\[N(a,b,c)=\begin{cases}0,&a>0,\\
\left\lfloor-a\right\rfloor+\tfrac{1}{2}(1+S),&a<0,c-a>0,\\
\left\lfloor-a\right\rfloor+\tfrac{1}{2}(1+S)+\left\lfloor a-c+1\right\rfloor S%
,&a<0,c-a<0,\\
\end{cases}\]