. Продовження
42 см, AB = 9 см, BM = 54 см.
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), AB ∩ CD = M, AD = 42 см, AB
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠A1 = ∠B1 = ∠C1 = 60°, звідки одержимо: �������� ����1 ����1 = �������� ����1 ����1 = �������� ����1 ����1 , тому ΔABC ~ ΔA1B1C1 за означенням.
436. Точки M і K − середини сторін CD і AD квадрата ABCD
~ ΔBCD.
Нехай ABCD − квадрат, M і K − середини сторін CD і AD. У трикутнику KDM ∠D = 90°, ∠DKM = ∠DMK = 45°, бо це
прямокутного рівнобедреного трикутника (KD = MD).
У трикутнику BCD ∠C = 90°, ∠CBD = ∠CDB = 45° як кути, утворені
Тоді �������� �������� = �������� �������� = 1 2 . Отже, в даних трикутниках
64 см.
Рівняння:
5x + 4x + 7x = 64; 16x = 64; x = 4.
Отже, сторони подібного трикутника дорівнюють: 5 · 4 = 20 см, 4 · 4 = 16 см, 7 · 4 = 28 см. 2. Найменшою
5 · 6 = 30 см, 4 · 6 = 24 см, 7 · 6 = 42 см.
Відповідь: 1.
ΔABC ~ ΔA1B1C1, AB = 15 см, BC = 25 см, AC = 35 см.
1. PABC = AB + BC + AC; PABC = 15 + 25 + 35 = 75 см. Оскільки ΔABC ~ ΔA1B1C1,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB = AK + KB; AK = AB − KB; AK = (10 − x) см.
�������� �������� = �������� �������� ; 10−���� 10 = ���� 15 ; 10x = 15(10 − x); 2x = 30 − 3x; 5x = 30; x = 6.
Отже, KB = BD = DE = KE = 6 см.
Відповідь: 6 см.
440. На рисунку зображено прямокутний трикутник ABC (∠B = 90°) і вписаний у
квадрат BMKN. Знайдіть відрізок CN, якщо BM = 6 см, AB = 10 см.
Нехай ABC − трикутник, BMKN − вписаний у
Якщо BMKN − квадрат, то KM ⟂ AB.
Тоді ΔKNC ~ ΔABC, звідки слідує, що
Тоді за аксіомою вимірювання
BC = BN + NC;
BC = (6 + x) см.
��������
�������� = �������� �������� ; 6 10 = ���� ���� +6 ; 10x = 6(x + 6);
5x = 3x + 18;
2x = 18; x = 9.
Отже, NC = 9 см.
Відповідь: 9 см.
BM = 6 см, AB = 10 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
O2N.
Тоді ΔBMO1 ~ ΔBNO2,
BO2 = BO1 + O1A + AO2;
BO2 = BO1 + 8 + 12 = BO1 + 20 см.
Нехай BO1 = x см, тоді BO2 = (x + 20) см.
����1
����2 = ��������1 ��������2 ; ���� ����+20 = 8 12;
12x = 8(x + 20);
12x = 8x + 160; 4x = 160; x = 40.
Отже, BO1 = 40 см, тоді BO2 = 40 + 20 = 60 см.
Відповідь: 40 см, 60 см.
442. Периметр
тому AD = DC. Оскільки MN ∥ BC, то ΔODN ~ ΔBDC.
Так як BD = 2OD, то �������� 2�������� = �������� �������� = 1 2 Нехай DN = x см, тоді DC = AD = 2 x см.
AN = AD + DN; AN = 2x + x = 3x см; AC = AD + DC; AC = 2x + 2x = 4x см.
Оскільки MN ∥ BC, то ΔAMN ~ ΔABC.
BM = BN як
Тому трикутник MBN − рівнобедрений.
BK − бісектриса, проведена до його основи.
Тоді відрізок BK
Із того, що BK ⟂ MN, BD ⟂ AC, слідує, що MN ∥ AC.
Тоді ΔMBN ~ ΔABC. звідки �������� �������� =
AD = AM = 6 см як відрізки
За аксіомою вимірювання відрізків:
AB = AM + MB;
MB = AB − AM; MB = 18 − 6 = 12 см.
8
точки.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Через вершину A проведемо пряму AM ∥ DB.
∠MBA + ∠ABC = 180° як суміжні,
звідки ∠MBA = 180° − ∠ABC;
∠MBA = 180° − 120° = 60°.
∠AMB = ∠DBC = 60° як відповідні кути при
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠AMB + ∠MBA + ∠MAB = 180°;
∠MAB = 180° − (∠AMB + ∠MBA);
∠MAB = 180° − (60° + 60°) = 60°.
Отже, трикутник MAB − рівносторонній, тому
MA = AB = MB = 8 см.
За аксіомою вимірювання відрізків:
MC = MB + BC;
MC = 8 + 12 = 20 см.
Так як AM ∥ DB, то ΔMAC ~ ΔBDC, звідки:
;
Відповідь: 4,8 см.
445 Сторона BC паралелограма ABCD у 2 рази
кутів A і B
BK і AM − бісектриси, то ∠BAM =
BAM = ∠AMD як внутрішні
паралелограма) та січній AM.
Тоді трикутник ADM − рівнобедрений (AD =
BC = CK = 2x см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
CK = CD + DK; DK = CK − CD; DK = 2x − x = x см.
MK = MC + CD + DK; MK = x + x + x = 3x см.
Рівняння: 3x = 18; x = 6.
Отже, AB = CD = 6 см, AD = BC = 2 · 6 = 12 см.
Відповідь: AB = CD = 6 см, AD = BC = 12 см.
446. Діагоналі прямокутника ABCD
кут AOB, AC = 24 см. Знайдіть
трикутника COD.
Нехай ABCD − прямокутник, AC і BD − діагоналі, ∠
∠AOB, AC = 24 см.
Нехай ∠AOB = x, тоді ∠AOD = x + 60°.
∠AOB + ∠AOD = 180° як суміжні
x + (x + 60°) = 180°; 2x = 120°; x = 60°.
Отже, ∠AOB = 60°, ∠AOD = 60° + 60° = 120°.
Тоді ∠AOB = ∠COD = 60°, ∠AOD = ∠BOC = 120° як вертикальні.
За властивістю діагоналей
CO = OD = 1 2 AC;
CO = OD = 1 2 · 24 = 12 см. Оскільки трикутник COD
Тому PCOD = 3CO; PCOD = 3 · 12 = 36 см.
36 см.
COD = 60°
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; BO) − коло, AC − дотична, AD : BD = 1 : 2.
Нехай OB = OC = OD = x см.
Тоді за аксіомою вимірювання відрізків:
BD = BO + OD;
BD = x + x = 2x см.
Оскільки AD/BD = 1 2, то
AD = 1 2 BD;
AD = 1 2 · 2x = x см.
Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної, тому OC ⟂ AC.
Розглянемо прямокутний трикутник ACO (кут ACO = 90°).
Так як OC = x см, AO = AD + DO;
AO = x + x = 2x см,
то у ньому катет дорівнює половині гіпотенузи, тому
Отже, ∠CAO = 30°.
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника:
∠CAO + ∠COA = 90°;
∠COA = 90° − 30° = 60°.
Тоді ∠CBA = 1 2 ∠COA;
∠CBA = 1 2 · 60° = 30° (за властивістю
одну дугу).
Розглянемо трикутник ABC.
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠CBA + ∠CAB + ∠ACB = 180°;
∠ACB = 180° − (30° + 30°) = 120°.
у трикутнику BCD∠CBD = 30° (див. 1), ∠BCD
діаметр. Тому за теоремою
∠CBD + ∠BCD + ∠CDB = 180°;
∠CDB = 180° − (∠CBD + ∠BCD);
∠CDB = 180° − (30° + 90°) = 60°.
Відповідь: 1. 30°, 30°, 120°; 2. 30°, 60°, 90°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
рисунку DE ⟂ AB, BC ⟂
⟂
AD, то ∠DEA = ∠BCA = 90°.
1. У трикутниках BCA і DEA ∠DEA = ∠BCA = 90° і кут B спільний.
2. у трикутниках BEF і DCF ∠BEF =
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
а. Оскільки ∠ADE = ∠BCA, ∠A − спільний, то △
(за I ознакою подібності трикутників).
AE = AC + CE;
AE = 4 + 6 = 10 (см).
Тоді �������� = 10⋅3 5 =6( см);
б. оскільки ∠BAC =
Тому �������� �������� = �������� �������� ; �������� = �������� ⋅
Відповідь: а. 6 см; б. 25,2 см. 453. У трикутниках
�������� = 6⋅18
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
9 = 12( см).
Відповідь: B1C1 = 12 см, AC = 12 см.
454. На стороні CD паралелограма ABCD позначено точку E, прямі BE і AD
перетинаються в точці F, CE = 8 см, DE = 4 см, BE = 10 см, AD = 9 см. Знайдіть відрізки EF і FD.
Нехай ABCD − паралелограм, CE = 8 см, DE = 4 см, BE = 10 см, AD = 9 см. Розглянемо
трикутники BEC і FED. У них:
1. ∠BEC = ∠FED як вертикальні;
2. ∠BCE = ∠EDF як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD (як
сторони паралелограма) та січній CD.
Отже, △BEC ∼ △FED за двома рівними
; �������� = 9⋅4 8 =4,5( см).
Відповідь: 5 см; 4,5 см. 455. У трапеції ABCD (BC ∥ AD) відомо, що AD = 20 см, BC = 15 см, O
AO = 16 см. Знайдіть OC.
ABCD − трапеція (AD ∥ BC), AD = 20 см, BC = 15 см, AO = 16
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), BC = 18 см, BO : OD = 3 : 7.
Розглянемо трикутники BOC і DOA. У них:
1. ∠BCO = ∠DAO як внутрішні різносторонні
AC;
2. ∠BOC = ∠AOD як вертикальні.
Отже, △BOC ∼ △DOA за двома рівними
Нехай BO = 3x см, тоді OD = 7x см.
Відповідь: 42 см.
38°,
A + ∠C = 90°;
∠A = 90° − ∠C;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, △ABC ∼ △BDC
3)
1.
Отже,
2. ∠A = ∠C за доведеним вище. Отже, △BMA ∼ △BNC за двома рівними
DC;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AO = AC − OC.
Нехай OC = x см, тоді AO = 36 − x см.
��������
�������� = �������� �������� ; 4 20 = ���� 36 −���� ; 4(36 − x) = 20x; 36 − x = 5x; 6x = 36; x = 6.
Отже, OC = 6 см, AO = 36 − 6 = 30 см.
Відповідь: 6 см; 30 см. 464. У трапеції ABCD (BC ∥ AD) відомо, що AD = 18 см, BC = 14 см, AC = 24 см.
Знайдіть відрізки, на які
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), AO = 18 см, BC = 14 см, AC = 24 см. Розглянемо трикутники BOC і DOA. У них:
1. ∠BCO = ∠DAO як внутрішні
AC;
2. ∠BOC = ∠AOD як вертикальні.
ознакою подібності трикутників).
Тому
За аксіомою вимірювання
AC = AO + OC; AO = AC − OC;
Нехай OC = x см, тоді AO = (24 − x) см. �������� �������� = �������� �������� ; ���� 24 −���� = 14 18 ; 14(24 − x) = 18x; 7(24 − x) = 9x; 168 − 7x = 9x; 16x = 168; x = 10,5.
Отже, OC = 10,5 см, AO = 24 − 10,5 = 13,5 см. Відповідь: 10,5 см; 13,5 см. 465. Доведіть,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай △ABC∼△A1B1C1, AD і A1D1 − бісектриси. За
∠BAD = ∠DAC = ∠B1A1D1 = ∠D1A1C1.
Розглянемо трикутники ADC і A1D1C1. У них:
1. ∠C = ∠C1 як відповідні кути подібних трикутників;
2. ∠DAC = ∠D1A1C1 за доведеним вище.
Отже, △ADC ∼ △A1D1C1 за двома рівними кутами (за I
Тому
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. ∠ABC = ∠ACD за умовою. Отже, △ABC ∼ △DCA за двома рівними
ознакою
Тому �������� �������� = �������� �������� = �������� �������� ; �������� �������� = �������� �������� ;
AC2 = BC · DA;
AC2 = 28 · 63 = 1764;
AC = 42 (см).
Відповідь: 42 см.
468. На стороні AC трикутника ABC позначили точку D таку, що ∠ABD = ∠C, AB = 20 см, BC = 28 см, AC = 40 см. Знайдіть
сторони трикутника ABD.
Нехай ABC − трикутник, ∠ABD = ∠C, AB = 20 см, BC = 28 см, AC = 40 см. Розглянемо трикутники ACB і ABD. У них:
1. ∠A − спільний;
2. ∠ACB = ∠ABD за умовою. Отже, △ACB
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB = AN + NB;
NB = AB − AN;
NB = 16 − 12,5 = 3,5 см.
Відповідь: 12,5 см; 3,5 см. 470.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, MK і NP − хорди, MK ∩ NP = F, MF = 9 см, KF = 12 см,
Розглянемо трикутники MFN і PFK. У
1. ∠NMF = ∠FPK як кути, що спираються на
2. ∠NFM = ∠KFP як вертикальні. Отже, △MFN ∼
ознакою подібності трикутників).
Тому
.
Нехай PF = x см, тоді NF = 3x см.
�������� = �������� �������� ; 9 ���� = 3���� 12;
3x · x = 9 · 12;
3x2 = 108; x2 = 36; x = 6.
Отже, PF = 6 см, тоді NF = 3 · 6 = 18 см.
NP = NF + FP;
NP = 18 + 6 = 24 см.
Відповідь: 24 см.
473. Точка
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O;R) − коло, AC і DE − хорди, AC ∩ DE = K, DK = 2 см, KE = 32 см, AK = KC.
Розглянемо трикутники ADK і ECK. У них:
1. ∠DAK = ∠DEC як кути, що спираються на одну й ту саму дугу; 2. ∠DKA = ∠CKE як вертикальні.
Отже, △ADK ∼ △ECK за двома рівними кутами (за I ознакою
Тому
AK · CK = DK · EK;
AK2 = 2 · 32;
AK2 = 64; AK = 8 см.
Тоді AC = 2AK; AC = 2 · 8 = 16 см.
Biдповідь: 16 см.
474. Точка E
ознакою подібності трикутників).
Тому �������� �������� = �������� �������� =
DE · CE = BE · AE; BE · AE = 16 · 15 = 240 см2 .
;
За аксіомою вимірювання відрізків
AE = AO + OE;
AE = (R + 4) см; BO = BE + EO; BE = BO − EO; BE = (R − 4) см.
Тоді (R + 4)(R − 4) = 240;
R2 − 16 = 240; R2 = 256; R = 16 см.
Відповідь: 16 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, AB і MK − хорди, AB ∩ MK = P, MP = 8 см, PK = 12 см, OA = 11 см.
Розглянемо трикутники MPB і APK. У них:
1. ∠BMP = ∠KAP як кути, що спираються на одну й ту саму дугу;
2. ∠BPM = ∠KPA як вертикальні.
Отже, △MPB ∼ △APK за двома рівними
Тому ��������
=
; �������� �������� = �������� �������� ;
MP · PK = AP · PB; AP · PB = 8 · 12 = 96 см2 .
За аксіомою
AP = 11 + OP;
BO = BP + PO;
BP = BO − PO;
BP = 11 − OP.
Тоді (11 + OP)(11 − OP) = 96; 121 − OP2 = 96; OP2 = 25; OP = 5 см.
Відповідь: 5 см.
476. Через
AP = AO + OP;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
маємо: ∠APM = 1 2 ∪ MK.
Отже, ∠AMK = ∠APM. Розглянемо трикутники MKA і PMA. У них:
1. ∠AMK = ∠APM за доведеним вище;
2. ∠A − спільний.
Отже, △MKA ∼ △PMA за двома
Тому
; �������� �������� = �������� �������� ; �������� = ��������2 �������� ; �������� = 122 18 =8 (см).
За аксіомою вимірювання відрізків
AP = AK + KP;
KP = AP − AK;
KP = 18 − 8 = 10 см.
Відповідь: 10 см. 477.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
182 = 9 5 CD · 4 5 CD;
36
25 CD2 = 324;
CD2 = 225;
CD = 15 см.
Тоді AD = 9 5 · 15 = 27 см.
Відповідь: 27 см.
478. Через точку A, що лежить
коло в точках B і C (точка B лежить між точками A і C),
лежить між точками A і E).
1. Доведіть, що AB · AC = AD · AE.
2.
трикутники ADC і ABE. У них:
1. ∠A − спільний;
2. ∠DCA = ∠BEA як
Отже, △ADC ∼ △ABE за двома рівними
Тому
AB·AC = AD·AE; за аксіомою вимірювання
AC = AB + BC;
AC = 18 + 12 = 30 см.
Нехай AD = 5x см, тоді DE = 7x см.
Тоді за аксіомою
AE = AD + DE;
AE = 5x + 7x = 12x см.
Рівняння:
18 · 30 = 5x · 12x;
60x2 = 540; x2 = 9;
x = 3.
AE = 12 · 3 = 36 см.
Відповідь: 36 см.
479. У
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, R = 8 см, AC : BC = 1 : 4, AB = 9 см. Нехай AC = x см, тоді BC = 4x
см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо:
BC = BA + AC;
AB = BC − AC; 9 = 4x − x; 3x = 9; x = 3.
Отже, AC = 3 см, BC = 4 · 3 = 12 см. DE = 2OE; DE = 2 · 8 = 16 см.
Розглянемо трикутники CAE і CDB. У них:
1. ∠C − спільний;
2. ∠CEA = ∠CBD як кути, що спираються
Отже, △CAE ∼ △CDB за двома рівними
Тому
CE = CD + DE;
CE = CD + 16.
Тоді CD · CE = CA · CB;
CD(CD + 16) = 3 · 12.
Нехай CD = y.
y(y + 16) = 36;
y2 + 16y − 36 = 0;
D = 162 + 4 · 36 = 256 + 144 = 400;
y1 = −16 + 20 2 = 2, y2 = −16 20 2 = −18
Отже, CD = 2 см. За аксіомою
CO = 2 + 8 = 10 см.
Відповідь: 10 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, MNPK − квадрат, AC = a, BD = h. Розглянемо трикутники ABC і NBP. У них:
1. ∠B − спільний;
2. ∠BNP = ∠BAC як відповідні кути при паралельних
AC і NP (як протилежні сторони квадрата) та січній AB.
Отже, △ABC ∼ △NBP за двома рівними
xh = a(h − x); xh = ah − ax; xh + ax = ah;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тому �������� �������� = �������� �������� = �������� �������� = �������� �������� .
Нехай MP = 9x см, тоді MN = 5x см. За аксіомою
AD = AF + FD; AF = AD − FD; AF = (24 − 5x) см.
�������� �������� = �������� �������� ;
NK=MP=9x см як протилежні сторони прямокутника.
Тоді 72 9���� = 24 24−5���� ; 24 · 9x = 72(24−5x); 9x = 72 − 15x; 24x = 72; x = 3.
Отже, MP = 9 · 3 = 27 см, тоді MN = 5 · 3 = 15 см.
Відповідь: 15 см; 27 см.
482. Знайдіть висоту вежі, якщо
Нехай AF = 1,5 м, AC = 39 м, NE = 3 м, MA = 1,8 м.
EN ⊥ AC, BK ⊥ AC, тому EF ∥ BC,
звідки △AFE ∼ △ACB. MA = NF = KC.
Тоді �������� �������� = �������� �������� = �������� ��������
NE = NF + FE; FE = NE − NF; FE = 3 − 1,8 = 1,2 м.
Тоді �������� �������� = �������� �������� ; �������� = �������� �������� �������� ; BC = (1,2 · 39) : 1,5 = 31,2 м. BK = BC + CK; BK = 31,2 + 1,8 = 33 м. Відповідь: 33 м. 483.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Розглянемо трикутники AMK і ABC. У них:
1. ∠A спільний;
2. ∠MKA = ∠BCA за умовою.
Отже, △AMK ∼ △ABC за двома рівними
Тому ��������
За аксіомою вимірювання відрізків AB = AM + MB;
MB = AB − AM.
Отже, щоб знайти ширину річки MB,
основах. Отже, △ACB ∼ △NCM
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC і A1B1C1 − трикутники, AB = 2,4 м, BC = 2 м, A1B1 = 8,4 м.
∠B = ∠B1 = 90°, ∠A = ∠A1
Отже, трикутник ABC
Тому
Відповідь: 7 м.
486. Знайдіть кути паралелограма,
вершини, дорівнює: 1) 20°; 2) 130°.
1. Нехай BM і BN − висоти, ∠MNB = 20°. ∠BMD = ∠DNB = 90°. Розглянемо
чотирикутник MBND. За теоремою
∠BMD + ∠MDN + ∠DNB + ∠MBN = 360°;
∠MDN = 360° − (∠BMD + ∠DNB + ∠MBN);
∠MDN = 360° − (90° + 90° + 20°) = 160°.
За властивістю кутів
∠A + ∠D = 180°;
∠A = 180° − ∠D;
∠A = 180° − 160° = 20°.
За властивістю протилежних кутів
∠C = ∠A = 20°,
∠B = ∠D = 160°.
2.
сторони,
AM і AN − висоти, ∠MAN = 130°. ∠AMB = ∠AND = 90°.
∠AMC + ∠MCN + ∠CNA + ∠NAM = 360°;
∠MCN = 360° − (∠AMC + ∠CNA + ∠NAM);
∠MCN = 360° − (90° + 90° + 130°) = 50°.
∠C + ∠D = 180°;
∠D = 180° − ∠C;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠D = 180° − 50° = 130°.
∠A = ∠C = 50°,
∠D = ∠B = 130°.
Відповідь: 1. 20°, 160°, 20°, 160°; 2. 50°, 130°, 50°, 130°.
487. З довільної
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = �������� + �������� 2 ;
21 = 5���� +2���� 2 ; 7x = 42; x = 6.
Отже, AD = 5 · 6 = 30 (см),
тоді BC = 2 · 6 = 12 (см).
За аксіомою вимірювання відрізків AD = AK + KD; KD = AD − AK;
KD = 30 − 12 = 18 (см).
Тоді AB = KC = KD = 18 см.
Відповідь: 18 см.
489. Як два рівних
паралелограм?
Їх
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Розглянемо трикутники AED і ABC. У них: 1. ∠A − спільний;
2. �������� �������� = �������� �������� = 4 7 .
Отже, △ABC ∼ △AED за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою
трикутників).
�������� �������� = 4 7 ;
DE = 4BC 7 ; DE = 4 · 21 7 = 12 см
Відповідь:
утвореними цими сторонами
BDO
∠ACO = 72° як
72°.
494. На сторонах AC і BC трикутника ABC позначили
точки M і K так, що CM = 15 см, CK = 12 см. Знайдіть відрізок MK, якщо AC = 20 см, BC = 25 см, AB = 30 см.
Нехай ABC − трикутник, M ∈ AC, K ∈ BC, CM = 15 см, CK = 12 см, AC = 20 см, BC = 25
см, AB = 30 см. Розглянемо трикутники ABC і KMC.
1. ∠C − спільний;
2. �������� �������� = �������� �������� ; 20 12 = 25 15 ; 5 3 = 5 3 . Отже, △ABC ∼ △KMC за двома
утвореними цими сторонами
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC і A1B1C1 − трикутник, ∠A = ∠A1, AB = 0,6A1B1, AC = 0,6A1C1, BC + B1C1 = 48 см. Розглянемо трикутники ABC і A1B1C1.
1. ∠A=∠A1 за умовою; 2. �������� ����1 ����1 = �������� ����1 ����1 =0,6. Отже, △ABC∼△A1B1C1 за
цими сторонами (за II
Нехай BC = x см, тоді B1C1 = (48 − x) см. ����
48 −���� =0,6; x = 0,6(48 − x); x = 28,8 − 0,6x; 1,6x = 28,8; x = 18.
Отже, BC=18 см, тоді B1C1=48−18=30 (см).
Відповідь: 18 см; 30 см. 498. У трикутниках DEF і MKN відомо, що ∠E =
за сторони MK і KN
дорівнює 30 см. Нехай DEF і MKN − трикутники, ∠E = ∠K, DE = 2,5MK,
1. ∠E = ∠K за умовою; 2. �������� �������� = �������� �������� =2,5.
Отже, △DEF ∼ △MKN за двома
утвореними цими сторонами (за II
Тому �������� �������� =2,5.
Нехай DF = x см, тоді MN = (x − 30) см. ����
����−30 =2,5; x = 2,5(x − 30); x = 2,5x − 75; 1,5x = 75; x = 50.
Отже, DF=50 см, тоді MN=50−30=20 (см).
Відповідь: 50 см; 20 см.
499. На сторонах AB і AC трикутника ABC
точки D і E так, що AD : DB = AE : EC = 3 : 5. Знайдіть відрізок DE, якщо BC = 16 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB = AD + DB; DB = AB − AD; AC = AE + EC; EC = AC − AE.
1. ∠C − спільний;
2. �������� �������� = �������� �������� за доведеним вище.
Отже, △ABC ∼ △ADE за двома пропорційними сторонами та
∼ △A2B2C2, то
AB : A1B1 : A2B2 = AC : A1C1 : A2C2 = BC : B1C1 : B2C2.
Тоді
AB : BC : AC = A1B1 : B1C1 : A1C1 = A2B2 : B2C2 : A2C2
і
трикутників.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Оскільки AH · AB = AC · AD, то �������� �������� = �������� �������� . Розглянемо трикутники AHC і ADB. У них:
1. ∠A − спільний;
2. �������� �������� = �������� �������� за умовою.
Отже, △AHC ∼ △ADB за двома пропорційними сторонами та рівними кутами,
утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому ∠ACH = ∠ABD як відповідні кути подібних трикутників. ∠HCD і ∠ACH − суміжні.
За властивістю суміжних кутів
можна показати, що ∠CHB + ∠BDC = 180°. Розглянемо чотирикутник CHBD.
ньому сума
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай AB і CD − відрізки, AB ∩ CD=M, �������� ⋅ �������� = �������� : �������� ⋅ �������� �������� = �������� �������� .
Розглянемо трикутники ADM і CBM. У них:
1. ∠AMD=∠CMB як вертикальні;
2. �������� �������� = �������� �������� за умовою.
Отже, △ADM ∼ △CBM за двома пропорційними сторонами та рівними кутами,
утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому ∠DAM = ∠BCM як відповідні кути подібних трикутників. Тоді за властивістю належності
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2(AB + AD) = 46; AB + AD = 23 (см).
PADB = AB + AD + BD; PADB = AB + AD + AB; 32 = 23 + AB; AB = 9 (см).
Тоді AD = 23 − AB; AD = 23 − 9 = 14 (см).
За властивостями сторін паралелограма
AB = CD = 9 см, AD = BC = 14 см.
Biдповідь: AB = CD = 9 см, AD = BC = 14 см.
508. На діагоналі BD квадрата ABCD позначили точку E так, що DE = AD. Через точку E проведено пряму, яка перпендикулярна до прямої BD і перетинає сторону
Доведіть, що AF = FE = BE.
Нехай ABCD − квадрат, BD −
BEF (
трикутника ∠FBE + ∠BFE = 90°; ∠BFE = 90° − ∠FBE; ∠BFE = 90° − 45° = 45°.
Отже, трикутник BEF − рівнобедрений
основою BF (BE = FE).
Розглянемо рівнобедрений трикутник DAE (DE = AD).
За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника ∠AED = ∠EAD.
Нехай ∠AED = ∠EAD = x.
Тоді ∠BAE = 90° − x.
За аксіомою вимірювання кутів маємо:
∠BED = ∠BEF + ∠FEA + ∠AED;
∠FEA = 180° −(∠BEF + ∠AED);
∠FEA = 180° − (90° + x) = 90° − x.
Тоді трикутник AFE − рівнобедрений з основою AE, звідки AF = FE.
З того, що BE = FE і AF =FE, слідує, що AF = FE = BE. 509. У трапеції ABCD відомо, що ∠B = 90°, ∠C = 150°, BC = 5 см. Знайдіть сторону CD, якщо
C,
ABCD − трапеція (AD ∥ BC), ∠B=90°, ∠C=150°, BC=5 см, CK − висота.
то AB = BC = CK = AK = 5 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠BCD = ∠BCK + ∠KCD;
∠KCD = ∠BCD − ∠BCK;
∠KCD = 150° − 90° = 60°.
Розглянемо
∠KCD + ∠KDC=90°;
∠KDC = 90° − ∠KCD;
∠KDC = 90° − 60° = 30°. За
2 �������� ; �������� =2��������; CD = 2 · 5 = 10 (см).
Відповідь: 10 см. 510. На колі позначили
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Дано: △ABC. AB = 8 см, BC = 4 см, AC = 9 см, BB1
кола (O ∈ BB1).
Знайти: BO ∶ OB1
Розв'язання:
Бісектриса BB1
BC:
��������1
����1 ���� = �������� �������� = 8 4 = 2 1
Отже, AB1 = 2 · B1C.
Оскільки AC = AB1 + B1C = 9 см, підставимо AB1:
2 · B1C + B1C = 9
3 · B1C = 9
B1C = 3 см
AB1 = 9 – 3 = 6 см
Центр вписаного кола O
відрізок AO є
BAB1 у трикутнику
∠B. O
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Оскільки ABCD паралелограм,
означає, що відрізок FD (на AD) паралельний відрізку BM (на BC) : FD∥BM.
Розглянемо △KFD та △KMB. Вони утворені перетином паралельних
FD і BM січними BD і FM.
∠FKD = ∠MKB як вертикальні кути.
∠KDF = ∠KBM як внутрішні різносторонні
BD. Отже, △KFD ∼ △KMB за двома кутами.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
=
�������� = 10 14 = 5 7
Відповідні
Відрізок
Відповідь: В. 15 см, 6 см.
1. Подібність трикутників, утворених
Використовуємо
2. △BMO ∼ △BAD (спільний
3. △CNO ∼ △CDA (спільний
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠BED є
до ∠AED).
Внутрішній протилежний до ∠AED кут це ∠ACD (тобто ∠C у △ABC).
Отже: ∠BED = ∠C (∠ACB).
Ознака подібності (за двома кутами):
Розглянемо △BDE і △BAC:
∠B спільний кут.
∠BED = ∠C (встановлено вище).
Таким чином, △BDE ∼ △BAC за двома кутами.
2. Встановлення відношення
Оскільки трикутники подібні, відношення їхніх відповідних
Відповідь: Б. �������� �������� = �������� �������� .
9. Хорда AB перетинає хорду CD
· MB = CM ·
4 · 25 = x · x ⇒ 100 = x2 ⇒ x = √100 = 10 см Отже, CM = 10 см і MD = 10 см.
CD = CM + MD = 10 + 10 = 20 см Відповідь: Г. 20 см.
CD = AC – AD = 8 см − 6 см = 2 см
Розглянемо △BDC і △ABC.
C: �������� �������� = 2 4 = 1 2 ; �������� �������� = 4 8 = 1 2
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Відповідь: 3 см.
2.
A1B1 і B1C1
Дано: △ABC∼△A1B1C1.
сторони:
Розв'язання: Оскільки трикутники
Відповідь: 6 см.
3. Відрізок BM − бісектриса
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠BDE = ∠BAC
кута ∠B.
Знайдемо відношення BD ∶ BA.
За умовою BD ∶ DA=1 ∶ 3.
Нехай BD = x, тоді DA = 3x.
Повна сторона BA:
BA = BD + DA = x + 3x = 4x
Коефіцієнт подібності (від малого
���� = �������� �������� = ���� 4���� = 1 4
Складання та розв'язання
паралельних сторін DE та AC також
= ���� = 1 4 ⇒ 4 · DE = 32 ⇒ DE = 8 (см)
ABCD
Основи: BC = 14 см, AD = 21 см. Діагональ:
3. Знайдіть довжину хорди.
Дано: R = 7 см, OC = 5 см. Хорда
Знайти: AB.
Розв'язання:
Проведемо
AB у точці C.
DC = R + OC = 7 + 5 = 12 см.
CE = R − OC = 7 − 5 = 2 см.
За теоремою про перетин хорд,
хорди DE:
AC · CB = DC · CE = 12 · 2 = 24 см.
Розрахунок довжини хорди:
змінну x для
AC = 2x; CB = 3x
Підставимо в рівняння: 2x · 3x = 24
6x2 = 24
x2 = 4 ⇒ x = 2
Довжина хорди AB:
AB = AC + CB = 2x + 3x = 5x
AB = 5 · 2 = 10 см
Відповідь: 10 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
аксіомою вимірювання
�������� = �������� + �������� ; �������� =5+ 20 = 25 (см).
�������� 2 = �������� ⋅ �������� ; ���� ���� 2 = �������� ⋅ �������� ; �������� 2 =5 ⋅ 25 = 125 (см2 ); �������� =5√5 (см); ���� ���� 2 = 20 ⋅ 25 = 500 (см2 ); �������� = 10√5 (см). Відповідь:
см
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Відповідь: 4√5 см; 2√5 см. 518.
2 =
на діаметр кола. За метричним співвідношенням у прямокутному
⋅
=
;
�������� ; �������� = 102 4 = 100 4 = 25 (см).
За аксіомою вимірювання відрізків �������� = �������� + �������� ; �������� =4+ 25 = 29 (см). �������� =2�������� ; �������� = �������� ∶ 2; �������� = 29 ∶ 2= 14,5 (см).
Відповідь: 14,5 см.
519. Знайдіть периметр
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������������������� = �������� + �������� + �������� + �������� ;
=
12,5 см. 521. Діагональ
+
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2 ; �������� = 20+5,6 2 = 12,8( см). Відповідь: 12,8 см.
522. Знайдіть
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
трикутнику
������������ �������� 2 = �������� ⋅ ��������;
����
���� 2 =8 ⋅ 50 = 400(см2 );
�������� = 20(см).
Відрізок �������� дорівнює подвоєному радіусу, тому
�������� =2��������, �������� = 2 ⋅ 20 = 40 (см).
За
аксіомою вимірювання відрізків
�������� = �������� + �������� ;
�������� =8+ 50 = 58 (см).
За властивістю кола, вписаного в чотирикутник, маємо: �������� + �������� = �������� + �������� = 58 + 40 = 98 (см).
�������������������� = �������� + �������� + �������� + �������� =2(�������� + �������� );
�������������������� =2 ⋅ 98 = 196( см).
Відповідь: 196 см.
524. У рівнобічну трапецію
=2�(����− 35) + (����− 28)�;
=2(2����− 63);
=4����− 126; 3���� = 126;
= 42. Отже, �������� = 42 35 =7( см), �������� = 42 28 = 14( см) Відповідь: 7 см, 14 см
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
= 180∘ 74∘ = 106∘ .
січній ��������
Тоді ∪ �������� = 2∠������������;
∪ �������� =2 ⋅ 37∘ = 74∘ .
∪ �������� =∪
�������� = 2∠������������; ∪ �������� =2 ⋅ 106∘ = 211∘ ; ∪ �������� =∪ �������� −∪ ��������; ∪ �������� = 212∘ 74∘ = 138∘ .
належить.
многокутник
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = √�������� 2 + �������� 2 ; �������� = �162 + 122 = √256 + 144 = √400 = 20(см)
�������������������� =4��������;
�������������������� =4 ⋅ 20 = 80(см).
Відповідь: 80 см.
539. Сторона ромба дорівнює
ромба.
���������������� − ромб, �������� − діагональ, �������� = 48 см,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, �������� = 28(см),
тоді �������� = 28 +7= 35(см).
Тоді ���������������� = �������� + �������� + �������� ;
���������������� = 21 + 28 + 35 = 84(см).
Відповідь: 84 см .
541. Гіпотенуза прямокутного трикутника
цього трикутника.
Нехай ������������ − прямокутний трикутник (∠���� = 90∘ ), �������� = 26 см,
Нехай �������� =5���� см, тоді �������� = 12���� см.
теоремою Піфагора маємо: �������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 .
Рівняння: 262 =(12����)2 +(5���� )2 ;
676 = 144���� 2 + 25���� 2 ; 169���� 2 = 676; ���� 2 =4; ���� =2.
Отже, �������� =5 ⋅ 2= 10 (см),
тоді �������� = 12 ⋅ 2= 24 (см).
Відповідь: 10 см, 24 см. 542. Катет прямокутного трикутника
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = √52 − 32 = √25 − 9 = √16 =4(см).
�������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ; �������� = ��������� 2 + ���� ���� 2 ; �������� = √42 +62 = √16 + 36 = √52 =2√13( см)
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
звідки ���� ���� 2 = �������� 2 −�������� 2 ; �������� = ��������� 2 −�������� 2 ;
�������� = √172 82 = √289 64 = √225 = 15 (см).
За аксіомою вимірювання відрізків
�������� = �������� + ��������;
�������� = �������� ��������; �������� = 15 9=6 (см).
Розглянемо прямокутний трикутник ������������
�������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ; �������� = ��������� 2 + ���� ���� 2 ;
�������� = √82 +62 = √64 + 36 = √100 = 10(см).
Відповідь: 10 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = 10 − 6=4 (см).
трикутника.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, �������� =6 см, тоді �������� =2 ⋅ 6= 12(см), �������� = �������� = 12 2= 10(см). Відповідь: 12 см, 10 см, 10 см. 556. Периметр рівнобедреного
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���������������� = �������� + �������� + �������� =2�������� + �������� .
Рівняння:
2√���� 2 + 225 +2���� = 90;
√���� 2 + 225 = 45 −���� ;
���� 2 + 225 =(45 −���� )2 ;
���� 2 + 225 = 452 90���� + ���� 2 ;
90���� = 1800; ���� = 20.
Отже, �������� =2 ⋅ 20 = 40(см),
�������� = �������� = √202 + 152 = √400 + 225 = √625 = 25(см).
Відповідь: 20 см, 25 см, 25 см. 557. Сторони
������������ − трикутник,
сторони.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� 2 = �������� 2 ���� ���� 2 ;
�������� 2 = 36���� 2 182 .
Рівняння:
25���� 2 72 = 36���� 2 182 ;
25���� 2 49 = 36���� 2 324;
11���� 2 = 275;
���� 2 = 25;
���� =5
Oтже, �������� =5 ⋅ 5= 25(см),
тоді �������� =6 ⋅ 5= 30(см).
�������� 2 = �������� 2 ���� ���� 2 ;
�������� = ��������� 2 ���� ���� 2 ;
�������� = √302 − 182 = √900 − 324 = √576 = 24(см).
Відповідь: 24 см.
560. Iз точки
точки,
відрізків �������� = �������� + ��������;
�������� =6+2=8(см);
�������� = �������� + �������� ;
�������� = (6+ ���� )см;
�������� = �������� + �������� ;
�������� = (2+ ���� ) см.
�������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ; (6+ ���� )2 =82 +(2+ ���� )2 ; 36 + 12���� + ���� 2 = 64 +4+4���� + ���� 2 ; 8���� = 32;
���� =4.
Oтже, �������� =8 см; �������� =6+4= 10(см); �������� =2+4=6(см).
Відповідь: 8 см,6 см, 10 см. 562.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
паралелограма).
�������� = �������� =6 см, �������� =
15 см, AC=24 см. Відрізки BM і CK - медіани
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
ВМ2 = ВС2 + СМ2; ВМ2 = 324 + 144 = 468; ВМ = √468 = 6√13 см. (Р)
5) Р∆АВС = AC + AB + BC = 24 + 30 + 18 = 72 см. (О)
6) З теореми про властивість бісектриси трикутника:
�������� �������� = �������� �������� ⇒ �������� �������� = �������� �������� = 24 30 = 4 5
Нехай х (см) одна частина, тоді CD = 4х (см), DВ = 5х (см).
4х + 5х = 18; 9х = 18; х = 2.
CD = 4 ∙ 2 = 8 см; DВ = 5 ∙ 2 = 10 см.
Розглянемо ∆CAD, ∠С = 90°, за теоремою Піфагора AD2 = AC2 + СD2;
AD = √576 + 64 = √640 = 8√10 см. (Г)
Відповідь: ОСТРОГ.
564. Знайдіть периметр прямокутного трикутника, якщо
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
см, �������� = 51 см. Оскільки
�������� = �������� �������� ; ��������
�������� = 24 51 = 8 17
Нехай �������� =8���� см, тоді �������� = 17���� см
�������� = �������� + �������� ;
�������� = 24 + 51 = 75 (см).
�������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ;
289���� 2 = 64���� 2 + 752 ;
5625 = 225���� 2 ; ���� 2 = 25; ���� =5
Oтже, �������� =8 ⋅ 5= 40(см), �������� = 17 ⋅ 5= 85(см).
���������������� = �������� + �������� + �������� ;
���������������� = 40 + 75 + 85 = 200(см).
Відповідь: 200 см.
566.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���� ����2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ; ���� ����2 = 122 +(12 + ���� )2 . Розглянемо прямокутний трикутник
����
2 = ���� ���� 2 + ���� ���� 2 ; ���� ���� 2 = 242 + ���� 2 . Оскільки �������� = �������� як радіуси, то ���� ����2 = ���� ���� 2 . Рівняння: 122 +(12 + ���� )2 = 242 + ���� 2 ; 144 + 144 + 24���� + ���� 2 = 576 + ���� 2 ; 24���� = 288; ���� = 12. �������� = 12 см; �������� = ����� ���� 2 + ���� ���� 2 ; �������� = √242 + 122 = √576 + 144 = √720 = 12√5 (см). Відповідь: 12√5 см
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���� =8.
�������� =5 ⋅ 8= 40 (см),
тоді �������� =3 ⋅ 8= 24 (см),
�������� = �������� = 40 см.
Оскільки �������� − бісектриса рівнобедреного
вона є й медіаною. Тому �������� = �������� = 1 2 �������� , звідки
�������� =2��������;
�������� =2 ⋅ 24 = 48( см).
���������������� = �������� + �������� + �������� ;
���������������� = 40 + 48 + 40 = 128(см).
Відповідь: 128 см.
571.
завдовжки 20 см і 25 см,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = �������� − �������� ;
�������� = 45 (20 + ���� ) =(25 −���� ) см.
Розглянемо прямокутний трикутник ������������ (
���� ���� 2 = ���� ���� 2 + ���� ���� 2 ;
(25 + ���� )2 = 402 +(25 −���� )2 ;
625 + 50���� + ���� 2 = 1600 + 625 50���� + ���� 2 ;
100���� = 1600;
���� = 16.
Отже, �������� = 20 + 16 = 36 (см); �������� = 25 + 16 = 41 (см).
Тоді �������������������� = �������� + �������� + �������� + �������� ;
�������������������� = 40 + 36 + 41 + 45 = 162(см).
Biдповідь: 162 см.
572. Точка
= 90∘ ).
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���� ���� 2 = ���� ���� 2 + ���� ���� 2 ;
(3+ ���� )2 = 122 +(����− 3)2 ; 9+6���� + ���� 2 = 144 + ���� 2 − 6���� +9; 12���� = 144; ���� = 12.
Отже, �������� =3+ 12 = 15 (см);
�������� =6+ 12 = 18 (см).
Тоді �������������������� = �������� + �������� + �������� + �������� ; �������������������� = 12 +9+ 15 + 18 = 54(см).
Відповідь: 54 см.
573. Медіани AM і CK трикутника ABC
якщо AM = 9 см і CK = 12 см. Нехай
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = 1 2
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Одна сходинка утворює
“кроку” вздовж сходів:
���� = �142 + 482 = √196 + 2304 = √2500 = 50 см.
Тобто одна сходинка відповідає
Уся довжина:
AB = 900 см.
Кількість сходинок: ���� = 900 50 = 18.
Відповідь: 18 сходинок.
577. (Старовинна арабська
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
100���� = 2000;
���� = 20.
Тоді �������� = 50 20 = 30 (лік.).
Відповідь: 30 ліктів.
578. (Задача Бхаскари.)
Над озером тихим, з пів фута заввишки
Підносилась лотоса квітка.
I одного разу поривчастий вітер
Відніс її раптом убік.
Нема більше квітки над тою водою.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. у трикутнику AEB; 2. у трикутнику AFC; 3.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
594.
�������� = 5 13 ;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���� −���� = 50 − 18 = 32 (см).
2 = �������� ⋅ �������� ; �������� = √�������� ⋅ �������� ; �������� = √18 ⋅ 32 = √576 = 24 (см)
Оскільки �������� медіана, то �������� = �������� = 1 2 �������� = 1 2 ⋅ 50 = 25 (см). За
відрізків �������� = �������� + �������� ; �������� = �������� − �������� ; �������� = 25 18 =7 (см).
Розглянемо
=
���� 2 + ���� ���� 2 ;
= √242 +72 = √576 + 49 = √625 = 25 (см). Тоді маємо:
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
трикутника cos���� = �������� �������� ; cos���� = 1 6 . Відповідь: 1 6 .
604.
відношення
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
прямокутного
= �������� ∶ 2; ���� =6 ∶ 2=3 (см).
Відповідь: 3 см.
607. Хорди AB і BC
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Доведення.
Нехай ABCD трапеція, AD ∥ BC.
Нехай E і F середини бічних сторін AB і CD.
EF ∥ AD і EF ∥ BC.
Нехай G точка на BC, H точка на AD. Проведемо відрізок GH,
середню лінію EF у точці M. Потрібно довести, що
GM = MH.
Розглянемо трикутник ABH.
Точка E середина сторони AB. Через точку E
EF, яка
AH. Ця пряма перетинає сторону BH у точці M. За теоремою
BM = MH.
Оскільки точки B, G, C лежать на одній
Отже,
GM = MH.
Що й треба було довести.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
4. AB, якщо BC = 14 см, cosB = 7 9;
5. AB, якщо AC = 3,2 см, sinB = 0,16;
6. BC, якщо AC = 2,3 см, tgB = 1 2 .
1. �������� = �������� ⋅ sin����; �������� = 12 ⋅ 3 4 =9 (см);
2. �������� = �������� ⋅ cos����; �������� = 21 ⋅ 0,4=8,4( см);
3. �������� = �������� tg���� ; �������� = 4 1,6 =2,5( см);
4. �������� = �������� cos���� ; �������� = 14 7 9 = 14⋅9 7 = 18 (см);
5. �������� = �������� sin���� ; �������� = 3,2 0,16 = 20 (см);
6. �������� = �������� tg���� ; �������� = 2,3 1 2 =4,6 (см). 611. У трикутнику DEF
1. �������� , якщо �������� = 18 см, cos���� = 2 9
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� =2�������� =2 ⋅ ���� 2 = ���� Biдповідь: ���� √3; ����
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠������������ = 30∘ , ∠������������ = 60∘ .
�������� = �������� + +�������� ; �������� = �������� ��������; �������� = 15 ����− 7= (8 −���� ) см.
Розглянемо прямокутний трикутник
�������� = �������� ⋅ tg���� ; ���� −���� = (8 −���� ) ⋅
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���� см.
За
Рівняння:
48 =2(2���� +3���� ); 10���� = 48; ���� =4,8.
Тоді �������� =2 ⋅ 4,8=9,6 (см).
Отже,
Biдповідь: Не може.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠���� = 17∘ + 52∘ = 69∘ .
∠���� + ∠���� = 180∘ ;
∠���� = 180∘ −∠����;
∠���� = 180∘ 86∘ = 94∘ ;
∠���� + ∠���� = 180∘ ;
∠���� = 180∘ −∠���� ;
∠���� = 180∘ − 69∘ = 111∘ .
Biдповідь: 86∘ , 111∘ , 94∘ , 69∘ .
642. Відомо, що ���� − точка
���������������� − трапеція
2. ∠������������ = ∠������������ за доведеним вище.
�������� = 18 см,
�������� = 39 18 = 21(см).
18 см, 21 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AD2 = MB·AB
2.
x висота до гіпотенузи.
Користуємось властивістю: x2 = AM · MB.
A: x2 = a · 2a = 2a2 ⇒ x = a√2 ≠ 2a
Б: x2 = a · 4a = 4a2 ⇒ x = 2a
В: x2 = a · 9a = 9a2 ⇒ x = 3a
Г: x2 = a · 6a = 6a2 ⇒ x = a√6
Відповідь: Б.
3. Iз теореми Піфагора випливає, що
А. дорівнює сумі катетів;
Б. дорівнює сумі квадратів катетів;
В. більша за катет;
Г. дорівнює квадрату суми катетів. За теоремою Піфагора c2 = a2 + b2 .
Оскільки a2 + b2 > a2 ⇒ c2 > a2 ⇒ c > a і c > b. Отже гіпотенуза більша за кожен катет.
Відповідь: В.
4. Довжина відрізка ���� на рисунку дорівнює: А. 4 ; Б. 3 ; B. 5 ; Г. 3√2.
У
132 = 122 + y2
169 = 144 + y2
y2 = 25 y = 5.
x2 + 42 = 52
x2 + 16 = 25
x2 = 9 x = 3. Відповідь: Б. 3.
=2 ⋅ 32
ℎ2 = 64
ℎ = √64 =8
Відповідь: 8 см. 2.
Гіпотенуза:
���� = �52 + 122
���� = √25 + 144
���� = √169 = 13
Периметр: P = 5 + 12 + 13 = 30
Відповідь: 30 см.
3. Сторона
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = 10
Відповідь: 10 см.
6.
sin2 23∘ + cos 2 23∘ =1
tg60∘ = √3 ⇒ tg 2 60∘ =3
1 + 3 = 4
Відповідь: 4.
7.
AB = AD + BD
AB = 6 + 9 = 15
Оскільки AB = BC, то
BC = 15
У прямокутному △BCD:
BC 2 =BD2 +CD2
152 =92 +CD2
225 = 81 +CD2
CD2 = 144
CD = 12
У прямокутному △ACD:
AC 2 =AD2 +CD2
AC 2 =62 + 122
AC 2 = 36 + 144
AC 2 = 180
AC = √180 =6√5
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай �������� = ℎ
�������� = �ℎ2 +52 , �������� = �ℎ2 +92
Одна похила на 2 см менша:
�ℎ2 +92 �ℎ2 +52 =2
�ℎ2 + 81 =2+ �ℎ2 + 25
h2 + 81 = 4 + h2 + 25 + 4�h2 + 25
81 = 29 +4�ℎ2 + 25
52 =4�ℎ2 + 25
13 = �ℎ2 + 25
169 = ℎ2 + 25
ℎ2 = 144
ℎ = 12
Відповідь: 12 см.
9.
.
= AM = 3 DF = DN = 12 З точки B: BM = BE = 3
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тоді
AB = AM + MB = 3 + 3 = 6 см
Нижня основа:
DC = DN + NC = 12 + 12 = 24 см
Також
DC = DG + GH + HC = GH + 2DG
Звідси
2DG = DC - GH
DG = DC−GH 2
Оскільки ABHG прямокутник, то
GH = AB = 6
DG = 24−6 2 =9
Розглянемо прямокутний трикутник AGD.
AD = AF + FD = 3 + 12 = 15
AD2 =AG2 +DG2
152 =h2 +92
225 =h2 + 81
h2 = 144
h = 12
Відповідь: 12 см.
12. Бічна сторона
AF = AD, CD = CG, BF = BG
AC = 60, тому AD = CD = 30
AF = CG = 30
AB = 50
BF = AB − AF = 50 − 30 = 20 Отже
BF = BG = 20
Тепер розглянемо
BO2 = BF2 + OF2
BO2 = 202 + r2
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
трикутник BFO (OF ⊥ AB):
Знайдемо висоту трикутника BD:
BD2 = AB2 − AD2
BD2 = 502 − 302
BD2 = 2500 − 900
BD = 40
Оскільки O лежить на висоті BD, то
BO = BD − OD
а (OD = r).
BO = 40 − r
Підставимо у
BO2 = 202 + r2
(40 − r)2 = 400 + r2
1600 − 80r + r2 = 400 + r2
1200 = 80r r = 15
Тоді
BO = 40 − 15 = 25
Відповідь: 25 см.
646.
Нехай �������� = ���� см, �������� = (���� +1) см, �������� = (���� +2)см, �������� = (���� +3) см, �������� = (���� +4) см.
Рівняння:
���� + (���� +1) + (���� +2) + (���� +3) + (���� +4) = 100;
5���� + 10 = 400;
5���� = 90;
���� = 18.
Отже, �������� = 18 см, �������� = 18 + 1= 19 (см), �������� = 18 + 2= 20 (см), �������� = 18 +3= 21(см), �������� = 18 + 4= 22(см)
Відповідь: 18 см, 19 см, 20 см, 21 см, 22 см. 650.
1. 180∘ (����− 2); ���� =5,
180∘ (����− 2)= 180∘ (5 − 2)= 180∘ ⋅ 3= 540∘ ;
2. 180∘ (����− 2); ���� =8,
180∘ (����− 2)= 180∘ (8 − 2)= 180∘ ⋅ 6= 1080∘ ;
3. 180∘ (����− 2); ���� = 24,
180∘ (����− 2)= 180∘ (24 2)= 180∘ ⋅ 22 = 3960∘ .
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Biдповідь: 1. 540∘ ; 2. 1080∘ ; 3. 3960∘ . 651. Знайдіть
теоремою
1. 180∘ (����− 2); ���� =9,
тоді 180∘ (����− 2)= 180∘ (9 2)= 180∘ ⋅ 7= 1260∘ ; 2. 180∘ (����− 2); ���� = 16,
тоді 180∘ (����− 2)= 180∘ (16 2)= 180∘ ⋅ 14 = 2520∘ .
Biдповідь: 1. 1260∘ ; 2. 2520∘ .
652. Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює: 1. 1800°; 2. 720°; 3. 1600°?
За теоремою про суму кутів
1. 180∘ (����− 2) = 1800∘ ;
����− 2= 1800∘ : 180∘ ; ����− 2= 10; ���� = 10 +2; ���� = 12. Отже, оскільки ���� є натуральним
він є дванадцятикутником; 2. 180∘ (����− 2) = 720∘ ;
����− 2= 720∘ : 180∘ ; ����− 2=4;
він є шестикутником; 3. 180∘ (����− 2) = 1600∘ ;
����− 2= 1600∘ : 180∘ ; ����− 2=8 8 9 ; ���� =8 8 9 +2; ���� = 10 8 9. Oтже, оскільки
многокутник не існує.
653. Чи існує многокутник,
1. 180∘ (����− 2) = 150∘ ⋅����;
180����− 360 = 150����;
30���� = 360; ���� = 12
і він є дванадцятикутником;
2. 180∘ (����− 2) = 100∘ ⋅����;
180����− 360 = 100����;
80���� = 360; ���� =4,5
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
3
300
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
14 (см).
�������� середня лінія трикутника ������������ , звідки
�������� = 1 2 �������� ; �������� =2��������; �������� =2 ⋅ 11 = 22 (см).
∠������������ =
, тому трикутник ������������
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = �������� − �������� ; �������� = 13 5=8 (см);
�������� = �������� + �������� ; �������� = �������� �������� ; �������� = 26 − 8= 18 (см).
прямокутний
�������� 2 = �������� 2 + �������� 2 ; �������� = ��������� 2 + �������� 2 ; �������� = √122 +82 = √144 + 64 = √208 =4√13 (см).
Розглянемо прямокутний трикутник ������������ (∠������������ = 90∘ ). За теоремою Піфагора ���� ���� 2 = ���� ���� 2 + ���� ���� 2
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
671. Які з прямокутників,
Рівновеликими є прямокутники а, б і д, бо 4 ⋅ 3=1,5 ⋅ 8=2 ⋅ 6= 12 (кв. од.)
і в, г і ґ, бо 2 ⋅ 8=4 ⋅ 4= 16 ⋅ 1= 16 (кв. од.)
672. Квадрат зі стороною 12 см і прямокутник, одна зі сторін якого дорівнює 8 см ,
рівновеликі. Знайдіть периметр даного прямокутника. Площа квадрата, сторона якого 12 см, дорівнює ����1 = 12 ⋅ 12 = 144 (см²). Площа
прямокутника, одна зі сторін якого 8 см , дорівнює ����2 =8���� (см2). Оскільки квадрат і
рівновеликі,
дорівнює 18 см, тоді периметр ����2 =2(8+ 18) =2 ⋅ 26 = 52(см).
Biдповідь: 52 см.
64(см2 )
����2 =4���� =4 ⋅ 8= 32 (см).
Biдповідь: 32 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ���������������� − прямокутник, �������� − діагональ, �������� бісектриса, �������� ∶ �������� =2 ∶ 7,
�������������������� = 108 см.
Розглянемо прямокутний
Нехай �������� =2���� см, тоді �������� =7���� см.
�������������������� =2(�������� + �������� ); 108 =2(2���� +7���� );
9���� = 54; ���� =6.
Отже, �������� =2 ⋅ 6= 12(см),
тоді �������� =7 ⋅ 6= 42(см). 688. Бісектриса
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Площа поля:
���� = 500 ⋅ 400 = 200000 м2
1 га = 10000 м2
���� = 200000 10000 = 20 га
Потрібно
20 ⋅ 260 = 5200 кг
5200 кг =5,2 т
Маємо 5 т = 5000 кг.
5000 < 5200
Отже, гороху
Відповідь: не вистачить.
692. Довжина
Площа стіни: ���� =6 ⋅ 3= 18 м2
15 см = 0,15 м. Площа плитки: ����1 =0,15 ⋅ 0,15
696.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, �������� =6+ 18 = 24 (см).
Biдповідь: 24 см.
698. Знайдіть
− 6 см.
Нехай ABCD − паралелограм, AD = 14 см, BK − висота, BK = 6 см.
Тоді S = AD ∙ BK; S = 14 ∙ 6 = 84 (см2).
701. Обчисліть площу паралелограма, зображеного
сантиметрах).
рисунку (розміри
a. Нехай ABCD паралелограм, BC = 5,2 см, BK − висота, BK = 4 см.
Тоді S = BC ∙ BK; S = 5,2 ∙ 4 = 20,8 (см2).
б. нехай ABCD − паралелограм, CD = 3,6 см, CH − висота, CH = 5 см.
Тоді S = CD ∙ CH; S = 3,6 ∙ 5 = 18 (см2).
Biдповідь: а. 20,8 см2; б. 18 см2
702. Які з паралелограмів, зображених
S
а) = 3 ∙ 2 = 6 (кв. од.);
Sб) = 4 ∙ 2 = 8 (кв. од.);
Sв) = 4 ∙ 2 = 8 (кв. од.);
Sг) = 2 ∙ 3 = 6 (кв. од.);
Sґ) = 4 ∙ 2 = 8 (кв. од.);
Sд) = 6 ∙ 1 = 6 (кв. од.);
Sе) = 2 ∙ 3 = 6 (кв. од.);
Sє) = 1,5 ∙ 4 = 6 (кв. од.);
Sж) = 8 ∙ 1 = 8 (кв. од.).
Отже, рівновеликими
Нехай ���������������� — паралелограм, �������� і �������� — висоти, ���� = 40 см2 , �������� =4 см, �������� =5 см.
���� = �������� ⋅ �������� ; �������� = ���� �������� ; �������� = 40 4 = 10 (см);
Тоді ���� = �������� ⋅ �������� ; ���� = 10 ⋅ 12 = 120(см2 );
Тоді ���� = �������� ⋅ �������� ; ���� = 15 ⋅ 12 = 180(см2 );
; �������� = ��������2 �������� ; �������� = 152 25 = 225 25 =9 (см). За аксіомою вимірювання відрізків
площа паралелограма
площу паралелограма.
Нехай ABCD − паралелограм, AD = a і AB = b, ∠BAD = α. Проведемо з вершини В
паралелограма BK.
трикутник AKB (∠A ? KB = 90°
= 14 ⋅ sin45∘ = 14 ⋅ √2 2 =7√2 (см).
Нехай ABCD − ромб, BK і BM − висоти, BK + BM = 14 см, CD = 9 см, AD = 12 см. S = AD ∙ BK; S = CD ∙ BM; AD ∙ BK = CD ∙ BM.
Нехай BK = x см, тоді BM = (14 – x) см.
Рівняння: 12x = 9(14 – x); 12x = 126 – 9x; 21x = 126; x = 6.
Отже, BK = 6 см, тоді BM = 14 – 6 = 8 (см).
Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD ∙ BK; S = 12 ∙ 6 = 72 (см2).
Biдповідь: 72 см2
Нехай ABCD – ромб, �������� і BM – висоти, AD – CD = 12 см, BK = 10 см, BM = 15 см. S = AD ∙ BK; S = CD ∙ BM; AD ∙ BK = CD ∙ BM.
Нехай CD = x см, тоді AD = (12 + x) см.
Рівняння: (12 + x) ∙10 = x ∙ 15; 120 + 10x = 15x; 5x = 120; x = 24.
Отже, CD = 24 см, тоді AD = 12 + 24 = 36 (см). Тоді площа паралелограма
AD ∙ BK; S = 36 ∙ 10 = 360 (см2).
Biдповідь: 360 см2
719. Доведіть, що
прямокутник.
Нехай ABCD − паралелограм, AD = a і AB = b, ∠
висоту паралелограма BK. Розглянемо
Маємо: BK = AB ∙ sin BAK; BK = b sin α.
S = AD ∙ BK; S = ab sin α.
Найбільше
AKB (∠AKB = 90°)
S =
2. �������� = �������� за
3. �������� = �������� за умовою.
Тому Δ������������ = Δ������������
Тоді �������� = �������� як відповідні елементи рівних
�������� = 2 3 �������� ; �������� = 2 3 ⋅ 21 = 14 (см).
Відповідь: 14 см.
722. На медіані AM трикутника ABC позначено точку D так, що AD : DM = 1 : 3.
точку D проведено пряму, паралельну стороні AC. У якому відношенні ця пряма
сторону BC, рахуючи від вершини C?
Нехай ������������ — трикутник,
трикутники ������������ і ������������.
�������� �������� = �������� �������� ; �������� �������� = 4���� 3���� = 4 3
аксіомою вимірювання відрізків �������� = �������� + �������� ; �������� = �������� ��������; �������� = �������� + �������� ;
= �������� �������� =2�������� �������� .
�������� =4���� см,
�������� =3���� см. �������� =4����− 3���� = ���� (см); �������� =2 ⋅ 4����−���� =8����−���� =7���� (см). �������� �������� = ���� 7���� = 1 7 . Відповідь: �������� : �������� =1:7.
Нехай ������������ — прямокутний трикутник (∠������������ = 90∘ ), �������� = 24 см, �������� = 10 см.
=
+
;
�������� = (12 + ���� ) см;
�������� = �������� + �������� ; �������� = (8+ ���� ) см.
За теоремою Піфагора маємо:
�������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ;
202 =(12 + ���� )2 +(8+ ���� )2 ;
400 = 122 + 24���� + ���� 2 +82 + 16���� + ���� 2 ; 2���� 2 + 40����− 192 =0; ���� 2 + 20����− 96 =0;
����1 =4; ����2 = 24 — не задовольняє умову
Отже, �������� = 12 +4= 16 (см); �������� =8+4= 12 (см).
Тоді маємо: ���� = 1 2 �������� ⋅ �������� ; ���� = 1 2 ⋅ 16 ⋅ 12 = 96(см2 ).
Відповідь: 96 см2 .
744. Знайдіть площу рівнобедреного
Отже, �������� = 12 см,
тоді �������� = 27 12 = 15 (см).
�������� =2 ⋅ 15 = 30 (см).
Тоді одержимо: ���� = 1 2 �������� ⋅ �������� ; ���� = 1 2 ⋅ 30 ⋅ 9= 135(см2 ).
Відповідь: 135 см2 .
745. Основа
Нехай ������������ — рівнобедрений трикутник (�������� = �������� ), �������� : �������� =8:3, �������� = �������� = 40 см Нехай �������� =8���� см, тоді �������� =3���� см.
прямокутний трикутник ������������ (∠������������ = 90∘ ).
теоремою Піфагора
402 =(4���� )2 +(3����)2 ; 1600 = 16���� 2 +9���� 2 ; 25���� 2 = 1600; ���� 2 = 64; ���� =8.
�������� =8 ⋅ 8= 64 (см), тоді �������� =3 ⋅ 8= 24 (см).
Нехай �������� =5���� см, тоді �������� = 12���� см. Рівняння: 120
���� =2. Тоді �������� =5 ⋅ 2= 10 (см),
тоді �������� = 12 ⋅ 2= 24 (см).
Діагоналі ромба точкою
10 =5 (см); �������� = 1 2 ⋅ 24 = 12 (см).
Розглянемо прямокутний
���� =4��������; ���� =4 ⋅ 13 = 52 (см).
52 см.
тому �������� = 1 1 �������� ; �������� = 1 2 ��������.
Тоді �������� + �������� = 1 2 �������� + 1 2 �������� = 1 2 (�������� + �������� );
�������� + �������� = 1 2 ⋅ 62 = 31 (см).
Нехай �������� = ���� см, тоді �������� =(31 −���� ) см.
Розглянемо прямокутний трикутник ������������ (∠������������ = 90∘ ).
За теоремою Піфагора маємо: �������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ; 252 = ���� 2 +(31 −���� )2 ;
625 = ���� 2 + 961 62���� + ���� 2 ; 2���� 2 62���� + 336 =0; ���� 2 31���� + 168 =0; ����1 = 24; ����2 =7.
Якщо ���� = 24, то �������� = 24 см,
тоді �������� = 31 24 =7 (см);
якщо ���� =7, то �������� =7 см,
тоді �������� = 31 7= 24 (см).
Отже, половини діагоналей дорівнюють 24
2= 48 (см) і 7 ⋅ 2= 14 (см).
Тоді ���� = 1 2 �������� ⋅ ��������; ���� = 1 2 ⋅ 48 ⋅ 14 = 336(см2 ).
Відповідь:
�������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ;
392 = ���� 2 +(����− 21)2 ;
1521 = ���� 2 + ���� 2 − 42���� + 441;
2���� 2 42����− 1080 =0;
���� 2 21����− 540 =0;
����1 = 36; ����2 = 15 — не задовольняє умову задачі.
Якщо ���� = 36, то �������� = 36 см,
тоді �������� = 36 21 = 15 (см).
Тому �������� =2�������� ;
�������� =2 ⋅ 36 = 72 (см); �������� =2�������� ; �������� =2 ⋅ 15 = 30 (см).
Отже, ���� = 1 2 �������� ⋅ �������� ; ���� = 1 2 ⋅ 30 ⋅ 72 = 1080 (см2 ).
Відповідь: 1080 см2 .
Нехай ������������ — трикутник, �������� , �������� і �������� — медіани. Оскільки �������� — медіана, то ���������������� = ���������������� (див. задачу 752). Тоді ���������������� + ���������������� + ���������������� = ���������������� + ���������������� + ���������������� .
в трикутнику ������������ �������� — медіана,
Нехай ������������ — трикутник, (����; ���� ) — вписане в нього коло, �������� − �������� = 14 см, ���� =4 см.
Проведемо радіуси �������� і �������� в точки дотику, ��������⟂��������, ��������⟂�������� .
Тоді чотирикутник ���������������� — квадрат.
Нехай �������� = ���� см, тоді �������� = (14 + ���� ) см.
За аксіомою вимірювання відрізків �������� = �������� + ��������; �������� = 14 + ���� +4= (18 + ���� ) см; �������� = �������� + �������� ; �������� = 14 + ���� + ���� = (14 +2���� ) см; �������� = �������� + �������� ; �������� = (4+ ���� ) см.
За теоремою Піфагора маємо: �������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ; (14 +2���� )2 =(18 + ���� )2 +(4+ ���� )2 ; 196 + 56���� +4���� 2 = 324 + 36���� + ���� 2 + 16 +8
���� 2 ; 2���� 2 + 12����− 144 =0; ���� 2 +6����− 72 =0; ����1 =6, ����2 = 12 — не задовольняє умову.
Отже, �������� = 18 +6 = 24 (см); �������� =4+6= 10 (см).
Нехай ������������ — прямокутний трикутник (∠������������ = 90∘ ), �������� — бісектриса, �������� = 21 см, �������� = 35 см.
За аксіомою вимірювання відрізків �������� = �������� + �������� ; �������� = 21 + 35 = 56 (см).
За властивістю бісектриси кута трикутника одержимо: �������� �������� = �������� �������� = 21 35 = 3 5 .
Нехай �������� =3���� см, тоді �������� =5���� см.
За теоремою Піфагора �������� 2 = �������� 2 + ���� ���� 2 ; (5���� )2 =(3���� )2 + 562 ; 25���� 2 =9���� 2 + 3136; 16���� 2 = 3136; ���� 2 = 196; ���� = 14.
Отже, �������� =3 ⋅ 14 = 42 (см).
Тоді ���� = 1 2 �������� ⋅ �������� ; ���� = 1 2 ⋅
Тоді
�������� =9���� см, �������� = �������� =8���� см.
), �������� = 18 см, �������� = 12 см, ∠������������ = 30∘
Розглянемо
+ �������� = 20 + 20 = 40 (см).
= �������� + �������� + �������� + �������� = 40 + 40 = 80 (см).
Нехай ���������������� — трапеція (�������� ∥ �������� ), ���� = 45 см2 , �������� =8 см, �������� — висота, �������� =6 см.
Тоді ���� = ��������+�������� 2 ⋅ �������� ; �������� + �������� = 2���� �������� ; �������� = 2���� �������� �������� ; �������� = 2⋅45 6 8= 15 8=7 (см).
Відповідь: 7 см.
−17 см.
Нехай ���������������� — рівнобічна трапеція (�������� ∥ �������� , �������� =
Нехай ���������������� — прямокутна трапеція (�������� ∥ �������� , ∠������������ = 90∘ ),
�������� = 16 см, �������� =9 см, �������� = √65 см.
Проведемо висоту �������� .
Тоді ����������������
прямокутник,
аксіомою вимірювання
Розглянемо
2 ;
= √���� ���� 2 ���� ���� 2 ; �������� = √152 92 = √225 81 = √144 = 12 (см).
Тоді маємо: ���� = �������� +�������� 2 ⋅ �������� ; ���� = 32+14 2 ⋅ 12 = 276 (см2 ).
Відповідь: 276 см2
783. Знайдіть
1. Нехай ���������������� — трапеція (�������� ∥ �������� ), �������� = 60 см, �������� = 40 см, ∠������������ = ∠������������ = 45∘ .
кути при нижній
Проведемо висоту �������� .
рівнобічної трапеції: �������� = ��������
+ ∠���� = 180∘ ;
∠���� = 180∘ −∠����
�������� =6+ 12 = 18 (см).
�������� — середня лінія трикутника ������������ , тому: �������� = 1 2 �������� ;
�������� =2�������� ;
�������� =2 ⋅ 6= 12 (см).
Аналогічно �������� =2��������; �������� =2 ⋅ 12 = 24 (см).
Проведемо висоту �������� . За властивістю рівнобічної трапеції: �������� = �������� �������� 2 ; �������� = 24−12 2 =6 (см). Тому �������� = �������� = 12 см. Розглянемо прямокутний
Нехай ���������������� — рівнобічна трапеція (�������� ∥ �������� , �������� = �������� ),
�������� = 50 см, �������� = 32 см
Оскільки в трапецію можна вписати коло,
то �������� + �������� = �������� + �������� ;
�������� + �������� = 50 + 32 = 82 (см);
�������� + �������� =2�������� ;
2�������� = 82; �������� = �������� = 41 (см).
Проведемо висоту �������� За властивістю рівнобічної трапеції
∠������������ + ∠���� = 90∘ ;
= 90∘ −∠���� ;
= 90∘ 45∘ = 45∘ .
���� 2 = ���� ���� 2 + ���� ���� 2 ;
= √���� ���� 2 + ���� ���� 2 ; �������� = √82 +82 = √
трикутник
2.
Нехай ���������������� — рівнобічна трапеція (�������� ∥ �������� , �������� = �������� ), �������� = �������� = 15 см, (����; ���� ) —
описане коло, ���� = 12,5 см, ��������⟂�������� . Оскільки ∠������������ =
тому центр кола, описаного навколо трикутника,
���������������� = ����������������
�������� =2 ⋅ 9= 18 (см);
=2�������� ;
=2 ⋅ 4=8 (см).
Проведемо висоту
�������� = �������� + �������� ;
�������� = 12 +9= 21 (см).
�������� =2���� ; �������� =2 ⋅ 12 = 24 (см).
Тоді ���� = ��������+�������� 2 ⋅ �������� ;
���� = 28+21 2 ⋅ 24 = 588 (см2 ).
Відповідь: 588 см2 . 802. Діагональ рівнобічної
�������� =2 ⋅ 36 + 45 = 117 (см).
���� = ��������+�������� 2 ⋅ �������� : ���� = 117+45 2 ⋅ 27 = 2187 (см2 ).
2187 см2 .
803.
Відповідь: 936 см2 . 804. У
Нехай �������� = ���� см, �������� = ���� см.
Тоді �������������������� =2(�������� + �������� );
50 =2(���� + ����); ���� + ���� = 25;
���������������� = �������� + �������� + �������� ;
40 = ���� + ���� + ����;
40 = 25 + ���� ;
���� = 40 25 = 15
Тоді ���� + 15 = 25; ���� = 10.
Отже, �������� = 10 см, �������� = 15 см.
Відповідь: 10 см, 15 см.
806. Коло, побудоване
Нехай �������� =3���� см, тоді �������� =2���� см. За аксіомою
�������� = �������� + �������� ; �������� =3���� +2���� =5���� (см).
Маємо:
= �������� �������� ;
=9 (см).
= �������� �������� ;
= 3����⋅25
;
5���� = 15 (см).
Чотирикутник ����������������
вимірювання відрізків:
�������� = �������� + �������� ;
�������� = �������� �������� ;
�������� = 25 − 15 = 10 (см).
���� =2(�������� + �������� );
���� =2(10 +9)=2 ⋅ 19 = 38 (см).
Відповідь: 38 см. 808. Чи
A. 7; Б. 9; B. 11; Г. 13. Сума внутрішніх
(����− 2) ⋅ 180∘
За умовою: (����− 2) ⋅ 180∘ = 1260∘
2=7
=9
Відповідь: Б. 9
2. В опуклому ���� кутнику 14
Кількість діагоналей ���� -кутника обчислюється
(����− 3)
2 За умовою: ����(����− 3) 2 =14 ����(����− 3) =28 ����2 − 3����− 28 =0 (����− 7)(���� +4) =0 ���� = 7 (від’ємне не підходить)
Сума внутрішніх кутів: (����− 2) ⋅ 180∘ (7 2) ⋅ 180∘ =5 ⋅ 180∘ = 900∘
Відповідь: В. 900∘
3. Як зміниться площа прямокутника,
80 = 16 ⋅����⋅ sin ����
Звідси:
sin ���� =5
Оскільки sin ����≤ 1, то: ���� ≥ 5
Відповідь: Г. 6
���� 8; Б. ���� 4; B. ���� 16; Г.
Знайдемо катети:
AD = AC ⋅ cos 45∘ = 12√2 ⋅ √2 2 = 12
CD = AC ⋅ sin 45∘ = 12√2 ⋅ √2 2 = 12
Отже:
AD = 12, CD = 12
Тоді:
AB = AD + BD = 12 + 8 = 20
Площа трикутника: S = 1 2 ⋅ AB ⋅ CD = 1 2 ⋅ 20 ⋅ 12 = 120 Відповідь: 120 см2 . 5. Основи рівнобічної
кута. Знайдіть площу
Нехай AD = 23, BC = 13
рівнобічна ⇒ AE = FD = 23−13 2 = 5
трикутник ABC
AC — бісектриса кута A, і BC ∥ AD, то:
BCA = ∠CAD (як внутрішні різносторонні)
також: ∠CAD = ∠BAC (бо AC — бісектриса)
∠BCA = ∠BAC ⇒ трикутник ABC рівнобедрений ⇒ AB = BC = 13
У прямокутному трикутнику AEB: AB 2 =AE 2 +BE 2 132 =52 +h2 169 = 25 +h2
h2 = 144 h = 12
Площа трапеції: S = 23 + 13 2 ⋅ 12 = 18 ⋅ 12 = 216
Відповідь: 216 см2 . 6.
см і 8 см. Знайдіть площу трикутника.
Нехай трикутник ABC прямокутний при C
Бісектриса
A
BD = 10, DC = 8 ⇒ BC = 18
За теоремою бісектриси: AB AC = BD DC = 10 8 = 5 4
Нехай:
AB = 5x, AC = 4x
За теоремою Піфагора:
AB 2 =AC 2 +BC 2
(5x)2 = (4x)2 + 182
25x 2 = 16x 2 + 324
9x 2 = 324 x 2 = 36 x = 6
Тоді: AC = 4x = 24
Площа: S = 1 2 ⋅ AC ⋅ BC = 1 2 ⋅ 24 ⋅ 18 = 216
Відповідь: 216 см2 .
2(�������� + �������� );
=2(14 + 23) = 2 ⋅ 37 = 74(см). Відповідь: 74 см.
�������� = �������� + �������� ;
�������� =9+ 14 = 23 (см).
Оскільки �������� бісектриса,
Тоді �������� = �������� =9 см.
���� =2(�������� + �������� );
���� =2(9+ 23) =2 ⋅ 32 = 64(см).
Biдповідь:
; �������� =5���� +4���� =9���� (см).
; �������� = �������� = 1 2 �������� . ���������������� = �������� + �������� + �������� ; ���������������� = �������� + �������� + �������� ;
Piвняння:
9����− 5���� =8;
4���� =8; ���� =2.
�������� =5 ⋅ 2= 10 (см), �������� =9 ⋅ 2= 18 (см).
Biдповідь: 10 см, 18 см. 811. У паралелограмі
813.
1. Ні,
2.
3.
4. так;
5.
6. так;
7.
2.
1.
2.
�������������������� =4 ⋅ 14 = 56(см).
Нехай ������������ трикутник, �������� =
них:
1. �������� спільна;
2. �������� = �������� за умовою;
3. �������� = �������� за умовою. Отже,
= 180∘ (130∘ + 35∘ ) = 15∘
∪ �������� = 2∠������������ ;
∪ �������� =2 ⋅ 15∘ = 30∘ .
Biдповідь: 30∘ . 831. Доведіть,
∠������������ = ∠������������ + ∠������������
= 10∘ + 70∘ = 80∘ .
= 90∘ − 70∘ = 20∘ .
=
�������� ; �������� = 12 9 =3(см); �������� = �������� + �������� ; �������� = �������� ��������; �������� =9 3=6(см).
Biдповідь: 9 см, 3 см, 6 см.
839. Бісектриса
Маємо:
3���� +5���� = 56;
8���� = 56;
���� =7.
Отже, �������� =3 ⋅ 7= 21 (см),
тоді �������� =5 ⋅ 7= 35 (см).
Biдповідь: 21 см, 35, см
�������� + �������� = 72 ∶ 2= 36 (см).
�������� = �������� + �������� ; �������� = �������� ��������
Нехай �������� =7���� см, тоді �������� =2���� см.
Рівняння:
7���� +2���� = 36;
9���� = 36; ���� =4
Отже, �������� =7 ⋅ 4= 28 (см), �������� =2 ⋅ 7= 14 (см).
Biдповідь: 28 см, 14 см. 841.
Biдповідь:
тоді �������� = 36 − 15 = 21 (см).
Biдповідь: 15 см, 21 см.
844. Дано
20(20 + ���� ) = ���� (���� + 11);
400 + 20���� = ���� 2 + 11���� ;
���� 2 9����− 400 =0;
����1 = 16
����2 = 25.
Отже, �������� = 25 см.
Biдповідь: 25 см.
846. Пряма
(����; ���� ) коло,
1. ∠���� спільний;
Нехай (����; ���� ) коло, �������� і �������� хорди, �������� ∩ �������� = ���� , �������� =4 см, �������� =6 см, �������� − �������� =2 см. За
�������� .
Нехай �������� = ���� см, тоді �������� = (����− 2) см.
Далі маємо: ����⋅ (����− 2) =4 ⋅ 6; ���� 2 2����− 24 =0;
����1 = 4 не задовольняє умову задачі, ����2 =6.
Отже, �������� =6 см, тоді �������� =6 2=4 (см).
За аксіомою
�������� = �������� + ��������;
�������� =6+4= 10(см).
Biдповідь: 10 см. 848.
�������� ⋅ �������� = �������� ⋅
�������� = 1 2 �������� , �������� =2· �������� , �������� =2· 10 = 20 см.
2 = 100 36,
���� ���� 2 = 64, �������� =8.
�������� = �������� ��������, �������� = 1 2 �������� , �������� = 10 см, �������� = 10 6 =4 см.
202 = �������� 2 + 80, �������� 2 = 400 80, �������� 2 = 320, �������� = √320 =4√20 =8√5 см. ����MBC = �������� + �������� + �������� ,
�������� 2 = �������� 2 + �������� 2 .
і розв'яжемо рівняння:
152 = ���� 2 +(2����− 6)2 ;
225 = ���� 2 +4���� 2 24���� + 36;
5���� 2 − 24���� + 36 − 225 =0;
5���� 2 24����− 189 =0; ���� =5, ���� = −24, ���� = 189; ���� = ���� 2 4�������� ;
���� =(−24)2 − 4·5·(−189)= 516 + 3780 = 4356 = 662 ;
����1 = −����− √����
2���� ; ����1 = 24 66 2 ⋅ 5 = 42 10 <0; ����2 = −���� + √���� 2���� ; ����1 = 24 + 66 2 ⋅ 5 = 90 10 = 90 10 =9.
Отже, �������� =2·9= 18 (см).
851. Iз
= �������� �������� , �������� = �������� + �������� ,
�������� =8 −���� (см), �������� =6 −���� (см). За властивістю
Нехай �������� = ���� см, тоді �������� = (����− 27) см.
Рівняння: 182 = ���� (����− 27); 324 = ���� 2 27���� ;
���� 2 27����− 324 =0; ����1 = −9 не задовольняє умову
�������� = 36 см,
тоді �������� = 36 − 27 = 9 (см).
аксіомою вимірювання
�������� = �������� + ��������; �������� = 36 +9= 45(см). Biдповідь: 45 см.
856. Усередині
= 36.
теоремою Піфагора:
AB 2 = AC 2 + BC 2
AB 2 =52 + 122 = 25 + 144 = 169
AB = 13 см У центр
KO = LO = MO =
радіус:
r = AC + BC AB 2
r = 5 + 12 13 2 = 4 2 =2
Отже:
x = 2 см
Відповідь: 2 см
2 = �������� 2 +
���� )2 =(4���� )2 + 902 ; 25���� 2 = 16���� 2 + 8100; 9���� 2 = 8100; ���� 2 = 900;
= 30 Отже, �������� =5 ⋅ 30 = 150(см), тоді �������� = 13 ⋅ 30 = 390(см) Тоді ���� = ��������+�������� 2 ⋅ �������� ; ���� = 390+150 2 ⋅
= �������� si n45∘ ⋅
Тоді одержимо: ���� = �������� + �������� 2 ⋅ �������� ; ���� = �������� ⋅ �������� ; ���� = �������� si n45∘ ⋅ �������� ; ���� ���� 2 = ����⋅ si n 45∘ ; �������� = √���� sin 45∘ ; �������� = �36√2 ⋅ √2 2 = √36 =6 (см).
Biдповідь: 6 см.
866. Розгадайте кросворд.
По горизонталі:
5.Піфагор.
7. Прямокутник.
8.Центральний.
9.Трапеція
11.Синус.
14. Чотирикутник.
16.Подібні.
18.Косинус.
19.Рівновеликі.
20.Фалес.
22.Квадрат.
23. Периметр.
24.Дуга.
По вертикалі:
1.Тангенс
2. Паралелограм.
3.Катет.
4.Вписаний
6.Дотична.
10. Гіпотенуза.
12.Ромб.
13.Теорема.
15.Площа.
17.Діаметр.
21.Лема.